应用一元一次方程——水箱变高了
5.4.1《应用一元一次方程水箱变高了》
做一做
小明又想用这10米长铁丝围成一个长方形。 （2）使长方形的长比宽多0.8米，此时长方形
的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与第一 次所围成的长方形相比，面积有什么变化？
X
X+0.8
解：（2）设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米。 根据题意，得：
(X+0.8 +X) ×2 =10 X x=2.1 X+0.8 长=2.1+0.8=2.9 面积=2.9 ×2.1=6.09
解：设水箱的高度变为X米，
根据等量关系列出方程：
V旧水箱＝V新水箱
× 22×4 =
解方程得： X=6.25
∴ 6.25-4=2.25（米）
答：水箱高度增高了 2.25 米
小明的困惑：
例：小明有一个问题想不明白。他要 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形， 使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方 形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？
旧水箱
新水箱
底面半径 高
体积
2米 4米
22 4
1.6米 X米
1.62 x
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形 储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储 水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为 3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由 原先的4m增高为了多少米?
x
x+1.4
等量关系： （长+宽）× 2=周长
x
x+1.4
解： 设长方形的宽为X米，则它的长为（X+1.4）米， 根据题意，得： (X+1.4 +X) ×2 =10
X=1.8 长是：1.8+1.4=3.2 面积： 3.2 × 1.8=5.76 答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76米2.
北师大版七年级数学上《应用一元一次方程——水箱变高了》
4
3.2
4
x
(4)2 4
2
(3.2)2 x
2
根据等量关系，列出方程：
(4)2 4 = (3.2)2 x
2
2
.
25
25
解得x= 4 . 因此，水箱的高变成了 4 m.
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形． (1)使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时 长方形的长、宽各为多少米？
解: (1)设此时长方形的宽为 x m，则它的
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一 个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所 围成的面积与(2)相比又有什么变化？
设正方形的边长为xm.
根据题意，得 x x 10 1. 2
解这个方程，得x=2.5.
正方形的边长为2.5m，
正方形的面积为2.5 2.5 6.25(m2 ), 比(2)中面积增大6.25 6.09 0.16(m2 ).
你发现了什么规律？
同样长的铁丝围成的长方形， 长和宽的差越小，面积越大；围成 的正方形面积最大.
应用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？
1.审题； 2.找等量关系； 3.设未知数( x ); 4.列方程； 5.解方程； 6.检验； 7.作答.
墙上钉着用一根彩绳围成的 梯形形状的饰物，如右图实线所 示(单位：cm). 小颖将梯形下底 的钉子去掉，并将这条彩绳钉成 一个长方形，如右图虚线所示. 小颖所钉长方形的长、宽各为多 少厘米？
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆 柱形储水箱. 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原 有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m 减少为3.2m. 那么在容积不变的前提下，水箱的 高度将由原先的4m增高为多少米？
应用一元一次方程——水箱变高了课件
学习目标
01
理解一元一次方程的概 念和建立方法。
02
掌握一元一次方程的求 解方法。
03
能够在实际问题中应用 一元一次方程解决水箱 变高问题。
04
培养学生的数学应用意 识和解决问题的能力。
02
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定 义
总结词
一元一次方程是只含有一个变量，且该变量的指数为1的方程。
习和巩固基础。
对未来学习的展望
希望老师能够提供更多实际问题的案 例，让我们更好地理解和应用一元一 次方程。
希望在学习中能够更加注重理论与实 践的结合，培养自己的综合能力。
希望能够加强数学建模的训练，提高 解决复杂问题的能力。
THANKS
感谢观看
底面积，t 是时间。
解一元一次方程
01
02
03
04
移项
合并同类项
化简
解出未知数
验证解的正确性
代入原方程
将解出的 h 值代入原方程进行验证。
比较解与实际
分析误差
如果解与实际不一致，分析误差来源， 可能是建立方程时忽略了一些因素， 或者解方程过程中出现了计算错误。
比较解出的 h 值与实际水箱高度变化 量是否一致。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0，其中 a ≠ 0。它包含一个未知数 x，并 且 x 的指数为1。
一元一次方程的标准形式
总结词 详细描述
解一元一次方程的方法
总结词
详细描述
03
水箱变高的情境描述
水箱变高水源的补充
内部压力变化
03 物理或化学反应
05
实际应用与案例分析
水箱变高的实际应用
应用一元一次方程——水箱变高了
面积：1.8 × 3.2=5.76
面积：
2.9 ×2.1=6.09
正 方 形
时 面 积 最 大
围 成
面积： 2.5 × 2.5 =6. 25
即：当长方形的周长一定时，当 且仅当长宽相等时，面积最大。
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随 堂 练 习
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状 的饰物，如图实线所示。小颖将梯形 下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成 一个长方形，如图虚线所示。小颖所 钉长方形的长、宽各为多少厘米？
5、变形前体积=变形后体积
10
10 6 10 10 6
分析：等量关系是 则
变形后周长=变形前周长
解：设长方形的长是 x 厘米。
2( x 10) 10 4 6 2 解得 x 16
10 10 6 10 10 6
因此，小影所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。
课堂小结:
1、列方程解应用题的关键是正确找出 等量关系。 2、旧水箱容积=新水箱容积 3、线段长度一定时，不管围成怎样 的图形，周长不变 4、长方形周长不变时，长方形的面积 随着长与宽的变化而变化，当长与宽相 等时(正方形），面积最大。
解：（1）设长方形的宽为X 米，则它的长为(X+1.4) 米， 由题意得 2 ( x+1.4 +x ) =10.
x x+1.4
解,得 x=1.8.
长为：1.8+1.4=3.2（米） 面积为： 3.2 × 1.8=5.76（平方米）
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76平方米.
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. （2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）所 围成的长方形相比，面积有什么变化？ 等量关系： （长+宽）× 2 = 周长. 解：设长方形的宽为 x 米，则它的长为 x （x+0.8）米，由题意得 2(x +0.8 + x) =10 解,得 x=2.1 长为：2.1+0.8=2.9（米）; 面积为：2.9 ×2.1=6.09(平方米) 面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.
一元一次方程应用题水箱变高了题型
一、概述水箱变高了是一个常见的一元一次方程应用题，它涉及到数学在实际生活中的应用，对于学生来说具有一定的教育意义。
在解决这类问题时，需要运用一元一次方程的知识，通过设立未知数、建立方程式、解方程等步骤来求解问题。
本文将通过具体的例题分析，帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的方法。
二、问题描述某地区的一个水箱的水位原来是30米，后来升高了h米。
经过一段时间，水箱的水位降低到了原来的一半，那么水箱升高了多少米？三、问题分析1. 设定未知数：我们可以设未知数x表示水箱升高的高度。
2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。
3. 解方程求解：通过解方程来求解出水箱升高的高度x。
四、具体步骤1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。
2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。
3. 解方程求解：通过解方程求出x的值。
4. 检验答案：将得到的结果代入原方程中进行检验。
五、具体计算1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。
2. 建立方程式：30 + x = 2(30 + x - h)。
3. 解方程求解：通过解方程30 + x = 60 + 2x - 2h，得到x = 30 - 2h。
4. 检验答案：将x = 30 - 2h代入方程30 + x = 2(30 + x - h)中进行检验：30 + (30 - 2h) = 2 * [30 + (30 - 2h) - h]化简得到：30 + 30 - 2h = 60 + 60 - 4h - 2h化简得到：60 - 2h = 120 - 6h化简得到：4h = 60化简得到：h = 15六、问题解答根据计算，水箱升高了15米。
七、总结通过上述的步骤，我们成功地解决了水箱变高了的一元一次方程应用题。
在解决这类问题时，关键在于正确地建立方程式，然后通过解方程的方法求解未知数。
为了确保解答正确，还需要对得到的结果进行检验。
应用一元一次方程水箱变高了定义
应用一元一次方程水箱变高了定义一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。
在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。
水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。
水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。
假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。
那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。
现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。
在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。
根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。
也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。
这就是这个问题的数学表达方式。
接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。
在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。
假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。
这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。
在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。
从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。
也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。
这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。
要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。
通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。
在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。
53应用一元一次方程——水箱变高了
53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。
我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。
假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。
根据题意，水箱的体积变大了。
即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。
由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。
这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。
现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。
根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。
这说明增加的高度必须大于0。
这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。
例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。
那么现在的高
度就变成了2+1=3米。
通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。
总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。
在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。
当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。
但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。
我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。
希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。
七年级数学上册《应用一元一次方程水箱变高了》优秀教学案例
3.解方程，求解未知数：运用一元一次方程的解法，求解未知数，并解释结果的实际意义。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组学生合作解决一个与水箱变高类似的问题。具体步骤如下：
1.小组讨论：每组学生根据问题，共同分析、讨论，建立一元一次方程模型。
3.小组合作学习模式
小组合作学习在本案例中发挥了重要作用。通过合理分组，确保每个学生都能在小组中发挥自己的优势，共同解决问题。在合作学习过程中，学生相互讨论、交流、分享，不仅提高了团队协作能力，还培养了沟通能力和解决问题的能力。
4.反思与评价相结合
本案例注重学生的反思与评价。在教学过程中，引导学生对自己的学习过程进行反思，总结收获和不足，提高自我认知。同时，组织学生进行相互评价，学会欣赏他人、提出建设性意见。这样的设计有助于促进学生之间的相互学习，提高教学质量。
在教学过程中，以水箱变高为背景，引导学生运用一元一次方程的知识，解决实际的水位变化问题。这不仅有助于巩固学生对一元一次方程的理解，还能培养学生将数学知识应用于现实生活的能力，提高学生的创新意识和解决问题的能力。
本案例注重以人为本，关注学生的个体差异，鼓励学生主动探究、合作交流，以实现课程标准中倡导的“人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”的理念。通过本节课的学习，让学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，感受数学的无穷魅力。
同时，我还会组织学生进行相互评价，让学生学会欣赏他人的优点，发现他人的不足，并给出建设性的意见。通过评价，促进学生之间的相互学习，提高整体教学质量。
此外，我还将结合课堂教学，定期对学生的学习成果进行评价，关注学生的个体差异，鼓励学生发挥潜能，不断提高教学效果。
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水箱变高了导学案
【学习目标】1.分析简单问题中的等量关系，建立方程解决问题
2.了解方程解决实际问题的基本步骤：理解题意，寻找等量关系，设未知数，列方程，解方程，作答。
【重点】理解题意，寻找等量关系
【难点】找出题中的等量关系
【学法指导】合作交流自主探究
【课时安排】共 1 课时总第课时
温故知新：
1、解一元一次方程有哪些步骤？
2、思考：
①、长方形的周长C= 长方形的面积S=
②、正方体的周长C= 正方形的面积S=
③、圆的周长C= 圆的面积S=
④、圆柱的体积V=
一、创设情境，引入新课
——（教师进行实验演示，学生认真观察。
让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量。
同时分析出不变量与变量间的等量关系。
）
内容：教师从讲台下拿出了两瓶水（容量一样，A短而宽，B长而窄）.
提问：请问大家哪瓶水多？为什么？
二、明确学习目标
三、运用情景，解决问题
——（师生共同合作交流，找出等量关系，进而列出方程）
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。
现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。
那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原
先的4m增高为多少米？
(提示：列方程时，关键是找等量关系
等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积)
解：设水箱的高变为x米，填写下表：
旧水箱新水箱
底面半径/m
高/m
容积/m3
根据等量关系，列出方程：
预习案——课前自主学习
探究案——课中合作探究
四、动手操作，探索新知
——（小组内先合作交流完成，然后派出两组代表分别上黑板书写解答过程，并把思路分析给大家。
师在适当的时候加以辅助。
）
1、例：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
（1）使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所
围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？
（4）同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？2、思考：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤？
五、课堂检测，巩固提高
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的
饰物,如右图实线所示.小颖将梯形下得钉子
去掉,并将这条线彩绳钉成一个长方形,如右
图虚线所示.小颖所钉长方形的长,宽各为多
少厘米?
六、课堂小结
七、布置作业
A组：144页习题1，2，3（拓展题）
B组：144页习题1，2
C组：141页例题
我的收获
（学生）/
课后反思
（教师）
x+1.4 x。