离散数学 第三章集合
陕西师范大学计算机科学学院
小镇里的理发师放出豪言：“我帮且只帮 镇里所有不自己刮脸的人刮脸”。
哪么他是否应当给自己刮脸？
如果他给自己刮脸，那么按照他的豪言他 不应该为自己刮脸；但如果他不给自己刮脸， 同样按照他的豪言他又应该为自己刮脸。
陕西师范大学计算机科学学院
正是寻求解决第三次数学危机的各种努 力，给数学基础问题的研究带来了全新的转 机。一部分数学家开始把精力集中于解决具 有“能行性”的问题上。
例如，某大学计算机系的全体学生、所 有自然数等都是集合。
陕西师范大学计算机科学学院
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 确定性：一旦给定了集合A，对于任意a，可 准确地判定a是否在A中。 互异性：集合中的元素之间是彼此不同的。即 集合{a, b, b, c}与集合{a, b, c}是一样的。 无序性：集合中的元素之间没有次序关系。即 集合{a, b, c}与集合{c, b, a}是一样的。
陕西师范大学计算机科学学院
定义3.1.5 所要讨论的集合都是某个集合的子 集，称这个集合为全集（Universal set）， 记作U或E。
全集是一个相对的概念。由于所研究的问 题不同，所取的全集也不同。例如，在研究整 数问题时，可把整数集Z取作全集。在研究平 面几何问题时，可把整个坐标平面取作全集。
大家好
离散数学
第三章 集合
裘国永
2020年12月9日
本章内容及教学要点
3.1 集合的概念与表示法 教学内容：集合，子集，包含，空集，
幂集，全集
陕西师范大学计算机科学学院
3.2 集合的运算与性质 教学内容：并，交，补，对称差，文氏图
陕西师范大学计算机科学学院
3.3 集合的划分与覆盖 教学内容：划分，覆盖
陕西师范大学计算机科学学院
3.2 集合的运算与性质
这一节的主要内容：
集合的并、交、差、补、对称差、基本 集合恒等式（幂等律，交换律，结合律，分 配律，同一律，零律，互补律，吸收律，德. 摩根律，双否律）。
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集合的交、并、补 定义3.2.1 设A和B为两个集合，A和B的交 集 A∩B （ Intersection ） 、 并 集 A∪B （ Union）分别定义如下：
反之，若AB且BA，假设A≠B，则 A与B元素不完全相同。不妨设有某个元素 x∈A但xB，这与AB矛盾，所以A=B。
□
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定理3.1.2 设A、B和C是三个集合，则： （1）AA。（2）AB∧BC AC。
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证明： （1）由定义显然成立。 （2）AB∧BC x(x∈A→x∈B) ∧x(x∈B→x∈C) x((x∈A→x∈B) ∧(x∈B→x∈C)) x(x∈A→x∈C) AC。
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在自然科学中，除了研究处于孤立的个体 之外，更重要的是将一些相关的个体放在一起 进行研究，这就直观地产生了引入集合这一概 念的要求。集合是最简单的数学对象。
陕西师范大学计算机科学学院
随着计算机时代的到来，集合的元素已由 传统的“数集”和“点集”拓展成包含文字、 符号、图形、图表和声音等多媒体信息，构成 了各种数据类型的集合。从而集合论在编译原 理、开关理论、信息检索、形式语言、数据库 和知识库、CAD、CAM、CAI及AI等各个领 域得到了广泛的应用。
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证明： 仅证（2）和（3）。 （2）AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A) x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB)) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。
定义3.1.3 没有任何元素的集合称为空集（ Empty Set），记作Φ。以集合为元素的集 合称为集族。
例如，{x | (x≠x)∧x∈R}是空集；{x｜ x是某大学的学生社团}是集族。 定理3.1.4 空集是任何集合的子集。
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对于任一集合A，我们称空集Φ和其自
身A为A的平凡子集（Trivial Subset）。
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3.6 基本计数原理原理 教学内容：加法原理，乘法原理，
容斥原理，抽屉原理
陕西师范大学计算机科学学院
集合论是现代数学的基础，是数学中不 可或缺的基本描述工具。可以这样讲，现代 数学与离散数学的“大厦”建立在集合论的 基础之上。
陕西师范大学计算机科学学院
集合论的研究起源于对数学的基础研究： 对数学的对象、性质及其发生、发展的一般规 律进行的科学研究。德国数学家康托尔从187 4年始，发表了一系列集合论方面的著作，从 而创立了集合论。
陕西师范大学计算机科Байду номын сангаас学院
20世纪30年代中后期，图灵对计算的 本质进行了研究，从而实现了对计算本质的 真正认识。图灵提出了“图灵机”这一计算 模型用来解决“能行计算”问题，而数字电 子计算机正是这种模型的具体实现。
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3.1 集合的概念与表示法
这一节的主要内容：
集合的元素、基数、有限集与无限集、 集合的表示法、子集、平凡子集、不相交集 合、空集、幂集、全集。
陕西师范大学计算机科学学院
构成集合的每个事物称为这个集合的元 素或成员（Member，Element）。集合一 般用大写字母表示，元素用小写字母表示。 但这也不是绝对的，因为一个集合可以是另 外一个集合的元素。
陕西师范大学计算机科学学院
给定一个集合A和一个a，可以判定a是 否在集合A中。如果a在A中，我们称a属于 A，记为a∈A。否则，称a不属于A，记为 aA。
A∩B={x | x∈A∧x∈B} A∪B={x | x∈A∨x∈B}
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例如，若A={1, 2, 3}，B={1, 4}，则A ∩B={1}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
陕西师范大学计算机科学学院
集合的交与并可以推广到n个集合的情 况，即 A1∩A2∩…∩An
={x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} A1∪A2∪…∪An
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解： P(Φ)={Φ}。P({Φ})={Φ, {Φ}}。 P({Φ, {Φ}})={Φ, {Φ}, {{Φ}}, {Φ, {Φ}}}。 P({1, {2, 3}})={Φ, {1}, {{2, 3}}, {1, {2,
3}}}。 □
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定理3.1.5 若|A|=n，则|P(A)|=2n。
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但数学家们不久就在康托尔的理论（我 们称之为朴素(古典)集合论）中发现了逻辑 矛盾，即所谓的“悖论”（Paradox），导 致了数学发展史上的第三次危机（另两次分 别是无理数的引入和无穷小量的引入）。其 中最著名的就是1901年罗素发现的“罗素 悖论”S={x：xS}。“罗素悖论”的通俗 表示是所谓的“理发师悖论”。
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若集合A中只有有限个元素时，称A为 有限集合（Finite set），集合中元素的个 数称为集合的基数（势，Cardinality）， 记为|A|；否则，称A为无限集合（Infinite set）。
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下面将本书中常用的集合列举如下： N：表示全体自然数组成的集合。 Z：表示全体整数组成的集合。 Q：表示全体有理数组成的集合。 R：表示全体实数组成的集合。 Zm：表示模m同余关系所有剩余类组 成的集合。
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例如，若A={a, b, c, d}，B={b, c}，则 B是A的真子集，但A不是A的真子集。 注 ∈与表示元素和集合的关系，而、与 ＝表示集合和集合的关系。
例如，若A={0, 1}，B={0, 1, {0, 1}}， 则AB且AB。
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定理3.1.3 设A、B和C是三个集合，则 （1）(AA)。 （2）AB (BA)。 （3）AB∧BC AC。
={x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}
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例3.2.1 设A，B和C为任意集合，且AB， 则A∩CB∩C。
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证明： 对任意的x∈A∩C，则有x∈A且x∈C。
而AB，由x∈A得x∈B，则x∈B且x∈C， 从而x∈B∩C。所以，A∩CB∩C。
□
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定义3.1.2 设A和B是两个集合，若AB且 B中至少有一个元素b使得bA，则称A是B 的真子集（Proper subset），也称A真包 含于B或B真包含A，记作AB。否则，记 作AB。B真包含A的符号化表示：
AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)
若两个集合A和B没有公共元素，我们 说A和B是不相交的（Disjoint）。
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证明： 因为A的m个元素的子集的个数为C(n,
m)，所以|P(A)|=C(n, 0)+C(n, 1)+…+ C(n, n)=2n。
□
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定理3.1.6 设A和B是两个集合，则： （1）B∈P(A) BA。 （2）AB P(A)P(B)。 （3）P(A)=P(B) A=B。 （4）P(A)∈P(B) A∈B。 （5）P(A)∩P(B)=P(A∩B)。 （6）P(A)∪P(B)P(A∪B)。
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（3）AB∧BC (x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA))
∧(x(x∈B→x∈C)∧x(x∈C∧xB)) x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C))
∧(x(x∈B∧xA)∧x(x∈C∧xB)) x(x∈A→x∈C)∧(x(x∈C∧xA) AC。
小镇里的理发师放出豪言：“我帮且只帮 镇里所有不自己刮脸的人刮脸”。
哪么他是否应当给自己刮脸？
如果他给自己刮脸，那么按照他的豪言他 不应该为自己刮脸；但如果他不给自己刮脸， 同样按照他的豪言他又应该为自己刮脸。
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正是寻求解决第三次数学危机的各种努 力，给数学基础问题的研究带来了全新的转 机。一部分数学家开始把精力集中于解决具 有“能行性”的问题上。
例如，某大学计算机系的全体学生、所 有自然数等都是集合。
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集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 确定性：一旦给定了集合A，对于任意a，可 准确地判定a是否在A中。 互异性：集合中的元素之间是彼此不同的。即 集合{a, b, b, c}与集合{a, b, c}是一样的。 无序性：集合中的元素之间没有次序关系。即 集合{a, b, c}与集合{c, b, a}是一样的。
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定义3.1.5 所要讨论的集合都是某个集合的子 集，称这个集合为全集（Universal set）， 记作U或E。
全集是一个相对的概念。由于所研究的问 题不同，所取的全集也不同。例如，在研究整 数问题时，可把整数集Z取作全集。在研究平 面几何问题时，可把整个坐标平面取作全集。
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第三章 集合
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本章内容及教学要点
3.1 集合的概念与表示法 教学内容：集合，子集，包含，空集，
幂集，全集
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3.2 集合的运算与性质 教学内容：并，交，补，对称差，文氏图
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3.3 集合的划分与覆盖 教学内容：划分，覆盖
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3.2 集合的运算与性质
这一节的主要内容：
集合的并、交、差、补、对称差、基本 集合恒等式（幂等律，交换律，结合律，分 配律，同一律，零律，互补律，吸收律，德. 摩根律，双否律）。
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集合的交、并、补 定义3.2.1 设A和B为两个集合，A和B的交 集 A∩B （ Intersection ） 、 并 集 A∪B （ Union）分别定义如下：
反之，若AB且BA，假设A≠B，则 A与B元素不完全相同。不妨设有某个元素 x∈A但xB，这与AB矛盾，所以A=B。
□
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定理3.1.2 设A、B和C是三个集合，则： （1）AA。（2）AB∧BC AC。
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证明： （1）由定义显然成立。 （2）AB∧BC x(x∈A→x∈B) ∧x(x∈B→x∈C) x((x∈A→x∈B) ∧(x∈B→x∈C)) x(x∈A→x∈C) AC。
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在自然科学中，除了研究处于孤立的个体 之外，更重要的是将一些相关的个体放在一起 进行研究，这就直观地产生了引入集合这一概 念的要求。集合是最简单的数学对象。
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随着计算机时代的到来，集合的元素已由 传统的“数集”和“点集”拓展成包含文字、 符号、图形、图表和声音等多媒体信息，构成 了各种数据类型的集合。从而集合论在编译原 理、开关理论、信息检索、形式语言、数据库 和知识库、CAD、CAM、CAI及AI等各个领 域得到了广泛的应用。
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证明： 仅证（2）和（3）。 （2）AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A) x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB)) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。
定义3.1.3 没有任何元素的集合称为空集（ Empty Set），记作Φ。以集合为元素的集 合称为集族。
例如，{x | (x≠x)∧x∈R}是空集；{x｜ x是某大学的学生社团}是集族。 定理3.1.4 空集是任何集合的子集。
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对于任一集合A，我们称空集Φ和其自
身A为A的平凡子集（Trivial Subset）。
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3.6 基本计数原理原理 教学内容：加法原理，乘法原理，
容斥原理，抽屉原理
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集合论是现代数学的基础，是数学中不 可或缺的基本描述工具。可以这样讲，现代 数学与离散数学的“大厦”建立在集合论的 基础之上。
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集合论的研究起源于对数学的基础研究： 对数学的对象、性质及其发生、发展的一般规 律进行的科学研究。德国数学家康托尔从187 4年始，发表了一系列集合论方面的著作，从 而创立了集合论。
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20世纪30年代中后期，图灵对计算的 本质进行了研究，从而实现了对计算本质的 真正认识。图灵提出了“图灵机”这一计算 模型用来解决“能行计算”问题，而数字电 子计算机正是这种模型的具体实现。
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3.1 集合的概念与表示法
这一节的主要内容：
集合的元素、基数、有限集与无限集、 集合的表示法、子集、平凡子集、不相交集 合、空集、幂集、全集。
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构成集合的每个事物称为这个集合的元 素或成员（Member，Element）。集合一 般用大写字母表示，元素用小写字母表示。 但这也不是绝对的，因为一个集合可以是另 外一个集合的元素。
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给定一个集合A和一个a，可以判定a是 否在集合A中。如果a在A中，我们称a属于 A，记为a∈A。否则，称a不属于A，记为 aA。
A∩B={x | x∈A∧x∈B} A∪B={x | x∈A∨x∈B}
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例如，若A={1, 2, 3}，B={1, 4}，则A ∩B={1}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
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集合的交与并可以推广到n个集合的情 况，即 A1∩A2∩…∩An
={x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} A1∪A2∪…∪An
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解： P(Φ)={Φ}。P({Φ})={Φ, {Φ}}。 P({Φ, {Φ}})={Φ, {Φ}, {{Φ}}, {Φ, {Φ}}}。 P({1, {2, 3}})={Φ, {1}, {{2, 3}}, {1, {2,
3}}}。 □
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定理3.1.5 若|A|=n，则|P(A)|=2n。
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但数学家们不久就在康托尔的理论（我 们称之为朴素(古典)集合论）中发现了逻辑 矛盾，即所谓的“悖论”（Paradox），导 致了数学发展史上的第三次危机（另两次分 别是无理数的引入和无穷小量的引入）。其 中最著名的就是1901年罗素发现的“罗素 悖论”S={x：xS}。“罗素悖论”的通俗 表示是所谓的“理发师悖论”。
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若集合A中只有有限个元素时，称A为 有限集合（Finite set），集合中元素的个 数称为集合的基数（势，Cardinality）， 记为|A|；否则，称A为无限集合（Infinite set）。
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下面将本书中常用的集合列举如下： N：表示全体自然数组成的集合。 Z：表示全体整数组成的集合。 Q：表示全体有理数组成的集合。 R：表示全体实数组成的集合。 Zm：表示模m同余关系所有剩余类组 成的集合。
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例如，若A={a, b, c, d}，B={b, c}，则 B是A的真子集，但A不是A的真子集。 注 ∈与表示元素和集合的关系，而、与 ＝表示集合和集合的关系。
例如，若A={0, 1}，B={0, 1, {0, 1}}， 则AB且AB。
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定理3.1.3 设A、B和C是三个集合，则 （1）(AA)。 （2）AB (BA)。 （3）AB∧BC AC。
={x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}
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例3.2.1 设A，B和C为任意集合，且AB， 则A∩CB∩C。
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证明： 对任意的x∈A∩C，则有x∈A且x∈C。
而AB，由x∈A得x∈B，则x∈B且x∈C， 从而x∈B∩C。所以，A∩CB∩C。
□
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定义3.1.2 设A和B是两个集合，若AB且 B中至少有一个元素b使得bA，则称A是B 的真子集（Proper subset），也称A真包 含于B或B真包含A，记作AB。否则，记 作AB。B真包含A的符号化表示：
AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)
若两个集合A和B没有公共元素，我们 说A和B是不相交的（Disjoint）。
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证明： 因为A的m个元素的子集的个数为C(n,
m)，所以|P(A)|=C(n, 0)+C(n, 1)+…+ C(n, n)=2n。
□
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定理3.1.6 设A和B是两个集合，则： （1）B∈P(A) BA。 （2）AB P(A)P(B)。 （3）P(A)=P(B) A=B。 （4）P(A)∈P(B) A∈B。 （5）P(A)∩P(B)=P(A∩B)。 （6）P(A)∪P(B)P(A∪B)。
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（3）AB∧BC (x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA))
∧(x(x∈B→x∈C)∧x(x∈C∧xB)) x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C))
∧(x(x∈B∧xA)∧x(x∈C∧xB)) x(x∈A→x∈C)∧(x(x∈C∧xA) AC。
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离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。
⑴{a}∈A T ⑵⌝({a}⊆ A) F⑶c∈A F ⑷{a}⊆{{a,b},c} F⑸{{a}}⊆A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T⑺{{a,b}}⊆A T ⑻{a,b}⊆{{a,b},c} F⑼{c}⊆{{a,b},c} T ⑽({c}⊆A)→(a∈Φ) T2、证明空集是唯一的。
（性质1：对于任何集合A，都有Φ⊆A。
）证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ⊆Φ2 。
因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ⊆Φ1 。
所以Φ1=Φ2 。
3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念)a)是否Φ∈B?是否Φ⊆B?b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}⊆B?c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}⊆B?解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}}在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b}B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}}然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}}以后熟悉后就可以直接写出。
a) Φ∈B Φ⊆Bb) {Φ}∈B {Φ} ⊆ Bc) {{Φ}}∈B {{Φ}}⊆Ba)、b)、c)中命题均为真。
4、证明A⊆B ⇔ A∩B=A成立。
证明：A∩B=A ⇔∀x(x∈A∩B ↔x∈A)⇔∀x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B))⇔∀x((x∉A∩B∨x∈A)∧(x∉A∨x∈A∩B))⇔∀x((⌝(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B))⇔∀x(((x∉A∨x∉B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B)))⇔∀x(T∧(T∧( x∉A∨x∈B)))⇔∀x( x∉A∨x∈B)⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔ A⊆B5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明：任取x∈(A-C)-(B-C)⇔x∈(A-C)∧x∉(B-C)⇔(x∈A∧x∉C)∧⌝(x∈B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉C)∧(x∉B∨x∈C)⇔(x∈A∧x∉C∧x∉B)∨(x∈A∧x∉C∧x∈C)⇔x∈A∧x∉C∧x∉B⇔x∈A∧x∉B∧x∉C⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C⇔x∈A-B∧x∉C⇔x∈(A-B)-C所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)6、A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)证明：任取x∈A-(B∪C)⇔x∈A∧x∉(B∪C)⇔x∈A∧⌝(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C )⇔x∈A-B∧x∈A-C⇔x∈(A-B)∩(A-C)所以A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C))7、~(A∩B)=~A∪~B ~(A∪B)=~A∩~B 这两个公式称之为底-摩根定律。
离散数学---集合
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n
《离散数学》集合的基本概念和运算
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )
离散数学第三章 集合
别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类，
如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。
14
2018/11/12
2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的 关系，其定义如下。
定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合 A 的每个元素，都是集合 B 中的一个元素，则
称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说
正则公理的一个自然推论是: 对任何集合S, {S} S (否则有…SSS),
从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。
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集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合 的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集
合, 但不能是本集合自身。
因为一个集合是由它的成员构成的, 是先有
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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表示一个特定集合，基本上有两种方法：
一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之 间用逗号分开，再用花括号括起。如 A={a,e,i,o,u}
表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。
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二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体 域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一 个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。 若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则 {x|P(x)}定义了集合S，并可表为 S={x|P(x)}
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定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每 一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。 它可形式地表为 U={x|P(x)∨┐P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
18
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
2013-7-10 离散数学
20
Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
2013-7-10 离散数学 6
三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
2013-7-10 离散数学 3
§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
2013-7-10 离散数学 4
2013-7-10
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
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第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
离散数学 第三章 集合
离散数学
将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 { 1，2，3，4，5}； { 风，马，牛 }； { 2，4，6，8，10，… }； { 3，7，11，15，19，… }； 比较适合集合中的元素有限（较少或有规律），无限 （离散而有规律）的情况。 (3)谓词表示法： { x:P(x) } 或者{ x︱P(x) } 其中：P表示 x 所满足的性质（一元谓词）。 { x : x I （且） x8} ={…，-3，-2， -1，0，1，2，3，4，5，6 , paradox(1902))： 罗素1902年在集合论中也发现了如下的悖论。他 构造了这样一个集合 S={ x:xx } 然后他提出问题： SS ？ 如果SS ，那么，按罗素给S的定义，则应有 SS； 如果S S ，那么，按罗素给S的定义，则应有 SS ； 罗素悖论的发现，几乎毁灭集合论，动摇数学的 基础，倾危数学的大厦。直接引发了数学的第三次 危机。
8
离散数学
第三章 集合 (set)
§１.集合理论中的一些基本概念
个体与集合之间的关系 集合的表示法 集合与集合之间的关系 幂集
§2 .集合代数 集合的基本运算
集合的补运算 集合的交运算和并运算
集合的宏运算
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离散数学
第三章 集合 (set)
§１.集合理论中的一些基本概念 集合概念将作为一个不言自明的元概念（基本概 念）。它不能用别的术语来精确的定义，只能用别的 术语来加以说明。它本身就是用来定义其它概念的概 念。 我们来看看一些关于什么是集合的各种不同的说法， 以便加深对集合这个元概念的理解。 1. 莫斯科大学的那汤松教授说： 凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2. 复旦大学的陈建功教授说： 凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做 物。具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集。 3. 南开大学的杨宗磐教授说：
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
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3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
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集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
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德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学第3章-集合与关系
（1） 任一对象a，对某一集合A来说，a属于A或a不属于A， 两者必居其一，且仅居其一。并且当a属于A时，称a是A的成
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学-集合
例题
利用上例中的公式可以证明对称差A⊕B下列的性质。 设A,B是任意的集合。 ① A⊕A = φ ② A⊕φ = A ③ A⊕E = ~A 证明： ① A⊕A = (A-A)∪(A-A) = φ⊕φ = φ ② A⊕φ = (A-φ)∪(φ-A) = A∪φ = A ③ A⊕E = (A-E)∪(E-A)= φ∪~A = ~A
有限集合的计数
例8 某班有50名学生，第一次考试中26人成绩为优，第二次考试中21人 成绩为优，已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为 优的有多少人？ 解：设A，B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。 画出文氏图，如图3.7所示。 首先填A∩B中的人数，这正是要求 的，设为x。 A-B中的人数是26-x，B-A中的人数 是21-x，分别填入对应的区域。并 列出如下方程： (26-x)＋x＋(21-x)＋17=50 解得：x=14
对称差
定义3-2.5 设A，B是集合，由 A中元素或B中元素， 但不是A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的对 称差，记为A⊕B。 A⊕B=⎨x|x∈A ∨ x∈B⎬=(A∪B)-(A∩B) A⊕B的定义如图所示。 例6 令A=⎨1,2,3,4⎬，B= ⎨1,2,5,6⎬， 则 A⊕B = A∪B-A∩B = ⎨1,2,3,4,5,6⎬-⎨1,2⎬ = ⎨3,4,5,6⎬
3-2 集合的运算
定义3-2.1 设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称 为A和B的交集，记为A∩B。 A∩B=⎨x|x∈A∧x∈B⎬ 交集的定义如图所示。 从交集的定义可以得到： A∩B⊆A，A∩B⊆B 如果A与B无公共元素，即 A∩B=φ， 称A和B是互不相交的。 例1 令A=⎨a,b,c⎬，B=⎨d,e⎬， 则A∩B=φ，A和B是互不相交的。