离散时间系统的频率响应特性
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Hz1rejθzb 11z11 rejθz1
r
p1
O
1 Re z
p2
可见H(z)除一对共轭极点外，
（b)
还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。
若把H(z)展成部分分式，得
H zA 1re 1jθz 11re 1 jθz 1
hn
其中
A b1 2jr sinθ
o
n
对H(z)进行逆变换，单位样值响应为
的波形图。
返回
例8-10-3 求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。
（教材例8-23）
xn z1 b1
yn
该系统的差分方程为
a1
a2
z 1
y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 b 1 x n 1 z1
（a)
系统函数写作 Hz
b1z1
1a1z1a2z2
若a1, a2为实系数，且a12+4a2<0, 则H(z)含有
n ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，
这就是系统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换， 即系统的频率响应特性:
Hej HzzejωHejωejω
Hejω ~ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
B2 O
p2 2
ω
A2 2
z2
C
1 Re z
M
幅 频 响 应 He jω r N1Ar
Bk
k1
M
N
相 位 响 应 r k
r1
k1
令ejω zr Ar ejr ejω pk Bk ejk
几点说明
• 位于z=0处的零点或极点对幅度响应不产生作用， 因而在z=0处加入或去除零极点，不会使幅度响 应发生变化，但会影响相位响应。
通过几何方法可以大致估计
出频率响应的形状，如图(d)
所示。
o
此例给出的二阶离散
π
ωs 2 (d)
系统与RLC二阶模拟电路
有“相仿”的特性。
2π
ωs ω
返回
H ejωH zz ejω
H(ej) 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 H(ej) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。
ynej n Hejω
离散系统（数字滤波器）的分类
H e j ω
低通
O ωc
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
一对共轭极点，令它们是
p1,2 rejθ
对此因果系统， H(z)的收敛域应为|z| r
容易求得r,与系数a1, a2的关系为
1 r e j z 1 1 r e j θ z 1 1 a 1 z 1 a 2 z 2jImz
得到:
r 2 a2
2r cos θ a1
于是H(z)可写成
•当ej点旋转到某个极点(pi)附近时，如果矢量的长 度Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。
•若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响 应在峰值附近愈尖锐；
•若极点pi落在单位圆上，Bi=0，则频率响应 的峰值趋于无穷大。 •零点的作用与极点相反。
小结 1. 系统的频响特性 H ejHzzejωH ejωejω
§8.10 离散时间系统的频率 响应特性
一．一、离散系统频响特性的定义 二．二、频响特性的几何确定法
返回
一．离散系统频响特性的定义
正弦序列作用下系统的稳态响应
xn
Hz
yzs n
x n
A
O θ1 ω
稳定的因果
ω
A sin nω θ 1
离 散 系 统 yzs n
B
O
n
θ2
ω
B sinnω θ 2
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
解：系统的差分方程
z1
1
y n 0 . 5 x n 0 . 5 x n 1 xn
1 2
2 yn
设系统为零状态的，方程两边取z变换
Y z 0 .5 X z 0 .5 z 1 X z 系统函数 H zY X zz0.50.5z1
Hej ~ω：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比
ω~ω ：相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上随 而动
态变化的情况，影响输出的幅度与相位。
3.因ej是周期为2p的周期函数，所以系统的频响
特性H(ej)也为周期为2p的周期函数。
4. |H(ej)|是关于的偶函数，( 是关于的奇函数。
（教材例8-22）
xn
yn
解：差分方程
y(n )a 1y(n 1 )x (n )
a1
z1
系统函数 H(z) z
za1
z a1
为了保证该系统稳定，要求|a1|<1
频响特性
H ej
ej ej a1
幅频特性
Hej
1 1a122a1c
1
os1a1cosja1sin
相频特性 arct1a a1n as1cin os
• H(ej)即h(n)的DTFT • ej为周期函数，所以H(ej)为周期函数， 其周期为2p 。
例8-10-1
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x(n)=ejn 为本征函数
xn hn yn
h(n)为稳定的因果系统
ynh nxn hmejω nm ej n
h m ejωm
m
m
Hz h(m)zm单位圆上 m
高通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带阻
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
全通
O
ωs 2
ωs
ω
返回
二．频响特性的几何确定法 j Im z
H z
M
z
r 1
N
z
zr pk
k 1
B1
p1
wenku.baidu.com
1
D e jω
A1 1
z1
M
E
Hej r N 1ejωzr Hejω ejω
k 1ejωpk
说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性；
教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了
0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ej)|,
系统的频率响应特性
Hej Hz zej 0.51ej
0.5ej 2ej2ej2 2cosej 2
2
2
频率响应特性曲线 幅频特性
Hejω
1
H ej cos 2
2π
O π 2π
图 (1) 幅频特性曲线
相频特性
2
jω
π 2
2π
O π 2π
图 (2) 相频曲线
ω
ω
返回
例8-10-2 求下图所示一阶离散系统的频率响应。
hnArnejnθrnejnθun
2jAnsrin n θunb1rn1sin n θun （c)
siθn
如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。
系统的频率响应为 Hejω 1a1eb1jω ejω a2e2jω
根据H(z)的零极点分布， H ejω
r
p1
O
1 Re z
p2
可见H(z)除一对共轭极点外，
（b)
还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。
若把H(z)展成部分分式，得
H zA 1re 1jθz 11re 1 jθz 1
hn
其中
A b1 2jr sinθ
o
n
对H(z)进行逆变换，单位样值响应为
的波形图。
返回
例8-10-3 求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。
（教材例8-23）
xn z1 b1
yn
该系统的差分方程为
a1
a2
z 1
y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 b 1 x n 1 z1
（a)
系统函数写作 Hz
b1z1
1a1z1a2z2
若a1, a2为实系数，且a12+4a2<0, 则H(z)含有
n ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，
这就是系统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换， 即系统的频率响应特性:
Hej HzzejωHejωejω
Hejω ~ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
B2 O
p2 2
ω
A2 2
z2
C
1 Re z
M
幅 频 响 应 He jω r N1Ar
Bk
k1
M
N
相 位 响 应 r k
r1
k1
令ejω zr Ar ejr ejω pk Bk ejk
几点说明
• 位于z=0处的零点或极点对幅度响应不产生作用， 因而在z=0处加入或去除零极点，不会使幅度响 应发生变化，但会影响相位响应。
通过几何方法可以大致估计
出频率响应的形状，如图(d)
所示。
o
此例给出的二阶离散
π
ωs 2 (d)
系统与RLC二阶模拟电路
有“相仿”的特性。
2π
ωs ω
返回
H ejωH zz ejω
H(ej) 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 H(ej) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。
ynej n Hejω
离散系统（数字滤波器）的分类
H e j ω
低通
O ωc
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
一对共轭极点，令它们是
p1,2 rejθ
对此因果系统， H(z)的收敛域应为|z| r
容易求得r,与系数a1, a2的关系为
1 r e j z 1 1 r e j θ z 1 1 a 1 z 1 a 2 z 2jImz
得到:
r 2 a2
2r cos θ a1
于是H(z)可写成
•当ej点旋转到某个极点(pi)附近时，如果矢量的长 度Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。
•若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响 应在峰值附近愈尖锐；
•若极点pi落在单位圆上，Bi=0，则频率响应 的峰值趋于无穷大。 •零点的作用与极点相反。
小结 1. 系统的频响特性 H ejHzzejωH ejωejω
§8.10 离散时间系统的频率 响应特性
一．一、离散系统频响特性的定义 二．二、频响特性的几何确定法
返回
一．离散系统频响特性的定义
正弦序列作用下系统的稳态响应
xn
Hz
yzs n
x n
A
O θ1 ω
稳定的因果
ω
A sin nω θ 1
离 散 系 统 yzs n
B
O
n
θ2
ω
B sinnω θ 2
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
解：系统的差分方程
z1
1
y n 0 . 5 x n 0 . 5 x n 1 xn
1 2
2 yn
设系统为零状态的，方程两边取z变换
Y z 0 .5 X z 0 .5 z 1 X z 系统函数 H zY X zz0.50.5z1
Hej ~ω：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比
ω~ω ：相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上随 而动
态变化的情况，影响输出的幅度与相位。
3.因ej是周期为2p的周期函数，所以系统的频响
特性H(ej)也为周期为2p的周期函数。
4. |H(ej)|是关于的偶函数，( 是关于的奇函数。
（教材例8-22）
xn
yn
解：差分方程
y(n )a 1y(n 1 )x (n )
a1
z1
系统函数 H(z) z
za1
z a1
为了保证该系统稳定，要求|a1|<1
频响特性
H ej
ej ej a1
幅频特性
Hej
1 1a122a1c
1
os1a1cosja1sin
相频特性 arct1a a1n as1cin os
• H(ej)即h(n)的DTFT • ej为周期函数，所以H(ej)为周期函数， 其周期为2p 。
例8-10-1
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x(n)=ejn 为本征函数
xn hn yn
h(n)为稳定的因果系统
ynh nxn hmejω nm ej n
h m ejωm
m
m
Hz h(m)zm单位圆上 m
高通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带阻
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
全通
O
ωs 2
ωs
ω
返回
二．频响特性的几何确定法 j Im z
H z
M
z
r 1
N
z
zr pk
k 1
B1
p1
wenku.baidu.com
1
D e jω
A1 1
z1
M
E
Hej r N 1ejωzr Hejω ejω
k 1ejωpk
说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性；
教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了
0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ej)|,
系统的频率响应特性
Hej Hz zej 0.51ej
0.5ej 2ej2ej2 2cosej 2
2
2
频率响应特性曲线 幅频特性
Hejω
1
H ej cos 2
2π
O π 2π
图 (1) 幅频特性曲线
相频特性
2
jω
π 2
2π
O π 2π
图 (2) 相频曲线
ω
ω
返回
例8-10-2 求下图所示一阶离散系统的频率响应。
hnArnejnθrnejnθun
2jAnsrin n θunb1rn1sin n θun （c)
siθn
如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。
系统的频率响应为 Hejω 1a1eb1jω ejω a2e2jω
根据H(z)的零极点分布， H ejω