平面向量讲义
平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→
，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模)，记为|AB ―→
|. 2．几种特殊向量
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a |a |和－a
|a |.
3．向量的线性运算
?
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 只有a ≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
二、常用结论
(1)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→
)．
(2)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→
(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 考点一 平面向量的有关概念
[典例] 给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．
[解析] ①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，
又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→
，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.
③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条
件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2 D ．3
解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0
平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3.
考点二 平面向量的线性运算
[典例] (1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→
＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34
AC ―→ (2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→， 且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，
则2r
＋3s ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝
1
2×12
(AB ―→＋AC ―→
)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14
AC ―→
.故选A. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→
)
＝13AB ―→＋23????AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23
AD ―→
. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→
，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.
[解题技法] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[题组训练]
1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→
，则( )
A ．AD ―→＝－13A
B ―→＋43A
C ―→ B ．A
D ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→ D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→
解析： 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43
AC ―→
.
2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→
，则实数λ＋μ＝________. 解析：如图，∵AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝DC ―→＋12BC ―→
，①
AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝BC ―→＋12
DC ―→
，②
由①②得BC ―→＝43AN ―→－23AM ―→，DC ―→＝43AM ―→－23
AN ―→
，
∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝DC ―→＋BC ―→＝43AM ―→－23AN ―→＋43AN ―→－23AM ―→＝23AM ―→＋23AN ―→
，
∵AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→
，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.
考点三 共线向量定理的应用
[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→
＝3a －3b ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．
[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→
＝3a －3b ，
∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→，∴AB ―→，BD ―→
共线． 又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．
(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .
∵a ，b 是不共线的非零向量，∴????? k －λ＝0，λk －1＝0，解得????? k ＝1，λ＝1或?
????
k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.
1.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
[题组训练]
1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形 D ．以上都不对
解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→
与CD ―→
不平行，所以四边形ABCD 是梯形．
2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或λ＝0
解析：选D 因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.
3．已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→
，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )
A.14
B.13
C.12
D.2
3
解析：选B 设E 是BC 边的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→
＋
AC ―→)＝14AB ―→＋14t AD ―→
，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13
，故选B.
4．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB
―→
|AB ―→|，则( )
A ．点P 在线段A
B 上B ．点P 在线段AB 的延长线上
C ．点P 在线段AB 的反向延长线上
D ．点P 在射线AB 上
解析：由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→
|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|
·AB ―→
，∴点P 在射线AB 上，故选D.
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
一、基础知识
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到????
?
λ1＝μ1，λ2＝μ2.
2．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2
1.
若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0.
当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1
y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
考点一 平面向量基本定理及其应用
[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→
＝b 为邻边作平行四边形OADB ，
BM ―→＝13
BC ―→，CN
―→
＝13
CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→. [解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ，BM ―→＝16BA ―→＝1
6a －16b ，
∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56
b .∵OD ―→
＝a ＋b ，
∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→＝23OD ―→＝2
3a ＋23
b ，
∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝1
2a －16b .
[解题技法]
1．平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
2．应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
[题组训练]
1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q
―→
＝( )
A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －1
3
b 解析：由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝1
3a ＋13
b .
2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→
＋n OB ―→
，则m ＋n 的取值范围是________．
解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→ (0<λ<1)，由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→
)， 所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→
，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)．
考点二 平面向量的坐标运算
[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→
＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；
(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→
的坐标．
[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→
＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→
＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→
＝(9，－18)． [变透练清]
1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________.
解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴?????
－6m ＋n ＝5，
－3m ＋8n ＝－5，
解得?????
m ＝－1，
n ＝－1.
2．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→
|＝________.
解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→
，可得?
????
x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，
解得?????
x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝7
2
.
[解题技法]
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分． 考点三 平面向量共线的坐标表示
[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；
(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→
＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，
a ＋2
b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－1
2.
(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→
＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→
，∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.
[解题技法]
1．平面向量共线的充要条件的2种形式
(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用
判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．
[题组训练]
1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13 B.1
3
C ．－3
D ．3
解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13
.
2．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→
与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→
，则λ＝( )
A ．－3
B ．3
C ．1
D ．－1
解析：设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→
，则有(x ，
－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即?
????
4λ－1＝x ，
3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.
3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→
. 设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→
＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，
∴????? 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得?????
x ＝2，y ＝4，
故点D 的坐标为(2,4)． 第三节 平面向量的数量积
一、基础知识
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→
＝b ，则∠AOB ＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π
2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；
当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b | cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．
(2)a ·b 的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律
(1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．
5．平面向量数量积的性质
设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ?a ·b ＝0.
(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a||b|. 特别地，a ·a ＝|a|2或|a|＝
a ·a .(4)cos θ＝a ·b
|a ||b |
.(5)|a ·b |≤|a||b|.
6．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则
(1)|a |＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0；
(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21 x 22＋y 2
2
.
二、常用结论汇总
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
考点一 平面向量的数量积的运算
[典例] (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m ·n ＝( ) A ．0 B ．4C ．－92D ．－17
2
(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→
＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )
A ．－15
B ．－9
C ．－6
D ．0
[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－1
2，
∴m ＝????－2，－12，∴m ·n ＝－2×4＋????－12×1＝－172. (2)法一：如图，连接MN .
∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→
，∴AM AB ＝AN AC ＝13.∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13
.
∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)．∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→
2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.
法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC
所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ????2，32，
C ????0，332，M ????52，0，B ????152，0.故BC ―→·OM ―→＝????－152
，332·????12，－32＝－154－94＝－6.
[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略
(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解． [题组训练]
1．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→
＝( ) A ．1 B ．－1C.6D ．2 2 解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→
＝b ，则a ·b ＝0，
∵|a |＝2，|b |＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b )·(－b )＝－a ·b －b 2＝－1.
2．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.
55 B ．－55C ．－255 D ．－35
5
解析：由a ＝(1,2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2， ∴a ·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |
＝－355.
3．在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→
(λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→
＝0，则 λμ
的值为________．
解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0，∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→
)＝0，
∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.
法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→
＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→
＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→
，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝1
4.
考点二 平面向量数量积的性质
考法(一) 平面向量的模
[典例] (1)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π
4
，则|b |＝( )
A ．6
B ．32
C ．2 2
D ．3
(2)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－1
2，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )
A ．1 B.12C.34 D.3
2
[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a |＝3，∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π
4，∴|a ＋b |＝32，将|a ＋b |＝32两边平
方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b |＝3，
(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a ·b ＋t 2b 2，
∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥3
4，
∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32
，
考法(二) 平面向量的夹角
[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝1
2，则a ＋2b 与b 的夹角是( )
A.π6
B.5π6
C.π4
D.3π
4
(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． [解析] (1)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.
又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝3
4
，
所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝3
4
3×12
＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π
6.
(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋(3)2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，
则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋(－3
3)2＝6，所以
cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |＝－62×6
＝－1
2，因为0≤〈a ，b 〉
≤π，所以a 与b 的夹角为2π3
.
考法(三) 平面向量的垂直
[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22
3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2C.3π
4
D ．π
(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→
，则实数λ的值为________．
[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝
22
3
|b |，(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2
cos θ＝0，
解得cos θ＝
22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
4
. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→
2
＝(λ－1)×3×2×????－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝7
12
. [解题技法]
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[题组训练]
1．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3C ．－2 D ．－1
解析： ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B. 2．已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.1
2
B ．1C. 2 D ．2 解析： ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |
2，∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2
－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，∴4|a |2－2|a |＝0，∴|a |＝1
2
，故选A.
3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则t a n θ＝________. 解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－1
2，∴cos
θ＝a ·b
|a |·|b |
＝－1
4，∴sin θ＝
1－????－142＝154，∴t a n θ＝sin θ
c os θ
＝－15. 第四节 平面向量的综合应用 考点一 平面向量与平面几何
[典例] 在平行四边形ABCD 中，|AB ―→|＝12，|AD ―→|＝8.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→
＝( )
A ．20
B ．15
C ．36
D ．6
[解析] 法一：由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→
知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的
一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝AD ―→＋23AB ―→，所以NM ―→
＝
AM ―→－AN ―→＝AB ―→＋34AD ―→－????AD ―→＋23AB ―→＝13AB ―→－ 14AD ―→，所以AM ―→·NM ―→＝????AB ―
→＋34AD ―→·????13AB ―→－14AD ―→＝13????AB ―→＋34AD ―→·????AB ―→－34AD ―→＝ 13?
???AB ―→2－916AD ―→2＝13????144－916×64＝36，故选C.
法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM ―→＝(12,6)，NM ―→
＝(4，－2)，所以AM ―→·NM ―→
＝
12×4＋6×(－2)＝36，故选C.
[题组训练]
1．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→
)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．正三角形 D ．等腰直角三角形
解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→， ∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形．
2．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，|AB ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→
|＝2，则△ABC 的面积等于( )
A. 3 B ．23C ．3 3 D ．4 3
解析：由|PB ―→|＝|PC ―→|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD (图略)，则PD ⊥BC ，又AB ―→＋PB ―→
＋PC ―→＝0，所以AB ―→＝－(PB ―→＋PC ―→)＝－2PD ―→
，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角
三角形，由|PB ―→|＝2，|PD ―→|＝1可得|BD ―→|＝3，则|BC ―→
|＝23，所以△ABC 的面积为12
×2×23＝2 3.
3.如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在弧AB 上，则PM ―→·PB ―→
的最小值为________．
解析：如图，以O 为坐标原点，OA ―→为x 轴的正半轴，OB ―→
为y 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M (1,0)，B (0,2)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈????0，π2，所以PM ―→·PB ―→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－25sin(θ
＋
φ)???
?其中sin φ＝55，c os φ＝255，所以PM ―→·PB ―→的最小值为4－2 5.
答案：4－2 5
考点二 平面向量与解析几何
[典例] 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x ．则t a n x ＝－
33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π
6
. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ????x ＋π
6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈???
?π6，7π6，从而－1≤cos ????x ＋π6≤3
2. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π
6时，f (x )取到最小值－2 3.
[题组训练]
1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→
＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．
解析：∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(6，k －5)，且AB ―→∥BC ―→
，∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0，可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.
2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→
的最大值为
________．
解析：由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203
＝1，解得y 2
0＝3????1－x 204，因为FP ―→＝(x 0＋1，y 0
)，OP ―→＝(x 0，y 0)，所以OP ―→·FP ―→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 2
0＋x 0＋3????1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，
因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP ―→·FP ―→
取得最大值224＋2＋3＝6.
考点三 平面向量与三角函数
[典例] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→
|的最大值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
[解析] 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，
知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A ―→＋PC ―→＝2PO ―→
＝(－4,0)，
设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB ―→＝(a －2，b )，所以P A ―→＋PB ―→＋PC ―→
＝(a －6，b )．
故|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|＝－12a ＋37，所以当a ＝－1时，|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→
|取得最大值49＝7.
[解题技法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
[题组训练]
1．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π
4(k ∈Z)的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：∵a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α，若a ·b ＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2k π±
π
2(k ∈Z)，解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π
4
(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B.
2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝ (cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )
A.π6，π3
B.2π3，π6
C.π3，π6
D.π3，π
3
解析：选C 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，由题意得cos A ≠0，∴t a n A ＝3，又A ∈(0，π)，∴A ＝π
3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且
a cos B ＋
b cos A ＝
c sin C ，所以c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π
6.
高中数学竞赛讲义(8)平面向量
高中数学竞赛讲义（八） ──平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos
讲义---平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D
平面向量复习讲义
平面向量复习讲义 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是 || AB AB ± )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0 )； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如 下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同，终点相同。（3）若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形， 则AB DC = 。（5）若,a bb c == ，则a c = 。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ， 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的线性运算： （1）向量加法： ①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ， ＝b ，则向量叫做a 与b 的和，记作+a b 定：a + 0-= 0 + a =a, 当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，
平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 例1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线 C ．不可能都是零向量 D ．不可能都是单位向量 例2．.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 等价于四边形 ABCD 为平行四边形；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 等价于|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．④⑤ CA 2．向量的线性运算 平行四边形法则 例3：化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC → D ．0 例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( ) A ．0 B ．BE C ．A D D ．CF (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23 BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 巩固练习： 1．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________． 2．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB → 的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确 定 3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________ 4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于( ) A ．－BC ＋12BA B ．－B C －12BA C ．BC －12 BA D ．BC ＋12 BA 5．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ；③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE → . DD 1 2 巩固练习 1。16a ＋6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB →＝AC →＋CB → ＝－3a ＋2b ，∵D ，E 为AB →的两个三等分点，∴AD →＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →. ∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23 b .∴CE →＝CD →＋DE → ＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋43b. 3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 例5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________ 例6． 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
(完整版)高中数学平面向量讲义
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
高一 平面向量讲义
平面向量讲义 §2、1 平面向量得实际背景及基本概念 1.向量:既有________,又有________得量叫向量. 2.向量得几何表示:以A 为起点,B 为终点得向量记作________. 3.向量得有关概念: (1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量. (3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________. ②规定:零向量与__________平行. 考点一 向量得有关概念 例1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. ①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →＝DC → ,则A 、B 、C 、D 四点就是平行四边形得四个顶 点;③在平行四边形ABCD 中,一定有AB →＝DC → ;④若向量a 与任一向量b 平行,则a ＝0;⑤若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ;⑥若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 、 变式训练1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ; (2)若向量|a |＝|b |,则a 与b 得长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a |＝|b |,且a 与b 得方向相同,则a ＝b ; (4)向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. 考点二 向量得表示方法 例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD → |、 考点三 相等向量与共线向量 例3 如图所示,O 就是正六边形ABCDEF 得中心,且OA →＝a ,OB →＝b ,OC → ＝c 、 (1)与a 得模相等得向量有多少个？ (2)与a 得长度相等,方向相反得向量有哪些？ (3)与a 共线得向量有哪些？ (4)请一一列出与a ,b ,c 相等得向量. §2、2 平面向量得线性运算 1.向量得加法法则 (1)三角形法则 如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →＝a ,BC → ＝b ,则向量________叫做a 与b 得与(或与向量),记作__________,即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝________、上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三角形法则. 对于零向量与任一向量a 得与有a ＋0＝________＋______＝______、 (2)平行四边形法则
中学数学竞赛讲义——平面向量
中学数学竞赛讲义——平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λf 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作 a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos
高中数学竞赛讲义_平面向量
平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos
平面向量讲义 - 学生版
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 知识点一 向量的概念 思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 梳理 向量与数量 (1)向量：既有________，又有________的量统称为向量． (2)数量：只有________，没有________的量称为数量． 知识点二 向量的表示方法 思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？ 思考3 单位向量的模长是多少？ 梳理 (1)向量的表示 ①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作________，线段AB 的长度 也叫作有向线段AB →的长度，记作________． ②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________． ③向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a → , b → , c → ，…来表示． (2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a 方向上的单位向量，记作a 0. 知识点三 相等向量与共线向量 思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？ 梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量． (2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线． ①记法：a 与b 平行或共线，记作________． ②规定：零向量与____________平行． 类型一 向量的概念 例1 下列说法正确的是( ) A ．向量A B →与向量BA →的长度相等 B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
第4讲 极化恒等式-新高考数学之平面向量综合讲义
第4讲 极化恒等式 一．选择题（共3小题） 1．已知ABC ?是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值为( ) A ．3- B ．6- C ．2- D ．83 - 【解析】解：以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0A ，，(2,0)B -，(2,0)C ， 设(,)P x y ，则(PA x =-，)y -，(2,)PB x y =---，(2,)PC x y =--， 所以则()PA PB PC +的最22(2)(23)(2)242x x y y x y =--+--=-+ 222[2(3]x y =+-； 所以当0x =，y =()PA PB PC +取得最小值为2(3)6?-=-， 故选：B ． 2．在等腰直角ABC ?中，90ABC ∠=?，2AB BC ==，M ，N （不与A ，C 重合）为AC 边上的两个动点，且满足||2MN =BM BN 的取值范围为( ) A ．3 [2 ，2] B ．3 (2 ，2) C ．3 [2 ，2) D ．3 [2 ，)+∞ 【解析】解：以等腰直角ABC ?的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系， 如图所示；则(0,0)B ，直线AC 的方程为2x y +=； 设(,2)M a a -，则01a <<， 由||2MN =(1,1)N a a +-；
∴(,2)BM a a =-，(1,1)BN a a =+-； ∴2213(1)(2)(1)2222()22 BM BN a a a a a a a =++--=-+=-+ ． 01a <<，∴当12a = 时，BM BN 取得最小值32 ， 且0a =或1时，2BM BN =，无最大值； ∴BM BN 的取值范围是3 [2 ，2)． 故选：C ． 3．正ABC ?P 在其外接圆上运动，则AP PB 的取值范围是( ) A ．33[,]22 - B ．31[,]22 - C ．13[,]22 - D ．11[,]22 - 【解析】解：如图所示． 由正ABC ?P 在其外接圆上运动． 120AOB ∴∠=?，1R = =． ∴()()AP PB OP OA OB OP =-- 2 OP OB OP OA OB OA OP =--+ cos 1cos120cos POB AOP =∠--?+∠ 1 2cos cos()2AOB AOP POB =∠∠-∠- 1cos()2 AOP POB =-∠-∠- ， 1cos()1AOP POB -∠-∠， ∴31[,]22 AP PB ∈-． 故选：B ．
必修4 平面向量(讲义和练习)
《必修4》 第二章 平面向量 一、知识纲要 1、向量的相关概念： （1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a 。 向量又称矢量。 ①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。 （2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。 记作：|AB |或｜a ｜。 向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。 ①｜a ｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。 （4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。 若向量a 是单位向量，则｜a ｜= 1 。 2、 向量的表示： （1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。 （2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b → 等； （3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的 坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。此时｜a ｜。 若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。 特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。
平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义
教学目标1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量； 2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法； 3、平面向量的线性运算。 重点、难点教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法 教学难点：平面向量的线性运算 考点及考试要求考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算 教学内容 第一课时平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理 1、下列说法正确的是（） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、下列各量中不是向量的是（） A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度 3、设O是正方形ABCD的中心，则向量,,, AO BO OC OD是（） A、相等的向量 B、平行的向量 C、有相同起点的向量 D、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假： （1）向量AB的长度与向量BA的长度相等； （2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 课前检测
5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形， （1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量. 1、向量的物理背景及概念 1）、向量的物理背景： 位移是既有大小，又有方向的量； 力是既有大小，又有方向； 2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示； 知识梳理 A B E C D A(起点) B （终点） a
平面向量 完全复习 与经典例题
精锐教育学科教师辅导讲义 向量共线或平行：通过有向线段如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量说明：共线向量的方向相同或相反，同方向且长度等于1的向量，
a a =a ．用向量表示点的位置：任给一定点，过点O 作有向线段OA a =，则点的和（或和向量），即a b AB BC AC +=+=① 已知两个不共线的向量，作AB a =，AD b =，则A ，B ， 向量的运算性质：a = 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，
如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始 ）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 a a λ= ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使）基底：我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作 a 关于基底{1e 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量； 是平面内的任一向量，且实数对A ，B ，P
一定在l 上．OA AP OA tOB tOA =+=+-设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即l 可推广到OAB ?)OA OB +存在． 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 向量OA 的坐标．122(,)a b a a b +=+；②
若向量b 不平行于坐标轴，即三、平面向量的数量积和应用 并规定0π<≤≤，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有>． 当π ,2 a b <>= 时，我们说向量向量的数量积（内积）定义cos a b cos a b =向量内积的性质 cos a =a ⊥b a ?，且0a b ?=?a ⊥b ； 2 a a a ?=，即a a a =?； cos ,a b a b a b ?<>= ； b a b ≤． 向量数量积的运算律 ()a b c a c b c +=?+? 向量数量积的坐标运算与度量公式 {②用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：a ⊥1120b a b a ?+=
高中 平面向量的概念及其线性运算 知识点+例题
辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算
加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： a ＋ b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋ c ＝a ＋(b ＋c ). 减法 求a 与b 的相反向量－b 的 和的运算叫做a 与b 的差 三角形法则 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 （1）|λa |＝|λ||a |； （2）当λ>0时， λa 的方向与a 的方向相同； 当λ<0时， λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb [例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.3 1 [巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2 1 21e e + [例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AF BE [巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM )(3 1 b c - [巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(2 1 =++ BC BD AB AG [例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +- 精典例题透析
高中数学必修4《平面向量》知识点讲义
第二章 平面向量 一、基本概念 1、数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等。 2、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如速度，位移，加速度，力等。注意：向量没有位置。 3、有向线段：带有方向的线段。 4、向量的模：向量的长度（大小），记作 。 5、零向量：长度为0的向量叫零向量，记为 ，零向量的方向任意。 6、单位向量：长度等于1个单位的向量。 7、相等向量：长度相等且方向相同的向量。 8、相反向量：长度相等但方向相反的向量， 互为相反向量。 9、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定 。 二、表示与运算 代数 几何 坐标 表示 a r 或AB u u u r (x ，y ） 1122(,),A x y B x y 若（,） 2121=--AB x x y y u u u r 则（，） 加法（减法） “化减为加” a b +r r ?? ?三角形法则：首尾相连法则平行四边形法则 ()1212,x x y y ±± 说明：1、向量加法满足： (1)交换律 (2)结合律 2、 3、 0r ()0//a r r 任意向量a a r r 与 -a r a b b a +=+r r r r ()() a b c a b c ++=++u u r r r r u u r r a b a b a b +≤+r r r r r r 当且仅当与同向时，取等号。 AB BC AC AB BC CA GA GB GC ?+=++=?++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r r ABC 中，常见结论（1）（2）（3）G 为ABC 重心，则
平面向量的概念、运算及坐标表示(讲义及
平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义） ? 知识点睛 一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有 ，又有 的量叫做向量． ??→ 表示：a ， AB ??→ 模：向量 AB 的 叫做向量的模，记作 ． 2. 几个特殊的向量： 零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算 1 （几何意义） 加法 减法 数乘 定 义 求两个向量和的运算 向量a 加上向量b 的 ， 即 a +(-b )=a -b 实数与向量的 积是一个向量， 记作λa 法 则 法则 法则 λa = λ a 当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ=0 时，λa =0 运算律 交换律： λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )= a + b = 结合律： a -b =a +(-b ) (a +b )+c = λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b
三、向量相关定理 1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一 一个实数λ，使． 扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线． ??→??→ ① PA =λPB ； ??→??→??→ ②对平面任一点O，OP =OA+t AB ； ??→??→??→ ③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）． 2.平面向量基本定理 （1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ． 四、向量的坐标表示及运算 1.坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ． 2.坐标运算 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法 ??→ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB = ．（2）向量位置关系与坐标 a∥b ? ?? ?．
高中数学竞赛_平面向量【讲义】
第八章 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos