高中数学平面向量讲义(最新整理)
平面向量(学生专用)第1页专题六 平面向量一.基本知识【1】向量的基本概念与基本运算（1）向量的基本概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行00
③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设，则+==,ABaBCbabABBCAC
①；②向量加法满足交换律与结合律；aaa00，但这时必须“首尾相连”．ABBCCDPQQRAR
（3）向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量aa
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，abab
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）babaab（4）实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定aa如下：（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λaa
0a
a0
的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的aa00
a
（5）两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=baba
（6）平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内21
,ee
的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫a21,2211eea21,ee
做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示平面向量(学生专用)第2页（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 aaxiyja（2）平面向量的坐标运算：①若，则1122,,,axybxy1212,abxxyy
②若，则2211,,,yxByxA2121,ABxxyy
③若=(x,y)，则=(x, y)aa
④若，则1122,,,axybxy1221//0abxyxy
⑤若，则1122,,,axybxy1212abxxyy
⑥若，则ab02121yyxx【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的abababab
数量积（或内积） 规定00a
（2）向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称b||ababa
为射影（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积ababa
（4）向量的模与平方的关系：22||aaaa
（5）乘法公式成立： ；2222abababab2
222abaabb222aabb
（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：abba
②对实数的结合律成立：abababR
③分配律成立：abcacbccab
平面向量(学生专用)第3页特别注意：（1）结合律不成立：；abcabc
（2）消去律不成立不能得到abacbc
（3）=0不能得到=或=aba0b0
（7）两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=1122(,),(,)axybxyab1212
xxyy
（8）向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （abOAaOBb
）叫做向量与的夹角cos==001800ab
cos,ababab
22222121
2121yxyx
yyxx
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时abab0
与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（9）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥ababab
（10）两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量abab
02121yyxx
数量积的性质二.例题分析【模块一】向量的基本运算【例1】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则③在平行四边形ABCD中一定有；ababABDC
④若，则； ⑤若//，//,则//,mnnpmpabbcac
⑥任一向量与它的相反下列不相等.⑦已知向量，且，则0a0ab0b
⑧的充要条件是且//；⑨若与方向相同，且，则；abababababab
⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是 平面向量(学生专用)第4页【例2】已知向量夹角为 ，且；求的值.,ab451,210aabb
【变式1】若，，求的值.2a3b3abab
【变式2】设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值【例3】已知向量、的夹角为，，，若，求的值.ab60||3a||2b(35)()abmabm
【例4】若向量，求与的夹角.1,2a1,1b
2abab
【变式】设R,向量,且,则,xy4,2,,1,1,cybxacbca//,
（ ）_______baA．B．C．D．1051025
【例5】已知两个非零向量满足，则下列结论一定正确的是 （ ）,abababA // B C D ababababab
【变式1】设a,b是两个非零向量.（ ）A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|平面向量(学生专用)第5页【变式2】若平面向量满足:;则的最小值是,ab23ababA_____
【例6】设，，0,2cos,sina13,22b
（1）证明；abab
（2）当时求角的值.22abab
【例7】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是（ ）ab||||abab
A．B．C．D．且ab//ab2ab//ab||||ab
【模块二】向量与平面几何【例1】在△ABC中， ,设P、Q满足90A1,2ABACAPAB
， ， ，则= （ ）1AQAC
R2BQCP
A B C D 1323432
平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算→ 例 3：化简 AC → －BD→ → → ＋CD －AB 得()A. AB →B. DA →C.BCD ．01． 向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．例 4：(1)如图，在正六边形 ABCDEF 中， BA ＋CD ＋ E F ＝()(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量．A ．0B ． BEC ． ADD ． CF(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 0 与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． 1 2 (2)设 D ，E 分别是△ ABC 的边 AB ，BC 上的点，AD ＝ AB ，BE ＝ 2 3BC.若 D E ＝λ1 AB ＋λ2 AC(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．(λ1，λ2 为实数 )，则 λ1＋λ2 的值为 ________．例 1．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( )巩固练习： A ．有不相等的模B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量1．将 4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为 ______________．例 2．.给出下列命题：①若 |a |＝|b |，则 a ＝b ；②若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝ D C 等价于 四边形 → → → → → → ＋OB －OB ，OB 的关系是 ( ) A ．平行B ．重合C ．垂直D ．不确2．若|OA |＝|OA |，则非零向量 OAABCD 为平行四边形；③若 a ＝b ，b ＝c ，则 a ＝c ；④a ＝b 等价于 |a |＝|b |且 a ∥b ；⑤若 a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c .定 其中正确命题的序号是 ( ) 3．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| AB －CB ＋ C D |＝________ A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤4．D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD 等于( )CAA ．－ BC ＋ 1 2BA B ．－ BC － 1 1 1 2 BAC ． BC －2 BAD ． B C ＋2BA2． 向量的线性运算5．若 A ，B ，C ，D 是平面内任意四点， 给出下列式子： ① AB ＋CD ＝ B C ＋ D A ；② AC ＋ B D ＝ B C ＋ AD ；向量运算 定义 法则(或几何意义 ) 运算律③ AC － BD ＝ DC ＋ AB .其中正确的有 ()A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；求两个向量和的运三角形法则 加法(2)结合律：算→ → → →＝3a ，CB ＝2b ，求CD ，CE6．如图，在△ ABC 中，D ，E 为边 AB 的两个三等分点， CA .减法求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算平行四边形法则(a ＋b )＋c ＝ a ＋(b ＋c )a －b ＝a ＋(－b )1→ → → ＝AC ＋CB＝－3a ＋2b ，∵D ，EDD 2 巩固练习 1。
高一 平面向量讲义
平面向量讲义§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1.向量:既有________,又有________得量叫向量.2.向量得几何表示:以A 为起点,B 为终点得向量记作________.3.向量得有关概念:(1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量.(3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量.(4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________. ②规定:零向量与__________平行. 考点一 向量得有关概念例1 判断下列命题就是否正确,并说明理由.①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →＝DC →,则A 、B 、C 、D 四点就是平行四边形得四个顶点;③在平行四边形ABCD 中,一定有AB →＝DC →;④若向量a 与任一向量b 平行,则a ＝0;⑤若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ;⑥若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 、变式训练1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ;(2)若向量|a |＝|b |,则a 与b 得长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a |＝|b |,且a 与b 得方向相同,则a ＝b ; (4)向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. 考点二 向量得表示方法例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点.(1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD →|、 考点三 相等向量与共线向量例3 如图所示,O 就是正六边形ABCDEF 得中心,且OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c 、(1)与a 得模相等得向量有多少个？(2)与a 得长度相等,方向相反得向量有哪些？ (3)与a 共线得向量有哪些？(4)请一一列出与a ,b ,c 相等得向量. §2、2 平面向量得线性运算1.向量得加法法则 (1)三角形法则如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →＝a ,BC →＝b ,则向量________叫做a与b 得与(或与向量),记作__________,即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________、上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三角形法则.对于零向量与任一向量a 得与有a ＋0＝________＋______＝______、 (2)平行四边形法则如图所示,已知两个不共线向量a ,b ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则O 、A 、B 三点不共线,以______,______为邻边作__________,则对角线上得向量________＝a ＋b ,这个法则叫做两个向量求与得平行四边形法则.2.向量加法得运算律(1)交换律:a ＋b ＝______________、(2)结合律:(a ＋b )＋c ＝______________________、 3、 相反向量(1)定义:如果两个向量长度________,而方向________,那么称这两个向量就是相反向量.(2)性质:①对于相反向量有:a ＋(－a )＝______、②若a ,b 互为相反向量,则a ＝________,a ＋b ＝______、 ③零向量得相反向量仍就是__________.4、 向量得减法(1)定义:a －b ＝a ＋(－b ),即减去一个向量相当于加上这个向量得___________________________________________________________________.(2)作法:在平面内任取一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则向量a －b ＝__________、如图所示. (3)几何意义:如果把两个向量得始点放在一起,则这两个向量得差就是以减向量得终点为________,被减向量得终点为________得向量.例如:OA →－OB →＝________、 5.向量数乘运算实数λ与向量a 得积就是一个__________,这种运算叫做向量得__________,记作________,其长度与方向规定如下: (1)|λa |＝__________、(2)λa (a ≠0)得方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时与a 方向相同当 时与a 方向相反;特别地,当λ＝0或a ＝0时,0a ＝________或λ0＝________、6.向量数乘得运算律 (1)λ(μa )＝________、(2)(λ＋μ)a ＝____________、 (3)λ(a ＋b )＝____________、特别地,有(－λ)a ＝____________＝________; λ(a －b )＝____________、 7.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______________. 8.向量得线性运算向量得____、____、________运算统称为向量得线性运算,对于任意向量a 、b ,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )＝__________________、 考点一 运用向量加法法则作与向量例1 如图所示,已知向量a 、b ,求作向量a ＋b 、变式训练1 如图所示,已知向量a 、b 、c ,试作与向量a ＋b ＋c 、考点二 运用向量加减法法则化简向量 例2 化简: (1)BC →＋AB →; (2)DB →＋CD →＋BC →; (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →、(4)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). (5)(BA →－BC →)－(ED →－EC →);(6)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).变式训练2 如图,在平行四边形ABCD 中,O 就是AC 与BD 得交点.(1)AB →＋AD →＝________; (2)AC →＋CD →＋DO →＝________; (3)AB →＋AD →＋CD →＝________; (4)AC →＋BA →＋DA →＝________、变式训练3 如图所示,O 就是平行四边形ABCD 得对角线AC 、BD 得交点,设AB →＝a , DA →＝b ,OC →＝c ,求证:b ＋c －a ＝OA →、考点三 向量得共线例3设e 1,e 2就是两个不共线得向量,若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线,则( )A.k ＝0B.k ＝1C.k ＝2D.k ＝12变式训练4 已知△ABC 得三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,且PA →＋PB →＋PC →＝AB →,则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上 考点四:三点共线例4两个非零向量a 、b 不共线.(1)若A B →＝a ＋b ,B C →＝2a ＋8b ,C D →＝3(a －b ),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线.变式训练5 已知向量a 、b ,且AB →＝a ＋2b ,BC →＝－5a ＋6b ,CD →＝7a －2b ,则一定共线得三点就是( )A.B 、C 、DB.A 、B 、CC.A 、B 、DD.A 、C 、D变式训练6 已知平面内O ,A ,B ,C 四点,其中A ,B ,C 三点共线,且OC →＝xOA →＋yOB →, 则x ＋y ＝________、§2、3 平面向量得基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理(1)定理:如果e 1,e 2就是同一平面内得两个______向量,那么对于这一平面内得______向量a ,__________实数λ1,λ2,使a ＝____________________________、(2)基底:把________得向量e 1,e 2叫做表示这一平面内________向量得一组基底.2、两向量得夹角与垂直(1)夹角:已知两个__________a 与b ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则________＝θ (0°≤θ≤180°),叫做向量a 与b 得夹角.①范围:向量a 与b 得夹角得范围就是______________. ②当θ＝0°时,a 与b ________、 ③当θ＝180°时,a 与b ________、(2)垂直:如果a 与b 得夹角就是________,则称a 与b 垂直,记作______________. 3.平面向量得坐标表示(1)向量得正交分解:把一个向量分解为两个__________得向量,叫作把向量正交分解. (2)向量得坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同得两个____________i ,j 作为基底,对于平面内得一个向量a ,有且只有一对实数x ,y 使得a ＝____________,则________________叫作向量a 得坐标,________________叫作向量得坐标表示.(3)向量坐标得求法:在平面直角坐标系中,若A (x ,y ),则OA →＝________,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →＝________________________、 4.平面向量得坐标运算(1)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ＋b ＝________________,即两个向量与得坐标等于这两个向量相应坐标得与.(2)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a －b ＝________________________,即两个向量差得坐标等于这两个向量相应坐标得差.(3)若a ＝(x ,y ),λ∈R ,则λa ＝________,即实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标.5.两向量共线得坐标表示 设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2).(1)当a ∥b 时,有______________________.(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时,有____________________.即两向量得相应坐标成比例.6.若P 1P →＝λPP 2→,则P 与P 1、P 2三点共线.当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得内部,特别地λ＝1时,P 为线段P 1P 2得中点; 当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得延长线上; 当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得反向延长线上. 考点一 对基底概念得理解例1 如果e 1,e 2就是平面α内两个不共线得向量,那么下列说法中不正确得就是( )①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内得所有向量;②对于平面α内任一向量a ,使a ＝λe 1＋μe 2得实数对(λ,μ)有无穷多个;③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2);④若存在实数λ,μ使得λe 1＋μe 2＝0,则λ＝μ＝0、A.①②B.②③C.③④D.②变式训练1 设e 1、e 2就是不共线得两个向量,给出下列四组向量:①e 1与e 1＋e 2; ②e 1－2e 2与e 2－2e 1; ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1; ④e 1＋e 2与e 1－e 2、其中能作为平面内所有向量得一组基底得序号就是________.(写出所有满足条件得序号)考点二 用基底表示向量例2 如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB ＝2CD ,M 、N 分别就是DC 与AB 得中点,若AB →＝a ,AD →＝b 试用a ,b 表示DC →、BC →、MN →、变式训练2 如图,已知△ABC 中,D 为BC 得中点,E ,F 为BC 得三等分点,若AB →＝a ,AC →＝b ,用a ,b 表示AD →,AE →,AF →、考点三 平面向量基本定理得应用例3 如图所示,在△ABC 中,点M 就是BC 得中点,点N 在边AC 上,且AN ＝2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求证:AP ∶PM ＝4∶1、变式训练3 如图所示,已知△AOB 中,点C 就是以A 为中点得点B 得对称点,OD →＝2DB →,DC 与OA 交于点E ,设OA →＝a ,OB →＝b 、(1)用a 与b 表示向量OC →、DC →;(2)若OE →＝λOA →,求实数λ得值.考点四 平面向量得坐标运算例4 已知平面上三点A (2,－4),B (0,6),C (－8,10),求(1)AB →－AC →;(2)AB →＋2BC →;(3)BC →－12AC →、变式训练4 已知a ＝(－1,2),b ＝(2,1),求:(1)2a ＋3b ;(2)a －3b ;(3)12a －13b 、考点五 平面向量得坐标表示例5 已知a ＝(－2,3),b ＝(3,1),c ＝(10,－4),试用a ,b 表示c 、变式训练5 设i 、j 分别就是与x 轴、y 轴方向相同得两个单位向量,a ＝i －(2m －1)j ,b ＝2i ＋m j (m ∈R ),已知a ∥b ,求向量a 、b 得坐标. 考点六 平面向量坐标得应用例6 已知▱ABCD 得顶点A (－1,－2),B (3,－1),C (5,6),求顶点D 得坐标.变式训练 6 已知平行四边形得三个顶点得坐标分别为(3,7),(4,6),(1,－2),求第四个顶点得坐标.考点七 平面向量共线得坐标运算例7 已知a ＝(1,2),b ＝(－3,2),当k 为何值时,k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们就是同向还就是反向？变式训练7 已知A (2,1),B (0,4),C (1,3),D (5,－3).判断AB →与CD →就是否共线？如果共线,它们得方向相同还就是相反？ 考点八 平面向量得坐标运算例8 已知点A (3,－4)与点B (－1,2),点P 在直线AB 上,且|AP →|＝2|PB →|,求点P 得坐标.变式训练8 已知点A (1,－2),若向量AB →与a ＝(2,3)同向,|AB →|＝213,求点B 得坐标. 考点九 利用共线向量求直线得交点例9 如图,已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),求AC 与OB 得交点P 得坐标.变式训练9 平面上有A (－2,1),B (1,4),D (4,－3)三点,点C 在直线AB 上,且AC →＝12BC →,连接DC ,点E 在CD 上,且CE →＝14ED →,求E 点坐标.§2、4 平面向量得数量积1.平面向量数量积(1)定义:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量______________叫做a 与b 得数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b ＝|a ||b |cos θ,其中θ就是a 与b 得夹角. (2)规定:零向量与任一向量得数量积为____.(3)投影:设两个非零向量a 、b 得夹角为θ,则向量a 在b 方向得投影就是____________,向量b 在a 方向上得投影就是______________. 2.数量积得几何意义 a ·b 得几何意义就是数量积a ·b 等于a 得长度|a |与b 在a 得方向上得投影________________得乘积.3.向量数量积得运算律(1)a ·b ＝________(交换律);(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律);(3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律). 4.平面向量数量积得坐标表示若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝____________、 即两个向量得数量积等于________________. 5.两个向量垂直得坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2), 则a ⊥b ⇔________________、 6.平面向量得模(1)向量模公式:设a ＝(x 1,y 1),则|a |＝________________、(2)两点间距离公式:若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →|＝________________________、 7.向量得夹角公式设两非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),a 与b 得夹角为θ,则cos θ＝________＝__________、考点一 求两向量得数量积例1 已知|a |＝4,|b |＝5,当(1)a ∥b ;(2)a ⊥b ;(3)a 与b 得夹角为30°时,分别求a 与b得数量积.变式训练1 已知正三角形ABC 得边长为1,求: (1)AB →·AC →;(2)AB →·BC →;(3)BC →·AC →、 考点二 求向量得模长例2 已知|a |＝|b |＝5,向量a 与b 得夹角为π3,求|a ＋b |,|a －b |、变式训练2 已知|a |＝|b |＝1,|3a －2b |＝3,求|3a ＋b |、 考点三 向量得夹角或垂直问题例3 设n 与m 就是两个单位向量,其夹角就是60°,求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 得夹角. 变式训练3 已知|a |＝5,|b |＝4,且a 与b 得夹角为60°,则当k 为何值时,向量k a －b 与a ＋2b 垂直？考点四 向量得坐标运算例4 已知a 与b 同向,b ＝(1,2),a ·b ＝10、(1)求a 得坐标;(2)若c ＝(2,－1),求a (b ·c )及(a ·b )c 、变式训练4 若a ＝(2,3),b ＝(－1,－2),c ＝(2,1),则(a ·b )·c ＝________;a ·(b ·c )＝________、考点五 向量得夹角问题例5 已知a ＝(1,2),b ＝(1,λ),分别确定实数λ得取值范围,使得:(1)a 与b 得夹角为直角; (2)a 与b 得夹角为钝角; (3)a 与b 得夹角为锐角.变式训练5 已知a ＝(1,－1),b ＝(λ,1),若a 与b 得夹角α为钝角,求λ得取值范围. 考点六 向量数量积坐标运算得应用例6 已知在△ABC 中,A (2,－1)、B (3,2)、C (－3,－1),AD 为BC 边上得高,求|AD →|与点D 得坐标.变式训练6 以原点与A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ,∠B ＝90°,求点B 与AB →得坐标.§2、5 平面向量应用举例1.向量方法在几何中得应用(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)得等价条件:a ∥b (b ≠0)⇔________⇔____________、(2)证明垂直问题,如证明四边形就是矩形、正方形等,常用向量垂直得等价条件:a ⊥b ⇔__________⇔__________、(3)求夹角问题,往往利用向量得夹角公式cos θ＝_______________＝_______________、(4)求线段得长度或证明线段相等,可以利用向量得线性运算、向量模得公式:|a |＝______、 2.力向量力向量与前面学过得自由向量有区别.(1)相同点:力与向量都既要考虑________又要考虑________.(2)不同点:向量与________无关,力与________有关,大小与方向相同得两个力,如果________不同,那么它们就是不相等得. 3.向量方法在物理中得应用(1)力、速度、加速度、位移都就是________.(2)力、速度、加速度、位移得合成与分解就就是向量得________运算,运动得叠加亦用到向量得合成.(3)动量m ν就是______________.(4)功即就是力F 与所产生位移s 得________.考点一 三角形问题例1 点O 就是三角形ABC 所在平面内得一点,满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →,则点O 就是△ABC 得( )A.三个内角得角平分线得交点B.三条边得垂直平分线得交点C.三条中线得交点D.三条高得交点 变式训练1 在△ABC 中,已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7),则BC 边得中线AD 得长就是( )A.2 5 B 、52 5 C.3 5 D 、725变式训练2 若O 就是△ABC 所在平面内一点,且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,则△ABC 得形状就是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形变式训练3 设平面上有四个互异得点A 、B 、C 、D ,已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0,则△ABC 得形状一定就是__________. 考点二 向量得计算例2 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3,|BC →|＝4,|CA →|＝5、则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝______、变式训练4 如图,在△ABC 中,点O 就是BC 得中点,过点O 得直线分别交直线AB 、AC 于不同得两点M 、N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 得值为__________________.考点三 向量得应用例3 两个大小相等得共点力F 1,F 2,当它们夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们得夹角为120°时,合力大小为( )A.40 NB.10 2 NC.202ND.10 3 N变式训练5 在水流速度为4千米/小时得河流中,有一艘船沿与水流垂直得方向以8千米/小时得速度航行,则船实际航行得速度得大小为________.。
新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课件新人教A版必修第二册
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:不妨设 AB=2,则 MN=2,AM=MB=CN=ND=1,连接 AN,DM,MC,BN,
图略,则 AN=DM=MC=BN= 5.
(1)模为 1 的相等向量有 12 对,其中与相等的有, , ,这 4
个向量组成相等的向量有 6 对,即 = , = , =
方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.
答案:(1)D (2)C
激趣诱思
知识点拨
知识点三、相等向量与共线向量
1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,记作a∥b.
平行向量也叫做共线向量.
2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
3.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记
作a=b.
名师点析 向量共线包括四种情况:
方向相同,模相等;方向相同,模不等;
方向相反,模相等;方向相反,模不等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列说法正确的是(
)
A.所有单位向量都是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,a<b三种关系
C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
字母上的箭头.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点
和终点,可以写出
个向量.
解析:由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是
, , , , , , , , , , , .
(精心整理)高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB AB ，a；坐标表示法,(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行量a ＝0⇔｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a --=a； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质)(b a b a-+=-三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y +已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与bcos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的. （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量. （7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线. （8）若ma mb =，则a b =. （9）若ma na =，则m n =.（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量. （11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b . （12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = .5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =,则AC = BC ，AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = .7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ）A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b==，且a与b的夹角为60，求（1）a b⋅，（2）()a a b⋅+，（3）1()2a b b-⋅，（4）(2)(3)a b a b-⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b=-=-，求（1）||,||a b，（2）a b⋅，（3）(2)a a b⋅+，（4）(2)(3)a b a b-⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b==，12a b⋅=，求a与b的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b==-，求a与b的夹角.3.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cos BAC∠.题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b==，且a与b的夹角为60，求（1）||a b+，（2）|23|a b-.2.已知(2,6),(8,10)a b=-=-，求（1）||,||a b，（5）||a b+，（6）1||2a b-.3.已知||1||2a b ==，，|32|3a b -=，求|3|a b +.题型12.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||a e a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）//a b ？（2）a b ⊥？2.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b +与3a b -平行？3.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？题型15.判断多边形的形状 1.若3AB e =，5CD e =-，且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =，(2,1)b =，当k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？2.已知(3,5)a =，且a b ⊥，||2b =，求b 的坐标.3.已知a b 与同向，(1,2)b =，则10a b ⋅=，求a 的坐标.3.已知(1,2)a =，(3,1)b =，(5,4)c =，则c = a + b .4.已知(5,10)a =，(3,4)b =--，(5,0)c =，请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围. 6.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）a 与b 的夹角为钝角？（2）a 与b 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC，2AB CD =，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B -，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC ⋅=，求c 的值；（2）若5c =，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=，求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+，2y a b =+，且||||1a b ==，a b ⊥，求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--，则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-，求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==，a b 与的夹角θ为锐角，求λ的范围.变式：若(,2),(3,5)a b λ==-，a b 与的夹角θ为钝角，求λ的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--，则c =（ ） A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心，则下列向量与AB 共线的是（ ）A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。
2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅= 2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立： ()()2222a b a b a ba b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角 cos θ=cos ,a ba b a b •<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质。
专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习
r
交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a
r
r
r
r
r
r
结合律：( a ＋ b )＋ c ＝ a ＋( b ＋ c )
（二）减法：共起点，连终点，指向被减
高中数学一轮复习讲义
r
（三）数乘：求实数λ与向量 a 的积的运算
r
r
r
r
1.数乘意义：|λ a |＝|λ|| a |，当λ>0 时，λ a 与 a 的方向相同；
8
C．
3
5
D．
3
�
2．已知 A（﹣3，0），B（0，2），O 为坐标原点，点 C 在第二象限内，|��| = 2 2，且∠��� = ，
4
→
→
→
设�� = ��� + ��(� ∈ �)，则λ的值为（
2
B．− 3
A．1
）
1
C．
2
2
D．
3
3．如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，P 为以点 A 为圆心，以 AB 为半径的圆弧上一
r
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 0 与任一向量平行或共
线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
r
r
r
4．平面向量基本定理
ur
ur
r
如果 e1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只
高一数学平面向量 PPT课件 图文
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
专题83平面向量的数量积(精讲精析篇)-新高考高中数学核心知识点全透视
专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）一、核心素养1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．二、考试要求1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、主干知识梳理（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0.2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.（七）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a b ＝112222221212a b a b a a b b +++.(θ为a 与b 的夹角) （八）平面向量的应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．4.平面向量在物理中的应用一、命题规律（1）数量积、夹角及模的计算问题；（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．二、真题展示1．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP =，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin |2AP α===，同理2||(cos 2|sin |2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】11120 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=， 2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.考点01 平面向量数量积的运算【典例1】（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例3】（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】0 3【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.【典例4】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【典例5】（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭， 解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．（2）已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．考点02 平面向量的模、夹角【典例6】（2021·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π 【答案】A【分析】 直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a b θ⋅===⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π． 故选：A ． 【典例7】（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=， 因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【典例9】（2020·全国高考真题（理））设,ab 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考点03 平面向量的综合应用【典例10】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【典例11】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】 设，则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得252x y z +-=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =， 所以d a -在c 方向上的投影()221()22||5m x ny d a c x yz c m n-+-⋅-+===±+， 即252x y z +=,所以()()()22222222221122152510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++±++≥+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【典例13】（2020·重庆高一期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．0【答案】B 【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤，∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B.【典例14】（2020·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（ ）A ．215-B ．25-C ．35D ．45-【答案】B 【解析】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||c ||os 0,v v v θ+=即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5θ=-， 故选：B ．【典例15】（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC 中 （1）正弦定理：sin sin sin a b cA B C==； （2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图（a ）所示，过顶点A 作对边BC 的高AH ，则0()AH BC AH AC AB =⋅=⋅-，即0AH AC AH AB ⋅-⋅=． ∴()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-． 如图（b ）所示，如果B 为钝角，有()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-∴sin sin b C c B =．上述关系对直角三角形显然成立[图（c ）] ∴sin sin sin a b cA B C==． （2）在ABC 中，BC AC AB =-．∴2222()()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅． 即2222cos a b c bc A =+-．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.2．（2020·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量a b ，，满足2b =，且b 与b a -的夹角为45°，则a 的取值范围是（ ） A ．(02⎤⎦，B ．)22⎡⎣，C ．（0，2]D ．)2∞⎡+⎣，【答案】D 【解析】如图所示，设AB b =，AC a =，∠CAB ＝45°，由图可知，当BC ⊥AC 时，a 的取值最小，此时，则2a =， 而a 没有最大值，故a 的取值范围为)2,⎡+∞⎣. 故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．4.（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：5．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 6．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 7.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=8．（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 9. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】3 【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．10.（2019·天津高考真题（理）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE(3y x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。
必修四平面向量的数量积讲义
2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量｜a ｜×｜b ｜×cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝｜｜×｜｜×cos θ。
注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量．．．．．．．．．．．．．．．，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．．．．．．．．．．．；．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·． ”不能省略，也不能也成“×”．．．．．．．．．．．．．．；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：．．．．．．．．．．．．0．0．≤．θ≤．180．．．0．。
．（4）规定：．．．零向量与任．．．．．一向量的数量积为．．．．．．．．0．，即．．0·b ＝．0．；（5）当向量与的夹角为900时，叫与互相垂直，记作：⊥，此时：⊥⇔·＝0。
2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于a ·b ＝｜a ｜×｜b ｜×cos θ，其中｜｜×cos θ叫做在方向上的投影，当θ为锐角时，投影为正；当θ为钝角时，投影为负；当θ就直角时，投影为0； 当θ为0度时，投影是｜｜； 当θ为180度时，投影为－｜b ｜；（2）．a 在．b 方向上的投影．．．．．．与．b 在．a 方向上的投影就不同的．．．．．．．．．．；（3））a 在b 方向。
例1：已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，当（1）a 与b 夹角为300时；（2）当a ⊥b 时；（3）当当∥时；分别计算与的数量积。
【解析】：（1）53； （2）0； （3）±10变式练习1：已知｜a ｜＝3，｜｜＝5，且a 与b 的夹角为450，则a 在b 方向上的投影是（ ）A：223B：3 C：4 D：5【解析】：A变式练习2：已知｜a｜＝6，｜b｜＝3，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影是（）A：－4 B：－2 C：4 D：2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角1、·＝·＝｜｜×｜｜×cosθ2、⊥⇔·＝03、若a与b同向，则a·b＝｜a｜×｜b｜( 夹角为0度)；若反向，则a·b ＝－｜｜×｜｜( 夹角为180度)；特别地，·＝()2＝｜｜2或｜｜＝4、若θ是与的夹角，则cosθ＝5、｜·｜≤｜｜×｜｜（当与共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、a·b＝b·a2、(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)3、(＋)·＝·＋·4、(＋)·(－)＝()2－()2＝｜｜2－｜｜25、(＋)2＝｜｜2＋2×·＋｜｜2注意：（1）没有(·)·＝·(·)这个运算定律；（2）·＝·，则不能得到＝；（3）若·＝0，则＝或＝或<，>＝900。
高一数学平面向量精品PPT课件
答案： AD=2 b BE=2 c BF= c－a FC=2 a
思考： a、b、c 有何关系？
A a B
b C
b =a + c
cF
0
E
D
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平面向量小 复习
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练习3 已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5） 求 （1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3） AB－AC的坐标.
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向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1x22y1y22
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抵达民宿时，太阳已落下了帷幕，温馨点点的灯光在落寞的黑夜中显得无比温暖。
热情周到的女主人迎接我的到来，放下随身物品后，我在小镇上随意寻觅了些小食，就来到了后院安静坐下。
头顶上是浩瀚的星空 眼前是闪烁的灯火
心中却是平和幽静的情感
远离了呼啸而过的地铁呼啸声；远离了川流不息的车流声； 等到了一个此时此刻，用我的五官感受到了一个真正美好寂静的夜晚，属于自己的夜晚。
进行变形.
解：（1）原式= AB +（BO + OM + MB）
= AB + 0 = AB （2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
例1
= 0－BA = AB
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