菱形的判定和性质

B

C

A

D

O

菱形的判定和性质

一、基础知识

（一）菱形的概念

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质：

1、 具有平行四边形的一切性质；

2、 菱形四条边都相等；

3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

4、 菱形是轴对称图形；

边 角 对角线 对称性 菱形

对边平行； 四边相等

对角相等； 邻角互补

互相垂直平分且平分对角

轴对称

（三）菱形的判定：

1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积

1、可以用平行四边形的面积算（S=

2

1

底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=

2

1

ab)

B

C

D

E

二、例题讲解

考点一 ：菱形的判定

例1：下列命题正确的是（ ）

（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等

练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形

B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形

C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )

A ．DE 是△ABC 的中位线

B ．AA '是B

C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高

D ．AA '是△ABC 的角平分线

D

B

C

A N

M O

A

B

C

D

E

A

练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③

B ．②③

C ．③④

D ．①②③

例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四

边形？请说明理由．

变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．

A

B

C

D

B

练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，

试说明四边形AEFG 是菱形．

练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

练习3：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱形。

考点二：菱形的性质

例1：如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG ⊥AE 于G ，

求证：（1）四边形AFGD 是菱形；

（2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。

A H G

F

E

D

C

B

A F

E D

C

B

A

G

F

E

D C

B

A

练习1：如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4， 求：（1）∠ABC 的度数； （2）菱形ABCD 的面积。

例2 ：如图 5，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°

，． （1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．

O D

B A

E

D C

B

A

练习1：若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A

2

B

2 C ．22cm D

．2 练习2：若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）

（A ） 4 3 cm （B ）8 3 cm （C ）16 3 cm （D ）20 3 cm

练习3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( )

A ．21㎝

B ．22㎝

C ．23㎝

D ．24㎝

例3： 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )

A ．2

10cm

B ．2

20cm

C ．2

40cm

D ．2

80cm

A B

C

D

练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（ ） A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm

练习2：若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BC 的长是（ ） （A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm

练习3:若菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为( )

A ．240 cm 2

B ．120 cm 2

C ．60 cm 2

D ．30 cm 2

例4:如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。

练习1:如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是B C ．CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）

A ． 32

B ． 33

C ． 34

D ． 3

A

D F E

B

F D C

B A E

B

C

A

D

O

练习2：如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是_____________．

练习3：如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°， 求∠CEF 的度数。

例5：如图，菱形ABCD 是边长为13cm ，其中对角线AC=10cm ， 求（1）菱形ABCD 的面积；

（2）作BC 边上的高AH ，求出AH 的长度

B

C

A

D

O

练习1：如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2，周长是48cm ． 求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积．

例6： 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

练习1： 如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=2

1

∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM 。

H

G

F E

D

C B A

练习2：如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE ＋

CF ＝2．

(1) 求证：△BDE ≌△BCF ；

(2) 判断△BEF 的形状，并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．

考点三：综合

例1：如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形

333AB C D ，使360B ∠=；

依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．

例2：菱形ABCD 的对角线交于O ，AO=1，且∠ABC ∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ）

A ．①②③④⑤

B ．①②④⑤

C ．②③④⑤

D ．①②③

例3：如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ．

（1）求证：四边形AFCD 是菱形；

（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

1

D B 3 A C 2

B 2

C 3

D 3

B 1

D 2 C 1 A B D O

课后练习:

1、若菱形的边长是它的高的2倍，则它的一个较小内角的度数是 。

2、如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对

角线AC 等于（ ）

A ．20

B ．15

C ．10

D ．5 3、菱形ABCD 中，A

E 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．

B

A D

F C E

G B

B A

C D

4、如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）

A ．35°

B ．45°

C ．50°

D ．55°

5、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F.

（1）求证：AM=DM ；

（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．

第21题图A

B

C D E F M

A

D

E

P C

B F