单自由度系统受迫振动

m1
d2x dt 2
m2
d2 dt 2
(x
e sin t)
cx
kx
整理后得系统的微分方程为
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
引入 微分方程化为标准形式 解得
令
解得
其幅频特性和相频特性曲线
【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为 m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在 振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的 振动规律为 xe e sin t 。求测振仪中物块的运动 微分方程及其受迫振动规律。
arctan
1
1 s
2s3 2 (2s)
2
特系 性统 曲的 线幅
频 特 性 和 相 频
单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段
受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加
回顾： mx cx kx F0 sin t 显含t，非齐次微分方程
1.3 单自由度系统受迫振动
受迫振动——系统在外界激励下产生的振动 激励形式——可以为力（直接作用力或惯性力），也
可以为运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般 为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函 数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通 过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。 有阻尼系统在简谐激振力作用下，系统的运动微分方程为
系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性
（4）当 s 1( 0 )
对应于较小ζ 值，β (s) 迅速增大
当ζ = 0
β (s) → ∞
共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏
感，在s=1 附近的区域内，增加
阻尼使振幅明显下降
单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性 （ 出（5现）6在）对s当于=1有处 阻，1/尼而2,系且 统稍1 ，偏m左ax 并不
以s为横坐标画出θ (s) 曲线
(s)
wk.baidu.comarc
2s
tan 1
s
2
（1）当s<<1（ω<<ω0） 相位差θ ≈ 0 位移与激振力在 相位上几乎相同
（2）当s>>1（ω>>ω0） θ ≈π 位移与激振力反相
相频特性曲线
（3）当s ≈ 1 ω ≈ ω0共振
时的相位差为 ，与阻尼无关
2
【例】图示带有偏心块的电动机，固定在一根不计自重
令
得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式
微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。 齐次方程通解: x1(t) 非齐次方程特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
x1(t) －有阻尼自由振动运动微分方程的解：
特解为:
x2 (t) B sin(t )
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
的弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2， 偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，阻力系数为c，求 当电机以匀角速度ω旋转时系统的稳态振动的位移幅值。
【解】系统可简化为图示的力学模型， 将电机与偏心块看成一个质点系
设电机轴心在t 瞬时相对平衡位置的坐 标为x
偏心块的坐标为x + esinωt，质点系 动量定理在x方向的投影表达式为
稳态响应的特性
以s为横坐标画出β (s) 曲线
幅频特性曲线
简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当 s 1( 0 ) 激振频率相对于系统固有频率很低
1
响应的振幅A 与静位移B 相当
单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性 （2）当 s 1
激振频率相对于系统固有频率很高
响应的振幅很小
（3）在以上两个领域 对应于不同ζ 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减
持续等幅振动
暂态响应
稳态响应
单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段
先考虑无阻尼的情况，假设激励为正弦激励
β − s 称为幅频特性曲线
θ − s 称为相频特性曲线
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频 率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简 谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本 身的物理性质（m, k, c）和激振力的频率及 力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件） 无关
单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性
B(n2 2 ) sin(t ) 2B cos(t ) h sin t
解得
B
h
(n2 2 )2 4 22
tan
2 h n2 2
幅频特性与相频特性
引入量纲为1的参数β ， s， ζ
----称为静力偏移 β 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。 s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。
由二部分组成： ＊第一部分振动的频率是自由振动频率 d；由于阻尼的作 用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动
＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减 －稳态受迫振动。
特解为: 代入方程
B 2 sin(t ) 2B cos(t ) n2B sin(t ) h sin t
振幅无极值
单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
记:
Q
s 1
1 2
品质因子
在共振峰的两侧取与 Q / 2
对应的两点 1,2 2 1 带宽
Q与
的关系
Q
0
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
x F0 sin(t )
k
单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性
【解】以物块的静平衡位置为坐标原点， 考察其相对地球的运动（绝对运动），运 动微分方程可写为
令
n2
k m
2 c
m
则微分方程可写成
x 2x n2 x n2e sin t 2 e cost h sin(t )
其中 h e n2 4 22
tan
2 n2
微分方程特解： x2 Bsin(t ) 回代得：
B2 sin(t ) 2B cos(t ) n2B sin(t )
hsin(t ) cos( ) h cos(t )sin
由前计算化简可得 系统的幅频特性和相频特性为
代入 引入量纲为1的量:
系统的幅频特性为
B
1 (2s)2
e (1 s2 )2 (2s)2
系统的相频特性为