轴心受压构件
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(轴心)受压构件正截面承载力计算
(2)破坏特征 1）螺旋筋或焊接环筋在约束 核心混凝土的横向变形时产生 拉应力，当它达到抗拉屈服强 度时，就不再能有效地约束混 凝土的横向变形，构件破坏。 2）螺旋筋或焊接环筋外的混 凝土保护层在螺旋筋或焊接环 筋受到较大拉应力时就开裂， 故在计算时不考虑此部分混凝 土。
螺旋箍筋柱破坏情况
2.适用条件和强度提高原理 12(短柱) ； (1)适用条件：①l0 / d ②尺寸受到限制。 注意：螺旋箍筋柱不如普遍箍筋柱经济，一般不宜采用。 根据图7-8 所示螺旋箍筋柱截面 受力图式，由平衡条件可得到
150mm或15倍箍筋直径（取较大者）范围，则应设置复合箍 筋。
a)、b)S内设3根纵向受力钢筋
c)S内设2根纵向 受力钢筋
复合箍筋的布置
7.2 螺旋箍筋轴心受压构件
1.受力分析及破坏特征 (1)受力分析 螺旋箍筋或焊接圆环箍筋能约束混凝土在轴向压力作用 下所产生的侧向变形，对混凝土产生间接的被动侧向压力，
d cor As 01
S
As 01
As 0 S d cor
将式(2)代入式(1)，则可得到
2
2 f s As 01 2 f s As 0 S 2 f s As 0 f s As 0 f s As 0 2 2 d cor S d cor S d cor 2 Acor d cor d cor 2 4
态、承载力计算；
2．配有纵向钢筋和螺旋箍筋的轴心受压构件的破坏形 态、承载力计算； 3．稳定系数的概念及其影响因素； 4．核心混凝土强度分析及强度计算；
5．普通箍筋柱、螺旋箍筋柱的配筋特点和构造要求。
7.1 普通箍筋轴心受压构件
1.钢筋混凝土轴心受压柱的分类
普通箍筋柱：配有纵筋 和箍筋的柱 (图7-1a)。 螺旋箍筋柱：配有纵筋 和螺旋筋或焊接环筋的 柱,(图7-1b)。 其中：纵筋帮助受压、承 担弯矩、防止脆性破坏。 螺旋筋提高构件的强 度和延性。
第七章 轴心受压构件
二、破坏形态
2、结论（2）
长柱破坏——失稳破坏 破坏特征：凹侧砼先被压碎， 砼表面有纵向裂缝；凸侧则 由受压突然转为受拉，出现 横向裂缝；破坏前，横向挠 度增加很快，破坏来得比较 突然，导致失稳破坏。
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
二、破坏形态
2、结论（3） 长柱的承载力<短柱的承载力
（相同材料、截面和配筋）
§7-1 概 述
真正意义上的轴 心受压构件是不 存在的。 如果偏心距很小， 在工程设计中容 许忽略不计时， 按轴心受压构件 计算。
说明：sv——箍筋间距；d——箍筋直径； dcor——混凝土核心直径
§7-1 概 述
二、钢筋混凝土轴心受压构件的类型 1、划分标准：根据箍筋的功能和配置方式划分。 2、类型：
短柱：通过 试验，随着 压力逐渐增 加，柱体随 之缩短，说 明混凝土全 截面和纵向 钢筋均发生 压缩变形。
二、破坏形态
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
二、破坏形态
短柱体的受力分析
Ps
As′
钢筋屈服
混凝土压碎
h
Pc
b
A
Ps
o
l
第一阶段：加载至钢筋屈服
混凝土压碎
第二阶段：钢筋屈服至混凝土压碎
钢筋凸出
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
一、构造要求
1.混凝土 一般多采用C20～C30级混凝土。
2．截面尺寸 截面尺寸不宜小于250mm，长细比不大于30。
3．纵向钢筋：多采用HRB335、HRB400等热轧钢筋。 直径：12～32mm ，根数≥4 ，纵筋之间净距
50mm≤Sn≤350mm， 净保护层:≥30mm。
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
2、结论（2）
长柱破坏——失稳破坏 破坏特征：凹侧砼先被压碎， 砼表面有纵向裂缝；凸侧则 由受压突然转为受拉，出现 横向裂缝；破坏前，横向挠 度增加很快，破坏来得比较 突然，导致失稳破坏。
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
二、破坏形态
2、结论（3） 长柱的承载力<短柱的承载力
（相同材料、截面和配筋）
§7-1 概 述
真正意义上的轴 心受压构件是不 存在的。 如果偏心距很小， 在工程设计中容 许忽略不计时， 按轴心受压构件 计算。
说明：sv——箍筋间距；d——箍筋直径； dcor——混凝土核心直径
§7-1 概 述
二、钢筋混凝土轴心受压构件的类型 1、划分标准：根据箍筋的功能和配置方式划分。 2、类型：
短柱：通过 试验，随着 压力逐渐增 加，柱体随 之缩短，说 明混凝土全 截面和纵向 钢筋均发生 压缩变形。
二、破坏形态
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
二、破坏形态
短柱体的受力分析
Ps
As′
钢筋屈服
混凝土压碎
h
Pc
b
A
Ps
o
l
第一阶段：加载至钢筋屈服
混凝土压碎
第二阶段：钢筋屈服至混凝土压碎
钢筋凸出
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
一、构造要求
1.混凝土 一般多采用C20～C30级混凝土。
2．截面尺寸 截面尺寸不宜小于250mm，长细比不大于30。
3．纵向钢筋：多采用HRB335、HRB400等热轧钢筋。 直径：12～32mm ，根数≥4 ，纵筋之间净距
50mm≤Sn≤350mm， 净保护层:≥30mm。
§7-2 普通箍筋柱-课题1概述
轴心受力构件
失稳现象发生在构成构件旳板件
18
第6章 轴心受力构件 第三节 轴心受压构件旳受力性能
2 承载力极限状态旳计算内容 （1）截面强度破坏
（2）构件整体失稳（屈曲）
（3）板件局部失稳（屈曲） 限制受压板件旳宽厚比
19
第6章 轴心受力构件 第三节 轴心受压构件旳受力性能
3 稳定问题旳某些概念 （1）应力刚化效应 拉力提升构件旳弯曲刚度 压力降低 （2）只要构件旳截面中存在受压区域，就可能存在稳定问题 （3）强度问题是应力问题，针正确是构件最单薄旳截面，加大截面 积即可提升构件旳强度，计算以净截面为准 （4）稳定问题是刚度（变形）问题，针正确是构件整体，减小变形 （提升刚度）旳措施都能够提升构件旳稳定性，计算以毛截面为准
➢ 根据截面残余应力旳峰值大小和分布，弯曲屈曲旳方向，将截面 分为a、b、c三类，相应地得到a、b、c三条柱子曲线
44
第6章 轴心受力构件 第七节 规范中实腹式轴压构件弯曲屈曲时整体稳定计算
➢ a类截面临界应力最高，残余应力对临界应力起有利作用或影响 很小，只涉及两种截面： ✓ 绕强（x）轴屈曲时旳热轧工字钢和热轧中翼缘、窄翼缘H型钢 ✓ 热轧无缝钢管
（1）发生弯扭屈曲旳条件 ✓ 截面形式：单轴对称截面 ✓ 失稳方向：绕对称轴失稳。绕非对称轴失稳必然是弯曲失稳 ✓ 原因：形心和剪心不重叠，弯曲时截面绕剪心转动
51
第6章 轴心受力构件 第八节 实腹式轴压构件弯扭屈曲时整体稳定计算
（2）单角钢截面、双角钢组合截面弯扭屈曲旳规范计算措施 ➢ 用换算长细比 （考虑扭转效应）替代弯曲屈曲时旳长细比 查得稳定系数 ，再按下列公式验算杆件旳稳定
42
第6章 轴心受力构件 第七节 规范中实腹式轴压构件弯曲屈曲时整体稳定计算
18
第6章 轴心受力构件 第三节 轴心受压构件旳受力性能
2 承载力极限状态旳计算内容 （1）截面强度破坏
（2）构件整体失稳（屈曲）
（3）板件局部失稳（屈曲） 限制受压板件旳宽厚比
19
第6章 轴心受力构件 第三节 轴心受压构件旳受力性能
3 稳定问题旳某些概念 （1）应力刚化效应 拉力提升构件旳弯曲刚度 压力降低 （2）只要构件旳截面中存在受压区域，就可能存在稳定问题 （3）强度问题是应力问题，针正确是构件最单薄旳截面，加大截面 积即可提升构件旳强度，计算以净截面为准 （4）稳定问题是刚度（变形）问题，针正确是构件整体，减小变形 （提升刚度）旳措施都能够提升构件旳稳定性，计算以毛截面为准
➢ 根据截面残余应力旳峰值大小和分布，弯曲屈曲旳方向，将截面 分为a、b、c三类，相应地得到a、b、c三条柱子曲线
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第6章 轴心受力构件 第七节 规范中实腹式轴压构件弯曲屈曲时整体稳定计算
➢ a类截面临界应力最高，残余应力对临界应力起有利作用或影响 很小，只涉及两种截面： ✓ 绕强（x）轴屈曲时旳热轧工字钢和热轧中翼缘、窄翼缘H型钢 ✓ 热轧无缝钢管
（1）发生弯扭屈曲旳条件 ✓ 截面形式：单轴对称截面 ✓ 失稳方向：绕对称轴失稳。绕非对称轴失稳必然是弯曲失稳 ✓ 原因：形心和剪心不重叠，弯曲时截面绕剪心转动
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第6章 轴心受力构件 第八节 实腹式轴压构件弯扭屈曲时整体稳定计算
（2）单角钢截面、双角钢组合截面弯扭屈曲旳规范计算措施 ➢ 用换算长细比 （考虑扭转效应）替代弯曲屈曲时旳长细比 查得稳定系数 ，再按下列公式验算杆件旳稳定
42
第6章 轴心受力构件 第七节 规范中实腹式轴压构件弯曲屈曲时整体稳定计算
第4章轴心受力构件1211
轴 心 受 力 构 件
强度 （承载能力极限状态） 轴心受拉构件 刚度 （正常使用极限状态） 强度 轴心受压构件 稳定 刚度 （正常使用极限状态）
（承载能力极限状态）
设计轴心受拉构件时，应根据结构用途、构件受 力大小和材料供应情况选用合理的截面形式，并对所 选截面进行强度和刚度计算。 设计轴心受压构件时，除使截面满足强度和刚度 要求外尚应满足构件整体稳定和局部稳定要求。实际
结构构件，稳定计算比强度计算更为重要。强度问题与 稳定问题虽然均属第一极限状态问题，但两者之间概念 不同。强度问题关注在结构构件截面上产生的最大内力 或最大应力是否达到该截面的承载力或材料的强度，强 度问题是应力问题；而稳定问题是要找出作用与结构内 部抵抗力之间的不稳定平衡状态，即变形开始急剧增长
的状态，属于变形问题。
N f An ,1 其中：An ,1 b n1 d 0 t ;
f 钢材强度设计值 ; d 0 螺栓孔直径； b 主板宽度；t 主板厚度。
拼接板的危险截面为2-2截面。
考虑孔前传力50%得： 2-2截面的内力为：
2
t1 t b
N
b1
N
0.5n2 N 0.5 N 1 n 2 n2 计算截面上的螺栓数； n 连接一侧的螺栓总数。 N f 其中：An , 2 b1 n2 d 0 t 1 ; An , 2
上，只有长细比很小及有孔洞削弱的轴心受压构件，
才可能发生强度破坏。一般情况下，由整体稳定控制 其承载力。 轴心受压构件丧失整体稳定常常是突发性的，容 易造成严重后果，应予以特别重视。
§4-2 轴心受力构件的强度和刚度
一、强度计算（承载能力极限状态）
钢筋混凝土轴心受压构件计算
3．螺旋筋不能提升强度过多，不然会造成混凝土保护层剥
落，即 N 螺 1 .5 N 普 1 .3( 5 fcA d fs ' A d s ')
§6.2 配有纵向钢筋和螺旋箍筋旳轴心受压构件
五、构造要求 1、螺旋箍筋柱旳纵向钢筋应沿圆周均匀分布，其截面积应
不不不小于箍筋圈内关键截面积旳0.5%。常用旳配筋率在
二、破坏形态
1.影响原因： （1）徐变：
●使钢筋应力忽然增大，砼应力减小（应力重分布） ●忽然卸载砼会产生拉应力。 （2）长细比：(l0/b) 2．一般箍筋柱旳破坏特征 （1）短柱破坏——材料破坏。
破坏特征:纵向裂缝、纵筋鼓起、砼崩裂。
承载能力
PSfcAfs'dAs' |
（2）长柱破坏——失稳破坏 破坏特征：凹侧砼先被压碎，
式中 为作用于关键混fc凝c土f旳c径k向2压应力值。
2
§6.2 配有纵向钢筋和螺旋箍筋旳轴心受压构件 三、承载力计算
螺旋箍筋柱正截面承载力旳计算式并应满足
0 N d ≤ N u 0 . 9 f c A c d o k s r A d s 0 f f s 'A d s '
★★螺旋筋仅能间接地提升强度，对柱旳稳定性问题 毫无帮助，所以长柱和中长柱应按着通箍筋柱计算， 不考虑螺旋筋作用。
As' f1s'd(0r0.9Nd fcdA)
2）截面复核 已知截面尺寸，计算长度l0，全部纵向钢筋旳截面面 积，混凝土轴心抗压强度和钢筋抗压强度设计值，轴向力 组合设计值，求截面承载力。
§6.1 配有纵向钢筋和一般箍筋旳轴心受压构件
五、构造要求 1.混凝土 一般多采用C25～C40级混凝土。 2．截面尺寸 ① lo /②b30 ③2尺5寸2模c5m 数化： 25，30，
第5章轴心受压构
φ--稳定系数，按附录表4-3、4-4、4-5、5-6采用。
5.6实腹式轴心受压构件的局部稳定
5.6.1概述 组成构件的板件出现鼓曲 称为板件失稳，即局部失 稳。 板件的局部失稳并不一定 导致整个构件丧失承载能 力，但由于失稳板件退出 工作，将使能承受力的截 面（称为有效截面）面积 减少，同时还可能使原本 对称的截面变得不对称， 促使构件整体破坏。
N
2 cr , x 1 cr , y
I e, x Ix
2 (k b) t (h / 2) k 2 2 b t ( h / 2)
2
N N
I e, y Iy
2 cr , y
t (k b) 3 / 12 k3 t b 3 / 12
焊接工字钢残余应力分布
由于k小于1，对这样的残余应力分布，其对y轴稳定承 载力的影响比对x轴要大的多。
对板件的稳定目前有两种处理方法，一是不容许出现 板件失稳，二是板件可以失稳，利用其屈曲后强度， 但要求板件受到的轴力小于板件发挥屈曲后强度的极 限承载力。考虑屈曲后强度的轴压杆设计目前用于薄 壁型钢轴压杆。 5.6.2实腹轴心压杆中板件的临界应力 1、板件的分类 根据板件两边支承情况将其分为加劲板件、部分加劲 板件和非加劲板件三种。 加劲板件为两纵边均与其他板件相连接的板件； 部分加劲板件即为一纵边与其他板件相连，另一纵边 为卷边加劲的板件，在薄壁型钢中普片存在；
5.4.1格构式轴心受压构件绕实轴(y-y轴)的整体稳定
格构式轴心受压构件绕实轴(y-y轴)的整体稳定承载力 计算和实腹式轴心受压构件完全相同。 5.4.2格构式轴心受压构件绕虚轴(x-x轴)的整体稳定 构式轴心受压构件绕虚轴发生弯曲失稳时，所产生的 剪力由缀材承担，缀材抵抗剪变形的能力小，剪力产 生的剪切变形大，对整体稳定承载力的不利影响必须 予以考虑。 2 EI 1 即 N
轴心受压构件
其中，4、5、6均属于初始缺陷。
以上各因素都不是孤立的。
第13页/共77页
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
（1） 具有初始缺陷的任意非对称开口薄壁轴心 压杆弯扭失稳弹性微分方程，对任一截面取：
Z ( ) N
Y(v)
X(u)
M x 0, M y 0, M z 0
第14页/共77页
第9页/共77页
a）理想轴心压杆欧拉临界应力
l/2
p 2 EI
Ncr NE l 2
NE — 欧拉（Euler）临界力
欧拉临界应力
scr
sE
NE A
pl
2EI 2A
pl
2E(
2
I A
)2
p2E
l2
i
2
(pl/2iE)2pl2E2
l/2
图 有初弯曲的 轴心压杆
λ——杆件长细比，λ=l/i；
i ——截面对应于屈曲的回转半径， i = I/A。
3.不对称截面均的弯扭失稳
当压杆的截面无对称轴时，微分方程即为公式。 这三个微分方程是互相联立的，因此，杆件失稳时必 定是弯扭变形状态，属于弯扭失稳。
EI EI
x y
(v(4) (u ( 4 )
v0(4) ) u0(4) )
Nv'' Nu
Nx0 '' '' Ny0
''
0 0
EI (
(4)
弯曲屈曲：双轴对称截面，单轴对称截面绕非对称轴； 扭转屈曲：十字形截面； 弯扭屈曲：单轴对称截面（槽钢，等边角钢）。
第6页/共77页
第7页/共77页
5.2 轴心受压构件的强度 以净截面的平均应力强度为准则，即
以上各因素都不是孤立的。
第13页/共77页
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
（1） 具有初始缺陷的任意非对称开口薄壁轴心 压杆弯扭失稳弹性微分方程，对任一截面取：
Z ( ) N
Y(v)
X(u)
M x 0, M y 0, M z 0
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第9页/共77页
a）理想轴心压杆欧拉临界应力
l/2
p 2 EI
Ncr NE l 2
NE — 欧拉（Euler）临界力
欧拉临界应力
scr
sE
NE A
pl
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pl
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2
I A
)2
p2E
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(pl/2iE)2pl2E2
l/2
图 有初弯曲的 轴心压杆
λ——杆件长细比，λ=l/i；
i ——截面对应于屈曲的回转半径， i = I/A。
3.不对称截面均的弯扭失稳
当压杆的截面无对称轴时，微分方程即为公式。 这三个微分方程是互相联立的，因此，杆件失稳时必 定是弯扭变形状态，属于弯扭失稳。
EI EI
x y
(v(4) (u ( 4 )
v0(4) ) u0(4) )
Nv'' Nu
Nx0 '' '' Ny0
''
0 0
EI (
(4)
弯曲屈曲：双轴对称截面，单轴对称截面绕非对称轴； 扭转屈曲：十字形截面； 弯扭屈曲：单轴对称截面（槽钢，等边角钢）。
第6页/共77页
第7页/共77页
5.2 轴心受压构件的强度 以净截面的平均应力强度为准则，即
轴心受压构件的弯曲屈曲_图文
讨论
（1）v0是P的非线性函数，当P =0时， v0=0，但一开始加载杆件即发生 弯曲；
（2）v0在加载初期增长较慢，后随P的加大而增长加快，当 P→PE时，v→，以欧拉临界力为渐进线；
（3）偏心较大时临界力明显低于欧拉临界力；若偏心很小，
则v0在P→PE前都很小。 与初弯曲的影响无本质区别。
轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题 。 与k值对应的y(x)为特征函数或特征向量，即构件处于中性 平衡时的弹性曲线方程。
= 0为特征方程，因Pcr由 = 0求得，故又称为屈曲方程
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
一端铰接、一端固定的轴心压杆 边界条件：
线性齐次方程组：
几何边 界
扭转失稳：扭转变形迅速增大而丧失承载力。 十字形截面
弯扭失稳：单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心 不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。 单轴对称截面，无对称轴截面
弯曲屈曲是确定轴心受压构件 稳定承载力的主要依据。
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
荷载位移曲线
1-小挠度理论 (弹性) 2-大挠度理论 (弹性) 3-有初弯曲时(弹性) 4-有初偏心时(弹性) 3’-有初弯曲时(弹塑性
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲 §2.3 轴心受压构件的大挠度弹性理论
1）大挠度方程
构件弯曲曲率与变 形的关系：
两端铰接轴压杆大 挠度方程为：
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
2）讨论
（1）当P<PE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳 定平衡状态；
（2）当P≥PE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡 状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确 定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍 处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与 挠度关系；
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五、板件相互约束对稳定承载力影响
板件相互影响
考虑板件相互影响的单板修正——采用板组约束系数
xcr
k
2E 12(1
2)
t2 b2
xcr
k
2E 12(1
2)
t2 b2
直接采用计入板相互影响的稳定系数 k k(约束系数)
p.99 表5-6
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.3, P101-103
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0
整体失稳变形平衡方程基本假定
——弹性
II
——小变形：包括弯曲变形u, v和扭转变形
——以变形后位置建立平衡方程（几何非线性） I
弯曲平衡 (以第1式为例)
剪力中心沿 y 轴挠度，由平衡产生 M x1 N v
形心位置发生扭转，再产生
N : 0 NE*x
w v vm
N
N
N Ex
NE* x
v
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定
七、非弹性失稳
E
2E 2
fy
？
N
* E
2E*A 2
fy
理论演变
a) Engesser 切线模量假定
b) Engesser 双模量假定
c) Shanley 切线模量理论
Et
E Et
Et
σ
弹塑性状况
e
Et
当 0.215 =(A- A2 4 2 ) / 2 2 A=2 +3 + 2
其中系数
1、
、
2
3
按截面分类确定，数值由p.85
表5-3得到
——查表法 截面分类→计算长细比→查附录4 (p.340-344) 直接得到
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.5, P91
九、工程计算方法
工程计算原理
一、薄板受压时的失稳变形和平衡方程
理想轴心受压薄板
——板件平直，厚度相等 ——板件宽度b和厚度t之比大于10
N
x
——轴压均匀分布，作用板的中面
受压薄板的弯曲失稳
t
y
xb
a
t
w
受压薄板弹性失稳的平衡方程
4w D( x4
2
4w x2y4
4w y4 )
Nx
2w x2
0
——单位板宽抗弯刚度
D Et3
12(1 2)
临界力 N Ey 2 EI y / L2oy
两联立方程的求解：p. 87-88
1 ( NEx
1 NEθ
)
NEω
(1
x02 ) r02
NE2ω NEx NEθ
1
NEω
能否从上式推导无对称轴截面的理想压杆稳定临界承载力？
能否推导出 弯扭失稳时的换算长细比 (p.88 公式5-37）？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.4, P83-85
结构系统中的“压杆”
第1节 概述
第1节 概述 参阅§4.1.1, P66, §5.1, P77-78
截面形式和破坏类型
受压构件的截面 (参见 p.66）
双轴对称截面、单轴对称截面、无对称轴截面/实腹式、格构式
构件破坏类型
——截面强度破坏：截面有较大削弱处或非常粗短的构件 ——构件整体失稳：弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳 p.97 ——构件中板件的局部失稳
mb (
a
n2a)2 mb
m、n的几何意义（波数图形）
n
=1时临界力有最小值
Nxcr n1
2D
b2
( mb a
a )2 mb
k
2D
b2
p.98图5-16
Nxcr
2D
4 b2
2E
4
12(1
2)
t3 b2
临界应力
xcr
Nxcr t
4
2E
b2 /
12(1 2) t2
宽厚比
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P98-99
截面上任一点都存在杆轴方向应力
dAa '
dAa(s) ' a(s) ' a(s)2 dA Nr02 '
r02
Ix
Iy A
x
2 0
y
2 0
d
dz
' a(s)2 rdA ' R
a
dA
ad
a d
y
dAa ' x
a(s)
dAa(s) ' ad / dz a '
双轴对称截面的平衡方程
zN
Nv'
x0
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0 v
约束扭转与翘曲
y
Nv' y
x
对剪心求矩 略去高阶量
轴线弯曲引起的扭转分量 N v ' x0 , N u ' y0 N
M z1 Nv'x0
本坐标系中
x0 为负值
纵向应力(残余应力)对扭转平衡的影响
(5-10)
NE ( 2EIω / L2o GIt R) / r02 2EA/ 2 (5-11)
式中计算长度与边界约束条件有关, 长细比(5-21)~(5.23)
双轴对称截面3个微分方程独立，得到3个解，对应3种失稳模态
杆端弯曲约束和扭转约束的自由、铰支、固接
约束对应的计算长度系数 p.81
轴心受压构件
Axially Compressive Member
第一节 概述 第二节 截面强度 第三节 实腹式轴心压杆的整体稳定 第四节 轴心压杆中板件的局部稳定 第五节 格构式轴心压杆的整体稳定和肢杆稳定 第六节 轴心受压构件的刚度 第七节 轴心受压构件的设计计算
结构系统中的“压杆”
第1节 概述
失稳临界应力 E NE / A 2E / 2
讨论：3种临界力中何者控制压杆的承载力？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.3, P82, §5.3.5, P87-88
四、单轴对称截面理想压杆的临界力
基本方程之一解耦（设 x 轴为对称轴）
EIxv'' Nv Nx0 0
EIxv'' Nv Nx0 0
y
x
x
— 横向力过该点不产生扭矩
y — 无外扭矩构件只受弯、剪
x0 y
x0
— 该点为截面扭转的不动点
y0
形心 剪力中心
z
L
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 参阅§3.1, P48-51, §5.3, P78-81
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程
EIxv'' Nv Nx0 0 EIyu'' Nu Ny0 0
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程
EIxv'' Nv Nx0 0 EIyu'' Nu Ny0 0
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0
教材（5.5）
截面坐标、剪力中心概念 (弯曲中心，扭转中心) 由形心轴规定的剪力中心坐标
x
x0
x y0
x
y
y
N N ult cr A ( cr / f y ) Af y Af y N Af d
注意点： ——整体稳定计算采用毛截面 ？ ——采用设计规范的轴压构件稳定系数 计算步骤 ——确定轴力设计值 ——计算构件长细比（针对不同轴线！） ——确定轴压构件稳定系数 ——稳定校核
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.1.3, P78, §5.6.2, P97
EI x v IV Nv '' 0
EI x
Ebh 3 12
——单位板宽上的轴压力 N x
平衡方程的物理意义及与杆件的比较
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P97-98
二、四边简单支承板的稳定临界力
四边简单支承板 (边界上挠度、弯矩为零) 四边简单支承板的临界力
Nxcr
2D
b2
N
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.3, P80-83
三、双轴对称截面理想压杆的临界力
失稳临界力
EI xv'' Nv Nx0 0
EI xv'' Nv 0
N Ex
2 EI x
L2ox
2 EAI
x
/
A
2
EAi
2 x
L2ox
L2ox
2 EA 2x
(5-9)
同理
NEy 2EIy / L2oy 2EA/ 2y
四边简支： k=4.0；
三边简支，与压力平行一边自由：k =0.425+(b / a)2
三边简支，与压力平行一边有卷边支承： k=1.35
结论：约束越强，稳定系数就越大，临界应力越高
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P98-100
四、宽厚比、弹性与非弹性稳定
稳定临界应力与宽厚比
xcr
六、板件失稳后性能
板件失稳后性能特点
——屈曲后强度
屈曲后强度物理原因和
cr
数学分析
fy
cr1
屈曲后强度会否高于屈服点？
屈曲后强度与屈服点的比较
cr2 cr3
板件 压杆
v w
w
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.3, P103-104
板件相互影响
考虑板件相互影响的单板修正——采用板组约束系数
xcr
k
2E 12(1
2)
t2 b2
xcr
k
2E 12(1
2)
t2 b2
直接采用计入板相互影响的稳定系数 k k(约束系数)
p.99 表5-6
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.3, P101-103
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0
整体失稳变形平衡方程基本假定
——弹性
II
——小变形：包括弯曲变形u, v和扭转变形
——以变形后位置建立平衡方程（几何非线性） I
弯曲平衡 (以第1式为例)
剪力中心沿 y 轴挠度，由平衡产生 M x1 N v
形心位置发生扭转，再产生
N : 0 NE*x
w v vm
N
N
N Ex
NE* x
v
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定
七、非弹性失稳
E
2E 2
fy
？
N
* E
2E*A 2
fy
理论演变
a) Engesser 切线模量假定
b) Engesser 双模量假定
c) Shanley 切线模量理论
Et
E Et
Et
σ
弹塑性状况
e
Et
当 0.215 =(A- A2 4 2 ) / 2 2 A=2 +3 + 2
其中系数
1、
、
2
3
按截面分类确定，数值由p.85
表5-3得到
——查表法 截面分类→计算长细比→查附录4 (p.340-344) 直接得到
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.5, P91
九、工程计算方法
工程计算原理
一、薄板受压时的失稳变形和平衡方程
理想轴心受压薄板
——板件平直，厚度相等 ——板件宽度b和厚度t之比大于10
N
x
——轴压均匀分布，作用板的中面
受压薄板的弯曲失稳
t
y
xb
a
t
w
受压薄板弹性失稳的平衡方程
4w D( x4
2
4w x2y4
4w y4 )
Nx
2w x2
0
——单位板宽抗弯刚度
D Et3
12(1 2)
临界力 N Ey 2 EI y / L2oy
两联立方程的求解：p. 87-88
1 ( NEx
1 NEθ
)
NEω
(1
x02 ) r02
NE2ω NEx NEθ
1
NEω
能否从上式推导无对称轴截面的理想压杆稳定临界承载力？
能否推导出 弯扭失稳时的换算长细比 (p.88 公式5-37）？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.4, P83-85
结构系统中的“压杆”
第1节 概述
第1节 概述 参阅§4.1.1, P66, §5.1, P77-78
截面形式和破坏类型
受压构件的截面 (参见 p.66）
双轴对称截面、单轴对称截面、无对称轴截面/实腹式、格构式
构件破坏类型
——截面强度破坏：截面有较大削弱处或非常粗短的构件 ——构件整体失稳：弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳 p.97 ——构件中板件的局部失稳
mb (
a
n2a)2 mb
m、n的几何意义（波数图形）
n
=1时临界力有最小值
Nxcr n1
2D
b2
( mb a
a )2 mb
k
2D
b2
p.98图5-16
Nxcr
2D
4 b2
2E
4
12(1
2)
t3 b2
临界应力
xcr
Nxcr t
4
2E
b2 /
12(1 2) t2
宽厚比
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P98-99
截面上任一点都存在杆轴方向应力
dAa '
dAa(s) ' a(s) ' a(s)2 dA Nr02 '
r02
Ix
Iy A
x
2 0
y
2 0
d
dz
' a(s)2 rdA ' R
a
dA
ad
a d
y
dAa ' x
a(s)
dAa(s) ' ad / dz a '
双轴对称截面的平衡方程
zN
Nv'
x0
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0 v
约束扭转与翘曲
y
Nv' y
x
对剪心求矩 略去高阶量
轴线弯曲引起的扭转分量 N v ' x0 , N u ' y0 N
M z1 Nv'x0
本坐标系中
x0 为负值
纵向应力(残余应力)对扭转平衡的影响
(5-10)
NE ( 2EIω / L2o GIt R) / r02 2EA/ 2 (5-11)
式中计算长度与边界约束条件有关, 长细比(5-21)~(5.23)
双轴对称截面3个微分方程独立，得到3个解，对应3种失稳模态
杆端弯曲约束和扭转约束的自由、铰支、固接
约束对应的计算长度系数 p.81
轴心受压构件
Axially Compressive Member
第一节 概述 第二节 截面强度 第三节 实腹式轴心压杆的整体稳定 第四节 轴心压杆中板件的局部稳定 第五节 格构式轴心压杆的整体稳定和肢杆稳定 第六节 轴心受压构件的刚度 第七节 轴心受压构件的设计计算
结构系统中的“压杆”
第1节 概述
失稳临界应力 E NE / A 2E / 2
讨论：3种临界力中何者控制压杆的承载力？
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.3, P82, §5.3.5, P87-88
四、单轴对称截面理想压杆的临界力
基本方程之一解耦（设 x 轴为对称轴）
EIxv'' Nv Nx0 0
EIxv'' Nv Nx0 0
y
x
x
— 横向力过该点不产生扭矩
y — 无外扭矩构件只受弯、剪
x0 y
x0
— 该点为截面扭转的不动点
y0
形心 剪力中心
z
L
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 参阅§3.1, P48-51, §5.3, P78-81
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程
EIxv'' Nv Nx0 0 EIyu'' Nu Ny0 0
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程
EIxv'' Nv Nx0 0 EIyu'' Nu Ny0 0
EIω ''' GIt ' Nx0v' Ny0u'( Nr02 R ) ' 0
教材（5.5）
截面坐标、剪力中心概念 (弯曲中心，扭转中心) 由形心轴规定的剪力中心坐标
x
x0
x y0
x
y
y
N N ult cr A ( cr / f y ) Af y Af y N Af d
注意点： ——整体稳定计算采用毛截面 ？ ——采用设计规范的轴压构件稳定系数 计算步骤 ——确定轴力设计值 ——计算构件长细比（针对不同轴线！） ——确定轴压构件稳定系数 ——稳定校核
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.1.3, P78, §5.6.2, P97
EI x v IV Nv '' 0
EI x
Ebh 3 12
——单位板宽上的轴压力 N x
平衡方程的物理意义及与杆件的比较
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P97-98
二、四边简单支承板的稳定临界力
四边简单支承板 (边界上挠度、弯矩为零) 四边简单支承板的临界力
Nxcr
2D
b2
N
第3节 实腹式轴心压杆的整体稳定 §5.3.3, P80-83
三、双轴对称截面理想压杆的临界力
失稳临界力
EI xv'' Nv Nx0 0
EI xv'' Nv 0
N Ex
2 EI x
L2ox
2 EAI
x
/
A
2
EAi
2 x
L2ox
L2ox
2 EA 2x
(5-9)
同理
NEy 2EIy / L2oy 2EA/ 2y
四边简支： k=4.0；
三边简支，与压力平行一边自由：k =0.425+(b / a)2
三边简支，与压力平行一边有卷边支承： k=1.35
结论：约束越强，稳定系数就越大，临界应力越高
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.2, P98-100
四、宽厚比、弹性与非弹性稳定
稳定临界应力与宽厚比
xcr
六、板件失稳后性能
板件失稳后性能特点
——屈曲后强度
屈曲后强度物理原因和
cr
数学分析
fy
cr1
屈曲后强度会否高于屈服点？
屈曲后强度与屈服点的比较
cr2 cr3
板件 压杆
v w
w
第4节 轴心压杆中板件的局部稳定 §5.6.3, P103-104