成人高考数学—导数精品PPT课件
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导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
《高数导数公式》课件
振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
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目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
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x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
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备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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专升本高数第二章导数-PPT课件
f( x )f( x ) 0 导数的一个等价定义： f ( x )lim 0 x x 0 x x 0
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
成人高考数学—导数PPT课件
f (2) 13, f (1) 4, f (0) 5, f (2) 13, f (1) 4
比较得知， y x4 2x2 5在[2,2]上的最大值为13，最小值为4
24
例：设函数f (x) 4x3 ax 2, y f (x)在点P(0,2)处的切线方程的 斜率为12。（1）求a的值； （2）求函数f (x)在区间[3,2]的最大值和最小值。10年考题第25题13分
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
1
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
应用四：求函数的最大值与最小值：
（1）观察题目是否给出定义域 [a,b]
（2）求出定义域区间内f(x)的驻点. （3）把驻点值和区间端点值f(a),f(b)进行比较.
（4）最大的就是f(x)在定义域[a ,b ] 上的最大值
，最小的就是最小值.
21
已知f (x) x4 2x2 5,求f (x)在区间[2,2]上的最大值与最小值。
创建表格
(,3) 3 (3,1) 1 (1,)
f (x)
0
0
f (x)
增
28 减 - 4 增
由上表可得：区间(,3),(1,)为增区间 区间(3,1)为减区间，极大值为28，极小值为- 4 18
练习：求函数 f (x) 2x3 9x2 24 x 7的极值； 解：原函数定义域为（ ,)
f (x) 6x2 18 x 24 6(x 1)( x 4) 0
比较得知， y x4 2x2 5在[2,2]上的最大值为13，最小值为4
24
例：设函数f (x) 4x3 ax 2, y f (x)在点P(0,2)处的切线方程的 斜率为12。（1）求a的值； （2）求函数f (x)在区间[3,2]的最大值和最小值。10年考题第25题13分
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
1
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
应用四：求函数的最大值与最小值：
（1）观察题目是否给出定义域 [a,b]
（2）求出定义域区间内f(x)的驻点. （3）把驻点值和区间端点值f(a),f(b)进行比较.
（4）最大的就是f(x)在定义域[a ,b ] 上的最大值
，最小的就是最小值.
21
已知f (x) x4 2x2 5,求f (x)在区间[2,2]上的最大值与最小值。
创建表格
(,3) 3 (3,1) 1 (1,)
f (x)
0
0
f (x)
增
28 减 - 4 增
由上表可得：区间(,3),(1,)为增区间 区间(3,1)为减区间，极大值为28，极小值为- 4 18
练习：求函数 f (x) 2x3 9x2 24 x 7的极值； 解：原函数定义域为（ ,)
f (x) 6x2 18 x 24 6(x 1)( x 4) 0
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x
y 2x
y x2 1的切线y 2x就与y x2 1只有一个公共点，
y
y x
2x
y
2x2
y y
x2 1
2x2
x
1,k
y
2
应用二：判断函数的单调性
1、定理：设函数f (x)在区间(a,b)内可导， 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是增函数； 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是减函数； 如果在(a,b)内恒有f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是常数。
当x (1,)时，y 2(x 1) 0 区间(1,)是y x2 2x 3的单调递增区间.
例：已知函数f (x) x4 2x2 3。
09年考题第23题12分
（1）求曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
（2）求函数f (x)的单调区间。
（2）函数f (x) x4 2x2 3的定义域是(,)
f (x) 4x3 4x 4x(x 1)(x 1)
令f (x) 4x(x 1)(x 1) 0,得函数的三个驻点 1、0、1;
1、0、1把区间(,)分成四个区间(,1)、(1,0)(0,1)、(1,);
当x (,1)时，f (x) 0 区间(,1)是f (x)的单调递减区间.
当x (1,0)时，f (x) 0 区间(1，0)是f (x)的单调递增区间. 当x (0，1)时，f (x) 0 区间(,0,1)是f (x)的单调递减区间. 当x (1， )时，f (x) 0 区间(,1)是f (x)的单调递增区间.
整理成标准形式，得6x y 3 0
练习 : 求下列函数的导数及在点(0,1)处的切线方程：
(1)f(x ) 2x 3 2x 2 x
解：(1) f (x) 6x2 4x 1 f (0) 1
代入切线方程公式，得y 1 1(x 0)
整理得x y 1 0
解：(2) f (x) x3 x2 x x2 x 1 x3 1
f (x) 3x2
f (0) 0
代入切线方程公式，得y 1 0(x 0) 整理得y 1 0
例：已知函数f (x) x4 2x2 3。
09年考题第23题12分
（1）求曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
（2）求函数f (x)的单调区间。
解：(1) f (x) 4x3 4x 4x(x 1)(x 1)
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
解：函数y x2 2x 3的定义域是(,) y 2x 2 2(x 1)
令y 2(x 1) 0,得函数y x2 2x 3的一个驻点x 1; x 1把区间(,)分成两个区间(,1)和(1,);
当x (,1)时，y 2(x 1) 0 区间(,1)是y x2 2x 3的单调递减区间.
f (2) 4 23 4 2 24
曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程 : y 11 24(x 2) 即24x y 37 0
曲线 y x2 1与直线 y kx只有一个公共点，则k=
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7
y
y 2x
2
2,1把区间(,)分成三个区间(,2)、(2,1)、(1,);
例(2)判断函数f (x) 2x3 3x2 12x 100的单调性;
解：函数f (x) 2x3 3x2 12x 100的定义域是(,) f (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1)
令f (x) 6(x 2)(x 1) 0,得函数f (x)的两个驻点x1 2, x2 1;
例：曲线f (x) 2x2 3在点(1,5)处切线的斜率为__________;
解： y 4x y |x1 4 (1) 4
例：曲线f (x) 2x3 1在点(1,3)处的切线方程为__________;
10年考题第19小题4分
解： y 6x2 y |x1 6 12 6 代入切线方程公式，得y 3 6(x 1)
(2)然后再代入点坐标，求出具体的导数值
❖ 对应的切线方程：
解：首先求导，得：y 2x 1
代入切线方程公式，得y 2 3(x 1) 整理成标准形式，得3x y 1 0
1)求曲线y x2在点(2,5)处的切线的斜率; 2)求曲线y x2 x在点(0,1)处的切线方程;
11年考题第20小题4分
2、判断函数单调性的步骤：
(1)求出函数f (x)的定义域;
(2)求出函数f (x)的导数f (x);
(3)令f (x) 0,并求出使f (x) 0得点x,这样的点叫做 函数f (x)的驻点; (4)驻点把函数f (x)的定义域分成若干个区间;
(5)在上述每一个区间内考查f (x)的符号,并根据定理 判断函数f (x)在各区间内的单调性;
注意: f (x)是x的函数，f (x0 )是一个函数值
幂函数求导举例（降幂）
求下列函数的导数及f (1)： (1)f(x ) x 3;(2)f(x ) 6x 5; (3)f(x ) x;(4)f(x ) 5
(2) f ' (x) 5 6x4 30x4 f ' (1) 30 (1)4 30
多项式幂函数求导举例 解：f '(x) 3x2 2 2x 3 3x2 4x 3
f (x) 2 4x3 53x2 2x 8x3 15x2 2x f (1) 8 15 2 25
应பைடு நூலகம்一：求切线
导数的几何意义：
❖ 导数是曲线 y f (x) 在点
处的切线的斜率
(1) 切线的斜率方法就是先对曲线方程所对应函数求 导