直线与方程教案

第九章解析几何初步【课题】第一节直线的倾斜角与斜率【教学目标】1．知识与技能:（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．情感、态度、价值观：（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。

（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神3．过程与方法:通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。

掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。

【教学重点难点】1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式【教法学法】启发式教学法、对话式教学法【教学准备】多媒体、实物模型【教学安排】2课时【教学过程】一、复习引入：直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。

初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。

本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。

⑴回顾一次函数的图象及性质形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。

⑵画出下列一次函数的图象①y = 2x + 4 ② y = －2x + 2小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。

研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式y = 2x + 4的关系是：这两点就是满足函数式的两对x、y的值。

由作图知满足函数式y = 2x + 4的每一对x、y的值都是函数y = 2x + 4上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式y = 2x + 4。

小结：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b(k≠0)的每一对x、y的值为坐标的点构成的。

由于函数式y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程，所以我们说，这个方程的解和直线上的点存在这样的对应关系。

二、讲授新课：⑴直线方程的概念以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线和方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题，为此，我们先研究直线的倾斜角，理解直线的倾斜角和斜率的定义，并注和斜率。

正面请同学们阅读教材P34－35意它们的变化范围。

（5分钟）⑵直线的倾斜角 ①定义:在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0º。

②范围：0º≤α＜180ºαo x o x⑶直线的斜率定义：倾斜角不是90º的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示，即（4）过两点的直线的斜率公式、形式特点 方向向量：1α o x o x 直线上的向量21P P 及与它平行的向量都称为直线的方向向量。

直线P 1P 2的方向向量21P P 的坐标是（x 2－x 1，y 2－y 1）,其中P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）；当直线P 1P 2与x 轴不垂直时，x 2≠x 1，此时21121P P x x -也是直线P 1P 2的方向向量，且它的坐标是),(1121212y y x x x x ---，即（1，k ），其中k 为直线P 1P 2的斜率。

注：方向向量与x 轴所成的最小正角与直线l 的倾斜角相等。

（5）斜率公式经过两点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的直线的斜率公式是： )(211212x x x x y y k ≠--= 推导如下：设直线P 1P 2的倾斜角为α，斜率为k ，向量的方向是向上的21P P （如下图），向量21121221P P OP ),y y ,x x P P =　过原点作向量－－＝（,则点P （x 2－x 1 , y 2－y 1）,而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义有)(tan 121212x x x x y y ≠--=α，即)(121212x x x x y y k ≠--=。

同样，当向量同样的公式。

的方向是向下时，也有21P P 小结：斜率公式的形式特点⑴斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒。

⑵斜率公式表明，直线对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角。

⑶斜率公式中，当x 1＝x 2时不适用，此时直线和x 轴垂直，直线的倾斜角α＝90°。

3、应用举例例1 如图，直线l 1的倾斜角为α1＝l 2的斜率。

解：l 1的斜率k 1=tan α1=tan30°=3 ∵l 1⊥l 2∴l 2的倾斜角α2＝90°＋30∴l2的斜率k2＝tan120°＝－3α1α2o x例2直线过点A（－2，0）, B（－5，3），求直线AB的斜率。

解：k＝(3－0)/[(－5)－(－2)]＝－1又α∈［0°,180°）∴α＝135°因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135°巩固练习P37练习4、54、归纳总结数学思想：数形结合、分类讨论数学方法：图象法、公式法三、内容、方法小结：本节介绍了直线的倾斜角和斜率的定义，以及斜率的两种求法，教学中运用图像法和公式法使得内容更易理解。

四、课后作业P89 2 3五、板书设计：1.倾斜角和斜率倾斜角定义：例1斜率定义：两点式求斜率例2作业：六、教学反思：【课题】第二节两条直线平行与垂直的判定【教学目标】1．知识与技能: 掌握斜率存在的两条直线平行或垂直的充要条件；能用解析法解决平面几何问题。

2．情感、态度、价值观：（1）通过创设的问题情境，引导学生探究平面内两条直线的平行或垂直关系的充要条件激发学生学习数学的兴趣（2）通过数学探究活动，使学生能用联系的观点看问题，掌握代数化处理几何问题的方法及数学地思考问题的方法，体会唯物辩证法在数学中的体现。

3．过程与方法: 在初中平面几何的直线平行或垂直关系的基础上，本节将从新的角度来研究平面内两条直线的平行或垂直关系，理解数形结合的数学思想。

【教学重点难点】1．教学重点：掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直2．教学难点：是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）【教法学法】讲解、练习、演示、探究【教学准备】计算机、投影仪、三角板．【教学安排】2课时【教学过程】一、复习引入：上课前我们先来看这样一个故事：魔术师的地毯一位魔术师拿了一块边长为1.3米的地毯去找地毯匠,要求把这块正方形的地毯改制成宽0.8米,长2.1米的矩形.地毯匠对魔术师说:“难道你连小学算术都没学过吗？边长为1.3米的正方形的面积是1.69平方米，而宽0.8米、长2.1米的矩形面积只有1.68平方米。

两者并不相等呀！”而魔术师只给了地毯匠一幅图，让他照着做就是了。

地毯匠照做了，缝好一量，果真可以，魔术师得意洋洋地取走了地毯，可地毯匠却很纳闷，百思不得其解，那0.01平方米的地毯去哪了？你能帮他解开疑团吗？现在大家可能不知道从何下手,那我们就带着这个问题来学习这节课的内容,看看能否利用我们下面学习的知识来解决这个问题.引入课题: 两条直线的平行与垂直的判定二、讲授新课：师:上节课我们学习了斜率,谁能告诉我斜率是什么?生:斜率是一条直线倾斜角的正切值.师:那什么是倾斜角?生:倾斜角是一条直线向上的部分与x轴正半轴所夹的角.师:两条直线的平行与垂直与这两条直线的倾斜角与斜率有什么关系呢?下面我们就一起来实验探究这个问题.大家打开几何画板,完成实验报告.给学生10分钟时间完成实验报告师:下面我们请两位同学来汇报一下你的实验结果学生1:实验1,我实验探究的结果是当两条直线互相平行时, 他们的斜率是相等的,当两条直线的斜率相等的时候,这两条直线是平行的.有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线都与y轴平行时,这两条直线的斜率也相等吗?让大家再动手操作一下.老师再问,若两条直线的斜率相等,这两条直线除了平行还有没有其它的位置关系?重合.因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线．．．．，．．．而．且不重合．．．．都．有斜率如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即学生2:实验2,我实验探究的结果是当两条直线互相垂直时,他们的斜率的乘积都等于-1,当两条直线的斜率乘积等于-1的时候,这两条直线是互相垂直的.有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线有一条与y轴平行时,上面的结论还成立吗?让大家再动手操作一下.因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数(即乘积为-1)；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即师:上面是我们利用几何画板实验探究的结果,还没有经过理论验证.大家能否利用所学的知识证明这两个结论呢?首先我们先证明结论一.已知L1∥L2(图1-29)，它们的斜率分别为k1,k2,求证它们的斜率相等. 证明:因为L1∥L2,所以α1=α2．∴tg α1=tg α2． 即 k1=k2．反过来，已知k1=k2，k1,k2分别为不重合的直线L1,L2的斜率,求证:L1∥L2证明:因为k1=k2,所以tg α1=tg α2由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2． 又∵两条直线不重合， ∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．下面我们一起来证明两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x 轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x 轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0。