2-4初等矩阵
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2-4-1 初等变换与初等矩阵内容
定义2. 2 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一、二、三种初等行（列）变换： １．互换矩阵的某两行（列）；２．某行（列）乘以非零常数；３．某行（列）的倍数加到另一行（列）．初等行变换与初等列变换统称为初等变换．当矩阵Ａ经过初等变换变为Ｂ时，记为Ａ→Ｂ． 称B 与矩阵A 等价.如果强调变换的具体做法，对行（row ）的表示为：i j r r ↔表示互换第i, j 两行；i kr 表示第i 行乘以0k ≠；i j r kr +表示第ｊ行的ｋ倍加到第ｉ行．相应于列（column ）初等变换的表示分别为：i j c c ↔，(0)i kc k ≠和i j c kc +．定义2. 3 对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．对应于初等行变换的初等矩阵有如下三种类型：i j r rE ↔⎯⎯⎯→Ｐ[i,j]; E i kr ≠⎯⎯⎯→,k ０P[i(k )]； E i j r kr+⎯⎯⎯→Ｐ[i+j(k )]． 再来看关于初等列变换的初等列矩阵：E i j c c↔⎯⎯⎯→Ｐ[i,j]； E i kc k ≠⎯⎯⎯⎯→，０P[i(k )] E i j c kc+⎯⎯⎯→Ｐ[j ＋i(k )] 定理2. 7 对矩阵A 作一次初等行（列）变换后所得到的新的矩阵等于对A 左（右）乘上一个相应的初等矩阵．这里，所谓“相应的初等矩阵”是指：无论对A 作一次什么样的初等变换，对单位矩阵E 也作一次完全样同的初等变换而后所得到的那个初等矩阵．命题2. 8 初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆也都是同类型的初等矩阵，即],[],[1j i P j i P =−，11[()][()]P i k P i k −−=（0k ≠），1[,()][,()]P i j k P i j k −=−．。
2-5初等变换与初等矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 r3 ( 1) r1 2 1 5 2 2 1 5 2 3 2 6 3 2 1 5 2
1 1 1 1 r3 ( 1) r2 2 1 5 2 0 0 0 0
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (2) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行 (列）对应的元素上去;
(3) 对调矩阵的两行(列).
※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换. （Elementary Transformations ）
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注意到这些初等变换不改变B的第1行及第1列的元素.至此， 已将矩阵A化为
1 0 C 0 0
0 1 0
0 0 c33
0 cm 3
0 0 c3n , cmn
如此继续下去，最后必能得到一个标准形矩阵.根据等价 的定义，显然A ≌ D.
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初等行变换的背景
刘徽注释《九章算术》说，“ 程，课程也．二物者再程，三物者 三程，皆如物数程之，并列为行， 故谓之方程．” 古代是将它用算筹布置起来解 的（如下图所示），图中各行由上 而下列出的算筹表示 x，y，z 的系 数与常数项．一次方程组各未知数 的系数用算筹表示时好比方阵，所 以叫做方程．
1 1 1 1 1 r1 (1) r2 r3 ( 1) r2 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ( 1) r3 c3 3c2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 c3 ( 4) c1 1 3 0 0 1 3 0 c4 ( 1) c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 O 0 0 O O 0 0
第2章 MATLAB的基础知识
a=[1 2 1;2 2 1;2 1 2]; b=[1;2;3]; a/b %矩阵右除
运行程序，得到结果：
??? Error using ==> mrdivide Matrix dimensions must agree.
重新输入语句
a\b
%矩阵左除 ans = 1.0000 -0.3333 0.6667
运行程序，得到结果：
c= 0 0 1 1 1 0
说明 对于复数运算，“= =”与“～ =”运算，既比较实部， 又比较虚部。而其他运算仅比较实部。关系运算同样也可用于 常量与矩阵的比较，在这种情况下，该常量与矩阵的每一个元 素进行比较，其结果是一个与矩阵同维数的0、1矩阵。
逻辑操作符
逻辑操作符 说 明 相对应函数
-0.1667 0 0
（3）矩阵特征值运算
矩阵条件数cond( ) 矩阵的秩rank() 矩阵特征值eig ( )
矩阵范数norm( ) 矩阵的迹trace ( ) 矩阵奇异值svd ( )
例2-7 分别计算矩阵a的有关特征参数。输入以下 MATLAB语句
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] [cond(a),norm(a),rank(a)]
2.MATLAB工作环境
图形窗口“Figure”
M文件窗口
3．MATLAB的M文件
所谓M文件，就是用户把要实现的命令写在一个 以.m为扩展名的文件中
M文件有两种格式（统称为M文件） 函数式M文件 程序式M文件 程序式M文件用于把很多需要在命令窗口输入的命 令放在一起，就是命令的简单叠加 函数式M文件用于把重复的程序段封装成函数供用 户调用。
&
|
逻辑与
逻辑或
and(a,b)
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵
所以 A Ps1 P11IQt 1 Q11 Ps1 P11Qt 1 Q11 .
"" 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.
设 Ann 可逆， 则存在初等矩阵P1 , Pm , 使 I Pm P1 A
所以 A1 Pm P1 Pm P1I
0
0
2
1
0
1
1(2)(1) 1 12(3) 0
0
0 1 0
1 0 1
2
1 1
2
1 1 0
0
1
0 1
2
1(3)(1) 0
0
0 1 0
0 0 1
5
2 1 1
2
1 1 0
1 2 0 1
.2
0L L L 1
i
Eij
M1
M
M
O
M
M
1M
1L L L 0
j
1
O
1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵
A (aij )3n , C (cij )32 , B (bij )33 的乘积：
B ( AT A 2 AT )1
1 0 0 1 1 0 0
0
1
2
0
3
2
.
0 2 3 0 2 1
注意
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换
"" 因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.
设 Ann 可逆， 则存在初等矩阵P1 , Pm , 使 I Pm P1 A
所以 A1 Pm P1 Pm P1I
0
0
2
1
0
1
1(2)(1) 1 12(3) 0
0
0 1 0
1 0 1
2
1 1
2
1 1 0
0
1
0 1
2
1(3)(1) 0
0
0 1 0
0 0 1
5
2 1 1
2
1 1 0
1 2 0 1
.2
0L L L 1
i
Eij
M1
M
M
O
M
M
1M
1L L L 0
j
1
O
1
将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.
三、初等矩阵与初等变换的关系 例１ 计算下列初等矩阵与矩阵
A (aij )3n , C (cij )32 , B (bij )33 的乘积：
B ( AT A 2 AT )1
1 0 0 1 1 0 0
0
1
2
0
3
2
.
0 2 3 0 2 1
注意
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换
2-5矩阵的初等变换
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2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第 i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
第i 行
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3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
0 0 , 0 0
即f ( A) 0.
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矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1 C B1
上页
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A 0 例2 设A, B都是n阶可逆矩阵, 证明D C B 必为可逆矩阵, 并求D的逆矩阵.
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
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1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )， 1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
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(2)定理 方阵 A 可逆 A 经过有限次初等变换化为单位矩阵 E 推论1 方阵A可逆
A 可表示为若干个初等矩阵的乘积
2-5初等矩阵及其性质
使 A1 P1P2 Ps
由 A-1A=E; A-1E= A-1;
得 : P1P2…PsA=E
P1P2…PsE=A-1
结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵
E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵
E化成了逆矩阵A-1
用初等变换求逆矩阵的方法:
1)构造矩:(A E);
2)做初等行变换 A E行 E A1
Ei (k )
1 Ei (k )
Eij (k) Eij (k)
3） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：
EijT Eij ; EiT (k) Ei (k); EijT (k) E ji (k)
二、用初等变换求逆矩阵
【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是:存在有
限个初等阵P1，P2，…,Pk，使 A=P1P2…Pk.
3
4 1
1 2 1
1
4 1
2
2
0
0
1
1 4
1 2
3 4
所以:
3 A1 41
1 2
1
1
4 1
2
2
1 4
1 2
3 4
2.用初等变换解矩阵方程 （1）设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B
设:A-1 =P1P2…Ps (Pi为初等矩阵) 由 A-1A=E; A-1B= X;
3
1
2
3
7
2
4 3 3 4 11 3
3
2
1
3
4
1
1 3 2 1 5 2
例四６６页 ６ 1 1 －1
设矩阵
A －1 1
1
1 －1 1
矩阵X 满足 AX A1 2X ,其中 X 是 A的伴随矩阵，求 X.
2_4_1初等变换和初等矩阵
ci c j
1.
可见, E P[i,j]
2.
1 1 kri ,k 0 E P[i(k)]= k 第i行 1 1
kci ,k 0
可见,E P[i(k)]
3.
1 第i行 1 k ri +krj E P[i+j(k)]= 第j行 1 1
A AP[i j (k )]
c j kci
ri krj
的初等变换。
例13
解
1 2 3 设 A , 对A做初等变换将其简化. 4 5 6
1 r r2 4 r1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 2 3 r1 2r2 1 0 1 A 4 5 6 0 3 6 0 1 2 0 1 2
α1 α2 A α m
，A 1 , 2 ,, n ,
则有
1 α1 α1 αi α j 0 1 ri rj A P[i,j]A = = α j αi 1 0 α α 1 n n
2－4－1 初等变换与初等矩阵
§4 初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在 线性代数中有着极其广泛的应用。
定义2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一,
第二, 第三种初等行(列)变换：
1. 互换矩阵的某两行(列);
2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 当矩阵A经过初等变换变为B时, 记为AB.
1.
可见, E P[i,j]
2.
1 1 kri ,k 0 E P[i(k)]= k 第i行 1 1
kci ,k 0
可见,E P[i(k)]
3.
1 第i行 1 k ri +krj E P[i+j(k)]= 第j行 1 1
A AP[i j (k )]
c j kci
ri krj
的初等变换。
例13
解
1 2 3 设 A , 对A做初等变换将其简化. 4 5 6
1 r r2 4 r1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 2 3 r1 2r2 1 0 1 A 4 5 6 0 3 6 0 1 2 0 1 2
α1 α2 A α m
，A 1 , 2 ,, n ,
则有
1 α1 α1 αi α j 0 1 ri rj A P[i,j]A = = α j αi 1 0 α α 1 n n
2－4－1 初等变换与初等矩阵
§4 初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在 线性代数中有着极其广泛的应用。
定义2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一,
第二, 第三种初等行(列)变换：
1. 互换矩阵的某两行(列);
2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 当矩阵A经过初等变换变为B时, 记为AB.
2-5 矩阵的秩与矩阵的初等变换
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
12 上一页 下一页 返 回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页 下一页 返 回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
8 上一页 下一页 返 回
r1 r4
0
4
3
1 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
26 上一页 下一页 返 回
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
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对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
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1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
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r1 r4
0
4
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r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
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3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
且rr34这2rr行些43最非简零100形元矩所110 阵在特的021点列：的111 其非它零043元行 素的(B都第4为一) 个0．非零1素B,元3消；为去为B1B4，是4行下a把阶34方梯a的变3形4 元为
0 0
0
0
0
矩阵.
只为有一一 行行行）阶，后梯rr台面12形rr阶的2矩3 数第阵即一特100是个点非元100：零 素可行 为0画11的 非出100行 零一数 元条， ，34阶3阶 也梯梯 就线(B线 是，5 )的 非线竖 零的线 行下（ 的方与 元B每第4全素a3段一4为，；BB竖个0消55是为；线非去行保每的零其最留个长元上简台度．a方2形阶2
3 4 3 0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rr32 33rr11
1 0
2 4
20 5 1
1 3
0
1
0
r2 r3
0
2 2
20 3 0
1 3
0 1
0 2 3 0 3 1
0 4 5 1 3 0
1 2 2 0 1 0
1 2 2 0 1 0
12r2
0
1
30
解： 3 A 1
2 2
1
1
2
r1r2
3
2 2
2 1
rr32 33rr11
1 0
2 4
2 5
3 4 3
3 4 3
0 2 3
1
r2 r3
0
2 2
2 3
12r2
1 0
2 1
2 3/ 2
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§4.6 初等矩阵
1 2 3
例１
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
§4.6 初等矩阵
列变换
（AT , CT )
(E, ( AT )1CT ),
即可得Y T ( A1 )TCT ( AT )1CT , 即可求得 Y .
§4.6 初等矩阵
思考题
将矩阵A
1 2
0 0
01表示成有限个初等方阵
0 1 0
的乘积.
§4.6 初等矩阵
解 A可以看成是由3阶单位矩阵E 经4次初等变换,
§4.6 初等矩阵
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11 P11 A E, 及 Pl1Pl11 P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A E
Pl1Pl11 P11 A Pl1Pl11 P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
§4.6 初等矩阵
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
r2 r3 , c1 2c3 , 1r3 , 1c3
A P3P1EP2P4 P3P1P2P4 .
1 0 0
P1 0 0 1,
0 1 0
1 0 0
P3 0 1 0 ,
0 0 1
1 0 0 P2 0 1 0,
2 0 1 1 0 0 P4 0 1 0 . 0 0 1
§4.6 初等矩阵
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵 P1, P2 ,L , Ps ,Q1,Q2 ,L ,Qt , 使 B P1P2 L Ps AQ1Q2 L Qt .
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积,
定理6
即 A Q1Q2L Qt .
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
§4.6 初等矩阵
r1 2r3 r2 5r3
1 0 0 3 2 0 2 0 4 6 0 0 1 1 3
P(i, j(k))1 P(i, j(k)).
§4.6 初等矩阵
2 引理 对任一矩阵 A作一初等行(列)变换相当于 对A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
P(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AP(i, j): 对换 A的 i, j 两列． P(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 列； AP(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
§4.6 初等矩阵
1、对调两行或两列 对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
1 L L 0 L 0
MO L L L
0 L
1 0
0L 0L
0 0
Er 0
0 0
L0
L L
L 0
L 0
L L
L 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
P(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
AP(i, j(k)) ：A的第 i 列乘以 k 加到第 j列．
§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵）
注： ① 矩阵的等价关系具有：
反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等．
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
4 3
解 若 A 可逆，则 X A1B.
1 2 3 2 5 (A B) 2 2 1 3 1
3 4 3 4 3
§4.6 初等矩阵
r2 2r1 1 2 3 2 5 0 2 5 1 9
r3 3r1 0 2 6 2 12
§4.6 初等矩阵
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1
O 1L k
第i行
P(i, j(k))
O 1
第j行
O 1
(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵. P(i, j)1 P(i, j), P(i(k ))1 P(i( 1 )), k
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3
r1 2r3 r2 5r3
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
§4.6 初等矩阵
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ.
由此得定理5的另一种叙述：
对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss ,Qnn , 使
PAQ
Er 0
0 0
，其中 r R( A) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
2 1
§4.6 初等矩阵
利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求 矩阵A1B .
A1( A B) (E A1B)
即
(A B)
初等行变换
E A1B
§4.6 初等矩阵
例２ 求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
1
O
1
0L 1
第
i
行
1
P(i, j)
MO M
1 1L 0
第
j行
1
O
1
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 (ri k), 得 初等矩阵
1
O
1
P(i(k))
k
1Leabharlann O 1第i行(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
1 2 3
例１
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
§4.6 初等矩阵
列变换
（AT , CT )
(E, ( AT )1CT ),
即可得Y T ( A1 )TCT ( AT )1CT , 即可求得 Y .
§4.6 初等矩阵
思考题
将矩阵A
1 2
0 0
01表示成有限个初等方阵
0 1 0
的乘积.
§4.6 初等矩阵
解 A可以看成是由3阶单位矩阵E 经4次初等变换,
§4.6 初等矩阵
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11 P11 A E, 及 Pl1Pl11 P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A E
Pl1Pl11 P11 A Pl1Pl11 P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
§4.6 初等矩阵
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
r2 r3 , c1 2c3 , 1r3 , 1c3
A P3P1EP2P4 P3P1P2P4 .
1 0 0
P1 0 0 1,
0 1 0
1 0 0
P3 0 1 0 ,
0 0 1
1 0 0 P2 0 1 0,
2 0 1 1 0 0 P4 0 1 0 . 0 0 1
§4.6 初等矩阵
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵 P1, P2 ,L , Ps ,Q1,Q2 ,L ,Qt , 使 B P1P2 L Ps AQ1Q2 L Qt .
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积,
定理6
即 A Q1Q2L Qt .
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
§4.6 初等矩阵
r1 2r3 r2 5r3
1 0 0 3 2 0 2 0 4 6 0 0 1 1 3
P(i, j(k))1 P(i, j(k)).
§4.6 初等矩阵
2 引理 对任一矩阵 A作一初等行(列)变换相当于 对A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
P(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AP(i, j): 对换 A的 i, j 两列． P(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 列； AP(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
§4.6 初等矩阵
1、对调两行或两列 对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
1 L L 0 L 0
MO L L L
0 L
1 0
0L 0L
0 0
Er 0
0 0
L0
L L
L 0
L 0
L L
L 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
P(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
AP(i, j(k)) ：A的第 i 列乘以 k 加到第 j列．
§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵）
注： ① 矩阵的等价关系具有：
反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等．
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
4 3
解 若 A 可逆，则 X A1B.
1 2 3 2 5 (A B) 2 2 1 3 1
3 4 3 4 3
§4.6 初等矩阵
r2 2r1 1 2 3 2 5 0 2 5 1 9
r3 3r1 0 2 6 2 12
§4.6 初等矩阵
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1
O 1L k
第i行
P(i, j(k))
O 1
第j行
O 1
(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵. P(i, j)1 P(i, j), P(i(k ))1 P(i( 1 )), k
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3
r1 2r3 r2 5r3
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
§4.6 初等矩阵
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ.
由此得定理5的另一种叙述：
对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss ,Qnn , 使
PAQ
Er 0
0 0
，其中 r R( A) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
2 1
§4.6 初等矩阵
利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求 矩阵A1B .
A1( A B) (E A1B)
即
(A B)
初等行变换
E A1B
§4.6 初等矩阵
例２ 求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
1
O
1
0L 1
第
i
行
1
P(i, j)
MO M
1 1L 0
第
j行
1
O
1
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 (ri k), 得 初等矩阵
1
O
1
P(i(k))
k
1Leabharlann O 1第i行(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去