东北大学概率论课后习题答案PPT4-2

或 成立。
2 P{ X } 2 2 P{ X } 1 2
[注意]切比雪夫不等式可以使我们在随机变量X的分布未知的情 况下，对事件|X-|<的概率做出估计。应用切比雪夫不等 式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。
切比雪夫不等式的证明
其中0<p<1,求Var(X)
无穷递缩等比
级数求和公式
k 1

解： 记q=1-p
E ( X ) kpq p (q k )'
求和与求导 交换次序
k 1

q 1 p( q )' p( )' 1 q p k 1
k

k 1
E ( X ) k pq
2 2

k 1
泊松分布 X ∼ P() 其中>0
k P{X k} e k 0,1,2, 讲过 E(X) k! E(X 2 ) E[X(X 1) X] E[X(X 1)]
k 2 k 2 k (k 1) e k ( k 1 ) e k! k! k 0 k 0
k 1
若X是连续性随机变量，概 率密度为f ( x)，则 D( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx

方差刻划了随机变量的取值相对于其数 学期望（均值）的分散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小；
若X的取值比较分散，则方差较大 .
反之亦然 若方差Var(X)=0,则随机变量X 以概率1取常 数值 .
Y P
-0.5% 0.2
0 0.3
15% 0.2
20% 0.3
投资者怎样投资才合算些？
第二节 方差和标准差
例3：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出： 甲射手 击中环数 8 9 10
概率
0.3
乙射手
0.1
0.6
击中环数 概率
8 0.2
9 0.5
10 0.3
试问哪个射手本领较好？
解：设两个选手各射N枪，则有 甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N 乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N 平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。 问：那个射手技术稳定些？显然乙射手的技术稳定些。衡量技 术稳定性，可以考虑用随机变量与其均值的偏离程度，如 E{|X-E(X)|} 或 E{[X-E(X)]2}
设X是一个随机变量，若 E{[ X E ( X )]2 }存在， 则 D( X ) Var ( X ) E{[ X E ( X )]2 } 称变量，则 D( X ) [ xk E ( X )]2 pk
这一性质可以推广到意 任有限多个相互独立随 的机变量之和
方差性质的证明
(1)设C为常数，则 D(C ) 0; 证明 D(C ) E{[C E (C )]2 } 0
( 2) D(CX ) C 2 D( X ), C是 常 数 ； 证明 D(CX ) E {[CX E (CX )]2 } C 2 E {[ X E ( X )]2 }
( 3)设X , Y是 两 个 随 机 变 量 ， 则 有 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 E {( X E ( X ))(Y E (Y ))} 特别，若 X , Y是 相 互 独 立 的 随 机 变 ， 量有 D( X Y ) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 证明 D( X Y ) E {[( X Y ) E ( X Y )]2 } E {[( X E ( X )) (Y E (Y ))]2 } E {[ X E ( X )]2 } E {[Y E (Y )]2 } 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]} D( X ) D(Y ) 2 E { XY XE (Y ) E ( X )Y E ( X ) E (Y )} D( X ) D(Y ) 2{ E ( XY ) E ( X ) E (Y )} 若X , Y相 互 独 立 ， 则 有 D( X Y ) D( X ) D(Y )
方差的性质
(1)设C为 常 数 ， 则 D(C ) 0; ( 2) D(CX ) C 2 D( X ), C是 常 数 ； ( 3)设X , Y是 两 个 随 机 变 量 ， 则 有 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 E {( X E ( X ))(Y E (Y ))} 特别，若 X , Y是 相 互 独 立 的 随 机 变 ， 量有 D( X Y ) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 的情况。 (4) D( X ) 0的 充 分 必 要 条 件 是 X以 概 率 1取 常 数 C， 即 P{ X C } 1 显然，这里 C E ( X )。
证明 仅 就 连 续 性 随 机 变 量情 的况 来 证 明 。 设 X的 概 率 x
2
密度函数为 f ( x )， 则 有 P{ X } 1

x
f ( x )dx
x

2
f ( x )dx
2 2 ( x ) 2 f ( x )dx 2
第二节 方差和标准差
例1：甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，产品寿命（单位： 千小时）的分布如下
X
5
6
7
8
9
P
Y P
0.1 0.2
6 6.5 0.1 0.2
0.4
7 0.4
0.2
7.5 0.2
0.1
8 0.1
问哪个厂的产品质量好？
例2：在证券市场上有两种证券，收益率的分布如下
X 5% P 0.4
10% 0.6
随机变量X的方差与数学期望有如下关系： D(X)=E(X2)-[E(X)]2
证明 D( X ) E {[ X E ( X )]2 } E { X 2 2 XE ( X ) [ E ( X )]2 } E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )]2 E ( X 2 ) [ E ( X )]2
2 '' 2 e e e k! k 0 ∴ Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=2+-2=
2 k
''

切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望E ( X ) ，方差D( X ) 2，则对于任意正数 ，不等式
p[ k ( k 1)q
k 1

k 1
k 1
kq
k 1

k 1
]
q 1 ) qp( q )+E(X) qp( 1 q p k 1 2 1 2q 1 2 p qp 2 2 3 (1 q) p p p p
k
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 2 p 1 1 p 2 2 2 p p p
例11:利用切比雪夫不等式证明方差的性质4. 例12：利用切比雪夫不等式，估计200个新生儿 中，男孩数大于80，小于120的概率。假定生男 孩和女孩的概率都是0.5.
例4：设X为抛一颗骰子出现的点数，求D（X）
例5：设X ~ B(1, p )，求D( X )。 例6：设X ~ P( )，求D( X )。 例7：设X ~ U (a, b)，求D( X )。 例8：设X ~ E ( )，求D( X )。 例9：设X ~ N (0,1)，求D( X )。
例10 设随机变量 X服从几何分布，概率函数 为 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…，n