14.2.2 第1课时 完全平方公式练习题 2021——2022学年人教版八年级数学上册
14.2.2 完全平方公式 初中人教版八年级上册数学课时习题(含答案)
14.2.2 完全平方公式一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A．2×32＝36B．（﹣2a2b3）3 ＝﹣6a6b9C．﹣5a5b3c÷15a4b＝﹣3ab2c D．（a﹣2b）2 ＝a2﹣4ab+4b2 2．下列计算正确的是（ ）A．(a―b)2=a2―b2B．(a+b)2=a2+b2C．(―a―b)2=a2―2ab+b2D．(a―b)2=a2―2ab+b2 3．设(a+3b)2=(a-3b)2+A，则A=( )A．6ab B．12ab C．-12ab D．24ab 4．下列运算正确的是（ ）A．x2+x3=2x5B．(―2x)2·x3=4x5C．(x+y)2=x2―y2D．x3y2÷x2y3=xy5．下列等式一定成立的是（ ）A．a2+a3=a5B．（a+b）2=a2+b2C．（2ab2）3=6a3b6D．（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab 6．下列等式不正确的是（ ）A．(a+b)(a-b)=a2-b2B．（a+b）(-a-b)=-(a+b)2C．(a-b)(-a+b)=-(a-b)2D．（a-b）(-a-b)=-a2-b27．有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）A．28B．29C．30D．31 8．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）A．﹣16B．﹣14C．﹣12D．﹣10 9．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）A．4B．5C．6D．7二、填空题10．(x―y)(x+y)= ；(a―b)2= .11．计算①(2x+y)(2x―y)= ；②(2x+3y)2= . 12．若x―y=3，xy=2，则x2+y2= .13．若a=b+1，则代数式a2―2ab+b2+2的值为 .14．a2―3a+1=0，则a2+1的值为 a215．已知a，b，c为ΔABC的三边长，且a2+b2=8a+12b―52，其中c是ΔABC中最短的边长，且c为整数，则c= ．三、解答题16．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2―4a―8b+20＝0，c＝3cm，求△ABC的周长．17．已知(a+b)2=60，(a―b)2=80，求a2+b2及ab的值．18．用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，请求出其阴影部分的面积为多少．参考答案1--9DDBBD DBBC10．x2-y2；a2-2ab+b211．4x2―y2；4x2+12xy+9y212．1313．314．715．3或416．解：∵a2+b2―4a―8b+20＝0∴a2―4a+4+b2―8b+16＝0∴(a―2)2+(b―4)2＝0，又∵(a―2)2≥0，(b―4)2≥0∴a―2＝0，b―4＝0，∴a＝2，b＝4，∴△ABC的周长为a+b+c＝2+4+3＝9cm．17．解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80，∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②，∴①+②得：2（a2+b2）=140，解得：a2+b2=70，∴70+2ab=60，解得：ab=-5．18．解：设矩形的长为a，宽为b，根据图①得：（a-b）2=12，根据图②得：（a-2b）2=8，∴a―b=23a―2b=22，解得a=43―22b=23―22，由图③知阴影部分面积=（a-3b）2=（43-22-63+62）2=（-23+42）2=44-166.。
部编版人教数学八上《14.2.2第1课时 完全平方公式 同步训练习题(含答案)》最新精品
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14．2.2 完全平方公式
第1课时完全平方公式
[学生用书P83]
1．下列计算正确的是( )
A．(a－2b)2＝a2－4b2
B．(4x＋y)2＝16x2＋y2
C．(3a＋2b)2＝9a2＋6ab＋4b2
D．(－3＋x)2＝x2－6x＋9
2．[2016春·岱岳区期末]设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A＝( )
A．30ab B．60ab
C．15ab D．12ab
3．图14-2-2(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图14-2-2(2)的方式拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )
图14-2-2
A．2ab B．(a＋b)2
C．(a－b)2 D．a2－b2
4．计算：
(1)(3x＋1)2；
(2)(2x－3y)2；
(3)(－4－a)2；
(4)－x2＋(2x＋3)2.
5．利用乘法公式计算：
(1)5012；(2)9.92.
6．化简：
(1)[2016·无锡](a－b)2－a(a－2b)；
(2)[2016·重庆](x－y)2－(x－2y)(x＋y)．
7．[2016·巴中]若a＋b＝3，ab＝2，则(a－b)2＝__ __．8．已知x＋y＝7，xy＝2，求下列各式的值：
(1)2x2＋2y2；
(2)(x－y)2.。
14.2.2 完全平方公式(同步课件)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)
(2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)] ＝12－(2m－n)2 ＝1－4m2＋4mn－n2.
完全平 方公式
法则
注意
常用 结论
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号，变 形成符合公式的形式才行
3. 弄清完全平方公式和平方差公 式的不同（从公式结构特点及 结果两方面）
= (-x)2+2(-x)·1 + 12 = x2-2x+1
(2)(x-1)2 (x-1)2
= (x)2-2·x·1 + 12 = x2-2x+1
1 (a-b)2=(b-a)2.
(b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2.
运用完全平方公式计算：
(3) (-2x-3)2
(-2x-3)2 = (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9 = 4x2+12x+9.
2.将1052变形正确的是（ C ）
A. 1052=1002+52
B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ D ）
A.28 B.-28
C.24或-24
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线
（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按
14.2.2第1课时完全平方公式 课件 2024-—2025学年人教版数学八年级上册
课堂训练
4.（2021•台湾）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ C ）
A．2482+248×52+522=3002 B．2482-248×48-482=2002 C．2482+2×248×52+522=3002 D．2482-2×248×48-482=2002
课堂训练
5.（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2=4x2-2（m-1）xy+16y2，则m的值 为 -7 ． 【解析】（2x+4y）2=4x2+16xy+16y2，∴-2（m-1）=16，解得m=-7.故
2
解：原式=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2
=-2x.
当x=
1 2
时，原式=-2×（
1 2
）=1．
课堂训练
8.利用乘法公式计算：982-101×99.
解：原式=(100-2)2-(100+1)(100-1) =1002-400+4-1002+1 =-395.
课堂训练
9.(1)已知x+y=8，xy=12，求x2-xy+y2的值． 解：∵x+y=8，xy=12，x2-xy+y2=（x+y）2-3xy ∴x2-xy+y2=82-3×12=64-36=28．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式及其结构特征.（重点） 2.理解完全平方公式的探索及推导过程，灵活应用完全平方公 式进行计算和解决实际问题.（难点）
人教版八年级上册数学 14.2乘法公式 同步练习
人教版八年级上册数学14.2乘法公式同步练习第1课时平方差公式1.若x²−y²=4,则x+y²x−y²的值是()A.4B.8C.16D.642.下列多项式相乘不能用平方差公式计算的是()A.(4x-3y)(3y-4x)B.(-4x+3y)(-4x-3y)C.(3y+2x)(2x-3y)D.−14x+2y+2y3.已知(x+2)(x--2)--2x=1,则2x²−4x+3的值为()A.13B.8C.--3D.54.若a=2022º,b=2021×2023-2022²,c=−×,则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a5.计算:x+1x−1x²+1=.6.已知a--b=2,则a²−b²−4a的值为7.运用平方差公式计算：(1)9.9×10.1(2)(5ab-3xy)(-3xy-5ab)（3）31×29(4)(3m-2n)(-3m-2n)8.如图,大正方形ABCF与小正方形EBDH的面积之差是40，则涂色部分的面积是()A.20B.30C.40D.609.若(3a+3b+1)(3a+3b--1)=899,则a+b=.10.[3−1×3+1×32+1×34+1×⋯×3³²+1+1]÷3的个位上的数字为.11.如果a，b为有理数，那么2a²−a−b(a+b)-[(2-a)(a+2)+(-b-2)(2-b)]的结果与b的值有关吗?12.先化简,再求值:(a+2b)(a—2b)—(--2a+3b)(-2a-3b)+(--a-b)(b-a),其中a=2,b=3.13.阅读材料:乐乐遇到一个问题：计算(2+1)×2²+1×2⁴+1.经过观察，乐乐答案讲解发现如果将原式进行适当变形后，可以出现特殊的结构，进而可以运用平方差公式解决问题，具体解法如下：2+1×2²+1×2⁴+1=2−1×2+1×2²+1×2⁴+1=2²−1×2²+1×2⁴+1=2¹−1×2⁴+1=2⁸−1.根据乐乐解决问题的方法，请你试着计算下列各题：12+1×2²+1×2⁴+1×2⁸+1×2¹⁶+1.23+1×3²+1×3⁴+1×3⁸+1×3¹⁶+1.14.(1)将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为(2)运用你所得到的乘法公式，完成题目：①若x²−9y²=12,x+3y=4,求x-3y的值.②计算:103×97.(3)计算:1−×1−×1−×⋯×1×1−.第2课时完全平方公式1.下列关于104²的计算方法中，正确的是()A.104²=100²+4²B.104²=100+4×100−4C.104²=100²+100×4+4²D.104²=100²+2×100×4+4²2.我们在学习许多公式时，可以用几何图形来推理和验证.观察下列图形，可以推出公式a−b²=a²−2ab+b²的是()3.若x=y+3,xy=4,则.x²−3xy+y²的值为4.已知x²−2x−2=0,则x−1²+2021=5.运用乘法公式计算：1.x+3x−3x²−92.−x−5²−2x+3²3.1+12x21−12x26.已知3a−b=5,9a²−7ab+b²=14,则ab的值为()A.1B.2C.9D.117.已知长方形的长和宽分别为a和b，长方形的周长和面积分别为20和24，则a²+b²的结果为()A.64B.52C.48D.448.已知a，b满足等式x=3a²−2a+4,y=2a²+4a--5,则x,y的大小关系是()A.x=yB.x>yC.x<yD.x≥y9.先化简，再求值：[4xy−1²−xy+2(2−xy)]÷xy,其中x=2,y=-0.3.10.已知2024−x²+x−2023²=9,则(2024-x)(x-2023)的值为.11.已知x+1x=3,求下列各式的值：1x4+1x4.2x.12.如图，将一块大长方形铁皮切割成九块(虚线代表切痕)，其中两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是(第10题)长、宽分别为m，n的小长方形，且m>n，切痕的总长为42，每块小长方形的面积为9，则(m-n)²的值为.13.如图①,有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.(1)如图②,用1张A型卡片,2张答案讲解B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，利用两种方法计算这个长方形的面积，可以得到一个等式：(2)选取1张A型卡片,8张C型卡片,张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为.(3)如图③，正方形的边长分别为m，n，m+2n=10,mn=12,求涂色部分的面积.完全平方公式经过适当的变形，可以用来解决很多数学问题.14.例如:若a+b=3,ab=1,求a²+b²的值.解:∵a+b=3,ab=1,∴a+b²=9,2ab=2.∴a²+b²+2ab=9.∴a²+b²=7.根据上面的解题思路与方法，还可以解决下面的几何问题：如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形ACDE与正方形BCFG.设AB=8，两个正方形的面积和为40,求△AFC的面积.。
人教版八年级数学上册14.2.2 第1课时 完全平方公式
例题1：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 ×
第三天的多，多2ab 块
课堂小结
知识点 完全平方公式 公式：(1)(a＋b)2＝___a2_＋__2a_b_＋__b2__； (2)(a－b)2＝___a2_－__2a_b_＋__b_2 _． 文字表述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的____2____倍．
观察下列计算过程，判断其是否正确，若不正确，请改正． (1)(2a－3b)2＝4a2－9b2； (2)(－2m－3n)2＝4m2－12mn＋9n2.
（2）(4x + 5y)2 = (4x)2 2 4x 5y (5y)2 = 16x2 40xy 25y2；
（3）(mn - a)2
= (mn)2 - 2 mn a a2
= m2n2 - 2amn a2 .
随堂练习
计算：
（1）
1 2
x
-
2y
2
；（2）
பைடு நூலகம்
2xy
探究
设置情境，探究新知
一块边长为a m的正方形实验田，如图所示，因
需要将其边长增加b m，构成四块田地，种植不同的
新品种.用不同的形式表示实验田的总面积，并进行
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()32639a a =C ．2225420a a a ⋅=D ．444235a a a +=2．若多项式294x mx -+是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A ．12B ．12±C ．6D ．6±3．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a 的代数式2A a a =+，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个①当2a =-时，2A =；①存在实数a ，使得104A +<； ①若10A -=，则2213a a +=；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=22218A B C AB AC BC ++---=．A ．4B ．3C ．2D ．14．阅读材料：我们把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即222)2(a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+，2(2)2x x -+，2213224x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是224x x -+的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（ ） ①2(2)2x x +-和2(31)x ++都是224x x ++不同形式的配方①22(1)4x k x --+是完全平方式，则k 的值为3 ①23534b b +-有最小值，最小值为2 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．12mC ．15mD ．18m6．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、填空题7．若m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，则代数式m 2+n 2-2mn ＝_____．8．若x ＝3是关于x 的一元一次方程mx ﹣n ＝3的解，则代数式10﹣3m ＋n 的值是___．9．如果用公式222()2a b a ab b +=++计算2()a b c ++，那么第一步应该写成2()a b c ++=________．三、解答题10．已知xy (1)求代数式2x 2+2y 2﹣ x y 的值；(2)2x y 的值．11．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++①()220y +≥①()2244y ++≥①代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?12．图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式2()m n +，2()m n -，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知7a b +=，5ab =，求2()a b -的值．参考答案：1．D【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故A 不符合题意；B 、()326327a a =，故B 不符合题意； C 、2245420a a a =，故C 不符合题意；D 、444235a a a +=，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键是对这些知识点的运算法则的掌握与应用．2．B【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．【详解】解：①9x 2-mx +4是一个完全平方式，①-m =±12，①m =±12．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．B【分析】利用代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断①，利用公式变形，整体代入求值可判断①，根据A B -=B C -=A C -=222A B C AB AC BC ++---配方得出(222111222++，然后代入求值可判断①． 【详解】解①当2a =-时，()2222A =--=，故①正确； ①存在实数a ，使得221110442A a a a ⎛⎫+=++=+≥ ⎪⎝⎭，故①不正确； ①若10A -=，①21a a +=，当0,01a =≠，①0a ≠， ①11a a-=-， 则2221123a a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭； 故①正确；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=①()()A C A B B C -=-+-=则222A B C AB AC BC ++--- =()22212222222A B C AB AC BC ++---=()()()222111222A B B C A C -+-+-=(222111222++ =18；故①正确，①正确的个数有3个，故选B ．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式性质，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式及其变形公式，和代数式求值方法是解题关键．4．C【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断；①利用完全平方公式的结构特征判断即可；①原式配方后，求出最小值，即可作出判断．【详解】解：①①(x +2)2-2x= x 2+2x +4，(x +1)2+3= x 2+2x +4，①(x +2)2-2x 和(x +1)2+3都是x 2+2x +4不同形式的配方，符合题意；①x 2-2(k -1)x +4是完全平方式，则k -1=2或k -1=-2，即k =3或-1，不符合题意；①原式=34(b 2-4b +4)+2=34(b -2)2+2，当b =2时，取得最小值，最小值为2，符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．C【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC ＝8m ，设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，在Rt①ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，即x 2+82＝（x +2）2，解得x ＝15，故AB ＝15m ，即旗杆的高为15m ．故选：C ．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．6．C【分析】根据运算程序代值求解得到输出结果的规律求解即可．【详解】解：把x ＝2代入得：2÷2＝1，把x ＝1代入得：1+5＝6，把x ＝6代入得：6÷2＝3，把x ＝3代入得：3+5＝8，把x ＝8代入得：8÷2＝4，把x ＝4代入得：4÷2＝2，把x ＝2代入得：2÷2＝1，……以此类推，可知每6个一循环，且输入次数与输出结果的对应规律是：61n +对应1；62n +对应6；63n +对应3；64n +对应8；65n +对应4；6n +6对应2；①202163365=⨯+，①经过2021次输出的结果是4．故选：C ．【点睛】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键．7．21【分析】先根据根与系数的关系得到m +n ＝3，m n ＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：①m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，①m +n ＝3，m n ＝﹣3，①m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a =． 8．7【分析】根据题意得到﹣3m +n ＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m ＋n 求解即可．【详解】解：由题意得：3m ﹣n ＝3，①﹣3m +n ＝﹣3，①原式＝10﹣3＝7．故答案为：7．【点睛】此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．9．22()2()a b c a b c ++++【分析】利用完全平方公式即可得．【详解】[]2222()()()2()a b c a b c a b c a b c ++=++=++++，故答案为：22()2()a b c a b c ++++．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．10．(1)27；(2)【分析】（1）求得x +y 和x y 的值，再利用完全平方公式变形求值即可；（2）根据x ＜1，先分母开方，约分，再代入求值即可；(1)解：原式＝2x 2+4xy +2y 2﹣5xy ＝2（x +y ）2﹣5xy ，①2x =2y ==，①x +y ＝24，(221xy ==，①原式＝2×42﹣5×1＝2×16﹣5＝27；(2)解：①x ＝21，①x yx yx y ＝x y＝1 ＝﹣1＝ 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．11．(1)−3； (2)13； (3)当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子变形为()213x --，再根据非负数的性质得出最小值； （2）根据阅读材料将所求的式子变形为()23|1|0a b -++=，再根据非负数的性质求出a 、b ，代入b a 计算即可；（3）先根据矩形的面积公式列出式子，再根据阅读材料将式子变形，求出最值即可．（1）解：()222213x x x --=--，①()210x -≥，①()2133x --≥-，①代数式222x x --的最小值为−3；（2）①()2269|1|3|1|0a a b a b -+++=-++=，①a −3＝0，b ＋1＝0，①a ＝3，b ＝−1， ①1133b a -==， 故答案为：13； （3）设()m AB x =，由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ①()2250x --≤，①当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．（1）m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-，方法①：2()4m n mn +-；（3）22()()4m n m n mn -=+-；（4）29．【分析】（1）根据图形即可得出图b 中小正方形的边长为m n -；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为2()m n -；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为2()4m n mn +-；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到22()()4a b a b ab -=+-．【详解】解：（1）图b 中小正方形的边长为m n -．故答案为m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-；方法①：2()4m n mn +-；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以22()()4m n m n mn -=+-；（4）由（3）得：22()()4a b a b ab -=+-，7a b +=，5ab =，2()a b ∴-222a ab b =-+2()4a b ab =+-2745=-⨯4920=-29=．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．。
人教版八年级上册数学 14.2.2完全平方公式 同步习题(含解析)
14.2.2完全平方公式同步习题一．选择题（共10小题）1．计算：（2x﹣y）2＝（）A．4x2﹣4xy+y2B．4x2﹣2xy+y2C．4x2﹣y2D．4x2+y22．若a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a2﹣3ab+b2的值为（）A．13B．19C．25D．313．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．无法确定4．若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（）A．4B．﹣4C．2D．±25．计算（x+3y）2﹣（x﹣3y）2的结果是（）A．12xy B．﹣12xy C．6xy D．﹣6xy6．若（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a，b的值分别为（）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝3C．a＝4，b＝9D．a＝2，b＝9 7．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（）A．﹣1B．﹣4039C．4039D．18．下列等式成立的是（）A．（a+1）2＝（a﹣1）2B．（﹣a﹣1）2＝（a+1）2C．（﹣a+1）2＝（a+1）2D．（﹣a﹣1）2＝（a﹣1）29．设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（）A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②正确D．①错误②错误10．如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（）A．3B．±3C．6D．±6二．填空题（共5小题）11．已知a，b满足a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝．12．计算（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）的结果是．13．已知（2020+x）（2018+x）＝55，则（2020+x）2+（2018+x）2＝．14．用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝．15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（a+b）n （n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…根据以上规律，（a+b）5展开式共有六项，系数分别为．拓展应用：（a﹣b）4＝．三．解答题（共3小题）16．已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．17．利用整式乘法公式计算：（1）2012；（2）19992﹣1998×2000．18．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；（2）求（6m﹣4039）2的值．参考答案1．解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，故选：A．2．解：∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝52﹣（﹣6）＝31，故选：D．3．解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，∴A＝B．故选：A．4．解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，∴2xy＝62﹣20＝16，∴xy＝8，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，∴x﹣y＝±2，故选：D．5．解：原式＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣6xy+9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2＝12xy．故选：A．6．解：（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a2x2+6axy+9y2＝4x2+12xy+by2，故a2＝4且6a＝12，b＝9，解得：a＝2，b＝9．故选：D．7．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1＝20192，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2＝20202，∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，故选：B．8．解：A、（a+1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；B、（﹣a﹣1）2＝（a+1）2，原等式成立，故此选项符合题意；C、（﹣a+1）2≠（a+1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；D、（﹣a﹣1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；故选：B．9．解：当n＝3时，即x+y＝3，由可得，x﹣y＝2，因此，x＝，y＝，∴q＝x2﹣y2═﹣＝＝6，因此①正确；当p＝时，即x2+y2＝，又∴x﹣y＝2，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴﹣2xy＝4，∴m＝xy＝，因此②正确；故选：B．10．解：∵（x+3）2＝x2+6x+9，∴a＝6．故选：C．11．解：因为a﹣b＝1，ab＝2，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝12+2×2＝1+4＝5，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+2×2＝9，所以a+b＝±3．故答案为：±3．12．解：（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）＝a2﹣4ab+4b2﹣6a2+8ab＝﹣5a2+4ab+4b2，故答案为：﹣5a2+4ab+4b2．13．解：∵（2020+x）（2018+x）＝55，∴（2020+x）2+（2018+x）2＝[（2020+x）﹣（2018+x）]2+2（2020+x）（2018+x）＝22+2×55＝114．故答案为114．14．解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．故答案是：100．15．解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．故答案为：1 5 10 10 5 1，a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．16．解：①∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；②∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．17．解：（1）原式＝（200+1）2＝2002+2×200×1+12＝40401；（2）原式＝19992﹣（1999﹣1）（1999+1）＝19992﹣19992+1＝1．18．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）＝x2+y2﹣2xy＝5+4＝9．。
八年级数学上册14.2.2完全平方公式课时练习(含解析)(新版)新人教版
1 2 ）， 2
1 2 y 都是完全平方式， 4
25 ，n=±1， 16 16 16 当 n=1 时，原式= ；当 n=-1 时，原式= ； 9 41
（3）单项式可以为-1，-9x2，6x，-6x． 12.多项式 x2+1 加上一个整式后是含 x 的二项的完全平方式．
例题：x2+1+ 2x =（x+1）2． （1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含 x 的二项式的完全平方式的式子（不能用已知的例题）： ①x2+1+ =（x-1）2； ②x2+1+ =（
1 2 x +1）2． 2
（2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个含 x 的二项式的完全平方式 x2+1+ =（x2+1）2． 【答案】(1)-2x，
1 4 x ；（2） x 4 x 2 . 4
【解析】例题∵（x+1）2=x2+2x+1， ∴应填入 2x； （1）①∵（x-1）2=x2-2x+1， ∴应填入-2x；
3 ． 4
【解析】4a2-2a+1-3a2=a2-2a+1=（a-1）2， 4a2-2a+1-2a=4a2-4a+1=（2a-1）2， 4a2-2a+1+6a=4a2+4a+1=（2a+1）2， 4a2-2a+1-=4a2-2a+
1 1 =（2a- ）2， 4 2 3 ． 4
所以，加上的单项式为-3a2 或-2a 或 6a 或-
16 16 或 ；（3）-1，-9x2，6x，-6x． 9 41 1 2 1 b =（2a+ b）2；④a2-ab+b2， 4 2
14.2.2完全平方公式(第一课时)
3.选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，那么 m的值是（ c ） A ．4 B．-4 C．±4 D．±8 （2）将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形 的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2 C.（36+12a）cm2 D．以上都不对
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2.
(a -b )2 = ( a - b ) (a - b ) = a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 完全平方公式的文字叙述： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍.
（3）已知 a+b=4，ab=-12，则a2+b2= 40
（4）已知 m+n=3，mn=5， 求:(m+3)(n+3)的值. （5）已知x+y=4，xy=-13， 求: x2-3xy+y2的值. （6）已知:(a+b)2=4, (a-b)2=36 求a2-ab+b2的值. ab=-8 28
.
23 81
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.2完全平方公式 （第一课时）
复习与回顾 1.多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一 项,再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
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14.2.2 第1课时完全平方公式
【基础练习】
知识点 1 完全平方公式
1.根据完全平方公式填空:
(1)(x+1)2=()2+2××+()2= ;
(2)(-x+1)2=()2+2××+()2= ;
(3)(-2a-b)2=()2+2××+()2= .
2.[2020·陕西]计算(2x-y)2的结果为 ()
A.4x2-4xy+y2
B.4x2-2xy+y2
C.4x2-y2
D.4x2+y2
3.下列计算中,结果错误的是 ()
①(b-4c)2=b2-16c2;
②(a-2bc)2=a2+4abc+4b2c2;
③(x+y)2=x2+xy+y2;
④(4m-n)2=16m2-8mn+n2.
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
4.计算(2x-1)(1-2x)的结果正确的是 ()
A.4x2-1
B.1-4x2
C.-4x2+4x-1
D.4x2-4x+1
5.[2020·江西]计算:(a-1)2= .
6.[教材例3变式]计算:
(1)(2y-1)2;
(2)(3a+2b)2;
(3)(-x +2y )2;
(4)(5-ab )2;
(5)(-3x -4y )2;
(6)(ab -1)(-ab +1).
7.(1)先化简,再求值:(x +5)(x -1)+(x -2)2,其中x=-2;
(2)已知x=16,y=18,求式子(2x +3y )2-(2x -3y )2的值.
知识点 2 利用完全平方公式简便计算
8.9.72变形正确的是 ( ) A .9.72=92+0.72
B .9.72=92-9×0.7÷0.72
C .9.72=(10+0.3)×(10-0.3)
D .9.72=102-2×10×0.3+0.32
9.[教材例4变式] 运用完全平方公式进行简便计算:
(1)(60160)2;
(2)9.82.
【能力提升】
10.若m ≠n ,则下列各式:①(m -n )2=(n -m )2,②(m -n )2=-(n -m )2,③(m +n )(m -n )=(-m -n )(-m +n ),④(-m -n )2=-(m +n )2中,错误的有 ( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个
11.已知(m +n )2=5,mn=1,则m 2+n 2的值是 ( ) A .2 B .3 C .4
D .1 12.如果ab=2,a +b=3,那么a 2+b 2= .
.
13.先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=1
2
14.(1)化简:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2;
(2)利用(1)中的结果,已知a-b=10,b-c=5,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
15.计算:(1)(a-b)2(a+b)2;
(2)(x+y)(-x+y)(x2-y2).
16.如图2①是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
图2
(1)图②中阴影部分的面积为,也可以表示为;
(2)观察图②,请你写出式子(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系:;
(3)若x+y=-6,xy=2.75,则x-y= ;
(4)实际上有许多恒等式都可以用图形的面积来表示,如图③,它表示等式:
.
17.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图3中的三角形解释二项式(a+b)n 的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.
图3
(1)每一行的任意一个数字和它上方的两个数字有什么关系?
(2)按照这个规律你能计算一下第7行第4个数是多少吗?第8行第4个数是多少?
14.2.2 第1课时 完全平方公式
1.(1)x x 1 1 x 2
+2x +1
(2)-x (-x ) 1 1 x 2-2x +1
(3)-2a (-2a ) (-b ) -b 4a 2+4ab +b 2
2.A
3.A
4.C [解析] 原式=-(2x -1)2=-4x 2+4x -1.
5.a 2-2a +1
6.解:(1)(2y -1)2=(2y )2-2·2y ·1+12=4y 2-4y +1.
(2)(3a +2b )2=(3a )2+2·3a ·2b +(2b )2=9a 2+12ab +4b 2.
(3)方法一:(-x +2y )2=(2y -x )2=(2y )2-2·2y ·x +x 2=4y 2-4xy +x 2.
方法二:(-x +2y )2=[-(x -2y )]2=(x -2y )2=x 2-4xy +4y 2.
(4)原式=a 2b 2-10ab +25.
(5)原式=(3x +4y )2=9x 2+24xy +16y 2.
(6)原式=-(ab -1)2=-(a 2b 2-2ab +1)=-a 2b 2+2ab -1.
7.解:(1)原式=x 2-x +5x -5+x 2-4x +4=2x 2-1.
当x=-2时,原式=2×(-2)2-1=7.
(2)原式=4x 2+12xy +9y 2-4x 2+12xy -9y 2=24xy.
当x=16,y=18时,原式=24×16×18=12.
8.D
9.[解析] (1)中60160可写成60+160;(2)中9.8可写成10-0.2. 解:(1)(60160)2=(60+160)2=602+2×60×160+(160)2=3600+2+13600=360213600.
(2)9.82=(10-0.2)2=102-2×10×0.2+0.22=100-4+0.04=96.04.
10.C [解析] 其中错误的是②④.
11.B [解析] ∵(m +n )2=m 2+2mn +n 2, ∴m 2+n 2=5-2=3.故选B .
12.5 [解析] ∵ab=2,a +b=3,
∴a 2+b 2=(a +b )2-2ab=32-4=5.
13.解:原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab +4b 2)+8b 2=a 2-4b 2-a 2+4ab -4b 2+8b 2
=4ab.
当a=-2,b=12时,原式=4ab=4×(-2)×12=-4. 14.解:(1)原式=2a 2+2b 2+2c 2
-2ab -2bc -2ca.
(2)∵a -b=10,b -c=5,∴a -c=15. ∴a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca
=12(2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ca )
=12[(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2]
=12(102+52+152)=12×350=175.
15.解:(1)原式=[(a -b )(a +b )]2=(a 2-b 2)2=a 4-2a 2b 2+b 4.
(2)原式=-(x 2-y 2)2=-x 4+2x 2y 2-y 4.
16.(1)(m -n )2 (m +n )2-4mn
(2)(m +n )2-4mn=(m -n )2 (3)±5
(4)(2m +n )(m +n )=2m 2+3mn +n 2
17.解:(1)每一行的任意一个数字都等于它上方的两个数字之和,如果某个数字的上方有一侧没有数字,可以看做0.
(2)第7行第4个数等于第6行第3个数加上第6行第4个数,即10+10=20;
第8行第4个数等于第7行第3个数加上第7行第4个数,即15+20=35.。