第二章 随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念
说明与解释
2.1 随机过程的定义
◆{X(t), t∈T}称为随机过程，是定义在样本空间Ω和参数集T上的一个二
元函数
◆当t=t0固定时，X(t0)为一个随机变量，当样本点ω固定时，X(ω,t)随时
间变化，称为样本函数，在平面上为一条曲线，或折线段
2.2 随机过程的分布
◆对于随机过程{X(t), t∈T}，当参数t取有限n个不同值时，则得到一个n维随机向量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))，它的概率分布即为概率论中多维随机向量的联合概率分布。

◆定理2.2.1的说明
（1）对称性随机过程的n维分布函数
F(x1,x2⋯,x n;t1,t2⋯,t n)=P[(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,⋯,X(t n)≤x n]
上面大括号内是n个事件的积，事件的积运算满足交换律，所以对称性成立。

（2）相容性以二维随机向量(X,Y)为例，有
F X(x)=F XY(x,∞)
所以，相容性成立。

◆例2.2.1的说明
因为U、V相互独立且同分布，都服从标准正态分布，因此它们的线性组合也服从正态分布，只需求出X(t)=U+tV的数学期望和方程即可。

（1）一维密度函数根据期望与方差的性质，有
E(X(t))=E(U+tV)E(U)+tE(V)=0
D(X(t))=D(U+tV)=D(U)+D(tV)=1+t2D(V)=1+t2而一维正态随机变量的密度函数为
f(x)=
1
√2πσ
{−
(x−μ)2
2σ2
}
（2）n维密度函数可以根据定理1.2.2证明(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))服从n维正态分布，所以下面只需求出其数学期望向量μ和协方差矩阵Σ
根据（1）的计算结果，μ=E(X(t))为0向量
cov(X(t i),X(t j))=cov(U+t i V,U+t j V)
=cov(U,V)+t i cov(V,U)+t j cov(U,V)+t i t j cov(V,V)
=D(U)+0+0+t i t j D(V)=1+t i t j
记σij=1+t i t j,( i,j=1,2,⋯,n),Σ=(σij)n×n,x=(x1,x2,⋯,x n)
由定理1.2.1知n维正态变量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))的密度函数为
f(x)=
1
√2π
n√|Σ|
{−
1
2
(x−μ)TΣ−1(x−μ)}
◆如果随机过程{X(t),−∞<t<+∞}的任意有限为分布都是正态分布，则称随
机过程为正态过程，或高斯过程
2.3 随机过程的数字特征
◆随机过程的数字特征与概率论中的数字特征完全类似
◆均方值函数存在的随机过程称为二阶矩过程
◆例设随机过程X(t)=tV,t>0，其中V为离散型随机变量，其分布律为
试求X(t)的均值函数、均方值函数、方差函数、均方差函数、自相关函数、协方差函数
解根据概率论知识，E(V)=0.2,E(V2)=1，由此可得
均值函数μX(t)=E(tV)=tE(V)=0.2t
均方值函数ψX2(t)=E((X(t))2)=E((tV)2)=t2E(V2)=t2
方差函数σX2(t)=ψX2(t)−(μX(t))2=t2−(0.2t)2=0.96t2
均方差函数σX(t)=√σX2(t)=√0.96t
自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))=E(sVtV)=stE(V2)=st
自协方差函数C X(s,t)=R X(s,t)−μX(s)μX(t)=st−0.04st=0.95st
◆在随机过程所有的数字特征中，均值函数和自相关函数是最基本的数字
特征，其它数字特征都可从它们推出
2.4 二维随机过程和复随机过程
2.5 几类常用的随机过程
◆平稳过程的分布只与参数的起点有关，而与参数的增量无关，即(X(t))
与X(t+ℎ)同分布
◆定理2.5.1的说明一般来说，利用随机过程的自协方差函数可以直
接写出它的方差函数，但定理2.3.1告诉我们，当随机过程在初始时刻的状态为常数时，则已知方差可直接写出自协方差函数，即C X(t,t)=σX2(t)
◆独立过程独立抛掷一颗骰子100次，观察每次掷出的点数，记X n为第
n次出现的点数，则{X n, n=1,2,3,⋯,100}为独立过程（独立时间序列）◆参数为p的贝努利过程{X n, n≥1}是独立过程
◆以贝努利过程{X n, n≥1}说明平稳独立增量过程
记N n =∑X i n i=1，则服从二项分布B(n,p). 当m <n 时， N n −N m =N m+1+N m+2+⋯+N n ~B(n −m,p) 对任意正整数k ≥1,N n+k −N m+k =N m+k+1+⋯+N n+k ~B(n −m,p) 所以，{X n , n ≥1}是平稳过程
其次，如果n 1<n 2<⋯<n mm ，可证N n 2−N n 1,N n 3−N n 2,⋯,N n m −N n m−1相互独立。

考虑一种特殊情况来验证，考察1<2<3的情形，根据
X n 的定义，有 N 2−N 1=X 2,N 3−N 2=X 3
因为X 3,X 2是独立的，所以， N 2−N 1,N 3−N 2是独立的。