长沙市明达中学高一上学期新生入学考试数学试卷
高一新生入学考试
数 学
时量：90分钟 满分：120分
一、选择题（第1-12小题为单项选择，每小题4分，共计48 分）
1..截至北京时间2020年7月2日14时30分，全球新冠肺炎确诊病例约10930000例，死亡病例累计
520000人，将“10930000”这个数字用科学记数法表示为( )
A.51.09310⨯
B.710.9310⨯
C.71.09310⨯
D.80.109310⨯
2.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列计算中，结果是7a 的是 （ ）
A. 34a a -
B. 34a a ⨯
C. 34a a +
D. 34a a ÷ 4. 如右图，该几何体的俯视图是 （ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（ ）
A.了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查，
B.一组数据3,6,6,7,9中的中位数是6，
C.从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000，
D.一组数据1,2,3,4,5的方差是10.
6.如图△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD ＋∠ACD ＝ （ ）
A.75°
B.80°
C.85°
D.90° 7.已知一次函数1
3y
x =-和反比例函数24
y x
=
的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当12y y >时， x 的取值范围是 （ ）
A. 1x <-或4x >
B. 10x -<<或4x >
C. 10x -<<或04x <<
D. 1x <-或04x << 8.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为
A ．313
-
B ．
33
C ．314-
D ．12
9．若不等式组的解集是⎩⎨
⎧>-<+m
x x x 1
48的取值范围是则m x ,3> ( )
A ． 3>m
B ． 3≥m
C ． 3≤m
D ． 3<m
10.2018年某县
总量为1000亿元，计划到2020年全县
总量实现1210亿元的目标，如果每年
的平均增长率相同，那么该县这两年总量的年平均增长率为（ ）
A.
B.
C.
D.
11.若关于x 的方程()21410k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．5k < B ．5k ≥
C ．5k ≤且1k ≠
D ．5k ≤
12.已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
第6题 第8题 第12题
A
B C
D
F
E D
C
B
A
二．填空题（每小题5分，共20分） 13．计算：0
2020
11
2tan 60(1)(1)
()2
π-+++--= 14.化简：2451111a a a a a a -⎛⎫⎛⎫
+-
÷- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
=
15.一个布袋内只装1个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是
16. 如图，直线4
:3
l y x =-
，点1A 的坐标为()3,0-，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴负半轴于点
2A ，再过点2A 作x 轴的垂线交直线l 于点，以原点O 为圆心，2OB 长为半
径画弧交x 轴负半轴于点3A ..........，按此做法下去，点2020A 的坐标为
三．解答题（共5大题，共52分）
17.（9分）为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图.
请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：
a b x y的值；
（1）求出,,,
（2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用：列表法或树状图求出小明、小敏同时被选中的概率.（注：五位同学请用表示，其中小明为，小敏为）
18.（9分）街道旁边有一根电线杆AB
和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，
太阳
A
B C D
O E
电线杆的顶端A 的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G ，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E ，已知BC=5米，半圆形的直径为6米，DE=2米。
（1）求电线杆落在广告牌上的影长（即CG ︵
的长度，精确到0.1米） （2）求电线杆的高度。
19.（10分）已知: 如图, 在△ABC 中, AB ＝AC, AE 是角平分线, BM 平分∠ABC 交AE 于点M, 经过B ．M 两点的⊙O 交BC 于点G, 交AB 于点F, FB 恰为⊙O 的直径. (1)求证: AE 与⊙O 相切;
(2)连接OG 、MG 、MF 、GF ．若四边形AMGF 是平行四边形，试判断四边形OFMG 的形状，并说明理由． (3) 当4BC =, 1
cos 3
C =
时, 求⊙O 的半径.
20.（12分）已知二次函数c bx ax y ++=2
.
（1）若2,3a c ==-，且二次函数的图像经过点()1,2--，求b 的值；
（2）若2,2,a b c b c =+=->，且二次函数的图像经过点(),2p -，求证：0b ≥；
（3）若0,a b c a b c ++=>>，且二次函数的图像经过点(),q a -，试问当自变量4x q =+时，
二次函数c bx ax y ++=2
所对应的函数值y 是否大于0？请证明你的结论.
B
21.（12分）已知抛物线2
2
22(2),y
x mx
m m m 顶点为点M ，抛物线与x 轴交于,A B 两点（点
A 在点
B 的左侧），与y 轴交于点
C .
（1）若抛物线经过点（1,1）时，求此时抛物线的解析式； （2）直线21y
x 与抛物线交于,P Q
两点，若PQ ≤m 的取值范围.
（3）如图，若直线CM 交x 轴于点N ，请求AN BN
ON
的值.
O
M
x
y N C
A
B
答案
一．选择题（第1-12小题为单项选择，每小题4分，共计48 分）
三．填空题（每小题5分，共20分）
13. 2
2a a -
14. 4
9 16. 201920185,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
三．解答题（共5大题，共52分） 17.（9分）解：（1）， 所以
，
，
，
（2）小王的测试成绩在范围内
（3）画树状图为：（五位同学用
表示，其中小明为，小敏为）
共有20种等可能的结果数，其中小明、小敏同时被选中的结果数为2，
所以小明、小敏同时被选中的概率.
18.（9分）
19.（10分）
20.（12分）
21.（10分）。
2024年湖南长沙新高一入学分班考数学模拟练习卷含答案
高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A.√13B.4C.4−√13D.3√13−62.如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A.6B.8C.9D.103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（）A.4个B.5个C.6个D.7个5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ）A.2021 B.4042 C.3640 D.48426.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m =−−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =，所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ，所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =−设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上，所以133x x −=−−，解得12x =−， 则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMN S OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ）， ∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m =−−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n=−−=+ =+ ， 整理得()220x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，11∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷含答案
2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高一上期中考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B = （）A.(]2,3- B.()2,0- C.(]0,1 D.(]1,3【答案】C 【解析】【分析】由交集的运算法则求解即可.【详解】解：{}{}2103A x x B x x =-<≤=<≤ ，，{}01A B x x ∴⋂=<≤，故选：C.2.函数1()2f x x =+-的定义域为（）A.2|2}3{x x x >≠且 B.2{|2}3x x x <>且C.3{|2}2x x ≤≤ D.3{|2}2x x x ≥≠且【答案】D 【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数1()2f x x =+-的意义，则230x -≥且20x -≠，解得32x ≥且2x ≠，所以原函数的定义域为3{|2}2x x x ≥≠且.故选：D 3.已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()4f =（）A.3 B.2C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式列式求解即可.【详解】由题意可得：()()46651f f ==-=.故选：C.4.设x ∈R ，则“2x ≤”是“11x -≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】从充分性和必要性两个方面考虑.【详解】先说充分性：当2x ≤，比如2x =-，此时：12131x -=--=≤不成立，所以“2x ≤”不是“11x -≤”的充分条件；再说必要性：11x -≤⇒111x -≤-≤⇒02x ≤≤，所以2x ≤成立，所以“2x ≤”是“11x -≤”的必要条件.故“2x ≤”是“11x -≤”的必要不充分条件.故选：B5.若不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.52t ≥B.52t >C.2t ≥D.103t ≥【答案】D 【解析】【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t 的取值范围．【详解】因为不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，所以211x t x x x+>=+在区间132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，由对勾函数的性质可知函数1y x x =+在区间112⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()13，上单调递增，且当12x =时，15222y =+=，当3x =时，110333y =+=，所以1103x x +<，故103t ≥，故选：D6.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是A.6B.3C.4D.23【答案】B 【解析】【分析】根据22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，将等式转化为不等式，求x y +的最大值.【详解】()22211x y xy x y xy ++=⇒+-=,22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()2212x y x y +⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭，解得()2314x y +≤，x y ≤+≤x y ∴+故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.7.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.b a c<< C.b c a<< D.a b c<<【答案】B 【解析】【分析】根据题意先求出函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数且关于直线1x =对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B.8.幂函数()()22251m m f x m m x+-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】由已知条件求出m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数()()22251m m f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x =；当1m =-时，()6f x x -=．因为函数()f x 在()0,∞+上是单调递增函数，故()3f x x =．又0a b +>，所以a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，则()()0f a f b +>．故选：A ．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.{}0∅∈B.集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈C.集合{}{}3,44,3= D.集合22{|}{|}x y x y y x ===【答案】BC 【解析】【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可.【详解】解：对于A ，{}0∅⊆，故A 错误；对于B ，由Z 2x ∈，可得x 为偶数，所以集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈，故B 正确；对于C ，集合{}{}3,44,3=，故C 正确；对于D ，集合2{|}R x y x ==，2{|}{|0}y y x y y ==≥，故D 错误.故选：BC.10.已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（）A.>0B.不等式20cx bx a ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1234b b ++的最小值是83D.当2c =时，()236f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[]3,1-，则21n n -的取值范围是[]2,4【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，B ，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C ，利用基本不等式求最值，对D ，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果.【详解】对于A ，由题意可知：2,3-是关于x 的方程B 2+B +=0的两个根，且0a <，故A 错误；对于B ，由题意可知：16bac a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得,6b a c a =-=-，0a <.不等式20cx bx a ++<化为：260ax ax a --+<，由0a <可得2610x x +-<，解得1123x -<<，所以不等式20cx bx a ++<的解集为1123⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故B 正确；对于C ，因为=-b a ，0b >，可得()121214483434343333b b b b +=++-≥-=++，当且仅当()12134343b b =++，即23b =时，等号成立，所以1234b b ++的最小值是83，故C 正确；对于D ，当2c =时，13b a =-=，则()222362(1)1f x ax bx x x x =+=-+=--+，当=1时，()f x 取到最大值()11f =，由()3f x =-得，=−1或3x =，()[]212,36f x ax bx x n n =+∈，的值域是[]3,1-，因()f x 在[]12,n n 上的最小值为3-，最大值为1，从而得121,13n n =-≤≤或1211,3n n -≤≤=，因此2124n n ≤-≤，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当>0时，()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()02f =-B.()f x 的单调递增区间为()1,0-，()1,+∞C.当0x <时，()21f x x x=+-D.()0xf x <的解集为()()1,00,1-⋃【答案】BCD 【解析】【分析】由奇函数()f x 在=0处有定义，可得()00f =，可判断A ；由>0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得0x <时的函数解析式，可判断C ；判断>0时的()f x 的单调性，可得0x <时的()f x 的单调性，不等式()0xf x <等价为>0且()0f x <，0x <且()0f x >，结合()()110f f -==，解不等式可判断D ；由()y f x =的图象与=op 的图象特点，结合单调性可判断B.【详解】对于A ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，故A 错误；对于C ，当>0时，()21f x x x =-+，设0x <，则0x ->，()21f x x x-=---，又−=−，所以0x <时，()21f x x x=+-，故C 正确；对于D ，由>0时，()21f x x x =-+，可得1=0，又y x =和21y x =-+在()0,∞+递增，可得()f x 在()0,∞+递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得()f x 在(),0∞-递增，且()10f -=，所以()0xf x <等价为>0op <0=o1)或<0op >0=o −1)，解得01x <<或10x -<<，故D 正确；对于B ，因为()f x 在(),0∞-和()0,∞+上递增，且()()110f f =-=，由()y f x =的图象可看做=op 的图象位于x 轴上方的图象不变，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，所以()y f x =的递增区间为()1,0-，1,+∞，故B 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a =，b =，则a ______b ．(填“>”或“<”)【答案】<【解析】【分析】对,a b 进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果.【详解】a ==b ==，>0+>，<<所以a b <.故答案为：<13.已知()5311f x ax bx cx x=-+++，且()35f -=-，则()3f =__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()2f x f x -+=，结合()35f -=-即可求解.【详解】()5311f x ax bx cx x=-+++，则()()531()()1f x a x b x c x x ⎛⎫-=---+-+-+ ⎪⎝⎭5311ax bx cx x ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭则有()()2f x f x -+=，若()35f -=-，则()()3257.f =--=故答案为：7.14.定义{},min ,=,>a a b a b b a b≤⎧⎨⎩，若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为________.【答案】74.【解析】【分析】根据定义作出函数()=y f x 的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.【详解】根据定义作出函数()=y f x 的图像如图:(实线部分的曲线).其中()()1,13,3A B 、,即23|3|,13()=3+3,1<<3x x x f x x x x --≤≥-⎧⎨⎩或.当()34f x =时,当1x ≤或3x ≥时,由3334x --=,解得：34C x =或214G x =;当()74f x =时,当13x <<时,由27334x x -+=解得：52E x =.由图像知,若函数()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为537244E C x x -=-=.故答案为：74四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(1)计算：111224127()10()()20024-+⨯⨯（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.【答案】（1）25；（2）9.【解析】【分析】（1）（2）利用指数性质、运算法则直接求解.【详解】（1）原式131144221103(1)151025.2++=+⨯⨯-=+-+=（2）由11223x x-+=，得129x x -++=，则17x x -+=，2247x x -+=，所以22124729272x x x x --+--==+--.16.若关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.（1）求a 的值；（2）设集合=2<<1−，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）−2（2）0m ≤【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求得答案；（2）由题意可得A B ⊆，由此列不等式求解，即得答案.【小问1详解】因为关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故2310ax x +-=的两根为1,12，且0a <，故11122a a⨯=-⇒=-；【小问2详解】由题意集合{}21B x m x m =<<-，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，故A B ⊆，由于112A xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，故B 不为空集，则1221121m m m m ⎧≤⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎩，解得0m ≤.17.函数()29x x ax f b--=是定义在区间()3,3-上的奇函数，且()11.4f =（1）确定()f x 的解析式，并用定义证明()f x 在区间()3,3-上的单调性;（2）解关于t 的不等式()()10.f t f t -+<【答案】（1）()229xf x x =-；证明见解析（2）12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用函数在()3,3-上有定义且为奇函数，则()00f =，求出b 的值，再由()114f =求出a 的值，即可确定()f x 的解析式；直接利用定义法证明函数()f x 在()3,3-上的单调性；（2）由奇函数的性质知()()1f t f t -<-，由函数单调性得313331t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，求解即可.【小问1详解】根据题意，函数()29ax bf x x -=-是定义在()3,3-上的奇函数，则()009bf -==，解可得0b =；又由()114f =，则有()1184a f ==，解可得2a =，则()229xf x x=-，又()()()222299x xf x f x x x --==-=----，符合题意，故()229xf x x=-.设1233x x -<<<，则()()()()()()2212211212222212122929229999x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----()()()()121222122999x x x x x x +-=--，又由1233x x -<<<，则1290x x +>，120x x -<，2190x ->，2290x ->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则函数()f x 在()3,3-上为增函数；【小问2详解】由（1）知()f x 为奇函数且在()3,3-上为增函数.则()()()()101f t f t f t f t -+<⇒-<-()()1f t f t ⇒-<-，故313331t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解可得：122t -<<，即不等式的解集为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （*,20x x ∈≤N ，单位：年）之间满足函数关系式为：228.t x x =+该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.（参考数据：70.960.751≈，80.960.721≈，90.960.693≈，100.960.665≈）【答案】（1）2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N （2）第3年（3）选第一方案较为合理，理由见解析【解析】【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到y 与x 之间的函数关系式；（2）令0y >，解一元二次不等式即可；（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可.【小问1详解】由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为228t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，可得y 与x 之间的函数关系式()225028100242100y x x x x x =-+-=-+-，()*,20x x ∈≤N ；【小问2详解】由（1）知：2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，令0y >，可得22421000x x -+->，解得212412124122x -+<<，因为1516<<，所以521322-<<，213718.22+<<因为*x ∈N ，所以318x ≤≤且*x ∈N ，故从第3年开始盈利.【小问3详解】由（1）知2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，因为22212412421002()22y x x x =-+-=--+，所以当10x =或11x =时，营利额达到最大值为120万元，使用10年后机床剩余价值为：10100(14%)66.5-≈（万元），所以按第一方案处理，总获利为12066.5186.5+=（万元）；又由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()100422h x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()020x <≤，12020x x ∀<<≤，则()()()()12121212121250100100222x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当120x x <<<时，12120,500x x x x -<-<，则()()120h x h x -<，即()()12h x h x <，因此可得ℎ在(上单调递增；1220x x <<≤时，12120,500x x x x -<->，则()()120h x h x ->，即()()12h x h x >，因此可得ℎ20⎤⎦上单调递减；又78<<，当7x =时，年平均盈利为967万元，当8x =时，年平均盈利为272万元，又962772>，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：7100(14%)75.1-≈（万元），所以按第二方案处理，总获利为96775.1171.17⨯+=（万元）.由于186.5171.1>，则选第一方案较为合理.【点睛】方法点睛：解答函数应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．19.定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数(01)αα<≤，若存在正数M ，使不等式()()1212|f x f x M x x |α-≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件.（1）判断函数y x =，3y x =在R 上是否满足1阶李普希兹条件;（2）证明函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，并求出M 的取值范围;（3）若函数y =[)1,+∞上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.【答案】（1）y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.（2）证明见解析，1M ≥（3）112α≤≤.【解析】【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解.（3）分情况讨论α的取值范围结合定义从而即可求解.【小问1详解】y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.理由：对于y x =，1212||||x x M x x -≤-，只需1M ≥，所以存在正数1M ≥，对任意1x ，2R x ∈使()()1212f x f x M x x -≤-成立，所以y x =满足1阶李普希兹条件；对于3y x =，331212||||x x M x x -≤-，不妨设12x x >，则≥12+12+22=1+22−12>()21234x x +，()[)212304y x x ∞=+∈+，，即不存在正数M ，使不等式()()1212f x f x M x x -≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，所以3y x =不满足1阶李普希兹条件.【小问2详解】证明：不妨设121x x >≥，()()12f x f x ∴-=()()()()()1212212120,1f x f x x x x x -∴=--，故1M ≥时，对1x ∀，[)21,x ∈+∞，均有()()121212()f x f x M xx -≤-，故函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，1M ≥；【小问3详解】①首先证明102α<<时不成立，假设函数y =在区间[)1+∞，上满足1(02αα<<阶李普希兹条件，12()M x x α≤-，令124x x =，则有22(4)M x x α-≤-，即122221.3M x α-≥>=取()212231x M α-=+，则1221133x M α-=+，则13M M >+，矛盾，所以假设不成立.②然后证明112α≤≤时成立，不妨设12121(x x x x >≥=时显然成立)，令212(1)x k x k =>，()()(121f x f x k ∴-==-()22122221x x k x x k x ∴-=-=-；要证函数y =在区间[)1,∞+上满足112αα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭阶李普希兹条件，只需证存在正数M12()M x x α≤-成立，即证(221(1)k M k x αα--，又1222211(1)(1)k k x k k ααα---≤--，当(k ∈时，22(1)1k k α-≥-，所以221111(1)11k k k k k α--≤=<--+；当)2k ∈时，1222(1)(1)k k α-≥-，所以211(1)k k α-≤=<-；当[)2,k ∞∈+时，121(1)(1)1(1)(1)(1)k k k k k k ααααα----=≤<-++，故取1M≥，不等式即可成立.综上，α的取值范围为1 1. 2α≤≤【点睛】难点点睛：本题考查函数新定义问题，难度大.解答时要根据题目所给α阶李普希兹条件的定义分析所给函数的结合不等式分析可解答.。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
湖南省长沙市明达中学2020-2021学年度高一上学期期末考试试题 数学【含答案】
若 ，
（1）若 的解集为 ，求 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【解析】（1） 的解集为 ， ，1是 的解.
.解得：
（2）当 时，不等式的解为 ，解集为
当 时，分解因式 根为 ， .
当 时， ，不等式的解为 或 ；解集为 .
当 时， ，不等式的解为 ；解集为 .
当 时， ，不等式的解为 ；等式的解集为 .
A． B． C． 且 D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分．
9.下列函数中，最小值为2的有（）
A． B．
C． D．
10.下列各式中值为 的是（）
A． B．
C． D．
11.下列命题是假命题的是（）
A． B． C． D．
2.已知 ，则“ ”是“ ”的（C）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3.函数 的零点所在的一个区间是（C）．
A． B． C． D．
4.下列函数中，既在 上单调递减，又是奇函数的是（D）
A． B． C． D．
5.设 ， ， ，则（B）．
当 时，原不等式为 ，不等式的解集为 .
综上：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
22.（本题满分12分）
明达校园有很多花卉植物，有一种水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放 个单位的营养液，它在水中释放的浓度 （克/升）随着时间 （天）变化的函数关系式近似为 ，其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．
2024届湖南省长沙市明达中学数学高一第二学期期末综合测试试题含解析
2024届湖南省长沙市明达中学数学高一第二学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在ABC ∆中，若AB a =，AC b =，4BC BD =，用,a b 表示AD 为（ ）A ．1144AD a b =+ B ．5144AD a b =+ C ．3144AD a b =+D ．5144AD a b =-2．已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是π6x =，则函数()()2sin g x x f x =⋅的最大值为（ ）A ．5B ．3C 5D 33．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( ) A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ4．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列；③{}1n n a a ++是等比数列； ④{}lg n a 是等差数列． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．0B ．33C ．1D ．36．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在[40,60)的有60人，则参赛学生的总人数为（ ）A ．100B ．120C ．150D ．2007．函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间为A ．5,()36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．,()63k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZC ．5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZD ．5,()63k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z8．在递增的等比数列中，，是方程的两个根，则数列的公比A ．2B ．C ．D ．或29．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球0的表面上,90BAC ∠=︒,12AA BC ==,则()AO AB AC ⋅+=( ) A ．1B ．2C ．22D ．410．已知()5,2a =-，()4,3b =--，(),c x y =，若230a b c -+=，则c 等于（ ）A ．134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．138,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．144,33⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
长沙入学考试卷高一
长沙入学考试卷高一一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列关于细胞结构的描述，不正确的是：A. 细胞壁是植物细胞特有的结构B. 线粒体是细胞的能量工厂C. 细胞核是遗传物质储存和复制的场所D. 细胞膜的主要功能是保护细胞2. 根据题目所给的化学方程式，下列反应中生成物的化学式不正确的是：A. 2H2 + O2 → 2H2OB. CaO + H2O → Ca(OH)2C. 2CO + O2 → CO2D. 4Fe + 3O2 → 2Fe3O43. 以下哪个选项是牛顿第一定律的内容？A. 物体在没有外力作用时，总保持静止状态B. 物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比C. 物体的加速度与作用力成正比，与质量成正比D. 物体在没有外力作用时，总保持匀速直线运动状态4. 在英语中，下列哪个短语的用法是不正确的？A. "take a break" 表示休息一下B. "look forward to" 表示期待C. "in a hurry" 表示不急D. "make up one's mind" 表示下定决心5. 根据题目所给的物理现象，下列解释不正确的是：A. 光的折射现象解释了为什么水中的物体看起来位置偏上B. 光的反射现象解释了为什么我们能从不同角度看到物体C. 光的衍射现象解释了为什么影子边缘是模糊的D. 光的直线传播现象解释了为什么我们有日食和月食二、填空题（每题2分，共20分）6. 细胞分裂过程中，染色体数目加倍发生在_________。
7. 根据题目所给的化学方程式，2H2O → 2H2 + O2，该反应属于_________。
8. 牛顿第二定律的数学表达式是_________。
9. 英语中，"I'm running out of time." 表示_________。
10. 根据题目所给的物理现象，当光通过一个狭缝时，会在屏幕上形成一系列明暗相间的条纹，这种现象称为_________。
湖南省长沙市明达中学2020_2021学年高一语文上学期新生入学考试试题
湖南省长沙市明达中学2020-2021学年高一语文上学期新生入学考试试题时量：90分钟满分：120分一、积累与运用(共 26分)1.下列句中，没有错别字且加点字的注音完全正确的一项是( )(2分)A.纵然《中国诗词大会》只是从浩瀚．(hàn)星辰中摘取几颗，也足以彰显中国诗词文化的博大精深、奕奕生辉，令观众折．(zhé)服。
B.绸伞的制作非常精巧。
这种伞的伞面薄．(bó)如蝉翼,易于折叠，色彩瑰丽。
用竹子作伞骨，采用的是江南独特的淡竹，烈日曝．(bào)晒也不会弯曲。
C.“桃李不言，下自成溪”，最本真的教育在自然。
风扶麦动的田圃．(bǔ)，静谧无言的白桦，风雪弥漫的山垣，蜩鸣蝈唱的原野，皆胜过强聒．(guō)不舍的言语。
D.我们阅读一部优秀的作品，要心无旁骛．(wù),潜心阅读。
有时，甚至需要向“香菱学诗”那样,具有废寝忘食的精神。
2.下面语段中加点的词语运用不正确的一项是（）(2分)郭靖、黄蓉是金庸武侠小说《射雕英雄传》中家喻户晓．．．．的人物。
近日，襄阳传出将以该小说中“襄阳大战”里的人物为原形．．．．。
记．．建造郭靖、黄蓉“射雕情缘”雕像的消息。
网上对此讨论热烈，闹得沸沸扬扬者跟随襄阳市文化旅游和新闻出版局、襄阳市城乡建设委员会、施工方等单位专业人士考察．．，决定了在襄阳市襄城区小北门广场建造“射雕情缘”雕像，“射雕情缘”雕像预计8月底落成。
A.家喻户晓B.原形C.沸沸扬扬D.考察3.下列句子，没有语病的一项是( )(2分)A.随着长沙市体育中考的日益临近，同学们一改往日的懈怠，训练态度有了明显提高。
B.在改革开放40年进程中，人们踏实苦干找方法，锐意进取求创新，许多有志青年将来都希望自己成为国家的栋梁之材。
C.2019年长沙马拉松在贺龙体育馆鸣锣开赛。
本次大赛吸引了约2000余名来自世界各地的选手积极参赛。
D.“孟晚舟事件”暴露出的中美外交问题:不仅让国人心生担忧，也引起了全世界人民的广泛关注。
江苏省盐城市滨海县明达中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段检测数学试题
江苏省盐城市滨海县明达中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段检测数学试题一、单选题1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员BC ．数学必修第一册课本上的难题D ．所有有理数2．若集合{},,M a b c =中的元素是ABC V 的三边长，则ABC V 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 3．已知集合{}1,0,1,2,{11}A B x x =-=-<≤∣，则A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 4．设()22M a a =-，()()13N a a =+-，则有（ ）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤ 5．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设0x >，0y >，且4xy =，求11x y +的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7．已知全集U ，集合A ，B 为其子集，若()U A B =∅I ð，则A B =U （ ） A ．U A ð B ．U B ð C ．A D ．B8．已知0,0x y >>，且11223x y +=+，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 （）A ．()4,6-B ．()3,0-C ．()4,1-D ．()1,3二、多选题9．下列关系式错误的是（ ）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C QD ．0∈Z10．已知实数,,a b c ，其中1a b >>，则下列关系中恒成立的是（ ）A ．2ab b >B ．22ac bc >C ．a c b c ->-D ．11a b a b+>+ 11．下列选项中p 是q 的必要不充分条件的有（ ）A ．p ：1a ≤，q ：1a <B ．p ：A B A =I ，q ：A B B =UC ．p ：两个三角形全等，q ：两个三角形面积相等D ．p ：221x y +=，q ：,10x y ==三、填空题12．函数42y x x =+-（2x >）的最小值是． 13．已知集合{}2,,0S a a =，若1S ∈，则实数a =.14．若命题“{}012x x x ∃∈-<≤，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为．四、解答题15．已知全集R U =，集合{}14A x x =-<<，集合{|3B x x =≤-或x ≥0(1)求A B ⋂；(2)求()U A B U ð.16．解下列一元二次不等式．（本题答案必须用区间或者集合表示）(1)22150x x +->；(2)2320x x -++≥.17．已知集合U 为实数集，{5M x x =≤-或8}x ³，{}121N x a x a =-≤≤+.(1)若5a =，求()U M N ðI ；(2)若M N N ⋂=，求实数a 的取值范围.18．已知集合{}{}2280,333A xx x B x m x m =--≤=-≤≤+∣∣. (1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若A B =∅I ，求实数m 的取值范围.19．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为1y 万元，隔热层的厚度为x 厘米，两者满足关系式：125k y x =+ (010x ≤≤，k 为常数)．若隔热层的厚度为5厘米，则每年的能源消耗费用为2万元，15年的总维修费用为20万元，记2y 为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).(1)求常数k ；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用2y 最小，并求出最小值．。
高一新生入学考试数学测试题
高一新生入学考试数学测试题【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高一新生入学考试数学测试题，希望能给大家带来帮助!一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)1.-2的相反数是( )A.-2B.-1/2C.1/2D.22.如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是( )3.计算(x2)3的结果是( )A.xB.3x2C.x5D.x64.一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同。
从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为( )A.1/3B.2/5C.1/2D.3/55.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB。
若∠COB=35°，则∠AOD等于( )A.35°B.70°C.110°D.145°6.若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是( )A.m<-4B.m>-4C.m<4D.M>47.在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：金额/元 5 6 7 10人数 2 3 2 1这8名同学捐款的平均金额为( )A.3.5元B.6元C.6.5元D.7元8.P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2连接OP1、OP2，则下列结论正确的是A.OP1⊥OP2B.OP1=OP2C.OP1⊥OP2 且OP1=OP2D.OP1≠OP2二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)9.分解因式：x2+x= 。
10.在平面直角坐标系中，点(2，-4)在第象限。
11.将16 000 000用科学记数法表示为。
湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题含解析
2023年下期高一第一次质量检测数学（答案在最后）一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.)1.下列各组对象可构成一个集合的是（）A.与10非常接近的数B.本班视力差的女生C.中国漂亮的工艺品D.我校学生中的女生【答案】D 【解析】【分析】根据集合的性质判断即可.【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性.故选：D2.已知集合2{Z |20}A x x x =∈-≤，集合{|12}B x x =-≤≤，则集合A B ⋂的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，再求A B ⋂，根据元素个数判断真子集个数.【详解】不等式220x x -≤，解得02x ≤≤，又Z x ∈，得{}0,1,2A =，集合{|12}B x x =-≤≤，得集合{}0,1,2A B = ，则集合A B ⋂的真子集个数为3217-=.故选：C.3.某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A.27B.23C.15D.7【答案】B 【解析】【分析】由题意，结合韦恩图可求解【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B ⋂中有8个元素所以A B ⋃有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B4.若2a >-，则162a a ++的最小值为（）A.8B.6C.4D.2【答案】B 【解析】【分析】根据基本不等式，积定和最小，凑积为定值，即可求出．【详解】因为2a >-，所以20a +>，∴()1616222622a a a a +=++-≥-=++（当且仅当2a =时，等号成立），所以，162a a ++的最小值为6．故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．5.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A.至少有一个x ∈Z ，使得23x <成立B.菱形的两条对角线长度相等C.x ∃∈R x =D.对任意a ，b ∈R ，都有222(1)a b a b ++- 【答案】D 【解析】【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【详解】AC 为存在量词命题，BD 为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B 选项错误，对任意a ，b ∈R ，都有2222222(1)2121(1)(1)0a b a b a a b b a b +-+-=-++-+=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，D 选项正确.故选：D6.下列说法中，错误的是（）A.若22a b >，0ab >，则11a b< B.若22a b c c>，则a b >C.若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D.若a b >，c d <，则a c b d->-【答案】A 【解析】【分析】逐一检验，对A ，取3,2a b =-=-，判断可知；对B ，20c >，可知；对C ，利用作差即可判断；对D 根据不等式同向可加性可知结果.【详解】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误；对B ，由20c >，22a b c c>，所以a b >，故正确；对C,()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+⋅+⋅+，由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->⋅+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->-故选：A7.设集合A ＝｛x |＜0，B ＝｛x ||x －1|＜a ，则“a ＝1”是“A∩B≠”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由题意得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |1－a <x <a ＋1}．①当a ＝1时，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}≠∅成立，即充分性成立．②若a ＝12，则A ∩B ＝{x |－1<x <1}∩131{|}{|1}222x x x x <<=<<≠∅，故必要性不成立．综合得“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件，故选A.8.已知0,0x y >>，且11223x y +=+，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()4,6- B.()3,0- C.()4,1- D.()1,3【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式求出2x y ++的最小值，即可得到4x y +≥，从而得到234m m +<，解得即可.【详解】因为0x >，0y >，且11223x y +=+，所以()3113222112222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=+++=+++⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭3262⎛≥+= ⎝，当且仅当22y x x y+=+，即3y =，1x =时取等号，所以4x y +≥，因为23x y m m +>+恒成立，所以234m m +<，即()()140m m -+<，解得41m -<<，所以实数m 的取值范围是()4,1-.故选：C二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.下列关系式中正确的是（）A.0{0}∈B.∅{}∅ C.{}{}(0,1)(0,1)⊆ D.{}{}(,)(,)a b b a ∈【答案】ABC 【解析】【分析】根据元素与集合的关系、空集的概念逐个判断即可.【详解】对A ，元素0是集合{}0中的元素，故0{0}∈，故A 正确；对B ，∅是任何非空集合的真子集，故B 正确；对C ，{}(0,1)是自己本身的子集，故{}{}(0,1)(0,1)⊆成立，故C 正确；对D ，{}(,)a b 不是{}(,)b a 中的元素，故D 错误.故选：ABC10.图中矩形表示集合,,U A B 是U 的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A.()()UUA B ⋂痧 B.()UA B⋂ðC.()B A B ðD.()()U UA B ⋂痧【答案】BC 【解析】【分析】根据阴影部分不在集合A 中，在集合B 中可得答案,【详解】根据图形可得阴影部分不在集合A 中，在集合B 中，即阴影部分可以表示为()()U BA B A B ⋂⋂，，痧故选：BC11.下列命题为真命题的是（）A.若a b >，且11a b>，则0ab < B.若0a b <<，则22a ab b <<C.若0c a b >>>，则a b c a c b<-- D.若0a b c >>>，则a a cb b c+>+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，作差法得到0b aab->，结合0b a -<，得到结论；B 选项，可举出反例；CD 选项，作差法比较大小.【详解】对于A ，110b a a b ab--=>，又0b a -<，故0ab <，A 正确；对于B ，不妨设2,1a b =-=-，则22a b >，故B 错误.对于C ，()()()()()a b c a b ac ab bc ab c a c b c a c b c a c b ---+-==------，∵0c a b >>>，∴0c a ->，0c b ->，0a b ->，∴()()()0a b c c a c b ->--，∴a bc a c b>--，所以C 错误.对于D ，()()()a b ca a c ab ac ab bc b b c b b c b b c -++---==+++，∵0a b c >>>，∴0a b ->，0b c +>，∴()()a b c b b c ->+，∴a a cb b c+>+，所以D 正确.故选：AD12.设正实数x y ，满足21x y +=，则（）A.xy 的最大值是18B.21x y+的最小值为9C.224x y +的最小值为12D.+的最大值为2【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A，∵21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y+=⎧⎨=⎩时，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，212122(2)559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即13x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，由A 可得18xy ≤，又21x y +=，222114(2)4141482x y x y xy xy +=+-=-≥-⨯=，当且仅当14x =，y =12时等号成立，故C 正确；对于D，2212x y =++≤+=，当且仅当14x =，12y =时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知命题0:0p x ∃>，使得32002350x x ++<，则p ⌝为___________.【答案】320,2350x x x ∀>++≥【解析】【分析】由存在量词命题的否定求解即可【详解】命题0:0p x ∃>，使得32002350x x ++<，则p ⌝为320,2350x x x ∀>++≥，故答案为：320,2350x x x ∀>++≥14.在R 上定义运算2a b ab a b =++ ：，则满足)0(2x x -< 的实数x 的取值范围是____________【答案】()2,1-【解析】【分析】由新定义转化条件为220x x +-<，解一元二次不等式即可得解.【详解】由题意，22()()2(0)2x x x x x x --+-=+< ，即220x x +-<，解得2<<1x -，所以实数x 的取值范围是()2,1-.故答案为：()2,1-.15.若实数x ，y 满足1232x y -≤+≤且31x y -≤-≤，则34M x y =+的取值范围是_________．【答案】23M -≤≤【解析】【分析】先计算出()()712355M x y x y =++-，从而得到23M -≤≤.【详解】设()()3423M x y a x y b x y =+=++-，即()()3423x y a b x a b y +=++-，故2334a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得7515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()712355M x y x y =++-，故()771423555x y -≤+≤，()311555x y -≤-≤，故731415555M --≤≤+，即23M -≤≤.故答案为：23M -≤≤16.已知实数a ，b 满足01b a <<+，若关于x 的不等式()222120a x bx b -+-<的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围是_________；【答案】()1,3【解析】【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合1a >-对a 进行分类讨论，分()1,1a ∈-，1a =和1a >三种情况，求出符合要求的实数a 的取值范围.【详解】()222120a x bx b -+-<可变形为()()110a x b a x b +-⋅-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为01b a <<+，所以011ba <<+，其中1a >-，当()1,1a ∈-时，()22212y a x bx b =-+-开口朝下，不合题意；当1a =时，220bx b -<，解得：2bx <，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；当1a >时，()22212y a x bx b =-+-开口朝上，因为01b a <-，所以不等式解集为11b a b x x a⎧⎫⎨<+-⎩<⎬⎭，此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，则必有321ba-≤<--，所以()()2131a b a -<≤-，结合01b a <<+，所以()211a a -<+，所以13a <<，综上：()1,3a ∈故答案为：()1,3.四、解答题(本题共6小题，共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.集合{}{}|310,|13516A x x B x x =≤<=<-<．（1）求A B ⋃；（2）求()A B ⋂R ð．【答案】（1）{}|210x x A B <<⋃=（2）(){}|23A B x x ⋂=<<R ð【解析】【分析】化简集合B ,根据集合的交并补运算直接求解.【小问1详解】由13516x <-<得27x <<,所以{}|27B x x =<<,因为{}|310A x x =≤<,所以{}|210x x A B <<⋃=.【小问2详解】因为{|3A x x =<R ð或}10x ≥，所以(){}|23A B x x ⋂=<<R ð.18.已知集合{}13A x x =-<<，{1B x x m =<-或}1x m ≥+.（1）当0m =时，求A B ⋂；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13x x ≤<（2）[)(]4,2+∞-∞- 【解析】【分析】（1）求出{1B x x =<-或}1x ≥，从而求出交集；（2）根据题意得到A 是B 的真子集，从而得到不等式，求出实数m 的取值范围.【小问1详解】0m =时，{1B x x =<-或}1x ≥，故{}{131A B x x x x ⋂=-<<⋂<-或}1x ≥={}13x x ≤<【小问2详解】x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，故A 是B 的真子集，因为11m m -<+，故要满足A 是B 的真子集，则13m -≥或11m +≤-，解得：4m ≥或2m ≤-故实数m 的取值范围是[)(]4,2+∞-∞- .19.求下列函数的最值（1）求函数22(1)1x y x x +=>-的最小值.（2）若正数x ，y 满足35x y xy +=，求34x y +的最小值.【答案】（1）2+；（2）5.【解析】【分析】（1）化为3(1)21y x x =-++-，再根据基本不等式可求出结果；（2）化为3121334555x y x y y x +=++，再根据基本不等式可求出结果.【详解】（1）2(1)2(1)33(1)2211x x y x x x -+-+==-+++-- ，当且仅当2(1)3x -=即1x =+时等号成立，故函数y 的最小值为2+.（2）由35x y xy +=得13155y x+=，则133********(34)()5555555x y x y x y y x y x +=++=+++ ，当且仅当12355y x x y =,即12y =，1x =时等号成立，故34x y +的最小值为5.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20.对平面直角坐标系第一象限内的任意两点(),a b ，(),c d 作如下定义：如果a cb d>，那么称点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，同时称点(),c d 是点(),a b 的“下位点”．（1）试写出点()3,5的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设a ，b ，c ，d 均为正数，且点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，请判断点(),P a c b d ++是否既是点(),a b 的“下位点”，又是点(),c d 的“上位点”．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【答案】（1）一个“上位点”坐标为()3,4，一个“下位点”坐标为()3,7（答案不唯一，正确即可）（2）是，证明见解析【解析】【分析】（1）由已知“上位点”和“下位点”的定义，可得出点（3，5）的一个“上位点”的坐标为（3，4），一个“下位点”的坐标为（3，7）；（2）由点(,)a b 是点(,)c d 的“上位点”得出ad bc >,然后利用作差法得出a cb d ++与ac bd 、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论.【小问1详解】解：由题意，可知点()3,5的一个“上位点”坐标为()3,4，一个“下位点”坐标为()3,7．（答案不唯一，正确即可）【小问2详解】解：点(),p a c b d ++既是点(),a b 的下位点，又是点(),c d 的“上位点”，证明如下：∵点(),a b 是点(),c d 的“上位点”，∴a c b d >，又a ，b ，c ，d 均为正数，∴ad bc >，∵()()()()0b a c a b d a ca bc adb d b b b d b b d +-++--==<+++，∴(),P a c b d ++是点(),a b 的“下位点”，∵()()()()0d a c c b d a c c ad bcb d d d b d d b d +-++--==>+++，∴(),P a c b d ++是点(),c d 的“上位点”，综上，(),P a c b d ++既是点(),a b 的“下位点”，又是点(),c d 的“上位点”．21.设2()(1)2f x ax a x a =+-+-．（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()()1a x a f <-∈R ．【答案】（1）13a ≥（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论0a =和0a ≠两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数a 的取值范围；（2）按0a =，0a >和0<a 三种情况分类讨论，当0<a ，比较1a -和1的大小，分情况写出不等式的解集．【小问1详解】由()2f x ≥-得，2(1)0ax a x a +-+≥恒成立，当0a =时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；当0a ≠时，满足0Δ0a >⎧⎨≤⎩，即220(1)40a a a >⎧⎨--≤⎩，解得13a ≥；故实数a 的取值范围是13a ≥．【小问2详解】不等式()2(1)21ax a x a a a +-+-<-∈R ，等价于2(1)10ax a x +--<．当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{1}∣<xx ；当0a >时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<，此时101a-<<，所以不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣；当a<0时，不等式可化为()()110ax x +-<，①当1a =-时，11a -=，不等式的解集为{1}x x ≠∣；②当10a -<<时，11a ->，不等式的解集为{1x x a >-或}1x <；③当1a <-时，11a-<，不等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭.综上：当1a <-时，等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭当1a =-时，不等式的解集为{1}xx ≠∣；当10a -<<时，不等式的解集为{1x x a>-或}1x <；当0a =时，不等式的解集为{1}∣<xx ；当0a >时，不等式的解集为1{|1}x x a-<<.22.此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元.（1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）75人；（2）存在，m 的范围为{7}.【解析】【分析】（1）求出对应的100-x 名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可；（2）根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可．【详解】（1）由题意得：(100)(14%)100(0)x x a a a -+≥>，解得75x ≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人.（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ）2 25a m x a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+，由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得（ⅱ）2(100)(14%)25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，两边除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++，故有2100132525x x m x +≤≤++，10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时取等号，7m ∴≤，又因为4575x ≤≤，当75x =时，令2125x y =+取得最大值7，7m ∴≥，77m ∴≤≤，m .即存在这样的m满足条件，其范围为{7}。