高二数学综合试卷
高二数学综合试题一、选择题： 1．设，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知命题p ：任意x ∈R ，使x 2－x ＋14＜0，命题q ：存在x ∈R ，使sin x ＋cos x＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．P ⌝是假命题D ．q ⌝是假命题 3.若0<<ba ，则下列结论不正确的是（ ）A ．22b a <B ．2b ab <C ．2>+b aa b D ．||||||b a b a +>+ 4．下列各式中最小值是2的是（ ）A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+225.已知椭圆x 23＋y 24＝1上的焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝( )A ．23B ．4 3C ．4D ．86.各项都是正数的等比数列{}n a 中，2312,21,3a a a 成等差数列，则=++1081210a a a a （ ）A ．9B ．6C ．3D ．17.过椭圆x 26＋y 25＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y ＋13＝0B ．5x ＋3y ＋13＝0C ．5x －3y －13＝0D ．5x ＋3y －13＝08．已知F 是椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴,OP ∥AB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是 ( )A ．22B ．42C ．21D ．239．若存在x ∈R ，使|x ＋2|＋|x －1|＜a ，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)10.已知在等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( )A .6B .5C .4D .3 11.若两个正实数x ,y 满足=1,且不等式x+<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围是( ) A .(-1,4) B .(-∞,-1)∪(4,+∞) C .(-4,1)D .(-∞,0)∪(3,+∞)12.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题13.函数121lg+-=x xy 的定义域是 ． 14.已知椭圆的焦距|F 1F 2|=6,AB 是过焦点F 1的弦,且△ABF 2的周长为20,则该椭圆的标准方程为 .15.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________．16.下列命题中为真命题的是①．若x ≠0，则x ＋1x≥2②．“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件 ③．直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交④．若命题p ：“∃x ∈R ，x 2－x －1＞0”，则命题p 的否定为：“∀x ∈R ，x 2－oxyBP A Fx －1≤0” 三、解答题17．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．19. 合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小? （2）设画面的高与宽的比为，且，求为何值时，宣传画所用纸张面积最小?20．记n S 为差数列{}n a 的前n 项和，已知11326a a +=， 981S =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)令121n n n b a a ++=， 12n n T b b b =+++，若300n T m -≥对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值.21．已知数列的前项和为，向量满足条件（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.22.. 如图，已知12,F F 分别是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点，过()22,0F 与x 轴垂直的直线交椭圆于点M ，且23MF = (1) 求椭圆的标准方程(2) 已知点()0,1P ，问是否存在直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AB 的垂直平分线恰好过P 点？若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由高二数学综合试题一、选择题： 1．【答案】A 由，得；由，得或；所以“”是“”的充分不必要条件，故选A .2．解析：∵任意x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立，∴命题p 假，非p 真；又sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，sin x ＋cos x ＝ 2.∴q 真，非q 假．答案：D 3.D 4. D5.【解析】 由题可得a ＝2.如图，设F 1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1，BF 1，CF ，FD .由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF 1为平行四边形，∴|AF 1|＝|FD |，同理可得|BF 1|＝|CF |，∴|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝|AF |＋|BF |＋|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＝8，故选D.6.【答案】A 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q .2312,21,3a a a 成等差数列,所以31212322a a a ⨯=+，即31232a a a =+，因为各项都是正数，所以10,0a q >>.221113232a q a a q q q =+⇒=+,从而3q =.依题意，22210128108108109a a a q a q q a a a a ++===++.7.【解析】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧5x 21＋6y 21＝30，5x 22＋6y 22＝30，两式作差可得： 5(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－6(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， ①又弦的中点为(2，－1)， 可得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，②将②代入①式可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝53，故直线的方程为y ＋1＝53(x －2)，化为一般式为5x －3y －13＝0，故选C.8．【答案】A 【解析】解：把x=c 代入椭圆方程求得y=±2b a ∴|PF|=2b a∵OP ∥AB ，PF ∥OB ∴△PFO ∽△ABO ∴|PF ||OB ||OF ||OA |=求得b=c ∴a=22故选A9．解析：令f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|，若∃x ∈R ，使f (x )＜a 成立．即a ＞f (x )min 即可，∵f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|≥3，∴a ＞3.答案：A10.解 ∵a 4=2,a 5=5,∴a 4a 5=a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=10,∴lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg a 1a 2…a 8=lg(a 1a 8)4=lg(a 4a 5)4=4lg a 4a 5=4lg 10=4,选C . 11.解：x+=1++1≥4,当且仅当4x=y 时取等号.要使x+<m 2-3m有解,则需m 2-3m>4,得m<-1或m>4.答案B12.B 由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为12的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。
【详解】设第一天的步数为1a ，依题意知此人每天的步数构成公比为12的等比数列，所以61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，11119238422n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由1384302nn a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，212.8n ∴>，解得4n ≥,故选B 。
二、填空题13.)21,1(-14.15.【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 16.解析：命题1为假命题；当x ＜0时不成立；直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直的充要条件是a ＝±1，故2为假命题；显然命题3也是假命题． 三、解答题17．解析：由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴非p ：x ＜1或x ＞5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴非q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1. 又∵非p 是非q 的充分而不必要条件， ∴⎩⎨⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.18解：不等式12>-x ax 可化为022)1(>-+-x x a ． ∵1<a ，∴01<-a ，则原不等式可化为0212<---x a x ， 故当10<<a 时，原不等式的解集为}122|{ax x -<<； 当0=a 时，原不等式的解集为φ； 当0<a 时，原不等式的解集为}212|{<<-x ax ．19. 解：设画面高为，宽为，纸张面积为则当且仅当，即时取等号 即画面的高为，宽为时所用纸张面积最小，最小值为：.（2）设画面高为，宽为，则，又由（1）知：由对号函数性质可知：在上单调递减，即时，所用纸张面积最小20．【答案】（1）()*21n a n n N =-∈（2）2【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式将条件转化为关于首项与公差的方程组,解方程组可得首项与公差的值,再代入通项公式即得{}n a 的通项公式；（2）因为()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以利用裂项相消法可得n T ,再根据30n m T ≤最小值得2m ≤，即得实数m 的最大值.(2) ()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，11111111112355721232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 1112323n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随着n 增大而增大， {}n T ∴是递增数列， 111123515n T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，2m ∴≤， ∴实数m 的最大值为2. 21．【答案】（1）.(2).【分析】（1）根据向量的数量积和可得，再根据数列的递推公式即可求出；（2）根据错位相减法即可求出数列的前项和.（2）∵∴两边同乘，得，两式相减得：，∴.22.. 解：（1） 连接1MF ，在12Rt MF F ∆中，12214,3,5F F MF MF ==∴=，∴由椭圆定义可知28a =，4a ∴=，又24c =，从而212b =，∴椭圆的标准方程为2211612x y += （2） 由题意可知，若AB 的垂直平分线恰好过P 点，则有PA PB =，当l 与x 轴垂直时，不满足PA PB =；当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y kx m =+，由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得 ()2223484480k xkmx m +++-= ……………………7分()()2222644344480k m k m ∆=-+->216212k m ∴+>，①式 ……………………8分令()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,C x y ，则122834kmx x k-+=+ 1202x x x +∴==2434km k -+，00y kx m =+=2334mk+， 2243,3434kmm C k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭1PC PC AB k k ⊥∴⋅=-即2231341434mk k km k -+⨯=--+， 化简得()234m k =-+， ……………………10分结合①式得()222161243k k +>+，即4216830k k +-<，解之得：1122k -<<，综上所述，存在满足条件的直线，且其斜率k 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………12分。
高中数学-期末高二数学综合训练(一)答案
2022~2023学年度第一学期高二11月阶段测试数学参考答案一、单项选择题：1、 C2、B3、A4、C5、B6、A7、B8、C二、多项选择题：9、 ACD 10、BC 11、AC 12、ACD三、填空题：13、11 14、23n a n = 15、π48+ 16、 55；1120四、解答题：17．解：（1）由题知，所求圆的圆心M 为线段AB 的垂直平分线和直线220x y −+=的交点． 线段AB 的中点坐标为()0,1，直线AB 的斜率()20111k −==−−，所以，AB 的垂直平分线的方程为1y x =−+． 解得圆心()0,1M ．半径()()2210212r AM ==−+−=所以，圆M 的标准方程为()2212x y +−=．…………………………………………5分（2）由题意知圆心M 到直线的距离为2212CD d r ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设直线方程为()31y k x −=−，即30kx y k −+−=． 所以，2211k d k −==+，解得34k =所以，直线l 的方程为3490x y −+=． 当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，符合题意．所以，直线l 的方程为3490x y −+=或1x =．…………………………………………10分18．解：为定值419．解：（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +−+=−，n a b n n −= 又1110,a −=≠∴数列{}n b 是公比为4的等比数列.……………………………………5分（2）由（1）知，14−=n n b⎩⎨⎧−=∴−数 奇 为, 22数偶 为 , 41n n n c n n ()[]()125312444444840−++++−++++=∴n n n S ()()16116142440−−+−+=n n n 154222151224−−+⨯=+n n n ………………………………………………………12分 20．解：（1）由于（2，2）在抛物线开口之内，且不在x 轴上， 直线l 的斜率存在，设为k ，且设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减可得（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝4（x 1﹣x 2）， 即k ＝2121x x y y −−＝214y y +＝44＝1，则直线l 的方程为y ﹣2＝x ﹣2，即y ＝x ，检验直线l 存在，且方程为y ＝x ；………………………………………………………6分 （2）证明：若直线l 的斜率不存在，可得x ＝x 1， 代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 1＝12x ，y 2＝12x −， 则y 1y 2＝﹣4x 1＝﹣16，即x 1＝4，直线AB 过（4，0）：若直线l 的斜率存在，设为k ，当k ＝0时，直线l 与抛物线的交点仅有一个， 方程设为y ＝kx +b ，k ≠0， 代入抛物线的方程消去x 可得4k y 2﹣y +b ＝0， 可得y 1y 2＝k b 4，即有﹣16＝kb 4， 可得b ＝﹣4k ，直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），则直线l 恒过定点（4，0）．综上，直线AB 恒过定点（4，0）．……………………………………………………12分21．解：（1）因为()241n n S a =+，当*2,n n N ∈≥时，有()21141n n S a −−=+，两式相减得2211422n n n n n a a a a a −−=−+−，移项合并同类项因式分解得()()1120n n n n a a a a −−+−−=，因为0n a >，所以有120n n a a −−−=，在()241n n S a =+中，令1n =得11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，故有()*21n a n n N=−∈…………4分（2）由（1）知1124122−−⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==n n n n n b ，∴0443421 12+++++=−n n nT ， ∴n n nT 443424104132+++++= ， ∴n n n n n n n n n n T 44134344411411441414114312−⨯−=−−−=−++++=− ， ∴14943916−⨯+−=n n n T………………………………………………………………………8分 由题意，对任意的*N n ∈，均有n n T n m n 2916)52()43(⋅⎪⎭⎫⎝⎛−−≥+恒成立， ∴()()n n n n m n 2494352)43(1⋅⨯+−≥+− ，即 nn m 25294−⨯≥恒成立，设n n n c 252−=，则111227252232+++−=−−−=−n n n nn nn n c c ， 当n ≤3时，01>−+n n c c ，即n n c c >+1 ；当n ≥4时，01<−+n n c c ，即n n c c <+1， ∴n c 的最大值为1634=c ， ∴12116394=⨯≥m ．故m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121．………………………………………………………………12分 22．解：（1）设P （x ，y ），由题意知3221=+PF PF ，即3226262222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ， 令()33 326 , 3262222≤≤−−=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+t t y x t y x ， 等式两边同时平方得()222326t y x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ① ()222326t y x −=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛− ②①﹣②得 ()()2222332626t t x x −−+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，即x t 22=③ 代入①中得 22222326⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x ，整理可得123322=+y x ， 故P 点的轨迹方程为123322=+y x ……………………………………………………5分 （2）设直线MA 的方程为y ＝k 1x ﹣k 1+1，直线MB 的方程为y ＝k 2x ﹣k 2+1， 由题知r k k =+−21111，所以()()2122111k r k +=−，所以()012121212=−+−−r k k r ，同理，()012122222=−+−−r k k r ， 所以k 1，k 2是方程()0121222=−+−−r k kr 的两根，所以k 1k 2＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，将y ＝kx +m 代入123322=+y x ，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣3＝0， 所以2212k 14km+−=+x x ①，22212k132m +−=⋅x x ②， 所以()221212122kmm x x k y y +=++=+ ③，()()()2222212122121213kk m m x x km x x k m kx m kx y y +−=+++=++= ④， 又因为()()111111121212121221121=++−++−=−−⨯−−=x x x x y y y y x y x y k k ⑤， 将①②③④代入⑤，化简得3k 2+4km +m 2+2m ﹣3＝0，所以3k 2+4km +（m +3）（m ﹣1）＝0，所以（m +3k +3）（m +k ﹣1）＝0，若m +k ﹣1＝0，则直线AB ：y ＝kx +1﹣k ＝k （x ﹣1）+1，此时AB 过点M ，舍去， 若m +3k +3＝0，则直线AB ：y ＝kx ﹣3﹣3k ＝k （x ﹣3）﹣3，此时AB 恒过点（3，﹣3）， 所以直线AB 过定点（3，﹣3）．……………………………………………………………12分。
高二数学高中数学综合库试题答案及解析
高二数学高中数学综合库试题答案及解析1.函数在处的导数等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】解：2.若命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.函数在区间上的图像如图所示，则n可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】略4.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒【答案】C【解析】5.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略6.已知向量若则实数______，_______【答案】【解析】略7.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略10.已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】略11.已知抛物线C:过点。
（1）求抛物线的方程；（2）是否存在平行于OA（O为原点）的直线L，与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。
【答案】解：（1）将代入得，所以，抛物线的方程（2）假设存在直线L，设其方程为：由得因为直线L与抛物线有公共点，所以得又因为直线OA与L的距离等于可得得所以存在直线L，方程为：【解析】略12.（12分）在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD【答案】略【解析】略13.一个总体的60个个体的编号为0，1，2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是______________.【答案】3,9,15，21,27,33,39,45,51,57【解析】略14.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
高二下学期数学综合测试题含答案(经典、值得收藏)
高二下学期数学综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．我校在检查学生作业时，按规定的比例从不同层中随机抽取学生作业进行检查，这里运用的是( )A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B ．sin B sin AC.sin C cD ．c sin C3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件4．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( ) A ．76 B ．219 C ．27D ．275．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过点(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg 6．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( )A ．48B ．72C ．144D ．1927．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．228．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1，2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．－29．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( ) A ．45B ．75C ．180D ．30010．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A. 3 B ． 2 C.13D ．1211．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C ．92D ．512．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20率是( )A.110B.715 C.815 D.1315第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．14．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C 处，则A，C两地的距离为________km.15．等比数列{a n}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝________．16．数列{a n}为等比数列，已知a n＞0，且a n＝a n＋1＋a n＋2，则该数列的公比q是_______．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n＝log4b n，求数列{b n}的前n项和T n.19．(本小题满分12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B处望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，在C处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？20．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a、b、c的方差s2最大时，写出a、b、c的值(结论不要求证明)，并求出此时s2的值．21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＋C2＝33.(1)求cos B的值；(2)若a＝3，b＝22，求c的值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xx＋1，数列{a n}满足a1＝1，并且a n＋1＝f(a n).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝1n＋1a n，求数列{b n}的前n项和S n.高二下学期数学综合测试题答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．ACCBD DCCCA 11．C12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( C )A.110B.715C.815D.1315[解析] 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4.设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，共8种．故选取的2位工人不在同一组的概率为815.第Ⅱ卷(非选择题 共52分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．[答案] 1514．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为 km.答案：7 15. 5832 16．((根号5)-1)/2三、解答题(本大题共6个大题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an ＝log4bn ，求数列{bn}的前n 项和Tn. [解] (1)设an ＝a1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝5，a1＋6d ＝13，解得a1＝1，d ＝2. 所以{an}的通项公式为an ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)依题意得bn ＝4an ＝42n －1， 因为bn ＋1bn ＝42n ＋142n －1＝16，所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{bn}的前n 项和Tn ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1). 18．(本小题满分12分) 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B 处望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，在C 处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC 中， 依题意得BC ＝202(海里)， ∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)． 故A 到航线的距离为AD ＝ACsin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)． 因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．19．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2的值．[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率为P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )＝400＋240＋601000＝710，所以P(A)＝1－P(A )＝1－710＝310.(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＋C 2＝33. (1)求cos B 的值；(2)若a ＝3，b ＝22，求c 的值． 解：(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos A ＋C 2＝cos π－B 2＝sin B 2＝33，所以cos B ＝1－2sin 2B 2＝13. (2)因为a ＝3，b ＝22，cos B ＝13，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.21．已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． 【解析】设一条直角边长为x cm ，(0＜x ＜10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52(cm)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xx ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，并且a n ＋1＝f (a n ). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)由题意得a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋1a n ＝1＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是一个等差数列，公差为1，首项为1a 1＝1，从而1a n＝n ，∴a n ＝1n .(2)由(1)得b n ＝1n ＋1a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。
高二数学综合测试卷20.docx
1•等比数列｛aj 的前4项和为240,第2项与第4项的和为180,则数列｛aj 的首项为() A.2B.4C.6D.82.已知数列｛aj 是等差数列，34=15,55=55^0过点P (3, a 3),Q (4, a 4)的直线斜率为()98.已知函数f(x)=ax +bx+c,不等式f(x)>0的解集为｛x|-3<x<l ｝,则函数y 二f(・x 啲图象为()1 - 4B.3.己知｛aj 是递增数列, 7对任意的n e N 寫都有a n =n +入n 恒成立, 则入的取值范围是() 7 A.(- ~,+°°)24. 在△血农屮，〃=45° 3 C ・(2+°°) D ・(3+°°)5. 已知 tan ( a + B ) = — , tan ( a 4B .12u32,C=60°, c=l,则最短边的边长是 八 1 A /3 込 D-T1 jrP)=—,那么tan(2/? + -)的值是6.定义运算=曰12 —&2&3,将函数f (方—c.A11 羽sin x 1 cos x 的图象向左平移刀(刀>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则〃的最小值为JI 兀A. —B.—632c.『r 4- 57•不等式上二32的解集是(x-1)B -*，3JD. -*1)J(132 39•设a,方满足2a+3方=6, «>0,方>0,贝岳+乙的最小值为（ ）A丰B ・£ C.# D. 410.已知等比数歹U ｛a”｝的各项均为正数，公比gHl,设F=*（logo.5a5+logo.5a7），0=logo.5竺则P 与Q 的大小关系是（）A. PNQ B ・ P<Q C ・ PWQ D ・ P>Q11.若数列｛a“｝的通项公式是a“ = (—1)"⑶2—2),则ai+a 2~\ ---- f lio=()A. 15B. 12C. 一12 D ・ 一1512.方程对—y~ — x — 3y — 2 = 0表示什么曲线?A.椭圆B.双曲线C.两条直线D.圆13. am>n> 0”是“方程mx 2+ ny 2= 1 "表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知片、场是椭圆的两个焦点，满足MF ｝MF 2= 0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A. (0,1) I V2 V2 B ・(0,—] C. (0,——) D. [——,1) dta/ 厶 厶15.椭圆4x 2 +9y 2=144内有一点P （3, 2）过点P 的眩恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为( )A. 3兀 + 2y — 12 = OB. 2x + 3y-12 = OC. 4x + 9y — 144 = OD. 9x + 4y — 144 = 0y 216•已知椭圆一^ +七=1（。
高二数学综合测试题参考答案
高二数学综合测试题参考答案1．A2．D3．B4．B5．A6．C7．D8．A9．C10．D11．B12．D 13．4 ．31615．x 24−y 25=1.16． 217．解析：∵命题p ：不等式()2110x a x -++>的解集是R ，∴2140a =+-< （），解得31a -<<，∵命题q ：函数()()1xf x a =+在定义域内是增函数，∴11a +>，解得0a > 由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，可知p q ，一真一假， 当p 真q 假时，由{}{|31}|0{|30}a a a a a a -<<⋂≤=-<≤， 当p 假q 真时，由{|3a a ≤-，或 综上可知a 的取值范围为：{|30a a -<≤，或1}a ≥18．解析：（1∴2=16ρ，即4ρ=±.∴A B 、两点的极坐标为：（2）由曲线1C 的极坐标方程2cos28ρθ=化为()222cos sin 8ρθθ-=，得到普通方程为228x y -=.代入228x y -=，整理得19．解：(1)由 x =3cos αy =sin α 消去参数α，得x 29+y 2=1，即C 的普通方程为x 29+y 2=1.由ρsin (θ−π4)＝ 2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将 x =ρcos θy =ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为x=t cosπ4y=2+t sinπ4(t为参数)，即x=22ty=2+22t(t为参数)，代入x 29+y2=1并化简，得5t2＋182t＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－1852<0，t1t2＝275>0，所以t1<0，t2<0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝1852.20．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30（Ⅱ）设居民月用水量为t吨，相应的水费为元，则y=4t,0<t≤33×4+(t−3)×8,t>3,即y=4t,0<t≤38t−12,t>3由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民的月平均水费估计为1×0.04+3×0.08+5×0.15+7×0.20+9×0.26+11×0.15+14×0.06+18×0.04+22×0.02 =8.4221．解析：（1）如图，因//EB AC，故EBD ACD ADC∠=∠=∠，所以D，故，又圆A的标准方程为()22232x y++=，从而有题设可知()()2,0,2,0A B -E的轨迹方程为（2）设()()1122,,,M x y N x y ，当l '的斜率存在时，设为()()210y k x k +=+≠与椭圆联立可得()()22221248280k x k k x k k ++-+-=，0∆>且因为,M N 两点异于Q ，所以4k ≠，所以当l '的斜率不存在时，此时:1l x '=-此时容易解出,M N 的坐此. 综上可知124k k +=. 22．解：（1）由已知，得知，又因为离心率为，所以.因为，所以,所以椭圆的标准方程为.（2）假设存在. 设由已知可得，所以的直线方程为，的直线方程为，令，分别可得，，所以，线段的中点，若以为直径的圆经过点D（2,0），则,因为点在椭圆上，所以，代入化简得，所以，而，矛盾，所以这样的点不存在.。
高二数学综合测试卷
高二数学综合测试卷一、选择题1.在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 222tan a c b B ,则角B 的值为( ) A. π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32、曲线 y = x +x 在点 1,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.B.C.D.3.已知函数()2ln 8f x x x ,则0(12)(1)lim x f x f x的值为( )A.-20B.-10C.10D.204.若函数()f x 在点0x x 处的瞬时变化率是3,则0x 的值是( ) A.34B.12C.1D.35.已知物体做自由落体运动的位移方程为21()2s t gt ,其中29.8m /s g ,位移s 的单位:m,时间t 的单位:s,若(1)(1)s t s v t,当t 趋于0时,v 趋近于9.8m /s ,则9.8m /s 是( )A.物体从0s 到1s 这段时间的平均速度B.物体从1s 到(1)s t 这段时间的平均速度C.物体在1s t 这一时刻的瞬时速度D.物体在s t t 这一时刻的瞬时速度 6.已知 22'1f x x xf ,则 0f 等于( )A. 0B. 4C. 2D. 27.等比数列 n a 中, 182,4a a ,函数 128f x x x a x a x a ,则 '0f ( ) A. 62B. 92C. 122D. 1528.直线1y kx 与曲线3y x ax b 相切于点 1,3A ,则2a b 的值等于( ) A.2 B.-1 C.-2 D.1 二、多项选择题9.已知向量(1,2),(,1)(0)a b m m ,且向量b满足()3b a b ,则( )A.bB.(2)//(2)a b a bC.向量2a b 与2a b 的夹角为π4D.向量a 在b 方向上的投影为510.已知数列 n a 的前n 项和为 0n n S S ，且满足11140(2),4n n n a S S n a ，则下列说法正确的是（ ）A.数列 n a 的前n 项和为1S 4n nB. 数列 n a 的通项公式为14(1)n a n nC.数列 n a 为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列 11.设'()f x 是函数()f x 的导数,若'()0f x ,且1212,R()x x x x ,1212()()2(2x x f x f x f 则下列各项正确的是( ) A.(2)(e)(π)f f f B.'(π)'(e)'(2)f f f C.'(2)(3)(2)'(3)f f f fD.'(3)(3)(2)'(2)f f f f12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点,则有( ) A.渐近线方程为y B.渐近线方程为3y x C.60MAND.120MAN三、填空题13.若等比数列 n a 的各项均为正数,且510119122a a a a e ,则1220ln ln ln a a a __________.14.已知0,0a b ,方程为22420x y x y 的曲线关于直线10ax by 对称,则32a b ab的最小值为__________.15.计算22231lim 41n n n n n ． 16.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x(,a b 为常数)过点(2,5)P ,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y 平行,则a b 的值是__________. 17.如图所示，O 是平面内一定点，,,A B C 是平面内不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC，,[)0 ＋，则点P 的轨迹一定通过ABC 的________心．四、解答题18.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c,且满足c BA BC cCB CA .（1）求角B 的大小;（2）若BA BCABC 面积的最大值.19.已知在数列 n a 中, *,,.n n a n a na n N 11311 （1）证明数列 n a 是等差数列,并求 n a 的通项公式; （2）设数列1{}(1)n n a a 的前n 项和为n T ,证明: 13n T .20.若不等式2(1)460a x x 的解集是 |31.x x (1)解不等式22(2)0.x a x a(2)当b 为何值时, 230ax bx 的解集为R?21.如图,在四棱锥P ABCD 中, PA 底面ABCD ,AD AB ,//AB DC ,2AD DC AP ,1AB ,点E 为棱PC 的中点. （1）证明: BE DC ;（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;（3）若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ,求二面角F AB P 的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b 的离心率为12,点2M在椭圆C 上 （1）求椭圆C 的方程.（2）若不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,与直线OM 相较于点N ,且N 是线段AB 的中点,求OAB 面积的最大值.。
高二数学综合练习题
高二数学综合练习题一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^52. 已知圆的方程为(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4，该圆的半径是多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y = 2^x的反函数是？A. y = log2(x)B. y = log10(x)C. y = 2^(-x)D. y = 10^(-x)4. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 4)，向量a与向量b的点积是多少？A. -10B. 10C. 2D. -25. 以下哪个不等式是正确的？A. |x| > xB. |x| < xC. |x| = xD. |x| ≥ x二、填空题（每题3分，共15分）6. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
7. 计算定积分∫[0, 1] x^2 dx的值。
8. 将复数z = 3 + 4i转换为极坐标形式。
9. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，求直线l的斜率。
10. 计算二项式(1 + x)^3的展开式中x^2项的系数。
三、解答题（每题10分，共50分）11. 证明函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, +∞)上是增函数。
12. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]13. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c经过点(1, 2)和(2, 3)，求a、b、c的值。
14. 计算定积分∫[1, 2] (x^3 - 2x^2 + 3x) dx，并求出该积分的几何意义。
15. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求导数f'(x)，并讨论f(x)在区间[0, 2]上的单调性。
江苏省苏州市昆山市2023_2024学年高二下学期综合能力测评数学质量检测试题(含答案)
江苏省苏州市昆山市2023-2024学年高二下学期综合能力测评数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则符合条件的有序集合对的个数为（ ）{}1234,,,A B a a a a U== (),A B A ．81B ．90C ．108D ．1142．最接近下列哪个数字（ ）201.01A ．1.20B ．1.21C ．1.22D ．1.233．，，若在其定义域上有且仅有两个零点，则()2ln x f x x =()()()21g x f x mf x ⎡⎤=--⎣⎦()g x 的取值范围是（ ）m A ．B ．21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭2e e 2,e 22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．2e ,e 2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ee 1,122⎛⎫-+ ⎪⎝⎭4．超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为（ ）A ．12B ．15C ．17D ．205．已知复合函数求导法则符合，记是的()()()()()f g x f g x g x ''⎤⎣⎦'⎡=()W x ()()e 0x f x x x =>反函数，则（ ）()W x '=A ．B ．C ．D ．()e xW x x+()1eW x x+()e x x W x ()eW x x6．丛雨和芳乃玩猜硬币正反面的游戏，其中一人抛硬币，另一人猜硬币正反面，猜中则猜方获胜，猜不中则对方获胜，每轮的胜者可获得对方的一枚硬币，直到其中一人赢完所有硬币之后游戏结束．已知游戏开始时，丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币，则丛雨最后赢得所有a b 硬币的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．0.5a a b+222a ab +2a b a b-+7．下列比大小正确的是（ ）A ．B ．πe ln π<21ππe ππ-->-C ．D ．12ππln e π<3π31>8．设为函数的定义域，若对于且，都有，我们称为D f 12,x x D ∀∈12x x >()()12f x f x ≥f “不减函数”．对于映射：，符合条件的不减函数有（ ）f {}{}1,2,31,2,3,4→f A ．16个B ．18个C ．20个D ．22个二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列组合恒等式正确的有（ ）A ．B ．11A A A m m m n n n-+=+11C C m m n n m n --=C ．D ．1C2nin nii n -=∑1CC C ki k i k m n m ni --==∑10．对于，若使，则称是的正因数，易知也是的正因数．正因*,a d ∈N *k ∃∈N a kd =d a k a 数只有1与自身的数叫做素数，如：2、3、5、7、11……．若对于正整数与，它们之间a b 最大公因数为1，则称与互素．已知一个正整数可以被唯一分解为一组素数的乘积：a b ，其中，是两两不同的素数，则下列说法正确的是（ ）1212k a a a k n p p p =⋅⋅⋅*i α∈N i p A ．从中随机取出两数，则它们互素的概率是{}1,2,3,4,5,6,7A =1721B ．360的正因数个数为25C ．360的所有正因数之和为()()()32213151+++D ．360的所有正因数之积为1236011．设非常值函数定义域为，，且对于任意都满足()f x R ()1ef =,0x y ≠，则下列说法正确的是（ ）()()()11f x y f x f y x y+=+A ．()1121e e e 12e e 1e++=-=--+-∑n n ni n f iB ．是奇函数()f x C ．()()1f x f x '=+D ．若有且仅有一个整数解，则的取值范围是()()31f x k x <-k 223,e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将符合每小题的答案填写到空格上．12．随机取中的一个元素，则，(){},,,|20,,,,x y z w x y z w x y z w +++=∈N 0x >，，的概率为．1y >2z >3w >13．用个种不同颜色的扇形拼成一个圆，相邻的扇形不共色，设拼法数为，写出数列n k n a 的一个递推公式．{}n a 14．“指数找基友”是高中导数的重要思想，如和()()()()'e e x xf x f x f x ⎡⎤=+'⎣⎦，这揭示了它们导数之间的奇妙关系．已知定义在上的可导函数()()()'e e x xf x f x f x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦'R 和满足以下关系：，，，，则()f x ()g x ()()f xg x '=()()g x f x '=()()0f x f x +-=()01g =，．()f x =()g x =四、解答题：本题共5小题，共77分．将符合题目的答案填写在空白处．15．回答下列问题(1)求的个位数字122024122024A A A ++⋅⋅⋅+(2)若随机变量，试求最大时的取值111,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:()P X k =k (3)证明：是偶数2C nn 16．已知，()e x kf x x =-()0,k ∈+∞(1)若，试证明：，恒成立e =k 0x ∀>()0f x ≥(2)若，讨论的零点个数*k ∈N ()f x 17．对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．(1)讨论，的单调性()()21ln 1x f x x x -=-+()l 1n 2x g x x x =-+(2)试证明对数均值不等式：2ln ln x y x yxy x y +->>-(3)设，试证明：*n ∈N ()222111ln 11122n n n++⋅⋅⋅+>++++18．设样本空间，，其中两两互相独立．设随机事{}12,,...,m A A A A ={}12,,...,n B B B B =,i j A B 件对应的结果值为，随机变量和的取值分别为样本空间和中所发生事件的M ()V M X Y A B 结果值，从而它们的数学期望，.()()()1mi i i E X V A P A ==∑()()()1nj j j E Y V B P B ==∑(1)证明：，；()()()E X Y E X E Y +=+()()()E XY E X E Y =(2)小明抛一枚奇葩的硬币，有的概率朝上，的概率朝下，的概率立起来．记朝上为121316分，朝下为分，立起来是分，设随机变量是小明抛次硬币所得的分数，求，11-0S 100()E S ；()D S (3)若随机变量，证明：，.(),Z B n p ~()E Z np=()()1D Z np p =-19．已知集合.{}1,2,3,...,1,A n n =-(1)“算两次”思想在组合数学中有着重要应用．例如：对于一个元集合的所有子集个数，n U 一方面有，另一方面：对于所有子集，每个中的元素有“出现”和“不出01C C ...C nn n n N =+++U 现”两种选择，由分布计数原理可得，因此有．令222...22n N =⋅⋅⋅⋅=01C C ...C 2n n n n n +++=，试用算两次思想化简；()x BS B x∈=∑()B AS B ⊆∑(2)对于的子集个数还可以这样理解：，展开式中U ()00111021111C 11C ...11C nn n n n n n n n -=+=+++每一项都唯一对应着的一个子集．令，试化简；U ()x BP B x∈=∏(),B A B P B ⊆≠∅∑(3)对偶原理也是组合数学的重要方法，例如数学王子高斯小时候在计算的值时，12...100+++他把与配对，与配对，从而化变量为常量，简化了计算．这其实就是对偶原理的一1100299种体现．令，其中是中元素从小到大的一个排列，()()1121...1n n n n Q B a a a a ---=-+-+-{}n a B 试用对偶原理化简.()B AQ B ⊆∑1．A【分析】根据满足条件的集合可看成由的子集与的并集，然后分类计算即可.B A U A ð【详解】当时，满足条件的有序集合对有1个；A =∅当为单元集合时，例如，A {}1A a =则满足条件的集合可看成由的子集与集合的并集，共有个，B A {}234,,a a a 12所以为单元集合时，满足条件的有序集合对有个；A 114C 28⨯=当为二元集合时，满足满足条件的有序集合对有个；A 224C 224⨯=当为三元集合时，满足满足条件的有序集合对有个；A 334C 232⨯=当为四元集合时，满足满足条件的有序集合对有个.A 444C 216⨯=综上，符合条件的有序集合对的个数为.(),A B 1824321681++++=故选：A 2．C【分析】利用二项式定理进行估值即可.【详解】由题意得，2020(11.010.01)=+由二项式定理得，()()20212202010.011C 10.01C 0.01+=+⨯⨯+⨯+而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，所以我们得到，1220200220.010.010.01) 1.219(1)1C C +≈+(=⨯1⨯+⨯则其与1.22更接近，故C 正确.故选：C 3．B【分析】利用导数求出的单调区间，画出的大致图象，令，则问题转化为()f x ()f x ()t f x =方程有两个不相等的实根，且，然后结合根与系数的关系可求210t mt --=12,t t 1222,[,]e e t t ∉-得答案.【详解】由，得，()2ln x f x x =()222222ln 2ln (0)xx x x x f x x x x -='⋅-=≠令，由()t f x =()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦则，则210t mt --=2m ∆=+所以方程有两个不相等的实根210t mt --=()g x，利用错位相减法和极限思想求出答案.()()11512366k k E Y k ∞-+=⎛⎫=+⋅⋅⎪⎝⎭∑【详解】设抽奖次数为，花费的积分为，则，k Y ()52123Y k k =+-=+每次抽中100元代金券的概率为，211026=+故，()()11512366k k E Y k ∞-+=⎛⎫=+⋅⋅⎪⎝⎭∑设，①()01215555579236666k k S k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，②，()123555555792366666kk S k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 两式相减得，()12311555555222223666666k kk S k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯++⨯-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()()555556652235101223566616kk k k k k ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⨯-+⋅=+-⨯-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-故，()55907262366kkk S k ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()551lim 907262315666k k k E Y k ∞→+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：B 5．B【分析】先根据反函数定义得到，两边求导得到，再求出()()x f W x =()()()1W x f W x '='，从而得到答案.()()()()()()e e e W x W x W x x f W x W x '==+⋅+【详解】因为互为反函数，所以，()(),f x W x ()()x f W x =两边求导得，()()()1f W x W x ''=⋅故，()()()1W x f W x '='两边求导得，()()e 0xf x x x =>()()()1e 0x f x x x '=+>故，()()()()()()()()1e e e W x W x W x f W x W x W x =++⋅'=是的反函数，故，()W x ()()e 0xf x x x =>()()e W x x W x =故，()()()e W x xf W x =+'故.()()()()1e 1W x W xf W x x=='+'故选：B关键点点睛：本题解决的关键在于，利用互为反函数得到以，从而()(),f x W x ()()x f W x =利用复合函数的求导即可得解.6．B【分析】设当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，丛雨最后赢得所有硬币的概率为k a b k +-，然后利用全概率公式得到，再结合，即kp ()11111122k k k p p p k a b -+=+≤≤+-00p =1a b p +=可求出.a a p a b =+【详解】事实上，无论抛硬币的人选如何，每一局结束后两人获胜的概率都是.12设当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，丛雨最后赢得所有硬币的概率为.k a b k +-k p 对，当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，进行一局游戏后，两人的11k a b ≤≤+-k a b k +-硬币数有的概率分别变成和，也有的概率分别变成和，121k +1a b k+--121k -1a b k +-+则根据全概率公式有.111122k k k p p p -+=+从而.111111112222k k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p p +-+---⎛⎫-=+--=--=- ⎪⎝⎭故可设.()10,1,2,...,1n n p p d n a b +-==+-显然也有，，所以00p =1a b p +=.()()()()()()110112211011...a b a b a b a b a b a b a b n n n n p p p p p p p p p p pp d a b d+-+-+++-+-+-+===-=-+-++-+-=-==+∑∑从而由可知，故()1a b d=+1d a b =+.()()()()()110112211010...a a a a a a a a n n n n a p p p p p p p p p p p p p d ad a b -----+===-=-+-++-+-=-===+∑∑所以当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，丛雨最后赢得所有硬币的概率.a b a a p a b =+故选：B.关键点点睛：本题的关键点在于将全概率公式和数列知识结合，利用数列得到所求概率.7．D【分析】构造函数根据函数单调性判断A,化简函数构造函数后应用函数单调性判断B,应用对数运算化简判断C,计算判断D.【详解】对于A:设,()()()()221ln ln 1,ln ln ln x x xx x f x f x xx x -⨯-=='=当在上单调递增，()()e,0,x f x f x >'≥[)e,+∞所以,所以,A 错误；()()πe πe,πe ,e ln πlnef f >>>=πeln π>对于B:设，()()()()e 1,e 1e =e x x x xg x x g x x x -'=-=--当在上单调递增，当在上单调递减,()()0,0,x g x g x '(),0∞-()()0,0,x g x g x <'>()0,∞+所以 ,()()()0max 0e 101g x g ==-=所以,()()1,e 11x g x x ≤-≤当取所以,B 选项错误；()22π2π,e1π<1,x ---=-22ππ211πe <,e <1πππ------对于C:因为，C 错误；122π1lne π=×π=ππ对于D:因为,D 选项正确.33π 3.141592631.0131≈≈>故选：D.8．C【分析】根据“不减函数”的定义，分情况讨论，列出所有情况即可．【详解】分情况讨论，值域取1个元素， 取2个元素，取3个元素.值域1个元素，可以；；；；共4个.1231→1232→1233→1234→值域取2个元素， ；；；；121,32→→11,232→→121,33→→11,233→→；；；；11,234→→11,234→→12,233→→12,233→→；；；；共12个．12,234→→12,234→→13,234→→13,234→→值域取3个元素， ；；；11,22,33→→→11,22,34→→→11,23,34→→→；共4个.12,23,34→→→总共有20个.故选：C.9．BCD【分析】利用排列数、组合数的性质逐一分析即可.【详解】选项：左边，A 11A (1)(1)(2)(1)A m m n nn n n n m n -++--++== 1A (1)(2)(1)(1)A m m n nn n n m n m n m --=-+-+=-+ 右边，1111A A (1)A A (2)A m m m m m n n n n nn m n m ----=-++=++-当时，即，故错误；1m =1101A A A n n n +≠+11A A A m m m n n n -+≠+A 选项：，故正确；B 11(1)(1)(1)(1)C C !(1)!m m n n n n n m n n m m mn n m m ----+--+===- B 选项：，C 121CC +C +2C nninn n ni i n =+=∑ 令①，01210C C C C +2(C +1)n n nn n n nS n n -++-+= ②，1210(1)+C +2C C C 0C n n n n n n nS n n -+-++= 由得，故，①+②01212++)(C C C C C 2n n n n n n n n S n n -++==+⋅ 12n S n -=⋅即，故正确；112Cnini n i n =-⋅=∑C 选项：，D (1)(1)(1)m n m nx x x -++=+的通项为，的通项为，(1)m x +1C i i i m T x +=(1)n m x -+1-C k i k ik i n m T x---+=则左边含的系数为，右边含的系数为，(1)(1)m n mx x -++kx 1CC ki k i m n mi --=∑(1)n x +k x C kn 故，故正确.1CC C kik i k m n m ni --==∑D 故选：BCD.10．ACD【分析】根据古典概型概率公式和素数定义可判断A ；根据，由分步乘法计321360235=⨯⨯数原理可判断B ；根据二项式定理的推导过程可判断C ；由因数的成对性可判断D.【详解】对于A ，从中随机取出两数有种取法，{}1,2,3,4,5,6,7A =27C 21=其中不互素的数组有，()()()()2,42,64,63,6，，，所以它们互素的概率是，A 正确；41712121-=对于B ，因为，所以360的正因数由2、3、5的乘积构成，321360235=⨯⨯其2有4种取法，3有3种取法，5有2种取法，所以360的正因数个数为个，B 错误；43224⨯⨯=对于C ，由二项式定理可知360的正因数是展开式每一项的系数，()()()32235x y z +++所以360的所有正因数之和为，C 正确；()()()32213151+++对于D ，由题知，360的因数成对出现，共12对，每队的乘积都等于360，所以360的所有正因数之积为，D 正确.12360故选：ACD 11．AD【分析】令，可得是以为首项，为公比的等比数列，求出，然后利用,1==x i y ()f i ie e ()f i 错位相减求和可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；求出、可判断C ；令()f x '()1f x +，利用导数得出的大致图象，结合图象可判断D.()3e xg x x =()g x 【详解】对于A ，令，则，可得，,1==x i y ()()()11111f i i f i f i i ++=+=()()11ef i i f i i ++=且，所以是以为首项，为公比的等比数列，()1=e1f ()f i i e e ，()()e 1,2,,if i i i n == 设，()()()1212e 2e e nS f f f n n =+++=+++ 则，231e e 2e e +=+++ n S n直线横过定点，()1y k x =-()1,0设直线与的切点为()1y k x =-()3e xg x x =则，，()()00031e x g x x +'=0003e =x y x ()0031e x y x ⎧=+⎪因为，不满足有且仅有一个整数解；015012+<=<x ()()31f x k x <-所以要使有且仅有一个整数解，()()31f x k x <-只须，解得，故D 正确.()()()()31113221f k f k ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩223e2e k ≤<故选：AD.关键点点睛：解题的关键点是求出的解析式和数形结合解题.()f x 12．26161【分析】根据给定条件，利用隔板法求出的自然数解的个数，再求出满足20x y z w +++=的整数个数，然后计算古典概率即得.31,,2,0x y z w >>>>【详解】依题意，的一个元素，即方程(){},,,|20,,,,x y z w x y z w x y z w +++=∈N 的一个自然数解，20x y z w +++=由，得，20x y z w +++=(1)(1)(1)(1)24x y z w +++++++=设，则，1,1,1,1x x y y z z w w ''''=+=+=+=+24x y z w ''''+++=方程的自然数解的个数即为方程的正整数解的个数，20x y z w +++=24x y z w ''''+++=可视为24个小球排成一排，用3块隔板插入23个间隙分24个小球的分法数，有种，323C ，令，(1)(2)(3)14x y z w +-+-+-=1,2,3y y z z w w ''''''=-=-=-因此满足的整数解的个数，即为方程的正整数解个31,,2,0x y z w >>>>14x y z w ''''''+++=数，有种，313C 所以所求概率.313323C 13121126C 232221161P ⨯⨯===⨯⨯故26161关键点点睛：求出方程的正整数解的个数，关键是转化为排成一排的2424x y z w ''''+++=个小球，用3块隔板分成4部分的不同分法数.13．（答案不唯一，例如也可以）()11n na k a +=-()()2121n n na k a k a ++=-+-【分析】构造另一个数列作为辅助，利用乘法原理得到，{}n b ()()121n n n a k a k b +=-+-，二者结合即可得到的递推公式.1n n b a +={}n a 【详解】将所有扇形按逆时针顺序分别记为，若每种扇形可从种颜色中选择一个12,,...,n T T T k 并染色，设使得每对都不同色，且不同色的选择方式有种，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T n a 使得每对都不同色，但同色的选择方式有种.()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T n b 则使得每对都不同色的选择方式有种，而根据乘法原理，()1,11i i T T i n +≤≤-()n n a b +使得每对都不同色的选择方式有种，从而.()1,11i i T T i n +≤≤-()11n k k -⋅-()11n n n a b k k -+=⋅-而对，我们先考虑使得每对都不同色，121,,...,,n n T T T T +()1,1i i T T i n +≤≤且不同色的选择方式，这样的选择方式有种.11,n T T +1n a +若每对都不同色，且不同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则的选择方式有种，的选择方式有种；12,,...,n T T T n a 1n T +()2k -若每对都不同色，但同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则的选择方式有种，的选择方式有种.12,,...,n T T T n b 1n T +()1k -所以.()()121n n na k a kb +=-+-我们再考虑使得每对都不同色，但同色的选择方式，这样的选择方式有()1,1i i T T i n +≤≤11,n T T +种.1n b +若每对都不同色，且不同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则的选择方式有种，的选择方式有种；12,,...,n T T T n a 1n T +1若每对都不同色，但同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则无论怎样选择都不符合条件，故无法选择.1n T +所以.1n n b a +=至此我们得到，，所以()()121n n na k a kb +=-+-1n n b a +=.()()()()21112121n n n n na k a kb k a k a ++++=-+-=-+-这就得到了的一个递推公式.{}n a ()()2121n n na k a k a ++=-+-该递推公式还可以进一步简化，由该递推公式可得.()()()()()()()2111112111n n n n n n n a k a k a k a k a a k a +++++--=-+---=---故.()()()()()()()1111221111...11n n n n n n n a k a a k a a k a a k a -+-----=---=--==---而根据乘法原理有，，故.1a k =()21a k k =-()()()211110a k a k k k k --=---=所以.()()()()()11121111100n n n n a k a a k a --+--=---=-⋅=这就得到一个更简单的递推式.()11n na k a +=-故（答案不唯一，例如也可以）.()11n na k a +=-()()2121n n na k a k a ++=-+-关键点点睛：本题的关键点在于，构造另一个数列作为辅助，以得到所求数列的递{}n b {}n a 推公式.14．e e 2x x--e e 2x x-+【分析】根据题意整理可得，进而可得()()()()e e 0x xf x f xg x g x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦''，即，再根据题意可得，结合奇函数以()()e e xxf xg x c-=()()e x c f x f x ='-()e 2e xx c f x a =-及列式求解即可.()01g =【详解】由题意可知：的定义域为，()(),f x g x R 因为，，则，()()f xg x '=()()g x f x '=()()()()0f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦即，()()()()e e 0x x f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦''由题意可知：，即，()()e e x x f x g x c-=()()e e x x f x f x c-'=可得，则，()()e xc f x f x ='-()()()'2e e e e e x x x x x cf x f x f x c -⎡⎤-===-⎢⎥⎣⎦'可得，即，则，()2e 2e xx f x c a =+()e +2e x x c f x a =()()e -2e x x cg x f x a ='=又因为，，则，()()0f x f x +-=()01g =()()0,01f x f '==可得，解得，0212c a c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21c a =-=-即，，()11e e e 22e 2x x x x f x --=-=()e e 2x xg x -+=此时符合题意，()()e e e e 022x x x xf x f x ----+-=+=所以，.()e e 2x x f x --=()e e 2x xg x -+=故；.e e 2x x --e e 2x x-+关键点点睛：本题的关键是根据化简可得，进而可得()()()()e e 0x x f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦''，再结合题意可得，化简运算即可.()()e x cf x f x ='-()2e 2e xx f x c a =+15．(1)3(2)或3k =4k =(3)证明见解析【分析】（1）由可知，当时，的个位数字都是0，所以只要求出55A 120=5n ≥A nn 的个位数字即可；12341234A A A A +++（2）设最大，则，然后利用二项分布的概率公式列方程组()P X k =()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩求解即可；（3）利用组合数的性质证明即可.【详解】（1）因为，所以当时，的个位数字都是0，55A 120=5n ≥A nn 因为，12341234A A A A 1262433+++=+++=所以的个位数字为3；122024122024A A A ++⋅⋅⋅+（2）设最大，则，()P X k =()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩因为，所以，111,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()11111111111213333kkk kk k P X k C C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，111121111111110111111212C C 33331212C C 3333k k k kk k k k k kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩即，所以，解得，1111111111C 2C 2C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩121221111k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩34k ≤≤因为，所以或，N k ∈3k =4k =（3）证明：因为，，121212C C C n n n n n n ---=+121(1)212121C C C n n n n n n n -------==所以，2122121C C 2C C n n nn n n n n ---=+=所以是偶数2C n n 16．(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）通过等价变形，转化为证明，当时，恒成立，构造()0f x ≥()0x ∞∈+，ln 1e x x ≤函数，借助导数求出函数最大值即可得证；（2）分和讨论，即分别进行正零点和负零点的讨论，即可得解.0x ≤0x >【详解】（1）证明：()()e e 0xf x x x =->要证明，恒成立，即证明恒成立0x ∀>()0f x ≥ee x x ≥又e e e e eln 1ln ln x x x x x x ≥⇔≥⇔≤即只需要证明当时，恒成立，()0x ∞∈+，ln 1e x x ≤令，则，()()ln 0x g x x x =>()21ln xg x x -'=令解得，所以在上单调递增；()0,g x '>0e x <<()g x ()0,e 令解得，所以在上单调递减；()0,g x '<e x >()g x ()e,∞+所以，当时，取得极大值，也是在上的最大值，e x =()g x ()g x ()0∞+，即，()()max ln e 1e e e g x g ===当，即时，又11e k >e k <k ∈没有零点；()f x 当，即时，又10e k <<e k >当时，有三个零点；()*22N k n n =+∈()f x 关键点点睛：第（1）问的关键，将恒成立问题，转为了恒成立问题，结合()0f x ≥ln 1e x x≤导数即可证明；第（2）问的关键在于分类讨论，分和讨论，从而得解.0x ≤0x >17．(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）先进行转化：，；2ln ln x y x y x y +->-⇔()21ln 01t t t -->+1t >ln ln x y xy x y ->-⇔，.在利用（1）的结论证明.1ln 0t t t -+<1t >（3）利用，可得，再累加求和即可.ln ln x y xy x y ->-()21ln 1ln n n n n >+-+【详解】（1）在()()()()2212111x x f x x x +--=+'-()2141x x =-+()()22141x x x x +-=+()()2211x x x -=+0≥上恒成立，所以在上单调递增；()0,∞+()f x ()0,∞+在上恒成立，所以在上单调()2211g x x x=--'2221x x x --=()221x x -=-0≤()0,∞+()g x ()0,∞+递减.（2）不妨设0x y >>因为2ln ln x y x y x y +->-⇔()2ln ln x y x y x y -->+⇔21ln 1x y x x y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+⇔21ln 01x y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+设，，则问题转化为：，.x t y =1t >()21ln 01t t t -->+1t >由（1）可知，函数在上单调递增，所以.()()21ln 1x f x x x -=-+()1,∞+()()10f t f >=故，成立，所以： .()21ln 01t t t -->+1t >2ln ln x y x y x y +->-又因为ln ln x y xy x y ->-⇔ln ln x y x y xy --<⇔1ln x x y y x y -<⇔1ln 0t t t --<⇔.1ln 0t t t -+<由（1）知在上单调递减，所以，故()12ln g x x x x =-+()1,∞+()()10g t g <=，成立，所以.1ln 0t t t -+<1t >ln ln x y xyx y ->-所以：成立.2ln ln x y x yxy x y +->>-（3）根据，ln ln x y xyx y->-⇒()()11ln 1ln n n n n +<+-⇒()()1ln 1ln 1n nn n >+-+所以2221111122n n ++⋅⋅⋅++++()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n >-+-+++- ()ln 1ln1n =+-,()ln 1n =+所以，成立.()222111ln 11122n n n++⋅⋅⋅+>++++*n ∈N 18．(1)证明见解析(2)，()503E S =()7259D S =(3)证明见解析【分析】（1）直接根据期望的定义以及两两互相独立即可证明；,i jA B （2）将单次的得分分别记为一个随机变量，然后求其相应的量，最后考虑它们的和的期望和方差即可；（3）使用二项分布的定义，结合二项式定理和导数知识即可求解.【详解】（1）根据两两互相独立，可知,i jA B ()()()()()11mni j i j i j E X Y V A V B P A B ==+=+∑∑()()()()()11m ni j i j i j V A V B P A P B ===+∑∑()()()()()()1111mnmni i j j i j i j i j V A P A P B V B P A P B =====+∑∑∑∑()()()()()()1111mnnmi i j j i j i j j i V A P A P B V B P A P B =====+∑∑∑∑()()()()()()1111mn n m i i j j j i i j j i V A P A P B V B P B P A ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑()()()()11m ni i j j i j V A P A V B P B ===+∑∑；()()E X E Y =+且()()()()()11mni j i j i j E XY V A V B P A B ===⋅∑∑()()()()()11mni j i j i j V A V B P A P B ===⋅∑∑()()()()()()11mni i j j i j V A P A V B P B ===⋅∑∑()()()()()()11mn i i j j i j V A P A V B P B ==⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()()()()()()()11mni i j j i j V A P A V B P B ===⋅∑∑.()()E X E Y =（2）对，设小明第次抛硬币时的得分为，则，1,2,3,...,100i =i i X ()112i P X ==，.()113i P X =-=()106i P X ==从而，.()()11111236i E X =⋅+-⋅=()()22211511236i E X =⋅+-⋅=而显然两两独立，故.12100,,...,X X X ()()()()1111,100,6636i j i j E X X E X E X i j i j ==⋅=≤≤≠所以由即知，且1001ii S X ==∑()()1001001001111150100663i i i i i E S E X E X ===⎛⎫====⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()()()2222D S E S E S E S E S S E S =-=-⋅+()()()()()()()()22222E S E S E S E S E S E S =-⋅+=-2210010011i i i i E X E X ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()210010021112i i j i i i j n i E X X X E X =≤<≤=⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()()()()()()10010022111001110022ii j i i j i i j i i j E XE X X E X E X E X =≤<≤=≤<≤⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()()()()()()()()10022111002i i ijiji i j E X E X E X X E X E X =≤<≤=-+-∑∑210011100511112663666i i j =≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.251725100669⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）对，据二项式定理有.0x >()()()()()1C 1C 1nnnn k kn kkk k kn n k k p px p xp p p x --==-+=-=-∑∑在两边同时对求导，得()()()01C 1nnn kk k kn k p px p p x -=-+=-∑x ，()()()1101C 1nn n kk k k n k np p px k p p x ---=-+=⋅-∑再在两边对同时求导，得()()()111C 1nn n kk k k n k np p px k p p x ---=-+=⋅-∑x .()()()()()222111C 1nn n kk k k n k n n p p px k k p p x ---=--+=-⋅-∑在以上三个等式中令，就得到，，1x =()()01C 1nn kkknk p p-==-∑()()0C 1nn kk knk np k p p -==⋅-∑.()()()()2011C 1nn kk kn k n n p k k p p -=-=-⋅-∑根据二项分布的定义有.()()()C 10,1,2,...,n kk k n P Z k p p k n -==-=故.()()()()0C 1nnn kk knk k np k p pk P Z k E Z -===⋅-=⋅==∑∑且()()()()()()2211C 1nnn kk knk k n n p k k p pkk P Z k -==-=-⋅-=-⋅=∑∑.()()()()220nnk k k P Z k k P Z k E Z E Z ===⋅=-⋅==-∑∑故，.()E Z np=()()()221E Z E Z n n p -=-这就得到()()()()()()()()2222D Z E Z E Z E Z E Z Z E Z =-=-⋅+()()()()()()()()22222E Z E Z E Z E Z E Z E Z =-⋅+=-()()()()()()22E Z E Z E Z E Z =-+-.()()()22211n n p np np np np np p =-+-=-+=-关键点点睛：本题的关键在于将二项式定理和导数结合，从而研究二项分布的特性.19．(1)()212n n n -+⋅(2)()1!1n +-(3)12n n -⋅【分析】（1）计算的每个元素在求和式中出现的次数，再乘以该元素并相加即可；A （2）对一般的集合，考虑展开式除第一项以外{}123,,,...,n T t t t t =()()()()123111...1n t t t t ++++的其它项，然后取的特殊情况即得答案；()1,2,...,i t i i n ==（3）将的子集分为不包含元素的和包含元素的两类，然后一一对应，对每对对应的集A n n 合计算，再乘以配对的数目即可.12,B B ()()12Q B Q B +【详解】（1）对任意，的包含的子集数目与集合{}1,2,...,k n ∈{}1,2,3,...,1,A n n =-k 的全体子集数目一一对应，共有个.{}1,2,3,...,1,1,...,k k n -+12n -所以，将展开成若干项的求和后，每个在表达式中都()B A B Ax BS B x⊆⊆∈=∑∑∑{}1,2,...,k n ∈()B A S B ⊆∑出现次.12n -这就得到.()()()1112111222122nnn n n n B Ak k n n S B k k n n ----⊆==+=⋅==⋅=+⋅∑∑∑（2）对集合，由于的展开式中，除第一项的外，{}123,,,...,n T t t t t =()()()()123111...1n t t t t ++++1每一项都唯一对应着的一个子集的各个元素的乘积.T 故.()()()()()123,111 (11)n B T B P B t t t t ⊆≠∅=++++-∑特别地取，就有，.()1,2,...,i t i i n ==T A =()(),1!1B A B P B n ⊆≠∅=+-∑（3）将的子集分为两类：第一类是不包含元素的子集，第二类是包含元素的子集.A n n 那么第一类和第二类子集之间可以实现一一对应：将任意一个第一类子集添加元素，就得n 到一个第二类子集；将任意一个第二类子集去掉元素，就得到一个第一类子集.n 设是一个第一类子集，它对应一个第二类子集.1B {}21B B n =⋃那么求和式中的每一项在的求和式中都以符号相反的状态出现，若计算()1Q B ()2Q B ，则这些项两两抵消，只剩下的第一项.()()12Q B Q B +()2Q B n 所以每对对应的第一类子集和第二类子集都满足.1B 2B ()()12Q B Q B n +=而的子集共有个，故一共有个这样的对应，所以.A 2n11222n n -⋅=()12n B A Q B n -⊆=⋅∑关键点点睛：本题的关键点在于用不同的方式计算同一个变量，以得到相应的恒等式，这就是经典的算二次方法或富比尼原理.。
高二期末综合数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，若f(x)的图像关于直线x = 1对称，则f(2)的值为：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：A解析：由于f(x)的图像关于直线x = 1对称，因此f(1) = f(2)。
将x = 1代入函数f(x)，得f(1) = 21^2 - 31 + 1 = 0，所以f(2) = 0。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S10 = 100，则公差d的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)，其中a1为首项，d为公差。
根据题目条件，可以列出方程组：5/2 (2a1 + 4d) = 5010/2 (2a1 + 9d) = 100解得d = 2。
3. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，若f(x)在区间(0, 3)上单调递增，则f(1)的值为：A. -4B. 0C. 2D. 4答案：C解析：函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
要使f(x)在区间(0, 3)上单调递增，即f'(x) > 0，解不等式3x^2 - 12x + 9 > 0，得x < 1或x > 3。
因此，f(x)在区间(0, 1)上单调递增。
将x = 1代入f(x)，得f(1) = 1^3 - 61^2 + 91 = 4。
4. 在平面直角坐标系中，若点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为B，则直线AB的方程为：A. 2x + 3y = 0B. 3x - 2y = 0C. x + y = 5D. x - y = 5答案：B解析：点A(2, 3)关于直线y = x的对称点B的坐标为(3, 2)。
直线AB的斜率为(2 - 3) / (3 - 2) = -1，过点A的直线方程为y - 3 = -1(x - 2)，即x + y - 5 = 0。
高二数学下学期综合素质检测试题(答案含解析)
第四章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．起止框正确的画法是()A．B．C．D．[答案] D[解析]A表示输入、输出框；B表示处理框；C表示判断框；D表示起止框，表示框图的开始或结束．2．下图是函数性质的知识结构图，在处应填入()A．图象变换B．对称性C．奇偶性D．解析式[答案] C[解析]函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性，而对称性是由研究奇偶性得到的．3．如下图所示，某电脑由以下设备与主机相连，则外存储器是指()A．显示器B．打印机C．游戏杆D．磁盘驱动器、磁带机[答案] D[解析]由题图可知，选D.4．根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的程序框图可称为()A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图[答案] B[解析]根据二分法原理求解方程x2－2＝0的过程既不是工业生产的流程，也不是知识结构或组织结构，所以排除A、C、D，答案为B.5．9颗珍珠中有一颗是假的，且真珍珠一样重，假珍珠比真珍珠要轻．如果用一架天平至少要称()次，就一定可以找出这颗假珍珠．()A．5B．4C．2D．6[答案] C[解析]这是工序最优化设计问题，将9颗珍珠分三堆，将其中两堆分别放置天平两端，如果平衡，则假珍珠在剩下一堆里；如果不平衡则假珍珠在轻的一端；再把含假珍珠的一堆中取出两颗珍珠放在天平两端，同上可找出假珍珠，故只需称两次就能找出假珍珠．6．在下面的图示中，结构图是( ) A ．Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→得到一个明显成立的条件B ．⎪⎪⎪定义—图象与性质——对数函数C ．D ．[答案] B[解析] A 是流程图，C 是直方图，D 是韦恩图，B 是结构图． 7．某一算法流程图如图，输入x ＝1则输出结果为( )A ．32B ．0C ．－112D ．－92[答案] D8．如图是高中课程结构图：生物所属课程是( ) A ．技术 B ．人文与社会 C ．艺术 D ．科学[答案] D[解析] 根据课程结构图可知，生物所属课程是科学． 9.某公司要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁与工程设计可同时进行，如果工程设计分为土建设计与设备采购两个部分，两者可同时进行；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装调试，最后才能进行试生产．上述过程的工序流程图如图．则设备采购，厂房建设，土建设计，设备安装与图中①②③④处正确的对应次序应为( )A ．①②③④B ．①④②③C ．②③①④D ．①③②④[答案] D[解析] 因为设备采购来后才能进入安装调试环节，拆迁在厂房建设之前，在土建设计之后，设备安装在厂房建设之后，故正确的工序流程图如图，故选D.10．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝ln x ＋2x －6 D ．f (x )＝sin x[答案] D[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D.11．(2014·安阳月考)已知M 是e x＋e －x的最小值，N ＝2tan22.5°1－tan 22.5°，则下图所示程序框图输出的S 为( )A ．2B ．1C ．12D ．0[答案] A[解析] ∵e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，∴M ＝2，N ＝2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1，所以M >N ，又框图的功能是求M 、N 中的较大值，故输出的值为2.12．若下面框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k <8D ．k >8[答案] D[解析] 运行过程依次为k ＝10，S ＝1→S ＝11，k ＝9→S ＝20，k ＝8→输出S ＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k >8.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．流程图描述________过程；结构图刻画________结构． [答案] 动态 系统14．实数系的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容依次是________，________，________.[答案] 有理数 整数 零15．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x <2.如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．[答案] x <2，y ＝log 2x[解析] 根据分段函数解析式及程序框图知，当满足x <2时，执行y ＝2－x ，故判断框中条件为x <2，不满足条件x <2，即x ≥2时，y ＝log 2x ，故②中为y ＝log 2x .16．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员i 12345 6三分球个a1a2a3a4a5a6数程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.[答案]i≤6？a1＋a2＋…＋a6[解析]因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6？，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则被选为班长；若票数相同，则由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．[分析]按照工序流程图的画法进行作图即可．[解析]18．(本题满分12分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．[分析]题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．[解析]程序框图如图所示：19．(本题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．[解析]20．(本题满分12分)建立数学模型一般都要经历下列过程：从实际情景中提出问题，建立数学模型，通过计算或推导得到结果，结合实际情况进行检验，如果合乎实际，就得到可以应用的结果，否则重新审视问题的提出、建模、计算和推导得到结果的过程，直到得到合乎实际的结果为止．请设计一个流程图表示这一过程．[解析]21．(本题满分12分)画出求a、b、c三个实数中最大数的算法框图．[解析]算法框图如下：22．(本题满分14分)高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间内申请查分：(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招办申请查分县(区)招办呈交市招办，再报省招办；(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知，有误则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．画出该事件的流程图．[解析]如图所示：。