初中数学模型解题法
初中数学模型解题法
解答题
1. （2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C 作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F。
（1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF；
（2）当点C不是的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。
【答案】解：（1）证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。
∵点C是的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。
又∵DC是切线，∴DC⊥EC。
又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。
∴CD∥AO，CD=AD。∴，即EF= AD= EC。
∴F为EC的中点，CF=EF。
（2）CF=EF保持不变。证明如下：
如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，
∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。
∴∠DAC=∠DCA。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。
∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。
∴∠DGC=∠DCG。
∴在△GDC中，GD=DC。
∵DC=DA，∴GD=DA。
∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。
又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。
∴。
∵GD=AD，∴CF=EF。
【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。
（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF。
2. （2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x。
（1）用x表示△AMN的面积；
（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。
①用的代数式表示y，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。∴。
∴，即。
（2）①当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时，
（0＜x≤5）。
当点A′在四边形BCMN外，
连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，
∵MN∥BC，∴，即。
∴AG= x。∴AA′=2AG=x。∴A′F=x－5。
∴，即。
∴。
∴重合部分的面积。
综上所述，重合部分的面积。
②∵
∴当x= 时，y最大，最大值为y最大= 。
【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1）根据已知条件求出△AMN∽△ABC，再根据面积比等于相似比的平方的性质即可求出△AMN的面积。
（2）根据已知条件分两种情况进行讨论，当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时和当点A′在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可．再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来。
3. （江苏省苏州市2002年7分）已知：⊙与⊙外切于点，过点的直线分别交⊙、⊙于点、，⊙的切线交⊙于点、，为⊙的弦，
（1）如图（1），设弦交于点，求证：；
（2）如图（2），当弦绕点旋转，弦的延长线交直线B 于点时，试问：是否仍然成立？证明你的结论。
【答案】解：（1）证明：连结，过点作⊙与⊙的公切线。
∴。
又∵是⊙的切线，∴。
又∵，∴。
又∵，∴。
∴，即。
（2）仍成立。证明如下：
连结，过点作⊙和⊙的公切线。
∵是⊙的切线，∴。∴。
∴。
又∵，∴。
又∵，∴。
∴，即。
【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连结，过点作⊙与⊙的公切线。根据弦切角定理可得，由也是⊙的切
线，根据切线长定理可得，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到，由对顶角相等的性质，得到。又，从而，根据相似三角形的性质即可证明。
（2）同（1）可以证明。
4.（江苏省苏州市2002年7分）如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
（1）设从出发起运动了秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q 在OC上或在CB上时的坐标（用含的代数式表示，不要求写出的取值范围）；
（2）设从出发起运动了秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半。
①试用含的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由。
【答案】解：（1）当点Q在OC上时，如图，过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OA于点F。
依题意，有OE=4，EC=3，OC=5，OQ=2 。
由△OCE∽△OQF得，
即。
∴。∴当点Q在OC上时，点Q的坐标为。
当点Q在CB上时，如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N。
∵CQ=2 －5，∴OM=4＋2 －5=2 －1。
又MQ=3，∴当点Q在CB上时，点Q的坐标为（）。
（2）①∵点P所经过的路程为，点Q所经过的路程为OQ，且点P与点Q 所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，
∴＋OQ= （14＋3＋10＋5），即OQ=16－。
∴点Q所经过的路程为16－，速度为。
②不能。理由如下：
当Q点在OC上时，如图，过点Q作QF⊥OA于点F。
则OP= ，QF= 。
∴。
又∵，∴令，解之，得。
∵当时，，这时点Q不在OC上，故舍去；
当时，，这时点Q不在OC上，故舍去。
∴当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。
当Q在CB上时，CQ=16－－5=11－，
∴。
∵，
∴当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。
综上所述，这时PQ不可能同时平分梯形OABC的面积。
【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）当点Q在OC上时，作直角三角形OCE和OQF，由二者相似即可求出此时点
Q的坐标。当点Q在CB上时，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N，即可得出OM=4＋2 －5=2 －1，从而求出此时点Q的坐标。
（2）①由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，列出等式，＋OQ= （14＋3＋10＋5），即可求出点Q所经过的路程。用路程÷时间即可求得速度。
②分Q点在OC上和Q点在OC上，分别讨论即可得出结论。
5. （江苏省苏州市2003年7分）如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE ⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直
线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。
【答案】解：（1）∵AB为直径，CE⊥AB，∴，CG=EG。
在Rt△COG中，∵OG= OC，∴∠OCG=30°。∴∠COA=60°。
又∵∠CDE的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数=60°，
∴∠FDM=180°－∠CDE=120°。
（2）证明：∵∠COM=180°－∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。
在Rt△CGM和Rt△EGM中，，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。
∴∠GMC=∠GME。
又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。∴△FDM∽△COM。（3）结论仍成立。证明如下：
∵∠EDC的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数，
∴∠FDM=180°－∠COA=∠COM。
∵AB为直径，∴CE⊥AB。
在Rt△CGM和Rt△EGM中，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。
∴∠GMC=∠GME。∴△FDM∽△COM。
【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。
【分析】（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°－∠CDE=120°。
（2）在（1）中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△BMG就应该全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在（1）中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形相似。
（3）可按（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似。
6. （江苏省苏州市2003年7分）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式。
（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为。
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作F∥AB，交AD于点F，若抛物线过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数。
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点，使纸片沿翻折后，点O落在BC边上，记为。请你猜想：折痕所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。
【答案】解：（1）由折叠法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6。∴G（6，0），C（0，6）。
设直线CG的解析式为y=kx+b，则，解得。
∴直线CG的解析式为：y=－x+6。
（2）①在Rt△ABE'中，。∴CE′=2。
设OD=x，则DE'=x，CD=6－x，
在Rt△DCE'中，，解得。则D（0，）。
设AD所在直线的解析式为y=k'x＋，由于它过A（10，0），∴k'= 。
∴AD所在直线的解析式为。
②∵E'F∥AB，E'（2，6），∴设F（2，yF）。
∵F在AD上，∴。∴F（2，）。
又∵点F在抛物线上，∴，解得h=3。
∴抛物线的解析式为。
联立和得，即。
∵△=0，∴直线AD与抛物线只有一个交点（2，）。（3）例如可以猜想：（ⅰ）折痕所在直线与抛物线只有一个交点；
或（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，则F'在抛物线上。
验证：（ⅰ）在图1中，折痕为CG，将y=－x+6代入，
得，即。
∵△=0，∴折痕CG所在直线与抛物线只有一个交点。
或（ⅱ）在图1中，D'即C，E''即E，G'即G，交点F'也为G（6，0），
∴当x=6时，。∴G点在这条抛物线上。
【考点】二次函数综合题，折叠的性质，正方形的判定和性质，待定系数法，曲线点的坐标与方程的关系，勾股定理，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）根据折叠的性质可知：四边形OGEC是个正方形，因此OC=OG=6，据此可得出G点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线CG的解析式。
（2）①求出D的坐标，根据折叠的性质可知AE′=OA，那么可在Rt△ABE′中求出BE′的长，从而可求出CE′的值。在Rt△CDE′中，CD=6－OD，DE′=OD，根据勾股定理即可求出OD的长，也就得出了D点的坐标，然后可用待定系数法求出直线AD的解析式。
②①中已经求得CE′的长，即F点的横坐标，可根据直线AD的解析式求出F点的坐标，然后将F的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．从而可根据抛物线的解析式来判断其与x轴交点的个数。
（3）可以猜想：（ⅰ）折痕所在直线与抛物线只有一个交点：（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，则F'在抛物线上。验证（ⅰ）时，将y=－x+6代入，证明△=0即可。验证（ⅱ）时，说明G（6，0）满足即可。
7. （江苏省苏州市2004年7分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用
由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表。
印数a (单位：千册) 1≤a＜5 5≤a＜10
彩色(单位：元/张) 2.2 2.0
黑白（单位：元/张）0.7 0.6
（1）印制这批纪念册的制版费为元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60 000元，求印数的取值范围。（精确到0。01千册）
8.（江苏省苏州市2004年8分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值。
2014美国数学建模A题解题思路大全
美国高速公路限速是多少?美国高速公路的限速一般在60至75英里之间，多数州规定不能超过限速100英里。也就是说，你在限速75英里的美国高速公路上跑到85英里，一般不会遭到警察追击。但再高上去，麻烦就来了，警车往往是在你毫无戒备的情况下出现的，那时候你根本不知道自己已经超速，更不知道自己已经成了某个警察的猎物。 1英里(mi.)=1760码=5280英尺=1.6093公里=3.2187市里=3.2187华里=1609.3米 中国最高车速不得超过每小时120公里<<中华人民共和国道路交通安全法实施条例>> 第七十八条高速公路应当标明车道的行驶速度，最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里。在高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里，其他机动车不得超过每小时100公里，摩托车不得超过每小时80公里。同方向有2条车道的，左侧车道的最低车速为每小时100公里;同方向有3条以上车道的，最左侧车道的最低车速为每小时110公里，中间车道的最低车速为每小时90公里。道路限速标志标明的车速与上述车道行驶车速的规定不一致的，按照道路限速标志标明的车速行驶。 高速公路（简称为高速路或高速），一般是指双向2条车道以上、双向分隔行驶、完全控制出入口、 提出交通流模型前，应当将实际的涉及到车道数目、最高时速限制、交通路口、机械故障、驾驶员反 应能力等多种因素的实际问题理想化，以便于应用数学方法进行分析讨论。此处所做的假设包括： a．车辆沿一条无限长单向车道运动；
b．车辆在单向车道内只能朝一个方向运动； c．单向车道是全封闭的，即没有供车辆驶入或者驶出的岔路口； d．车辆相对于此序列中的其他车辆位置不发生改变，即没有抛锚或超车的情况。 基于上述的假设，对作匀速运动的恒定密度车流而言，交通流变量的函数关系为： q=P0 0 (4) 式中，P。为车辆运动时的恒定密度；。为车辆做匀速运动的速度。 实际的非恒定密度和非匀速运动的交通流仍然满足上述关系，其函数表达式为： g( ，t)=P( ，￡)口( ，￡ 车辆守恒方程 由基本的交通流变量中所做的假设可知车辆的总体数目不会因观测点、观测时间的变化而变化。 因此在单向车道的区间[a，b]内，车辆数目变化完全取决于在位置X=a处驶入的车辆及在位置x=b处 驶出的车辆数目之差。 交通流模型 将式(5)代人式(13)后，车辆守恒方程可以变形为： a￡+’ (、ID，t，)=一0 (、14) 式(14)给出p和的关系。如果车流速度可知，则式(14)可以转化为关于密度P的偏微分方程，因 此可用于预测车流密度的变化情况。但是在实际应用中，车流的密度无法事先确定，因为对于各个具体 车辆而言，影响其速度的因素很多，包括驾驶者的意图和判断，交通状况的变化，驾驶者的反应速度等。如果要用数学模型的方法建构方程，则需对实际问题做进一步简化和假设。与车辆守恒方程中影响速 度的因素相关假设 问题A：保持向右行驶除非要超车的交通规则 在一些国家，汽车行驶在右边是规则，比如，美国，中国和其他大多数国家，除了英国，澳大利亚和一些前英国殖民地。多车道高速公路经常使用一个规则，就是要求司机在最右边的车道驾驶，除非它们要超车。超车就是他们开到左边的一个车道，超越，并恢复到原来的行驶车道。 （1）建立和分析一个数学模型来分析这一规则在车流量少和车流量大的不同时刻的表现。不妨检查权衡交通流量和其安全性。这些保持原车道或者被超车的速度限制（即限制最大速度和最小速度），或者其他的因素，可以不用考虑到问题中。 （2）这个规则，能有效地促进了更多的车流量吗？如果不能，提出并分析备选方案（之中最好不要用到题目中这类规则），能够促进更多的交通流量，安全性，或者你认为重要的其他因素。 （3）在一些国家，汽车行驶在左边是常态，讨论你的解决方案是否能够转用，
初中常用数学模型
【1】中点+平行模型如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 【例题1】（2014 深圳某模拟） 【例题2】（2014 ） 答案：1.3 2；2.D 【2】一线三等角模型如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90)则一定有△BDE 与△CEF 相似。十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。
【例题1】（2009 ） 【例题 2】（2006 ） 【例题3】（原创） 答案：1. 2或3-24或25 2.(5 453-，) 【3】巧造旋转模型在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：
通过观察可得∠ ABC=∠C=45°，AB=AC。我们可以将△ACD绕A顺时针旋转90°得到△ABE，使得AC与AB 重合。那么就有EB⊥BC，而在RT△AED中，DE2=2AD2（等腰直角三角形）所以BE2+BD2=DE2，即BD2+CD2=2AD2是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！【例题1】（2014 ） 【例题2】【例题3】（2014 菏泽改编）
答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略 【4】等腰模型这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形首先：平行+角平 分线，如图，若AD‖BE，BC 平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。其次：垂直+角平分这个不难理解，因为等 腰三角形三线合一。这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）【例题1】（原创）
数学建模答题模板
例：某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60,55,51,43,41,52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35,37,22,32,41,32,43,38.各仓库到8个客户处得单位货物运价见下表。 问题分析：本问题中，各仓库的供应总量为302个单位，需求量为280个单位，为一个供需不平衡问题。目标函数为运输费用，约束条件有两个：分别是供应方和需求方的约束。 解： 引入决策变量ij x ，代表着从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量，用符号ij c 表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。 则本问题的数学模型为： 68 11 min ij ij i j z c x ===∑∑ s.t 8 1 61,1,2,6,1,2,,80,1,2,6,1,2,,8ij i j ij j i ij x a i x d j x i j ==? ≤=???? ? ? ≤=????? ?≥=???=?????∑∑ 模型求解：用LINGO 语言编写程序（程序见题后附录），运行得到以下求解结果：
以下省略了其他变量的具体数值。 计算结果表明：目标函数值为664.00，最优运输方案见下表 【参考文献】 [1]李大潜，中国大学生数学建模竞赛（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2009 [2]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材（五）[M]，长沙：湖南教育出版社，2008 [3]袁新生，邵大宏，郁时炼.LINGO和EXCEL在数学建模中的应用[M]，北京：科学出版社，2007 附录：LINGO程序 model: sets: wh/w1..w6/:ai;vd/v1..v8/:dj; links(wh,vd):c,x; endsets data: ai=60,55,51,43,41,52; dj=35,37,22,32,41,32,43,38; c=6,2,6,7,4,2,5,9 4,9,5,3,8,5,8,2 5,2,1,9,7,4,3,3 7,6,7,3,9,2,7,1 2,3,9,5,7,2,6,5 5,5,2,2,8,1,4,3; enddata min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));
初中物理电学综合解题万能模型
《初中物理电学综合解题万能模型》 电压相同的两个电路中：电流比等于电阻的反比. 电学综合题共同的特点是首先通过通断开关，形成两种或两种以上的电路状态，（这是一个将整体化为部分的过程对应学生能力中的分析能力）每一个电路中都会给一部分已知，基本是我们熟知的这几个物理量---电流，电压，电阻，电功率。最后会给某两个电路中的物理量之间的比值关系。（这其实是将两个电路状态进行综合） 所以解电学综合题，首先要进行分析，将一道题化成一个简单电路，并且画出等效电路图并且确定电表测量哪个用电器，这一步非常重要，一定要画对，因为不同的的电路连接方式，物理量之间的关系不同，规律不同，这一步错，之后的所有步骤都会错，会白白浪费时间。判断电路连接方式的方法有两种，一，电流流向法，二，等电势法，也叫节点法。往往我们要两种方法结合在一起应用，可以快速准确的确定电路连接方式和画出等效电路图。这两种方法，是我们的必备的基本功，一定要好熟练掌握。（化整为零，将整体变为部分，是难度降低，从而使为题得以解决我们都知道愚公移山的故事，我们没有那么大的力量一次性将整个山移走，但是我们可以一筐一筐的将土移走，这样可以将不可能完成的事得以变成现实,解题与此相类似) 分析结束，就要进行综合，这样可以把不同电路的已知条件综合在一起，有利于解题（题目之所以难解，是因为已知太少，综合可以零散的已知整合在一起从而很方便的找到未知。题目一般会给几个综合性的已知，比如电流比，电压比，功率比，电阻比。我们要充分运用这些已知。那么如何应用呢？ 上面的这个万能模型，系统直观的展现了应用的思路。电路连接方式发生变化的时，不变的是用电器的电阻和电源电压，变化的是流过用电器的电流，其两端的电压以及电功率。我们都学过串并联电路的规律，电阻比决定电流比，电压比和功率之比，也就是不变量决定变量。也就是说如果我们找到了不变量电阻以及电阻之间的关系，那么其他的量都能确定。所以我们要想办法通过题目中所给的变量比---电流比，电压比，功率比，找到电阻比，这是我们努力的方向，应该有这样的意识。
初中常用数学模型
如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 【例题1】（2014 深圳某模拟） 【例题2】（2014 ） 答案：1.3 2 ；2.D
如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90) 则一定有△BDE与△CEF相似。 十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。 【例题1】（2009 ） 【例题2】（2006 ） 【例题3】（原创）
答案：1. 2或3-24或 25 2.(5 453-，) 【3】巧造旋转模型 在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。 巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题： 通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC 。 我们可以将△ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ABE ，使得AC 与AB 重合。 那么就有EB ⊥BC ，而在RT △AED 中，DE2=2AD2（等腰直角三角形） 所以BE2+BD2=DE2，即BD2+CD2=2AD2 是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！ 【例题1】（2014 ） 【例题2】 【例题3】（2014 菏泽改编）
答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略【4】等腰模型 这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形 首先：平行+角平分线， 如图，若AD‖BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。 其次：垂直+角平分 这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。 这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）
初中数学几个常用模型
初中数学几个数学模型 模型１、l:r=3600:n0 ①圆锥母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心 角等于（ C ）A．45°Ｂ．60°C．90°Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm，母线长为４cm，在一个边长为8cm的正 方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做（Ｂ）能做一个（Ｃ）可做二个（Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是（D ）A、2r=R B、C、 D、 模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图，ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC， 交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的 大小关系（ B ）. （A）EF>BE+CF （B）EF=BE+CF （C）EF ③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（1：3 ） ④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________ （1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积:之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积 : 之比等于________ ⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图①摆放， 点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点。将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H 。 （1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG =DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB 的余切值为 . ⑧如图， 中， ， ， ，过点 作 于 ， A G D H M E F C B N 第24题图 图③ E F M N D A B G H 图④ C 45° 60° A E D B C F A G D H M E F C B (N ) 第24题图 图① 图② 初中物理模型--精选全解 一、电学模型（一） 模型口诀 先判串联和并联，电表测量然后判； 一路通底必是串，若有分支是并联； A 表相当于导线，并联短路会出现； 如果发现它并源，毁表毁源太凄惨； 若有电器与它并，电路发生局部短； V 表可并不可串，串时相当电路断； 如果发现它被串，电流为零应当然。 模型思考 你想知道常用、快捷、有效、正确识别电路连接方式的四种方法吗？ 你会迅速、快捷、无误地判断出电路发生变化时电流表、电压表的示数如何变化吗？ 你能根据实验现象或者题中给出的器材，准确、有效、方便的查找到电路中发生故障的原因吗？ 模型归纳示图 去表法 串联电路 标电流法 并联电路 节点法 去元件法 正确识别电路办法 A V 明晰电压表电流表测量电路部分 部分电阻变化 总电阻变化 总电流变化 部分电流、部分电压、电表示数 电功、电功率 故障已给出 假设法 判断电路故障 电路图分析 故障未给出短路 串、并连接 断路 电器连接方式 使用注意 电表用途 判断电流电压示数 串、并联电路的识别方法 电路连接有两种基本方法──串联与并联。对于初学者要能够很好识别它们有点难度，下面结合串并联电路特点和实例，学习区别这两种电路的基本方法，希望对初学者有所帮助。 一、串联电路 如果电路中所有的元件是逐个顺次首尾连接起来的，此电路就是串联。我们常见装饰用的“满天星”小彩灯，就是串联的。家用电路中的开关与它所控制的用电器之间也是串联的。串联电路有以下一些特点： （1）电路连接特点：串联的整个电路只有一条电流的路径，各用电器依次相连，没有“分支点”。 （2）用电器工作特点：各用电器相互影响，电路中若有一个用电器不工作，其余的用电器就无法工作。 （3）开关控制特点：串联电路中的开关控制整个电路，开关位置变了，对电路的控制作用没有影响。即串联电路中开关的控制作用与其在电路中的位置无关。 二、并联电路 如果电器中各元件并列连接在电路的两点间，此电路就是并联电路。教室里的电灯、马路上的路灯、家庭中的电灯、电风扇、电冰箱、电视机等用电器之间都是并联在电路中的。并联电路有以下特点： （1）电路连接特点：并联电路由干路和几条支路组成，有“分支点”。每条支路各自和干路形成回路，有几条支路，就有几个回路。 （2）用电器工作特点：在并联电路中各用电器之间相不影响。某一条支路中的用电器若不工作，其他支路的用电器仍能工作。比如教室里的电灯，有一只烧坏，其它的电灯仍然能亮。这就是互不影响。 （3）开关控制特点：并联电路中，干路开关的作用与支路开关的作用不同。干路开关起着总开关的作用，控制整个电路。而各条支路开关只控制它所在的那条支路。 三、识别电路方法 通用模型解题法初中物理 赢在教育 物理教师：喻老师 QQ：41975427 一、电学模型（一） 模型口诀 先判串联和并联，电表测量然后判； 一路通底必是串，若有分支是并联； A 表相当于导线，并联短路会出现； 如果发现它并源，毁表毁源太凄惨； 若有电器与它并，电路发生局部短； V 表可并不可串，串时相当电路断； 如果发现它被串，电流为零应当然。 模型思考 你想知道常用、快捷、有效、正确识别电路连接方式的四种方法吗？ 你会迅速、快捷、无误地判断出电路发生变化时电流表、电压表的示数如何变化吗？ 你能根据实验现象或者题中给出的器材，准确、有效、方便的查找到电路中发生故障的原因吗？ 模型归纳示图 串联电路 标电流法 并联电路 节点法 去元件法 明晰电压表电流表测量电路部分 部分电阻变化 总电阻变化 总电流变化 部分电流、部分电压、电表示数 电功、电功率 故障已给出 假设法 判断电路故障 故障未给出短路 串、并连接断路 正 确识别电路 办法 判断 电流 电压 示数 电表用途 串、并联电路的识别方法 电路连接有两种基本方法──串联与并联。 对于初学者要能够很好识别它们有点难度，下面结合串并联电路特点和实例，学习区别这两种电路的基本方法，希望对初学者有所帮助。 一、串联电路 如果电路中所有的元件是逐个顺次首尾连接起来的，此电路就是串联。我们常见装饰用的“满天星”小彩灯，就是串联的。家用电路中的开关与它所控制的用电器之间也是串联的。串联电路有以下一些特点： （1）电路连接特点：串联的整个电路只有一条电流的路径，各用电器依次相连，没有“分支点”。 （2）用电器工作特点：各用电器相互影响，电路中若有一个用电器不工作，其余的用电器就无法工作。 （3）开关控制特点：串联电路中的开关控制整个电路，开关位置变了，对电路的控制作用没有影响。即串联电路中开关的控制作用与其在电路中的位置无关。 二、并联电路 如果电器中各元件并列连接在电路的两点间，此电路就是并联电路。教室里的电灯、马路上的路灯、家庭中的电灯、电风扇、电冰箱、电视机等用电器之间都是并联在电路中的。并联电路有以下特点： （1）电路连接特点：并联电路由干路和几条支路组成，有“分支点”。每条支路各自和干路形成回路，有几条支路，就有几个回路。 （2）用电器工作特点：在并联电路中各用电器之间相不影响。某一条支路中的用电器若不工作，其他支路的用电器仍能工作。比如教室里的电灯，有一只烧坏，其它的电灯仍然能亮。这就是互不影响。 （3）开关控制特点：并联电路中，干路开关的作用与支路开关的作用不同。干路开关起着总开关的作用，控制整个电路。而各条支路开关只控制它所在的那条支路。 三、识别电路方法 1．定义法：综合运用上面介绍串并联电路的连接特点及用电器工作特点，针对一些简单、规则的电路是行之有效的方法，也是其它方法的基础。 2．路径识别法：根据串并联电路连接特点，串联的整个电路只有一条电流的路径，如果有两条或两条以上的路径即为并联电路。 例题1如图1所示的电路，是判断连接方式是串联还是并联？ 初 中 数 学 几 个 数 学 模 型 ①圆锥母线长5cm ，底面半径长3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A ．45° Ｂ．60° C ．90° Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm ，母线长为４cm ，在一个边长为8cm 的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A 、2r=R B 、R r =4 9 C 、R r =3 D 、r 4 模型2如图，?ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ， 交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系（ B ）. （A ）EF>BE+CF （B ）EF=BE+CF （C ）EF ③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（1：3 ） ④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________ （1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积1S :2S 之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积1A :2A 之比等于________ ⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图①摆放， 点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点。将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H 。 （1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG =DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB 的余切值为 . ⑧如图，ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠30B ，1=AC ，过点C 作AB CD ⊥1于1D ，A G D H M E F C B N 第24题图 图③ E F M N D A B G H 图④ C 45° 60° A E D B C F A G D H M E F C B (N ) 第24题图 图① 图② 数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有 一、电学模型（一） 模型口诀 先判串联和并联，电表测量然后判； 一路通底必是串，若有分支是并联； A 表相当于导线，并联短路会出现； 如果发现它并源，毁表毁源太凄惨； 若有电器与它并，电路发生局部短； V 表可并不可串，串时相当电路断； 如果发现它被串，电流为零应当然。 模型思考 你想知道常用、快捷、有效、正确识别电路连接方式的四种方法吗？ 你会迅速、快捷、无误地判断出电路发生变化时电流表、电压表的示数如何变化吗？ 你能根据实验现象或者题中给出的器材，准确、有效、方便的查找到电路中发生故障的原因吗？ 模型归纳示图 去表法 串联电路 标电流法 并联电路 节点法 去元件法 正确识别电路办法 明晰电压表电流表测量电路部分 部分电阻变化 总电阻变化 总电流变化 部分电流、部分电压、电表示数 电功、电功率 故障已给出 假设法 判断电路故障 电路图分析 故障未给出短路 串、并连接 断路 电器连接方式 使用注意 电表用途 判断电流电压示数 串、并联电路的识别方法 电路连接有两种基本方法──串联与并联。对于初学者要能够很好识别它们有点难度，下面结合串并联电路特点和实例，学习区别这两种电路的基本方法，希望对初学者有所帮助。 一、串联电路 如果电路中所有的元件是逐个顺次首尾连接起来的，此电路就是串联。我们常见装饰用的“满天星”小彩灯，就是串联的。家用电路中的开关与它所控制的用电器之间也是串联的。串联电路有以下一些特点： （1）电路连接特点：串联的整个电路只有一条电流的路径，各用电器依次相连，没有“分支点”。 （2）用电器工作特点：各用电器相互影响，电路中若有一个用电器不工作，其余的用电器就无法工作。 （3）开关控制特点：串联电路中的开关控制整个电路，开关位置变了，对电路的控制作用没有影响。即串联电路中开关的控制作用与其在电路中的位置无关。 二、并联电路 如果电器中各元件并列连接在电路的两点间，此电路就是并联电路。教室里的电灯、马路上的路灯、家庭中的电灯、电风扇、电冰箱、电视机等用电器之间都是并联在电路中的。并联电路有以下特点： （1）电路连接特点：并联电路由干路和几条支路组成，有“分支点”。每条支路各自和干路形成回路，有几条支路，就有几个回路。 （2）用电器工作特点：在并联电路中各用电器之间相不影响。某一条支路中的用电器若不工作，其他支路的用电器仍能工作。比如教室里的电灯，有一只烧坏，其它的电灯仍然能亮。这就是互不影响。 （3）开关控制特点：并联电路中，干路开关的作用与支路开关的作用不同。干路开关起着总开关的作用，控制整个电路。而各条支路开关只控制它所在的那条支路。 三、识别电路方法 1．定义法：综合运用上面介绍串并联电路的连接特点及用电器工作特点，针对一些简单、规则的电路是行之有效的方法，也是其它方法的基础。 2．路径识别法：根据串并联电路连接特点，串联的整个电路只有一条电流的路径，如果有两条或两条以上的路径即为并联电路。 例题1如图1所示的电路，是判断连接方式是串联还是并联？ 初中常用数学模型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 【例题1】（2014 深圳某模拟） 【例题2】（2014 深圳） 答案：1.32 ；2.D 如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90) 则一定有△BDE与△CEF相似。 十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。 【例题1】（2009 太原） 【例题2】（2006 河南） 【例题3】（原创） 答案：1. 2或3-24或 25 2.(5 453-，) 【3】巧造旋转模型 在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。 巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题： 通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC 。 我们可以将△ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ABE ，使得AC 与AB 重合。 那么就有EB ⊥BC ，而在RT △AED 中，DE2=2AD2（等腰直角三角形） 所以BE2+BD2=DE2，即BD2+CD2=2AD2 是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！ 【例题1】（2014 武汉） 【例题2】 【例题3】（2014 菏泽改编） 答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略 【4】等腰模型 这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形 首先：平行+角平分线， 如图，若AD‖BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。其次：垂直+角平分 这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。 初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理） A ． 代数篇： 1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。 设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S= 108 999 余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ； 22x y + 中，知二求二。 222222()2()2x y x y x y x y x y x y +=++?+= +- 2222()2()4x y x y x y x y x y -=+-=+- 加减配合，灵活变型。 3．特殊公式 22 1 1 2x x x x ±=+±2 （）的变型几应用。 4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+m （）（） 5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略 6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。 例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1） 两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7． 11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111 62323 ==-?等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路： 初中物理题型解题技巧 物理试卷结构（共五大题型） 一、选择题： 二、填空题： 三、作图题： 四、探究与实验题： 五、简答计算题： 【选择题】 物理选择题的特点是概念性强、针对性强，具有一定的多样性、迷惑性。选择题能考查学生在学习活动中的记忆与理解、判断与推理、分析与比较、鉴别与评估等多种能力，所以它是考查学生学习掌握知识和运用知识能力的常用方法。 选择题的题型一般有： 概念辨析类、规律理解类、联系实际类、求比值类、图像分析类、电路故障类、对物理方法的理解类、估值类等。 概念辨析 所谓的概念辨析法是指用物理概念作为标准去分析题目所给的条件和提出的问题，辨别正误，从而判断获取正确结果的解题方法。 解答这类题主要对物理概念要准确记忆和正确理解，对相关的不同概念的区分及对某些重要概念的内涵要分析到位。 规律理解 主要考查对物理过程中物理规律的辨别能力。 解答的关键是对题干中描述的物理过程做出正确的判断与分析，然后找准其对应的物理规律，再利用物理规律对选项的内容逐一进行分析，最后做出选择。 联系实际 这类题主要考查物理规律、原理在生产、生活中的应用。 解答的关键是对生产、生活或事例的分析，要能透过现象看本质，在剖析事例或现象的过程中，找到与物理原理的联系，进而做出解答。 求比值类（比例法、数据代人法） （）比例法：利用数学的比例式来解决物理问题的方法称之为比例法。 用比例法解题可以省略反复套用公式而带来计算的烦琐，对物理量的单位也没有统一的要求，只要相比的同一物理量的单位相同就可以了。运用这种方法既能通过计算定量得出结果，也能经过分析定性比较大小。 运用比例法的一般步骤是： 了解题意，选择相应的物理公式。 依据题目描述的物理现象找出保持不变或者相等的物理量。 用不变的（或相等）的量为纽带，将公式联立成比例式。 （）数据代入法：根据题目给定的数据，给未知的某个物理量假定一个恰当的值代入题中，然后进行计算。 图像分析 在物理学中，常采用数学中的函数图像，将物理量之间的关系表示出来。因此图像实际上反映了物理过程（如熔化图线等）和物理量的关系（如电阻的伏安特性曲线等）。运用图像知识来解物理试题的方法，叫图像法。 运用此方法时应做到： 识别或认定图像横坐标和纵坐标所表示的物理量，弄清情景所描述的物理过程及其有关的因 初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 D （1）等边三角形 O O C E C A 图 1B A 图 2 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等边三角形； 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=60°；③ OE平分∠ AED D （2）等腰直角三角形 O C E A B A 图 1 D E B D O E C B 图2 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰直角三角形； 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=90°；③ OE平分∠ AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 D O O C 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰三角形； D E 且∠ COD=∠AOB E 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；C ②∠ AEB=∠AOB； ③OE平分∠ AED A图 1B A图 2B O O 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 D 【条件】： CD∥ AB，C D 将△ OCD旋转至右图的位置 A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD； ②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA O （2）特殊情况 C D 【条件】：CD∥ AB，∠ AOB=90° 将△ OCD旋转至右图的位置 A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD； ②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA； ③ BD OD OB tan ∠ OCD；④ BD⊥AC； AC OC OA ⑤连接 AD、 BC，必有AD2BC 22 2 ；⑥ S△BCD ABCD 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型 -90 ° 【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC平分∠ AOB E C A B D O C E A B 1 A C BD 2A C D O E B 图 1 【结论】：①；② OD+OE=2；③S △DCE S △OCD S △OCE 1 OC2 CD=CE OC2 证明提示：A C M ①作垂直，如图 2，证明△ CDM≌△ CEN D ②过点 C 作 CF⊥ OC，如图 3，证明△ ODC≌△ FEC ※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D 时（如图4）：O N EB 图 2 以上三个结论：① CD=CE；② OE-OD= 2 OC；A 1 OC 2M C ③ S S △OCE△OCD2A C D O N B E O图 3E F B D 图 4 初中数学解题模型专题讲解 初中数学解题模型专题讲解 30 矩形大法 专题30 矩形大法 矩形大法 主要从三个方面和大家交流： 一：“矩形大法”的提出背景 二：“矩形大法”的基本构造 三：“矩形大法”的实例应用 一、矩形大法”的提出背景 问题：我们如何刻画一个角大小呢？ 是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。 如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。 但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？ 自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。 也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式。 但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识。 首先要提的就是南通2014年的28题第三问： 不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？ 能否在短时间中用传统方法解决？ 看到两角和差关系这样的条件想到什么？ 本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。 这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于： ⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。 ⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题。 ⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法。 于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置．那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！ 再譬如今年盐城的中考题第3问： 初中物理必会的14种解题方法：物理从60分到90 分的秘诀！ 1.控制变量法 当某一物理量受到几个不同物理量的影响，为了确定各个不同物理量的影响，要控制某些量，使其固定不变，改变某一个量，看所研究的物理量与该物理量之间的关系。 如：研究液体的压强与液体密度和深度的关系。 2.理想模型法 在用物理规律研究问题时，常需要对它们实行必要的简化，忽略次要因素，以突出主要矛盾。用这种理想化的方法将实际中的事物实行简化，便可得到一系列的物理模型。 如：电路图是实物电路的模型；力的示意图或力的图示是实际物体和作用力的模型。 3.转换法 物理学中对于一些看不见、摸不着的现象或不易直接测量的物理量，通常用一些非常直观的现象去理解，或用易测量的物理量间接测量，这种研究问题的方法叫转换法。 如：奥斯特实验可证明电流周围有磁场，扩散现象可证明分子做无规则运动。 4.等效替代法 等效的方法是指面对一个较为复杂的问题，提出一个简单的方案或设想，而使它们的效果完全相同，将问题化难为易，求得解决。 例如：在曹冲称象中用石块等效替换大象，效果相同。 5.类比法 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相同或相似而推出它们 在其他方面也可能相同或相似的一种逻辑思维。 如：用抽水机类比电源。 6.比较法 通过观察，分析，找出研究对象的相同点和不同点，它是理解事 物的一种基本方法。 如：比较发电机和电动机工作原理的异同。 7.实验推理法 是在观察实验的基础上，忽略次要因素，实行合理的推想，得出 结论，达到理解事物本质的目的。 如：研究物体运动状态与力的关系实验；研究声音的传播实验等。 8.比值定义法 就是用两个基本的物理量的"比"来定义一个新的物理量的方法。 其特点是被定义的物理量往往是反映物质的最本质的属性，它不随定 义所用的物理量的大小取舍而改变。 如：速度、密度、压强、功率、比热容、热值等概念公式采取的 都是这样的方法。 9.归纳法 从一般性较小的前提出发，推出一般性较大的结论的推理方法叫 归纳法。 如：验证杠杆的平衡条件，反复做了三次实验来验证F1L1=F2L2 初中数学模型解题法 解答题 1. （2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C 作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F。 （1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF； （2）当点C不是的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。 【答案】解：（1）证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。 ∵点C是的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。 又∵DC是切线，∴DC⊥EC。 又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。 ∴CD∥AO，CD=AD。∴，即EF= AD= EC。 ∴F为EC的中点，CF=EF。 （2）CF=EF保持不变。证明如下： 如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC， ∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。 ∴∠DAC=∠DCA。 ∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。 ∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。 ∴∠DGC=∠DCG。 ∴在△GDC中，GD=DC。 ∵DC=DA，∴GD=DA。 ∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。 又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。 ∴。 ∵GD=AD，∴CF=EF。 【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。 （2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF。 2. （2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x。 （1）用x表示△AMN的面积； （2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。 ①用的代数式表示y，并写出x的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？初中物理模型--最新版
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