二叉树和三叉树的期权定价方法
第八讲期权二叉树定价模型
8.2 风险中性估值
➢ 8.2.1 风险中性估值原理
式〔9.2〕中的变量p可以解释为股票价格上升的概率， 于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样，
pfu+〔1-p〕fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式〔9.2〕可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。
同样，按照上式对p的解释，在T时刻预期的股票价格
用r表示无风险利率，该组合的现值应为：
(Su fu )erT
而构造该组合的成本是：
S f
因此
S f (Su fu )erT
将式〔9.1〕代入上式，得到
f erT [ pfu (1 p) fd ]
其中
p erT S0 S D SU SD
〔9.3〕风险中性概率
运用单步二叉树图方法，式〔9.2〕和〔9.3〕就可为衍 生证券估值。
以图8-2所示的看涨期权估值为例，该看涨期权的 Delta计算如下：
1 0 0.25 22 18
这是因为当股票价格从18变化到22时，期权价格从0 变化到1。
在图8-3中，对于第一个时间步，股票价格变动的 Delta为：
2.0257 0 0.5064 22 18
如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：
在初始节点A，求出的期权价值为: f= e-0..05×1〔0.6282×1.4147+0.3718×12.0〕
=5.0894 而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是不 明智的。因此期权的价值为$5.0894。
8.5 Delta
8.5.1 Delta的含义
fU fD SU SD
从股票价格波动率，可以确定u和d的值。可以有许多 种不同的方式做到这一点。
2014年注会考试《财务成本管理》知识点：二叉树期权定价模型
2014年注会考试《财务成本管理》知识点：二叉树期权定价模型知识点：二叉树期权定价模型
一、单期二叉树模型
关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。
以风险中性原理为例：
上行概率×上行时到期日价值Cu＋下行概率×下行时到期日价值Cd
根据前面推导的结果：
代入（1）式有：
二、两期二叉树模型
如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。
由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
三、多期二叉树模型。
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型是指基于二叉树构建的期权定价模型，该模型结合了终值定理（Binomial Option Pricing Model；BOPM）和二叉树的理论。
该模型的精确性比一般的期权定价模型（即欧式期权定价模型）要高，为投资者提供了更多的信息和选择。
二叉树期权定价模型以股票价格移动变量来构建定价模型，而欧式期权定价模型只考虑股票价格固定。
该模型使用二叉树，其中每个分支都对应一定的定价模型，以确定期权价格。
该方法有三个基本步骤：1）构建二叉树；2）确定期权执行价值；3）通过使用backward卷积，利用当前价格和当前的期权价值，来决定每个分支的期权价格。
二叉树期权定价模型具有不同的算法变种，它们能够捕获市场（股价）的单向和双向变化，以及波动性。
它比欧式期权模型更精确，也更灵活，可以捕获一系列特殊事件，比如空头期权，复合期权，多元期权，多档次期权。
此外，二叉树期权定价模型还能够用来估算期权的损失或收益，并对复杂的期权进行定价。
总的来说，二叉树期权定价模型是一种简单的，有效的，能够捕获市场变化的定价模型，为投资者提供了更多的信息和选择。
该模型比较早出现于二十世纪九十年代，自此后逐渐普及，并得到广泛应用。
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型（一）单期二叉树定价模型（1）一定数量的股票多头头寸（2）该股票的看涨期权的空头头寸股票的数量要使头寸足以抵御资产价格在到期日的波动风险，即该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率。
C0＝1＋r－d Cu u－1－r Cdu—d 1+r u—d 1+r最初，投资于0.5股股票，需要投资25元；收取6.62元的期权费，尚需借入18.38元。
半年后，股价如果股价涨到66.66元，0.5股股票收入33.33元，借款本息18.75（18.35*1.02）看期权的持有人会执行期权，期权出售人补足价差14.58（66.66-50），投资人的净损益＝0股价如果跌到37.5元，0.5股股票收入18.75元，支付借款本息18.75元，投资人的净损益为0因此该看涨期权的公平价值就是6.62元。
（二）两期二叉树模型把6个月的时间分为两期，每期3个月。
现在股价50元，看涨期权的执行价格52.08元。
每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。
股价：计算Cu的价值：有两种办法：1.复制组合定价H＝（23.02－0）÷（75.10－50）＝0.91713借款＝（50×0.91713）÷1.01＝45.40元3个月后股票上行的价格是61.28元Cu＝投资成本＝购买股票支出－借款＝61.28×0.91713－45.40＝10.8元2.风险中性定价期望报酬率＝1%＝上行概率×22.56%＋下行概率×（－18.4%）[22.56%＝（74.10－61.28）/61.28 18.4%＝（50－61.28）/61.28上行概率＝0.47363期权价值6个月后的期望值＝0.47363*23.02+（1-0.47363）*0＝10.9030元Cu＝10.9030÷1.01＝10.8元根据Cu和Cd计算C0的价值：1.复制组合定价H＝（10.8-0）/（61.28-40.80）＝0.5273借款＝（40.80×0.5273）÷1.01＝21.3008元C0＝投资成本＝购买股票支出－借款＝50×0.5273－21.3008＝5.062.风险中性原理C0＝0.47363×10.8÷1.01＝5.06元（三）多期二叉树模型u ＝1＋上升百分比＝d ＝1－下降百分比＝1 / ue ＝自然常数，约等于2.7183σ＝标的资产连续复利收益率的标准差t ＝以年表示的时段长度。
期权定价
第二章期权定价自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。
1973年，美国芝加哥大学教授 F. Black 和M. Scholes发表《期权定价与公司负债》一文，提出了着名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。
在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最着名的是1979年由J. Cox、S. Ross 和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。
在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨。
第一节二叉树与风险中性定价对期权定价的研究而言，Black-Scholes模型的提出是具有开创性意义的。
然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。
1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树定价模型（the Binomial Model）”，是期权数值定价方法的一种。
二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。
同时，它应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
二叉树模型概述二叉树（binomial tree）是指用来描述在期权存续期内股票价格变动的可能路径。
二叉树定价模型假定股票价格服从随机漫步，股票价格的波动只有向上和向下两个方向，且在树形的每一步，股票价格向上或者向下波动的概率和幅度保持不变。
根据第一章我们学到的知识，不难得出： 3个月后，如果股票上涨至12元，则该股票期权的价格应为1元，如果股票下跌至8元，则该股票期权的价格应为0元。
这些可以通过下图的二叉树来表示。
图2-1现在我们来考虑建立一个无风险投资组合，这个投资组合由两部分组成：买入∆只该股票，同时卖出一份以该股票为标的的看涨期权，即同时持有∆只股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸。
二叉树和三叉树的期权定价方法
第七章期权定价的二叉树和三叉树方法在这一章中，我们利用二叉树和三叉树方法为期权定价。
在第2.1节中我们已经介绍了利用基础途径的二叉树方法解决期权价格不确定性的模型。
二叉树方法依赖于对相关随机过程的离散化并利用计算和内存的结合以满足易于管理的要求。
我们也在，我们必须把原来的单步格方法扩展到多步格方法，但是我们必须校对格使它能够反映出相关模型，且这个模型是连续时间、连续状态的随机微分方程。
然后我们就可以推广到多步的二叉树格和三叉树格。
在7.1节中，我们从如何利用在离散概率分布的时刻下随机价格波动校准简单的二叉树格。
从这点来看，弄清楚网格技术和蒙特卡洛模拟之间的联系是非常重要的，而利用时刻匹配技术缩减方差可以看作一种快捷的抽样排序。
然后我们讨论内存效率的实现是如何设计的，美式期权定价是7.2节的主题。
同时，还是要注重它和其他技术方法的联系。
现在我们要做的本质上是一个非常简单满足动态规划原则的程序，我们将在第10章程序中进一步拓展。
在7.3节中，我们把上述方法推广到双标的资产的情形，虽然这是一个最简单的情形，但是我们可以从这个情形中看出内存控制是这一情形的基础。
另一种一般化的代表是三叉树格方法，三叉树格方法可以作为一种更普遍的有限差分方法（具体将在，最后，我们在7.5节中具体讨论网格化方法的优势和劣势。
期权定价的二叉树和三叉树格方法图7.1单时期二叉树格7.1二叉树定价方法在，我们已经考虑过单步二叉树方法在无套利情况下的期权定价，这里我们为了方便直接利用图7.1。
其主要思想是复制两个资产，一个是无风险资产，另一个是相关股票。
利用这两项资产，我们可以通过它们的组合塑造任何收益率的资产。
如果我们令u和d为任意两个价格的角标，我们可以看到期权的价格应该为f则，f0=e-rδt[pf u+(1-p)f d]（7.1）在公式7.1中fu 和fd是标的资产在涨跌两种情况的期权价格，p是风险中性前提下相关资产升值的概率。
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第七章期权定价的二叉树和三叉树方法在这一章中，我们利用二叉树和三叉树方法为期权定价。
在第2.1节中我们已经介绍了利用基础途径的二叉树方法解决期权价格不确定性的模型。
二叉树方法依赖于对相关随机过程的离散化并利用计算和内存的结合以满足易于管理的要求。
我们也在，我们必须把原来的单步格方法扩展到多步格方法，但是我们必须校对格使它能够反映出相关模型，且这个模型是连续时间、连续状态的随机微分方程。
然后我们就可以推广到多步的二叉树格和三叉树格。
在7.1节中，我们从如何利用在离散概率分布的时刻下随机价格波动校准简单的二叉树格。
从这点来看，弄清楚网格技术和蒙特卡洛模拟之间的联系是非常重要的，而利用时刻匹配技术缩减方差可以看作一种快捷的抽样排序。
然后我们讨论内存效率的实现是如何设计的，美式期权定价是7.2节的主题。
同时，还是要注重它和其他技术方法的联系。
现在我们要做的本质上是一个非常简单满足动态规划原则的程序，我们将在第10章程序中进一步拓展。
在7.3节中，我们把上述方法推广到双标的资产的情形，虽然这是一个最简单的情形，但是我们可以从这个情形中看出内存控制是这一情形的基础。
另一种一般化的代表是三叉树格方法，三叉树格方法可以作为一种更普遍的有限差分方法（具体将在，最后，我们在7.5节中具体讨论网格化方法的优势和劣势。
期权定价的二叉树和三叉树格方法图7.1 单时期二叉树格7.1 二叉树定价方法在，我们已经考虑过单步二叉树方法在无套利情况下的期权定价，这里我们为了方便直接利用图7.1。
其主要思想是复制两个资产，一个是无风险资产，另一个是相关股票。
利用这两项资产，我们可以通过它们的组合塑造任何收益率的资产。
如果我们令u 和d 为任意两个价格的角标，我们可以看到期权的价格应该为0f 则，])1([0d u t r f p pf e f -+=-δ （7.1） 在公式7.1中u f 和d f 是标的资产在涨跌两种情况的期权价格，p 是风险中性前提下相关资产升值的概率。
为了寻找一个更好的不确定性模型，我们可以增加分类的情况，复制期权收益，甚至我们可以使用更多的资产，或允许中间日期交易。
第二种可能性更为实际，并且也是必不可少的，例如，对于在期权的存续期内可以随时执行的美式期权来说。
对其求极限，就会得到连续时间模型，并且其最后收敛于Black —sholes 方程。
当Black —sholes 方程没有解析解的时候，我们必须采取一些离散化的途径，比如说可以通过蒙特卡洛模拟从而估计出风险中性条件下预期收益，或者建立一个自适应网格的有限差分方法去解决相应的PDE 模型。
就像我们在图7.2中展示的一样，多级二叉树格方法就是一种可以选择的离散化方法。
我们也可以考虑利用树图，但是要注意使计算方法易于控制。
二叉树格定价图7.2 新生成的二叉树图这里我们为了方便令d u /1=。
虽然这个不是必须的，但是在后面我们可以看到，这个假设令模型简化了很多即每上一步紧接着下一步都会得到相同的初始价格。
正如我们从图中看到的一样，我们仅用了有限个价格步。
这个有可能就是实施该方法的优势。
但是，我们该怎么恰当的确定u 和d 的值呢，我们应该利用近似相关的连续过程去校对网格。
二叉树格方法应该是风险中性过程一个良好的相似。
因此，我们应以这样的方式参数设置晶格，即保持着连续时间模型的一些基本属性，这一过程就叫做校准。
从t S 开始，经过一个小的时间步t δ，从2.5节我们可以看到新价格是一个随机变量t t S δ+，且利用对数正态对数分布的特性，我们得到t r t t t e S S E δδ=+]/[ (7.2)和)1(]/[22-=+t t r t t t e e S S Var δσδδ （7.3）一个合理的要求是这些离散的动态点必须和它们的时刻相匹配。
要注意的是，我们只有两个个等式，却有3个参数，p,u 和d,所以三个变量有一个为自由变量，我们令d u /1=，这样做是为了计算简便，但不是必须的。
在网格点上，我们有：t t t t S d p S pu S E .)1(.][-+=+δ，和（7.2）联立得注意，p 是风险中性条件下的概率，它不依赖于真实浮动，为了和方差匹配，在晶格上我们看到从（7.3）中我们也可以看到把最后两个等式联立可得最终得到将p 带入最后一个等式的右侧，化简得最后我们得到这样的等式其中，利用d u /1=，可以转化为二次方程：方程的一个跟为利用一阶条件拓展，只受t δ的影响，我们可以简化表达式，对平方根近似化简可得因此 但是对于二阶条件，我们对t e δσ拓展，最终获得参数 t e u δσ=， t e d δσ-=， du d e p t r --=δ， （7.4） 这就是著名的CRR 公示这里强调一下：这个方法以及文献中所用的参数都不是唯一的，例如我们可以取5.0=p ，经计算可得：5.0=p ， t t r e u δσδσ+-=)2(2， t t r e d δσδσ--=)2(2这就是杰诺-拉德参数，此外，我们一直在努力结束涉及计算以及线性方程组的计算，通过对数转换的方法，我们尽量的避免这些困难。
在以后，我们都将采用这个方法。
假设无风险利率和波动是时间常数，我们所得的结果适用于整个晶格参数，为一个期权定价，我们需要对标的资产制定一个网格，然后从以往的时间倒推。
事实上，期权价格在到期日的时候已经知道了，那时已经给出了期权的收益。
因此，我们利用方程(7.1)按每一个时间步倒推递归，直到到达我们的初始节点。
二叉树格方法在欧式看涨期权得到最佳的应用。
例7.1假设我们假设为一个欧式看涨期权定价500==K S ，1.0=r ，4.0=σ，存续期为5个月，利用B-S 模型，我们知道结果是： >>)4.0,12/5,1.0,50,50(blsprice call =>>1165.6=call如果我们想用二叉树格方法逼近结果的话，我们首先就要定义格参数，假定每个时间步为一个月，然后对股票价格产生的格和选项值显示在图7.3，在晶格的最右面是期权的价格，为了便于计算，让我们考虑如何从最后一层至第二层逐层倒推：在递归后，我们看到，由此计算出的期权价格大约为 6.36，结果不太接近确切价格，一个更好的改进近似就是缩小时间步长。
为了更好的在MATLAB 中实现这一方法，我们需要一个向前倒推的代数式。
令ij f 为在节点的期权的价值，其中j 为第j 个时期)~0(N j =,i 表示为在j 时期内上升了i 。
我们利用倒推思想，N 是我们考虑的时间步，因此总共有N+1格，T t N =δ，即整个期权存续期。
在这样的定义下，晶格点的标的资产价格即为i j i d Su -，在存续期内，我们有：},0max{,K d Su f i N i N i -=- ， N i ,...,1,0=时间逆推（下降时间标j ）,我们得到].)1([1,1,1+++--+=j i j i t r ij f p pf e f δ （7.5） 这些工作在MATLAB 中生成非常简单，代码在图7.4给出，唯一要注意的一点是，矩阵索引在MATLAB中要从一开始，这需要一个微小的调整。
7.3 欧式看涨期权的二叉树格function [price, lattice] = LatticeEurCall(SO,K,r,T,sigma,N)deltaT = T/N;u=exp(sigma * sqrt (deltaT)) ;d=l/u;p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d) ;lattice = zeros(N+l,N+l);for i=O:Nendfor j=N-1 : -1 : 0for i=O:jlattice(i+l,N+l)=max(O , SO*(u-i)*(d-(N-i)) - K);lattice(i+l,j+l) = exp(-r*deltaT) * ...(p * lattice(i+2,j+2) + (1-p) * lattice(i+l,j+2));endendprice = lattice(1,l) ;图7.4 MATLAB代码—为欧式看涨期权定价欧式看涨期权接收到通常我们所定义的参数和在此情况下的时间步N，通过增加最后一个参数，我们得到了更为精确的价格（同一计算时间的增加）。
>>)5,4.0,call(call=latticeEur501250/5,1.0,,>>=call6.3595>>)50(latticeEurcall=call50500,4.0,12/5,1.0,,>>=call6.1140更有趣的是探讨二叉树方法计算的价格如何收敛于正确价格的。
我们可以通过图7.5的代码和图7.6的结果输出来看出。
在这种情况下，我们看到随着时间步的增加的震荡情况。
我们刚才讨论的执行结果也有一些缺陷。
首先，它使用的是一个大型的矩阵存储格，但是其中近一半为空，我们把返回的整个存储格作为一个输出参数，这个也许对与之相关的图7.3非常有用，但是可能在实际运用中毫无作用，实际上为我们只需要连续的两个存储层存储所需资料就能有所改善。
在内循环中，我们用贴现系数乘以时间的风险中性概率，我们可以通过循环外计算节省时间。
我们将努力在7.3节中进行改进，在下一节中，我们将把二叉树方法运用到其它非标准型期权定价中。
C0mpLatticeBLS.mSO = 50;K = 50;r = 0.1;sigma = 0.4;T = 5/12;N=50 ;BlsC = blsprice (SO,K,r ,T, Sigma) ;LatticeC = zeros(1,N);for i=(l:N)endplot(l:N, ones(l,N)*BlsC);hold on;plot(l:N, LatticeC);Latt iceC (i) = Latt iceEurCal1 (SO, K , r , T, sigma, i)图7.5 脚本检查减少t 的二叉树格的精确性图7.6 二叉树方法中精确价格和增加了时间步后相似价格的差距7.1.2 把俩者结合起来，为后付费期权定价在这里，我们无红利股票的付费后期权1。
后付费期权的特点是预先不支付担保金，当合约成立以后，将在以后支付。
如果期权的存期满后，则期权必须执行，并归还担保金，否则期权就毫无价值可言，因为没有担保金。
请注意，期权持有者的净盈利可以是负数，当期权1这个例子是建立在（参考文献5 第13章练习11）的收益小于担保金的时候就会出现净盈利为负。
在无套利的情况下，如果净回报总是为负，我们不能拥有一份在0t时刻价值为0的合约，=我们怎么样才能找到公平的担保金价值呢？给出一个担保金为P，则回报是：对于每一个给定的价格P，我们都可以利用二叉树方法算出期权价格，现在我们必须寻找到一个值P，使得在风险中性的前提下，于S相关的期望回报为0：T注意这里的贴现因子，因为利率是恒定的，因此贴现因子并没有任何作用。