断裂力学练习题

习题1：设有两个无限大板A 和B ，均含有贯穿性裂纹，其中A 板裂纹长度为2a ，B 板裂纹长度为a ，两者均受拉应力作用，A 板拉应力为σ，B 板受拉应力为2σ，问他们的裂纹尖端应力强度因子是否相同。

解：A 板：a a Y K πσπσ==IA

B 板：a a

Y K πσπσ

22

2IB ==

因此，二者的应力强度因子不相同。

习题2：无限大板A 、B 受力如图所示，已知板A 含贯穿裂纹长度为

mm a 8.4021=，板B 含贯穿裂纹长度为mm a 7.522=，外加应力均为250MPa ，材料的断裂韧度2

1IC 25.63m MPa K ?=，问板A 、B 是否发生断裂。

解：①板A 的应力强度因子：

2

1IC 21I 23.6329.630204.0142.3250m

MPa K m MPa a K ?=>?=??==πσ因此，A 板断裂。 ②板B 的应力强度因子：

2

1IC 21I 23.6366.2300285.0142.3250m

MPa K m MPa a K ?=

习题3：证明如探伤给出的裂纹当量直径A D 2=时（深埋裂纹，当量面积为2

A π），在裂纹面积相等的情况下，把裂纹简化为椭圆裂纹

（短轴长轴比2

1=c a ）比简化为圆形裂纹安全。

解：①当量直径为A D 2=，则简化为圆形裂纹时有裂纹半径为A ，对于深埋裂纹有：Φ

=

Φ

=

A

a

K πσπσI

当c a =时，则2π=Φ，因此有：A A K πσπ

πσ637.02I

== ②当量面积为2

A π，且轴比为2

1==k c a ，则a k a c 2==。

由k

a A S 2

2

ππ=

=，得到：k A a =

，Φ

=

Φ

=

k

A a

K πσπσI

当21==k c a 时，208.146.1==Φ

则：A k

A a

K πσπσπσ696.0I =Φ

=

Φ

=

③由于简化为椭圆形裂纹计算得到的应力强度因子要大于简化为圆形裂纹时的应力强度因子，因此偏于安全。

习题4：某构件材料断裂韧度2

1

IC 3.49m MPa K ?=，屈服强度

MPa s 1470=σ，构件表面有表面裂纹长mm c 32=，深mm a 5.0=，给

定安全系数为2=n ，试求容许工作应力（分别按考虑塑性区影响和不考

虑塑性区影响两种情况计算）。（平面应变、

65

.12

464.11??

? ??+=Φc a ）

解：表面浅裂纹的应力强度因子计算公式为（欧文解式）：

Φ=

a K πσ1.1I ，

113.15.15.0464.11464.1165

.165

.1=?

?

?

??+=?

?

?

??+=Φc a

① 不考虑塑性区影响则：

Φ

=a

n K c πσ1.1IC ，有： MPa a n K c 3.6290005

.0142.321.1113.13.491.1IC =????=Φ=πσ

② 考虑塑性区影响，则：

()2

1

2

s I I 2411.11.1???

?

???????? ??+Φ=Φ

+=

σππσπσK a r a K s 即：2

2

I 212.01.11.1?

??

? ??-Φ==s a Q

a K σσπσπσ，由此解得：

2

I I 212.021.1?

??

?

??+Φ

=

s K a K σπσ，得：

MPa

K a K s c 6.619147023.49212.00005.0142.321.12113

.13.492212.021.122

2

IC IC =?

?

?

????+???=

?

??

?

??+Φ

=

σπσ

习题5：某筒式压力容器内径mm D 1000=，壁厚mm t 20=，受内压

MPa p 23.39=，外壁有纵向表面裂纹6.0,0.1==c a mm a ，选用两种

钢材分别为：2

1IC s mm MPa 75.2451MPa 19.1667

1?==K ，：钢材σ， 2

1

IC s mm MPa 05.1471MPa 47.20592?==K ，：钢材σ，试按传统强度设

计方法和断裂准则方法分析其安全性（考虑塑性区影响）。 解：最大主应力为：

MPa t pD 75.98020

21000

23.392=??==

σ ① 根据传统强度理论则有：

钢材1： MPa MPa s 19.1667

75.980=<=σσ，结构安全 钢材2： MPa MPa s 205975.980=<=σσ，结构安全 ② 根据断裂准则有：

2

2I 212.01.11.1?

??

?

??-Φ=

=s a

Q

a K σσπσπσ，62.1,6.02=Φ=c

a 钢材1：

2

1

2

I 2.153719.1667

75.980212.062.11142.375.9801.1mm

MPa K ?=?

??

???-???=

2

1

IC 2

1

I 75.24512.1537mm MPa K mm MPa K ?=

钢材2：

2

1

2

I 0.152547.2059

75.980212.062.11142.375.9801.1mm

MPa K ?=?

??

???-???=

2

1

IC 2

1

I 05.14710.1525mm MPa K mm MPa K ?=>?=，结构断裂。

习题6：试导出无限大板，有一任意倾角β的穿透裂纹，在无限远处

受均匀拉应力σ作用下的应力强度因子公式。

解：由任意斜截面上的正应力和剪应力公式可得垂直于裂纹的正拉应力和剪应力分别为：

βσβσ

βσ

σ

σ22sin )sin 211(2

2cos 2

2

=+-=

-

=

ββσβσ

τcos sin 2sin 2

==

于是得：应力强度因子公式为：

a K πβσ2I sin = a K πββσcos sin II =

习题7：考虑塑性区修正，计算有限厚度板如图所示的表面半椭圆形裂纹的应力强度因子和表面半圆形裂纹的应力强度因子。（平面应变，帕尔斯-薛昌明修正式，抛物线性内插法）

解：采用帕尔斯-薛昌明修正式给定前后表面的影响，前表面的修正采用抛物线性内插法。

①给出半椭圆形应力强度因子的表达式为：

Φ

+=Φ=)(2121I s eff

r a M M a M M K πσπσ

其中：2

)21(12.011c a M -+=，W

a a W M 2tan 22ππ=

2

s

I 241

???

? ??=

σπ

K r s Φ为第二类椭圆积分，可查表求得，也可采用近似公式：

65

.12464.11?

?

?

??+=Φc a 进行计算。

将s r M M 、、、Φ21代入并整理得：

Q

a M M K πσ21I =，()2

2

212

24???

? ??-

Φ=s M M Q σσ ②当为半圆形的表面裂纹时，则c a =，则有：

03.1)21(12.012

1=-+=c

a M

12tan 22≈=

W

a

a W M ππ，因为W a << 2

π

=

Φ，

2

2

2

2

188.047.203.124157.1???

?

??-=????? ??-

=s

s

Q σσσσ

2

I 188.047.203.1?

??

? ??-=

s a

K σσπσ

习题8：无限大板，有穿透直裂纹，在裂纹上下表面受均匀拉伸应力

σ，试用叠加法求应力强度因子，如图所示。

解：利用迭加法，则有：

c b a K K K )()()(I I I +=，

0)(I =b K ，a K c πσ=)(I ，

于是有：a K K c a πσ==)()(I I

习题9：厚度为 mm t 5=，长度为mm l 100=，宽度为mm l 50=的平板，由高强度钢制成，受均匀拉应力作用，已知工作应力为

MPa 500=σ，材料的断裂韧度2

1IC 1900mm MPa K ?=，材料的

MPa s 1700=σ，板中有一穿透裂纹，长度为mm a 42=，试问板

能否正常工作。（按无限大板处理）。

解：平面应力状态，无限大板贯穿裂纹，考虑塑性区影响。 应力强度因子的表达式为：

()a M r a a K P s eff πσπσπσ=+==I

0452

.11700500211121112

2

=?

?

? ??-=

???

?

??-=

s

P M σσ

所以：

2

1

I 7.13062142.35000452.1mm

MPa a M K P ?=???==πσ由于：2

1IC 21

I 19007.1306

mm MPa K mm MPa K ?=

习题10：在直径为240mm 的气锤杆中有一个位于横截面中心处的疲劳裂纹，可当作圆片状裂纹来处理，当横截面上的平均拉应力为

MPa 430=σ时，裂纹失稳扩展，已知杆件的平面应变断裂韧度为

2

1

IC 82m MPa K ?=，求此裂纹的直径。

解：可看做为圆片形深埋裂纹（不考虑塑性区影响），则应力强度因子表达式为：

Φ

=

a

K πσI ，

当为圆片形，即：c a =，则2

π

=

Φ，于是有：

π

πσc

a K 2IC =

()mm m K K a c

6.280286.0430

482142.3442

222

IC 2

2

IC ==??===

σππσπ 所以裂纹的直径为mm a c 2.572=。

习题11：有一厚度t=5mm, 宽2b=340mm 的平板, 具有中心贯穿裂纹,裂纹长为2a=16mm,板端受拉力F=1.3MN,见图示.若材料σs =1210MPa,K IC =4030MPa mm ,裂纹形状因子Y=1。试问板能否正常工作(按不考虑塑性区影响和考虑塑性区两种情况计算)。

解：计算工作应力

错误！不能通过编辑域代码创建对象。 1、按不考虑塑性区进行计算： （1）计算应力强度因子

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

（2）由于错误！不能通过编辑域代码创建对象。，因此该板能够正常

工作

2、按考虑塑性区进行计算： （1）计算增大系数（平面应力状态）

错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （2分） （2）计算应力强度因子

错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （4分）

（3）由于错误！不能通过编辑域代码创建对象。，因此该板不能正常工作（2分）

习题12：某汽轮发电机转子, 有表面裂纹, 深度mm a 2.30= , 长度

mm c 102= ( 即68.12=Φ)，其工作应力为MPa 320=σ, 材料屈服

极限MPa s 540=σ ,断裂韧度m MPa K 145IC =,求：容限裂纹尺寸

c a (按不考虑和考虑塑性区影响两种情况)。

解：

1、按不考虑塑性区进行计算： 如要求容限裂纹尺寸c a ，则应有：

Φ=/1.1IC c a K πσ

因此有：

错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

2、按考虑塑性区进行计算： 如要求容限裂纹尺寸c a ，则应有： 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 其中：

错误！不能通过编辑域代码创建对象。 因此有：

错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

习题13：圆柱形容器有一纵向穿透裂纹，裂纹长为mm a 8.32=，容器内径为mm D 100=，壁厚mm t 5=，材料的断裂韧度为

m MPa K I 37C =，试求断裂时的临界内压力p 。（按考虑鼓胀效应与不考虑鼓胀效应考虑）。

解：由题意知环向应力为最大应力方向，因此有：

t

PD

2=

θσ ①不考虑鼓胀效应有：

a K πσ=I 或者：a K c πσ=IC 有：MPa a

K c 9.4780019

.0142.337IC

=?=

=

πσ

t

D P c c 2=σ

MPa D t p c c 9.47100

5

9.47822=??==

σ ②考虑鼓胀效应有：

a M K πσ=I

其中：002.15

1009.132.0132.012

2=??+=+=Rt a M a M K c πσ=IC 有：MPa a

M K c 8.4770019

.0142.30023.137

IC =??=

=

πσ

t D

P c c 2=σ

MPa D t p c c 8.47100

5

8.47722=??==σ

习题14：试根据a K πσ=I 的应力强度因子定义，以及K 准则与G 准则的一致性，给出应力与能量释放率G 的关系式。若某马氏体钢的断裂韧性（裂纹扩展阻力）为-2m kJ 24?=IC G ，试求平面应变断裂韧度IC K 为多少。

解：（1）由a K πσ=I 得：a

K πσI

=

又有K 和G 的一致性有：

()E

K

G 2I

2

I

1μ-=

或：

(

)

2

I

I 1μ-=

EG K

将K 的表达式代入用K 表示的应力表达中：

(

)

a

EG πμσ2I

1-=

（2）当G I 达到临界值G IC 时，K I 也达到临界值K IC

(

)

2

IC

IC 1μ-=

EG K

将G IC 值代入，即可得K IC 为：

(

)

21

2

3

32

IC

IC 6.723

.011024102001m MPa EG K ?=-???=-=

-μ