认识无理数(学案)

《认识无理数》学案

一、学习目标

1.感受无理数产生的实际背景和引入的必要性

2.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数

3.能判断一个无理数的大小范围 二、新课学习

（一）无理数的故事——希伯索斯的困惑

问题： （1）“整数或整数之比”统称为 。 （2）a 2

=？ ①a 可能是整数吗？ ②a 可能是分数吗？

（二）探索a=？

在古希腊时代，有一个集政治、

宗教和数学于一体的团体，叫毕达哥

拉斯学派。毕达哥拉斯学派有一个信

条：“万物皆数”，即“宇宙间的一切

现象都能归结为整数或整数之比。”

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派

的一个成员希伯索斯提出了这样一

个问题：当一个正方形的边长为1时，

它的对角线的长a 是多少？

解：∵1

2=1，22=4，a 2=2， ∴12＜a 2＜22，

∴ ＜a ＜ ， 2离12比22近，我们估计1＜a ＜1.5，

∵1.12=1.21，1.22=1.44，1.32

=1.69，

1.42=1.96，1.52=

2.25，

∴ ＜a 2

＜ ，

∴ ＜a ＜ ， 2离1.42

比1.52近，我们估计1.41＜a ＜1.45， ∵1.412=1.9881，1.422=2.0164，

∴ ＜a 2＜ ，

∴ ＜a ＜ ， ……

【变式】估计面积为5的正方形边长b 的值（结果精确到十分位）. 解：

问题：a和b还可以继续算吗？

【结论】a，b不是整数，那能不能化成分数呢？

（三）议一议：a，b能不能用分数表示？

【结论】分数只能化成。【概括总结】

（1）有理数总可以用或表示.反之，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.

（2）叫做无理数.

（四）当堂练习

1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

①3.14，②−3

5

，③0.57，④-π，⑤0.1010010001…（相邻两个1

之间0的个数逐次加1），⑥0.12345678910111213…，⑦0.3333…有理数有；无理数有。

2.判断下列说法是否正确：

（1）所有无限小数都是无理数；（）

（2）所有无理数都是无限小数；（）

（3）有理数都是有限小数；（）

（4）不是有限小数的不是有理数. （）