复习专题与抛物线相关的直线过定点问题
复习专题
与抛物线相关的直线过定点问题
广水市益众高级中学 高教扬
教学目的：
1.理解复习抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导相关的性质。
2.培养学生分析、归纳推理等能力。 教学重难点：
1.抛物线中直线过定点（焦点，“类焦点”）问题
2.抛物线切线问题 教学方法：讲练结合 教学过程：
圆锥曲线中直线过定点问题是近几年高考的热点、难点。这些定点往往在坐标轴上，如焦点等。本节课我们选择抛物线作为研究对象，通过举例探讨这类问题的证明与判断方法。另外，熟悉一些与定点相关的抛物线的极其丰富的优类性质。
例1（教材P133第7题）
过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为
21,y y ，求证2
21P y y -=.
变式1已知抛物线Px y 22=上两点),(),,(2211y x B y x A 满足221P y y -=?，判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出这个定点。
练习1
若抛物线px y 22=上两点A 、B 满足OB OA ⊥试判断直线AB 是否过定点.
例2（教材P137第6题）
过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证直线MQ
变式2 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点于准线于点M ，求证：M ，O ，Q 三点共线.（2001年高考）
练习2（2010高考全国卷Ⅰ第21题）
已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点)0,1(-K 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.
证明：点F 在直线BD 上
例3已知抛物线y x 42=，过直线1:-=y l 上一点P 作抛物线两切线，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点.
练习3 （2006全国）已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且FB AF λ=（0>λ），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
证明AB FM ?为定值.
本节小结：
1.直线过定点问题的推导
2.分析、推理、归纳、计算能力的培养
抛物线与直线交点问题
课题:抛物线与直线的交点问题 教学目标： 1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进 一步培养学生数形结合思想。 3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322 --=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2 ++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问） 已知，抛物线2 y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、 抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与x 轴相交）（002 ≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1△抛物线与x 轴相交 （2△抛物线与x 轴相切 （3△抛物线与x 轴相离 二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点
例2：求抛物线322 --=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围 方法总结： 1、抛物线与平行于x 轴的直线相交 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与平行于x 轴的直线相交 ?? ?=++=m y c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数 （1△抛物线与直线相交 （2△抛物线与直线相切 （3△抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2 2 1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2 A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：
2019高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题20直线与抛物线的综合练习理2
20 直线与抛物线的综合 1.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=,则弦AB 的长为(). A.4 B. C. D. 解析?抛物线的焦点弦公式为|AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得p=2,则弦AB的长为 x1+x2+p=+2=,故选C. 答案? C 2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,若直线AF的斜率k=-,则线段PF的长为(). A.4 B.5 C.6 D.7 解析?因为抛物线的方程为y2=6x, 所以焦点为F,准线方程为x=-. 因为直线AF的斜率k=-, 所以直线AF的方程为y=--. 当x=-时,y=3,即A-. 因为PA⊥l,A为垂足,所以点P的纵坐标为3,代入抛物线方程,得点P的坐标为,所以|PF|=|PA|=--=6,故选C. 答案? C 3.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若·<0,则实数a的取值范围是(). A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.{1} 解析?设直线方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+a代入抛物线方程得 y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由·=x1x2+y1y2=a2-a<0,解得a∈( ) 故选B. 答案? B
4.已知点P(-1,4),过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为(). A.x2=y B.x2=4y或y2=-16x C.y2=-16x D.x2=y或y2=-16x 解析?∵过点P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点, ∴点P一定在抛物线C上,两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称轴平行的直线. 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px, 将P(-1,4)代入方程可得2p=-16, 则抛物线C的标准方程为y2=-16x; 若抛物线焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py, 将P(-1,4)代入方程可得2p=, 则抛物线C的标准方程为x2=y.故选D. 答案? D 【例1】直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=,则k= . 解析?设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线经过抛物线y2=4x的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=,所以x1+x2=.联立 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2==,所以k=±. (- ) 答案?± 凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时,一般运用定义转化为到准线的距离处理.若 P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标分
直线与抛物线的位置关系教案
2.4.2直线与抛物线的位置关系 教学目标 1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法； 2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法 3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神 教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法 教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用 教学方法：多媒体教学、学案式教学 教学过程 一、课题引入 师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系. 提问的目的： 1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系； 2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.） 师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力） 在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法） 二、新课讲授 例1：已知抛物线的方程为2 4y x =动直线l 过定点P(-2,1),斜率为k.。当k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点 例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k 的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k 的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断?及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想. 那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x 或y ）得到关于y 或x 的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程0)12(442=++-k y ky ①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y 的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0>?时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0=?时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0
小专题9__直线与抛物线的交点问题
《小专题9 直线与抛物线的交点问题》 【例】如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点M，N，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且直线与抛物线的交点分别为点E，F. （1）求点M，N，A，B，C的坐标； （2）求点E，F的坐标； （3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 针对训练 1. 如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点C，D 是二次函数图象上关于对称轴对称的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D. （1）求点D的坐标； （2）求二次函数、一次函数的解析式；
（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 2.（黄冈中考）已知直线与抛物线y=x2-4x. （1）求证：直线与该抛物线总有两个交点； （2）设直线与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.
参考答案 【例】解：（1）对于y=2x-2，当x=0时，y=-2；令y=0，即2x-2=0，解得x=1.点M，N的坐标分别为（1，0）和（0，-2）.对于y=x2，当x=0时，y=-6；令y=0，即，解得，点A，B，C的坐标分别为（-2， 0），（3，0），（0，一6）. （2）联立或点E，F的坐标分别为 （-1，-4）和（4，6）. （3）由图象可知，当一1
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围． 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：， 解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=， 则t的范围为﹣4≤t≤． 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C点坐标为（0，4）， ∴a=﹣，（1分） ∴解析式为y=﹣x2+x+4， 顶点D坐标为（1，）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则，，
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 2 1. (2014?北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+ n经过点A (0, - 2), B (3, 4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A, B之间的部分为图象G(包含A, B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围. 5 4 ? (1) 将A与B坐标代入抛物线解析 式求出m与n的值，确定出抛物线 解析式，求出对称轴即可； (2) 由题意确定出C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围. 2 解答：解：(1 )???抛物线y=2x +mx+ n经过点 A (0,- 2), B (3, 4), f n=-2 L 18+3nr^n=4 ???抛物线解析式为y=2x2- 4x - 2，对称轴为直线x=1; 2 (2)由题意得：C (- 3,- 4),二次函数y=2x - 4x- 2的最小值为-4, 由函数图象得出D纵坐标最小值为-4, 设直线BC解析式为y=kx+b , 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值. 专题：计算题. 分析： 解得：* :-4 n= - 2 代入得： 将B与C坐标代入得: 3k+b=4 -3k+b二- 解得: k= , b=0, 3 ?直线BC解析式为y=-x, 当x=1 时,y=J
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解 本题的关键. 2. (2011?石景山区二模)已知：抛物线与 x 轴交于A (- 2, 0)、B (4, 0),与y 轴交于C ( 0, 4). (1) 求抛物线顶点 D 的坐标； (2) 设直线CD 交x 轴于点E ,过点B 作x 轴的垂线，交直线 CD 于点F ,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线 与线段EF 总有公共点?试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ (1) 先设出过A (- 2, 0)、B (4, 0)两点的抛物线的解析式为 y=a (x+2) (x - 4),再根据抛物线与 y 轴 的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式； (2) 先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到 ( 1)中抛物线向下平移 m 各单位 所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取值范 围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位. 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式. 专题：探究型. 分析：
抛物线与直线交点问题经典讲义教案
抛物线与直线交点问题 教学目标： 1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进 一步培养学生数形结合思想。 3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322 --=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2 ++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问） 已知，抛物线2 y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、 抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与x 轴相交 ）（002 ≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1 △>0 抛物线与x 轴相交 （2 △=0 抛物线与x 轴相切 （3 △<0 抛物线与x 轴相离
二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点 例2：求抛物线322 --=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围 方法总结： 1、抛物线与平行于x 轴的直线相交 抛物线c bx ax ++=2 的图象与平行于x 轴的直线相交 ?? ?=++=m y bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数 （1 △>0 抛物线与直线相交 （2 △=0 抛物线与直线相切 （3 △<0 抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2 2 1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2 A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式
知识讲解-直线与抛物线的位置关系(理)-基础
直线与抛物线的位置关系 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程； ２．能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率、准线)解决相关问题； 3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题．【知识网络】 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线． 要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”:一个动点,一定点F(即焦点)，一定直线（即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与定直线ｌ的距离之比）. 要点二、抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 22 y px =,22 y px =-，22 x py =，22 x py =-(0) p> 抛物线 抛物线的定义 与标准方程 抛物线的几何 性质 直线与抛物线的位 置关系 抛物线的综合 问题 抛物线的弦问题 抛物线的准线
图像 方程 y ２ =2px(p ＞0） y ２ =－２px(p>0) x 2＝2py （p ＞０） ｘ2＝-2p ｙ(ｐ＞０) 焦点 ,02p F ?? ??? ,02p F ??- ??? 0,2p F ?? ??? 0,2p F ? ?- ? ? ? 准线 2 p x =- 2 p x = 2 p y =- 2 p y = 要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值. 要点三、抛物线的几何性质 范围：{0}x x ≥,{}y y R ∈， 抛物线y ２ =2ｐx(p>0)在y 轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点Ｍ的坐标（x,y)的横坐标满足不等式x≥０；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性:关于x 轴对称 抛物线y 2＝2ｐx （p ＞0）关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线ｙ２=２px(ｐ>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0,0)。 离心率：1e =. 抛物线y 2＝２ｐx(p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率。用e 表示,e=1。 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 要点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y ２ =２px （p ＞0)联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,其判别式为Δ. 2220ky py pm -+=
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系： 已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0） （1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）? 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上? 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外? 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离： （1）抛物线C 和直线l 相离?抛物线C 和直线l 无交点?方程组22x y =0 y px A B C =++?? ?无解，消去y 得 关于x 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2 +2pBy+C=0… ⑵)?方程（1）（或方程（2）无解）? 方程（1）中的 判别式?<0(方程（2） 中的 判别式00. 若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0 y p k AB = 则 当直线l 斜率是k 时12|AB y y = =- 直线l 倾斜角为α 时1212|||AB x x y y =-=-
高考数学专题04 直线与抛物线相结合问题(第五篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题04 直线与抛物线相结合问题 【典例1】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且||8AB =. （1）求抛物线C 的方程； （2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于(1,2)R 的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于,M N 两点，求||MN 取最小值时直线DE 的方程. 【思路引导】 （1）直曲联立表示出抛物线弦长AB ，得到关于p 的方程，求出p ，得到抛物线的方程. （2）直线DE 与抛物线联立，得到12y y +、12y y ，再根据题意，得到M 点和N 点的坐标，用1y 和2y 表示出MN ，代入12y y +、12y y 的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线DE 的方程. 【详解】 （1）,02p F ?? ??? ，直线AB 的方程为2p x y =+， 由2 2y px =，2 p x y =+ 联立， 得22 20y py p --=，(1y p =+， AB = 48p ===， ∴2p =，
∴抛物线的方程为：24y x =. （2）设()11,D x y ，()22,E x y ，直线DE 的方程为：()()110x m y m =-+≠， 联立方程组()24,11, y x x m y ?=??=-+??消元得：()2 4410y my m -+-=， ∴124y y m +=，()1241y y m =-. ∴ 21y y -= =设直线DR 的方程为()112y k x =-+， 联立方程组()112, 22,y k x y x ?=-+?=+? 解得112M k x k =-， 又1112111224 1214y y k y x y --=== -+-，∴1114 224 22 M y x y y +==--+. 同理得2 2 N x y =- . ∴12M N MN x y =-= ==. 令1m t -=，0t ≠，则1m t =+. ∴MN == =≥. ∴当2t =-即1m =-时，MN 取得最小值. 此时直线DE 的方程为()11x y =--+，即20x y +-=. 【典例2】【东北三省三校2019届高三第三次模拟】抛物线2 4x y =的焦点为F ，准线为l ，若A 为抛物线上第一象限的一动点，过F 作AF 的垂线交准线l 于点B ，交抛物线于,M N 两点.
抛物线与直线的交点问题
抛物线与直线的交点问题 1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题： ①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0 此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。 △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 ②特殊情形： 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题： 令y=0，则ax 2+bx+c=0 此时方程的判别式△=b 2-4ac △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题： 令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0 此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ） △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。 3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题： 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0） ① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧 ② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧 ③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧 4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为 ︱x 1-x 2︱=a ac b 42 练习 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________． 2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( ) A ．k >－47 B ．k <－47且k ≠0 C ．k ≥－47 D ．k ≥－47且k ≠0 3．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )． A ．４ B ．８ C ．－４ D ．１６ 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )． A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０ B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０ C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０ D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０ 5.直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是______
二次函数专题：直线与抛物线的交点问题(无答案)
专题三：直线与抛物线的交点问题 【学习目标】1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。 【学习重点】1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与之间有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 【学习难点】理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 一、课前热身 1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________； 2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______； 3、若关于x 的函数y ＝2 kx ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为__________． 二、新知探究 例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。 例2（1）当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？ （2）当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？ （3）当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？ 例3：如图，已知顶点为C （0，﹣6）的抛物线y=ax 2 +b （a ≠0）与x 轴交于A ， B 两点，直线y=x+m 过顶点 C 和点B ． （1）求m 的值； （2）求函数y=ax 2+b （a ≠0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、当堂反馈 1、如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是（ ） 3、如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1 ， 其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①③⑤ D ． ②④⑤ 3、二次函数y=x 2 +bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围． A ． B ． C ． D ． 第1题图
动线与图形交点个数问题
动线与图形交点个数问题之直线与几何图形 例1：知识储备—动直线的讨论 1. y=-x+1由 平移得到的。 2. y=2x+b 由 平移得到的。 3. y=kx+b 由 平移得到的。 例2：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC (1)直线y=2x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 （2）直线y=x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 （3）直线y=-3x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围 练习：（2+2011-25） 1.如图，在平面直角坐标系中，直线1 (0)2 y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ， 、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重 叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标； （2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式； （3）若在直线1 (0)2 y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于 90，请直接．． 写出b 的取值范围． 2.已知:关于x 的一元二次方程01-m x 2m 2-mx 2 =++）（ (1)若此方程有实根,求m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,且m 取最小的整数,求此时方程的两个根; (3)在(2)的前提下,二次函数1-m x 2m 2-mx y 2++=）（与x 轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x 轴的上方作半圆P,设直线l 的解析式为y=x+b,若直线l 与半圆P 只有两个交点时,求出b 的取值范围. 动线与图形交点个数问题之抛物线与几何图形 例1：知识储备—动抛物线的讨论 1.y=x 2 -1由 平移得到的。 2. y=(x-2)2 -1由 平移得到的。 3. y=(x-m)2-1由 平移得到的。 4. y=x 2 -2bx+b 2-1由 平移得到的。 例2：已知点A （1,1）B （3,1）C （3，2）D(1,2)围成四边形ABCD （1）抛物线y=1/2(x-m)2 与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 (2) 抛物线y=2(x-m)2 与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 （3）抛物线y=(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围 例3：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC ，抛物线y=(x-m)2与之交点 个数的讨论，求相应m 取值范围 练习： 1.（抛与直角梯形）已知抛物线y=x 2 -4x+3和直角梯形OBPC ，其中B(3,0) P(2,3) C(0,3)。若将抛物线沿水平方向平移，设顶点D （m,n ），当抛物线与直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时， 求出m 的取值范围。 2.（抛与菱形） 已知：将函数y 的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． (1)求这个新的函数的解析式； (2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数2 1 22 2 ++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．
高中数学专题讲义-直线与抛物线
1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程： ①22 221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22 221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22 221(0)x y a b a b +=>>研究）： ⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤； ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； ⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段 12B B ． ⑸椭圆的离心率：c e a = ，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． M y=-b y=b x=-a x=a B 2 B 1 A 2 A 1c b a F 2 F 1 O y x 4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位 板块三.直线与抛物线
直线与抛物线的位置关系专题精编
直线与抛物线的位置关 系专题精编 Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986
抛物线的简单几何性质 ————叶双能 一． 教学目标： 1. 掌握抛物线的简单几何性质 2. 能够熟练运用性质解题 3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题 4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标 法和数形结合的基本思想. 二． 教学重难点： 重点：抛物线的几何性质 难点：抛物线几何性质的运用. 易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系 数是否为零. 三．教学过程 （一）复习回顾： （1）抛物线2(0)y ax a =≠的焦点坐标是__________;准线方程 __________. （2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点(1,4)M ， 则抛物线的标准方程为_______________________. (3)过点()2,0M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求||AB （二）典例分析：
例1.已知抛物线24,y x =直线l 过定点()2,1P -，斜率为k .k 为何 值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个 公共点；没有公共点 设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方 法，解决直线与抛物线的位置关系. (2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法; (3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学 思想. 变式1：已知抛物线方程x y 42=，当b 为何值时，直线 b x y l +=:与抛物线（1）只有一个交点；（2）有两 个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物 线有公共点时，b 的最大值是多少 例2：过点()4,1Q 作抛物线28y x =的弦AB ，恰好被点Q 所平分. (1)求AB 所在的直线方程； （2）求||AB 的长. 变式1：斜率为1的直线l 经过抛物线2=4y x 的焦点F ，且与抛 物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.(教材69 页例4) 方法（一）方程联立?? →求交点坐标??→根据两点间距离公式 方法（二））方程联立?? →根据韦达定理求12+x x ??→运用弦长公式
直线与抛物线的位置关系专题
抛物线的简单几何性质 ————叶双能 一．教学目标： 1. 掌握抛物线的简单几何性质 2. 能够熟练运用性质解题 3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题 4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想二．教学重难点： 重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用. 易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零. 三．教学过程 （一）复习回顾： （1）抛物线y ax2（a 0）的焦点坐标是_____________ ;准线方程___________ . （2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点M （1,4），则抛物线的标准方程为 2 （3）过点M 2,0 作斜率为1的直线l ，交抛物线y2 4x 于A，B 两点，求| AB | （二）典例分析： 2 例1?已知抛物线y 4X,直线I过定点P 2,1 ,斜率为k.k为何值时，直线I与抛物线 2 y2 4X ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系?（2）掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法； （3）培养学生的运算推理能力和分类 讨论的数学思想. 变式1：已知抛物线方程y2 4X ，当b 为何值时，直线I : y X b 与抛物线（1）只有一个交点； （2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b 的最大值是多少？ 例2：过点Q 4,1作抛物线y2 8x的弦AB，恰好被点Q所平分. （1）求AB所在的直线方程；（2 ）求|AB|的长. 变式1：斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB 的长.（教材69 页例4） 方法（一）方程联立求交点坐标根据两点间距离公式 方法（二））方程联立根据韦达定理求x1+x2 运用弦长公式
二次函数综合问题之抛物线和直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数2）．3，40，﹣2），B（y=2x1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线+mx+n经过点A （（1）求抛物线的表达式及对称轴；（包B之间的部分为图象GC，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，（2）设点B关于原点的对称点为纵坐标t的取值范围．CD 与图象G有 公共点，结合函数图象，求点D含A，B两点）．若直线 考点：待定系数法求二次函数解读式；待定系数法求一次函数解读式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解读式求出m与n的值，确定出抛物线解读式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC 解读式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 2解答：+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，解：（1）∵抛物线y=2x4）， 代入得：， 解得，2∴抛物线解读式为y=2x﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； 2（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解读式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：，，解得：k=，b=0x，y=∴直线BC解读式为，当x=1时，y=
．≤t≤4的范围为﹣t 则． 此题考查了待定系数法求二次函数解读式，待定系数法求一次函数解读式，以及函数的最值，熟练掌握待点评： 定系数法是解本题的关键． 4）．（0，，0），与y轴交于C（．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B42 的坐标；）求抛物线顶点（1D，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛F轴的垂线，交直线CD于点轴于点E，过点B作x（2）设直线CD交x总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长EF物线与线段度？ 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解读式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解读式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解读式； （2）先用待定系数法求出直线CD解读式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平