《函数的表示法》教学设计(含答案)

教学设计

1.2.2函数的表示法（1）

作者：张正全

教学分析

课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性。

三维目标

1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)

2．会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，

3．树立应用数形结合的思想．

重点难点

教学重点：函数的三种表示方法，

教学难点：会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，

导入新课

我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课

初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？

讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．

(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．

(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．

应用示例

例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．

活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，

用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．

用列表法可将函数y＝f(x)表示为

图1

点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．

注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；

②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；

③图象法：根据实际情境来决定是否连线；

④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

例2下面是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：

活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．

解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．

图3

由图3可看到：

王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；

张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；

赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．

点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.

知能训练

变式训练2

1.画出下列函数的图像

（1）f(x)=2x,x∈R,且|x|≤?2

（2）(x)=x+2，x∈N,|x|≤?3

2.某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：

4.已知二次函数f(x)的图像过点A(0,-5),B(5,0),其对称轴为x=2,求其解析式。

5.课本本节练习2,3.

拓展提升

问题：变换法画函数的图象都有哪些？

解答：变换法画函数的图象有三类：

1．平移变换：

(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；

(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；

(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．

简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．

2．对称变换：

(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；

(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0即x轴对称；

(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

3．翻折变换：

(1)函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到．

(2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y 轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图象即可得到．

函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．

课堂小结

本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．

作业

课本习题1.2A组7,8,9.

本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．