线性离散系统
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自动控制原理第7章线性离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
线性离散系统数学模型和分析方法
线性离散系统数学模型和分析方法目录一、内容简述 (3)二、线性离散系统的数学模型 (3)2.1 离散系统的概念 (5)2.2 离散系统的描述方法 (6)2.2.1 差分方程 (7)2.2.2 马尔可夫过程 (8)2.2.3 状态空间表示 (10)2.3 线性离散系统的特性 (11)2.3.1 稳定性分析 (12)2.3.2 脉冲响应与收敛性 (13)2.3.3 系统性能评估 (14)三、分析方法 (16)3.1 拉普拉斯变换法 (17)3.1.1 基本概念 (19)3.1.2 应用分析 (20)3.1.3 收敛性与应用局限 (21)3.2 状态空间方法 (23)3.2.1 基本理论 (24)3.2.2 控制器设计 (25)3.2.3 参数估计 (26)3.3 Z变换法 (27)3.3.1 基本原理 (28)3.3.2 系统分析 (30)3.3.3 系统的性能评估 (31)3.4 时域分析方法 (33)3.4.1 序贯逼近法 (34)3.4.2 数值仿真 (34)3.4.3 基于数字模型的算法 (36)四、应用实例 (37)4.1 控制系统设计 (39)4.1.1 系统建模 (40)4.1.2 控制器设计与仿真 (42)4.2 信号处理 (43)4.2.1 离散信号处理 (45)4.2.2 滤波器设计 (46)4.3 通信系统 (47)4.3.1 调制与解调 (49)4.3.2 语音编码与加密 (51)五、结论与展望 (52)5.1 研究成果总结 (53)5.2 未来研究方向 (54)5.3 实际应用前景 (55)一、内容简述本文档旨在全面介绍线性离散系统数学模型的构建及其分析方法。
线性离散系统在现代科技、工程和经济学等领域具有广泛的应用，因此对其数学模型的理解和分析显得尤为重要。
我们将从线性离散系统的基本概念出发，详细阐述线性离散系统的定义、特点以及类型。
通过实例演示如何建立线性离散系统的数学模型，包括状态方程、传递函数等基本形式。
第七章--线性离散系统的稳定性分析
取反变换，得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲， 如果在典型信号输入作用下，系统脉冲响应过程将在n个 采样周期内结束(对连续系统而言，理论上动态过程在 t→∞时才结束)，由于这种系统瞬态响应时间最短，故称
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此，使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大， 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数 也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应 暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超 调量为100%。
映射稳定区域左半s平面不稳定区域右半s平面临界稳定区域虚轴上单位圆内部单位圆外部单位圆上线性离散系统稳定的充分必要条件离散系统极点分布与稳定性的关系由由s平面与z平面的映射关系及连续系统的稳定性理论可知离散系统极点分布与其稳定性的关系如下极点分布稳定情况z单位圆内稳定z单位圆外不稳定z单位圆上临界稳定线性离散系统的稳定判据由前面的分析可知只要知道系统的极点分布即可判断系统的稳定与否但这里要解决的问题是如何知道闭环系统的极点分布
线性离散系统
如果对一个具有有限频谱（max max） 的连续信号进行采样，当采样角频率 s >2max
或者说 fs >2fmax 时，则由采样得到的离散信号能够
不失真地恢复到原来的连续信号。
15
注释 1 采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率， 使得对连续信号中 所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连 续信号的全部信息。
sin T
lim
0
H0 ( j)
limT 0
2
T
T
2
27
H0 ( j)
T
0
H0 ( j)
00
900 1800
sin T
H0 ( j) T
2
T
2
s
2s
3s
s
2s
3s
H0 (
j)
T
2
28
零阶保持器的频率特性
结论 1 零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器；
2 零阶保持器是具有负的相角，对闭环系统的稳定 性有不利的影响。
其中 X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
8
连续信号的频谱
X ( j)
X ( j0)
max
0 2max
max
9
离散信号x*(t) 的频率特性为
X
*(
j)
1 T
n
X
j
ns
离散信号x*(t) 的频谱为
X *( j)
1 T
X
n
j ns
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
10
2
计算机控制系统
数字控制系统 离散控制系统
或者说 fs >2fmax 时，则由采样得到的离散信号能够
不失真地恢复到原来的连续信号。
15
注释 1 采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率， 使得对连续信号中 所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连 续信号的全部信息。
sin T
lim
0
H0 ( j)
limT 0
2
T
T
2
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H0 ( j)
T
0
H0 ( j)
00
900 1800
sin T
H0 ( j) T
2
T
2
s
2s
3s
s
2s
3s
H0 (
j)
T
2
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零阶保持器的频率特性
结论 1 零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器；
2 零阶保持器是具有负的相角，对闭环系统的稳定 性有不利的影响。
其中 X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
8
连续信号的频谱
X ( j)
X ( j0)
max
0 2max
max
9
离散信号x*(t) 的频率特性为
X
*(
j)
1 T
n
X
j
ns
离散信号x*(t) 的频谱为
X *( j)
1 T
X
n
j ns
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
10
2
计算机控制系统
数字控制系统 离散控制系统
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
线性离散系统状态方程的解
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
线性离散系统的状态空间描述
人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可 激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会 导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全 国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时 刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统 输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号 不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确 地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即 使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为 随动系统。 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和 位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可 激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会 导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全 国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时 刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统 输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号 不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确 地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即 使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为 随动系统。 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和 位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
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8.2 信号采样与恢复
2. 采样定理
采样周期的选择：
根据工程实践经验，随动系统的采样频率
可近似取为
s 10c
即采样周期可按下式选取为 T 1
5 c
通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间
ts，按下列经验公式选取：
或者
T
1 40
ts
f (nT t) a0 a1t a2t 2 am t m
通过量化变成以（二进制表示的）数字信号。通常，
采用采样周期为常数即等速（单速）采样的采样方式。
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点
(a) 数字信号 图 8.3 D/A转换过程
(b) 连续信号
D/A转换过程是将数字信号恢复成连续信号。
8.1 概述
➢数字控制系统的典型结构图
r(t)
e(t) e*(t) T
8.2 信号采样与恢复
2. 采样定理
香农（Shannon）采样定理：如果采样器的输
入信号x(t)具有有限带宽，并且有直到ωmax的
频率分量，如果采样频率满足
s
2
T
2max
则采样信号x*(t)可以完全复现连续信号x(t)。其中， ωs为采样频率，T为采样周期，ωmax为连续信号中最 高次谐波的角频率。
采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必 要条件。该定理给出了信号采样的最小采样频率。
10
8.2 信号采样与恢复
2. 采样定理
采样周期的选择：
工程实践表明，根据表8.1给出的参考数据 选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。
表 8.1 采样周期的T参考数据
控制过程 流量 压力 液位 温度 成分
采样周期T/s 1~3 1~5 5~10 10~20 10~20
作拉氏变换可得
X *(s) L[x*(t)] x(nT )enTs
n0
令z=eTs，则得离散信号x*(t)的Z变换，并记为
X (z) Z[x*(t)] x(nT )zn n0
Z变换的定义：上式中的X(z)称为x*(t)的Z变换。
(0<τ<T)
8.2 信号采样与恢复
3. 信号恢复
x*(t)
常值外推
5T 6T 7T
0 T 2T 3T4T
t
xh(t) 0 T 2T 3T4T
x(t-T/2) xh(t)
x(t)
6T 7T t
① T取得越小，xh(t)与x(t)的差别越小；
② 相位滞后，t)比x(t)平均滞后半个采样周期；
③ 时域特性(单位脉冲响应)为 gh(t)=1(t)-1(t-T)；
Gc (s)
u(t) T
u*(t) Gh (s)
uk(t) Gp (s)
c(t)
b(t)
H (s)
图 8.4 与图 8.1 等效的离散系统结构图
Gc(s) 数字控制器的等效传递函数 Gh(s) 信号恢复器的传递函数 Gp(s) 被控对象的传递函数 H(s) 测量元件的传递函数
离散控制系统的特点：从信号上看存在离散时 间信号(离散信号、采样信号、脉冲序列或数字序 列)；从元件上看有采样开关与信号恢复器。
13
3. 信号恢复 工程实践中普遍采用零阶保持器。
x*(t)
xh(t)
零阶保持器
零阶保持器：将离散信号转换成在两个连续 采样时刻之间保持常量的信号。
x*(t)
常值外推
5T 6T 7T
0 T 2T 3T4T
t
xh(t) 0 T 2T 3T4T
x(t-T/2) xh(t)
x(t)
6T 7T t
常值外推 x(nT+τ)=x(nT)
x(t)
x*(t)
输入连续信号 T 输出离散信号 T – 采样周期
x(t)
x*(t)
采样后
5T 6T 7T
0 T 2T 3T4T
t
0
5T 6T 7T T 2T 3T4T
t
8.2 信号采样与恢复
1. 信号采样
离散信号x*(t)为一理想脉冲序列，脉冲仅 在采样时刻t=nT(n=0,1,2···)出现，而脉冲强度 由nT时刻的连续函数x (nT)值来确定。
数学描述：
x*(t) x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
x(nT ) (t nT ) n0
在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t) 为一数字序列，而数字序列可以看作是以数字 表示其幅值的脉冲序列，它与上述脉冲序列并 没有本质区别。
8.1 概述
2. 离散控制系统的定义
离散控制系统的定义：当系统中某处或多 处的信号为在时间上离散的脉冲序列或数码形 式时，这种系统称为离散控制系统或离散时间 控制系统。
8.2 信号采样与恢复
1. 信号采样 2. 采样定理 3. 信号恢复
8.2 信号采样与恢复
1. 信号采样
采样过程：通过采样开关将连续信号变为 离散信号(采样信号)的过程。
④ 零阶保持器的传递函数为
Gh
(s)
L[ g h
(t)]
1
eTs s
8.3 Z变换与Z反变换
1. Z变换的定义 2. Z变换的基本定理 3. 求Z变换 4. 求Z反变换
8.3 Z变换与Z反变换
1. Z变换的定义
离散信号x*(t)表示为 x*(t) x(nT ) (t nT ) n0
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点 2. 离散控制系统的定义
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点
r(t) e(t) A/D
数字 u *(t)
计算机
D/A
uk(t) 被控 对象
c(t)
b(t) 测量元件
图 8.1 (数字)计算机控制系统方框图
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连 续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
A/D：经采样、量化、编码转换把模拟信号变成 数字信号。
D/A：经保持、解码(信号恢复)将数字信号转 化成模拟信号。
8.1 概述
1. 离散控制系统的特点
(a) 连续信号
(b) 离散信号
(c) 数字信号
图 8.2 A/D转换过程
A/D转换过程是A/D转换器每隔一个采样周期对输
入的连续信号采样一次，使其变为离散时间信号，再
8.2 信号采样与恢复
3. 信号恢复 信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的
过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。 保持器是具有外推功能的元件，保持器的外
推作用，表现为现在时刻的输出信号取决于过去 时刻离散 信号的外推。
kT t (k 1)T 时，
e(nT t) a0 a1t a2t 2 amt m