1.1.2 集合的表示方法

解：他们是不同的集合. 集合 {(x,y)|y = x 2 +1} 是点集， 集合 {y|y = x 2 +1}与{x|y = x 2 +1} 是数集， 而集合 {y|y = x 2 +1}与{x|y = x 2 +1}的代表元素又是不一样的， 实际上前者可看成抛物线y = x 2 +1所有点的横坐标构成的集合， 后者是抛物线y = x 2 +1所有点的纵坐标组成的集合.
练习:用描述法表示下列给定的集合： （1）不等式4x－5 < 3的解集.
{ x | x2 }
（2）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合.
{ y | y 4 }
（3）反比例函数 y
{ x | x0 } （4）不等式 3x 4 2 x 的解集. 4 { x | x } 5
2 的自变量的值组成的集合. x
ⅱ.有些集合的元素较多，元素的排列又呈现
一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出 几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 例如:不大于100的自然数构成的集合可表示为 {0,1,2,3,„，100} ⅲ.无限集有时也可用上述的列举法表示. 例如:自然数集N可表示为{0,1,2,3,„，n,„}.
它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.
这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.
大于3小于10的实数组成的集合可表示为：
{ x∈R 3< x＜10 }
所有元素所共有 代表元素 的“特征性质”
注意：在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写. 例如，在实数集R中取值“∈R”常常省略不写，像上述 集合也可以写作{x|3<x＜10}.
解方程即得. 解：（1）A＝{1,2,3,4,5}； （2）B＝{2,3}.
练习:用列举法表示下列集合: （1）由x2-9=0方程的所有实数根组成的集合.
{3, 3}
（2）由小于8的所有素数组成的集合.
{2,3,5,7}
（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合.
{(1,4)}
x = 2 x = 2 ， ∴方程的解集为{ y = -3 y = -3
∴
}或{(2，－3)}．
(3)由x－2>3，得x>5.
故不等式的解集为{x|x>5}．
(4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法 表示为{(x，y)|y＝x2－1}．
规律总结：用什么方法表示集合，要具体问题具体分析： （1）列举法对于元素较少的集合可以一目了然，方便快 捷，但元素较多时就不太方便了. （2）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是
解：(1)列举法：{(0,0)，(1,1)}； (2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (3)列举法：因为 x∈N，y∈N，x＋y＝3， x＝0 所以 y＝3
x =1 或 y = 2
x＝2 或 y＝1
x＝3 或 y＝0
.
所以 A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}； (4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}．
描述法的一般形式为： { x∈I|p(x)}
x为该集合 的代表元素
p(x)表示该集
合中的元素x
所具有的性质
使用描述法必须注意： ①写清该集合中元素的代表符号； ②准确说明该集合中元素的特征； ③应对代表元素进行说明；
④多层描述时,应当准确使用“且”与“或”；
⑤所有描述的内容都要写在“｛ ⑥集合符号“｛ ｝”内；
思考3
能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成
的集合”? 解答：我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成 的集合，因为这个集合的元素是列举不完的，而元素的排 列又不呈现明显的规律.
对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列举的 集合用“描述法”来表示就显得简洁明了。
什么是描述法呢？ 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都 具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p (x), 则性质p (x)叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以 用它的特征性质p (x)描述为 {x∈I|p (x)}
性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分； 二从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么． 解：(1)由x3=x，即x(x2-1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1， 因为－1∉ N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0,1}．
(2)集合表示中的符号“{
}”已包含“所有”、“全体”
等含义，而符号“R” 表示所有的实数构成的集合，实数集 正确的表示应为{x|x为实数}或R.
1.1.2 集合的表示方法
学习目标
1、知识目标：使学生掌握常用的集合表示方法，能选择自 然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题； 2、能力目标：提高学生运用数学语言的能力，感受集合语
言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；
3、情感目标：通过合作学习，培养学生的合作精神.
(2)这个集合的一个特征性质可以描述为
x>3，且x=2n,n∈N. 于是这个集合可以表示为 {x|x>3,且x=2n,n∈N}.
（3）设点P为线段AB的垂直平分线上任一 点，点P和线段AB都在平面 a 内，则这 个集合的特征性质可以描述为
在几何中， 通常用大写 字母表示点 （元素），用 小写字母表 示点的集合， 应注意区别.
括起来表示集合的方法叫做列举法. 思考2 怎样用列举法来表示“由大于3小于
}”
10的整数组成的集合”？ 解答：{4，5，6，7，8，9}.
列举法的优点与适应范围： (1)优点:可以明确集合中具体的元素 及元素的个数. (2)使用列举法必须注意:
①元素间用“，”分隔.
②集合中的元素必须满足三个特性. ③元素不能遗漏. ④适用范围: ⅰ.含有有限个元素且个数较少的集合.
例2 用描述法表示下列集合: （1）{-1,1}； （2）大于3的全体偶数构成的集合； （3）在平面 a 内，线段AB的垂直平分线. 分析:对于用描述法表示的集合，要从本质上去认识它， 看清集合的“代表元素”，判断出我们要研究的集合元 素所共有的“特征性质”.
解: (1) 这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于 1的实数，即|x|＝1于是这个集合可以表示为 {x||x|=1}.
｝”已包含“所有”的意思,
因而大括号内的文字描述,不应该再用“全体”， “全部”，“所有”或“集”等词语.
例1 用列举法表示下列集合： （1）A＝{x∈N｜0<x≤5 } ； （2）B＝{x |x2-5x+6 ＝0}. [分析]对于(1)集合A中“x∈N”且“0<x ≤5”共同限制了
集合元素的属性，而（2）中所求的也即是方程的解集，百度文库
是6，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将
方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等 式的解有无数个，宜采用描述法；对于(4)，所给二次函 数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
解：(1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}． (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为 (x－2)2＋(y＋3)2＝0，
PA＝PB
于是这个集合可以表示为
{点P∈平面 a ｜PA＝PB}.
技巧点拨：使用描述法时，还应注意以下几点：
①写清集合中代表元素的符号，如实数或实数对或点的坐 标表示； ②说明该集合中元素具有的特征性质，如方程、不等式、 函数或几何图形等；
③描述法的语言形式主要有两种：文字语言和符号语言，
如表示直角坐标轴上的点的集合． 文字语言：{点P|P是直角坐标轴上的点}； 符号语言：{(x，y)|xy＝0}．
x＋y＝3 (3)方程组 x－y＝－1
的解是有序实数对，而集合
{x＝1，y＝2}表示由两个等式组成的集合，方程组的解 x＝1 集正确的表示应为{(1,2)}或{(x，y)| y＝2 D. } .故选
拓展探究
集合{(x,y)|y = x 2 +1}与集合{y|y = x 2 +1}以及 {x|y = x 2 +1}是同一集合吗？
练习
下列说法： (1)集合{x∈N|x ＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； (2)实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}； x＋y＝3 (3)方程组 x－y＝－1 其中正确的有( A．3 个 C．1 个 ) B．2 个 D ．0 个 的解集为{x＝1，y＝2}．
3
【分析】对于用描述法表示集合，一清楚符号“{x|x的属
引入新课
前面我们学过，可以用自然语言
描述一个集合，也可以用一个 “{ }”来表示一个集合，元素
之间用逗号隔开，那表示一个集
合具体有哪些方法呢？这一节课 我们就来研究！
思考1
怎样表示“方程x2-5x=0 在实数内解的全体”
组成的集合C？ 解答：可以这样表示：C={0，5}.
像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{
例3 用适当的方法表示下列集合： (1)比4大2的数； (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合．
分析:由题目可获取以下主要信息： ①已知4个集合； ②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比4大2的数就
1、用列举法表示集合的注意事项及适用范围：适合有限 集，元素逐一列举在“{ }”内.
2、用描述法表示集合的注意事项及适应范围：适合无限
集，{x|x的特征性质}. 关注两方面：代表元素（是点还是数还是其他）. 所有元素所共有的特征性质如何表示.
行动与不满足是进步的第一必需品。
数集、点集还是其他的类型．描述法多用于元素个数无
限的集合．
练习
3.用适当的方法表示下列集合：
y＝x (1)二元二次方程组 2 y＝x
的集合；
(2)大于 4 的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数 y＝2x＋1 图象上所有点组成的集合．