范钦珊 应力状态及强度理论
清华大学范钦珊版理论力学复习材料-第1章
如果某力系与一个力等效，则这一力称为该力系 的合力，而力系中的各个力则称为这一合力的分力。 作用于刚体、并使刚体保持平衡的力系称为平衡力系， 或称零力系。
二力平衡原理 不计自重的刚体在 二力作用下平衡的必要和充分条件是： 二力沿着同一作用线，大小相等，方 向相反，称为二力平衡原理。其数学 表达式为
在分离体的所有约束处，根据约束的性质画出 约束力。
当选择若干个物体组成的系统作为研究对象时， 作用于系统上的力可分为两类：系统外物体作用于系 统内物体上的力，称为外力（external force）；系统 内物体间的相互作用力称为内力（internal force）。
内力和外力的区分不是绝对的，内力和外力，只 有相对于某一确定的研究对象才有意义。由于内力总 是成对出现的，不会影响所选择的研究对象的平衡状 态，因此，在受力图不必标出。
FRy FRx
止推轴承
机器中常见各类轴承，如 滑动轴承或径向轴承等。这些 轴承允许轴承转动，但限制与 轴线垂直方向的运动和位移。 轴承约束力的特点与光滑圆柱 铰链相同，因此，这类约束可 归入固定铰支座。
受力分析与受力图
F
怎样确定O、B二处的受力？
A 处固定
怎样确定 A 处 的受力？
F
F1= －F2
作用有二力的刚体又称为二力 构 件 (members subjected to the action of two forces)或二力杆。
加减平衡力系原理 在作用于刚体的力系中，加 上或减去任意个平衡力系，不改变原力系对刚体的 作用效应，称为加减平衡力系原理。
加减平衡力系原理是力系简化(reduction of a force system)的重要依据之一。
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韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
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为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
应力状态的概念——过同一点 不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态（State of
the Stresses of a Given Point）
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态？
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Qin-Shan FAN s Education & Teaching Studio
清华大学 范钦珊
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材料力学
(7)
2020年1月28日
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材料力学 基础篇之七
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第7章 应力状态分析
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第7章 应力状态与强度理论 及其工程应用
应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力 应力状态中的主应力与最大剪应力 应力圆及其应用 广义胡克定律 承受内压薄壁容器的应力状态 应变能与应变能密度 结论与讨论
应力状态的基本概念
什么是应力状态？
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工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
材料力学第三版范钦珊
材料力学第三版范钦珊介绍《材料力学》是材料科学与工程专业的一门基础课程。
该课程主要介绍了材料在受力、变形和断裂等方面的基本理论和方法。
本文档是对《材料力学第三版范钦珊》这本教材的简要概述，并对其中的一些重要内容进行了详细介绍。
章节概述本教材共分为十个章节，涵盖材料力学的各个方面。
下面将对每个章节的内容进行简要介绍。
第一章弹性力学基础该章节介绍了材料的弹性行为，主要内容包括材料的应力、应变、弹性模量等基本概念和理论模型。
还介绍了应力分析、应变分析以及应力应变关系的数学描述方法。
第二章塑性力学基础该章节介绍了材料的塑性行为，包括材料的静态硬化、动态硬化和塑性流动等内容。
还介绍了塑性变形的本构模型和塑性应变的数学描述方法。
第三章蠕变力学基础该章节介绍了材料的蠕变行为，主要包括蠕变现象、蠕变变形规律以及蠕变破坏机理等内容。
还介绍了蠕变本构模型和蠕变应变的数学描述方法。
第四章疲劳力学基础该章节介绍了材料的疲劳行为，包括疲劳现象、应力循环和疲劳寿命等内容。
还介绍了疲劳本构模型和疲劳强度的计算方法。
第五章断裂力学基础该章节介绍了材料的断裂行为，主要包括断裂现象、断裂力学参数以及断裂韧性等内容。
还介绍了断裂力学的基本理论和断裂模式的判定方法。
第六章材料力学的数值模拟该章节介绍了材料力学的数值模拟方法，主要内容包括有限元方法、分子动力学模拟以及统计力学方法等。
还介绍了计算实例和常用的数值模拟软件。
第七章材料力学的实验方法该章节介绍了材料力学的实验方法，主要包括材料力学实验的基本原理和常用实验设备。
还介绍了实验数据的处理和分析方法。
第八章金属的力学行为该章节主要介绍了金属材料的力学行为。
包括金属材料的结晶性质、力学性质以及相变行为等内容。
第九章非金属材料的力学行为该章节介绍了非金属材料的力学行为，包括非金属材料的力学性质、结构性质以及应用性质等内容。
还介绍了一些特殊类型的非金属材料。
第十章新型材料的力学行为该章节介绍了一些新型材料的力学行为，包括复合材料、纳米材料、智能材料等。
理论力学课后答案范钦珊)
C(a-2)DR(a-3)(b-1)DR第1篇 工程静力学基础第1章 受力分析概述1－1 图a 、b 所示，Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。
试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。
习题1－1图解：（a ）图（c ）：11 s i n c o s j i F ααF F +=分力：11 cos i F αF x = ， 11 s i n j F αF y =投影：αcos 1F F x = ， αs i n 1F F y =讨论：ϕ= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。
（b ）图（d ）： 分力：22)cot sin cos (i F ϕααF F x -= ，22sin sin j F ϕαF y = 投影：αcos 2F F x = ， )cos(2αϕ-=F F y讨论：ϕ≠90°时，投影与分量的模不等。
1－2 试画出图a 和b习题1－2图比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之F R D 值大小也不同。
（c ）2x（d ）1－3 试画出图示各物体的受力图。
习题1－3图B或(a-2)(a-1)(b-1)F(c-1) 或(b-2)(e-1)F(a)1－4图a 所示为三角架结构。
荷载F 1作用在铰B 上。
杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。
试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。
习题1－4图1－5图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑，在构件C 点作用有一水平力F 。
试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E （如图示），是否会改为销钉A 的受力状况。
解：由受力图1－5a ，1－5b 和1－5c 分析可知，F 从C 移至E ，A 端受力不变，这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D，则A 端受力改变，因为HG 与ABC 为不同的刚体。
1(f-1)'A(f-2)1(f-3)F F'F 1(d-2)AF yB 21(c-1)F A B1FDx y(b-2)1(b-3)F yB 2 F A B1B F习题1－5图AxF'(b-3)E D(a-3)B(b-2)(b-1)F 'CDDF EFBC(c)AxF1－6 试画出图示连续梁中的AC 和CD 梁的受力图。
材料力学教学课件ppt作者范钦珊第一章材料力学概述
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合
计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
1.7.2、剪切
（1）受力特点：杆件受到一对大小相等、 方向相反、作用线互相平行且相距很近的横 向力的作用； （2）变形特点：受剪杆件的两部分沿外 力作用方向发生相对错动；
1.7.3、扭转
（1）受力特点：杆件受到一对大小相等、方 向相反、作用面垂直于杆轴的力偶作用；
（2）变形特点：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。
围绕某点作一个各边分别为 、 、 的正六面体。 正六面体的x方向在力的作用下, 产生了变形 ，线 段ab 沿x方向单位长度的平均变形量为 。
平均变形量的极限：
称为点a沿x方向的的线应变 或简称应变。
由于切应力的作用，正六面体的各棱边还会发生角度的改变,当 和 趋近于零时，ab和ad所夹直角的改变量的极限
3、广义虎克定律 只有 作用时
1.7 杆件受力与变形的基本形式
材料力学的主要研究对象
杆件：长度远大于横截面尺寸的构件。 等直杆：轴线为直线且沿轴线横截面不发生变化的杆件。
杆件变形的基本形式
1.7.1、拉伸或压缩
（1）受力特点：杆件受到一对大小相等、方向相 反、作用线与杆件轴线重合的力的作用。 （2）变形特点：杆件长度方向发生伸长或缩短。
上分布内力 的合力为 ，
上分布内力的平均集度为
；
当 趋近于零时
的极限
称为点K的全应力。
有限元分析结果的判断准则
四大强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）(材料脆性断裂的强度理论)：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）（材料塑性屈服的强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
τmax=τ0。
轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）（最大歪形能理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
发生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]Von mise应力Von Mises 应力是基于剪切应变能的一种等效应力其值为(((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2)/2)^0.5 其中a1,a2,a3分别指第一、二、三主应力，^2表示平方，^0.5表示开方。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第7章 弯曲强度
[ ]
[]
0.5 x 0.4125
M(kN.m)
7
习题 7－10 图
解：画弯矩图如图所示： 对于梁：
M max = 0.5q M 0.5q σ max = max ≤ [σ ] , ≤ [σ ] W W [σ ]W = 160 ×106 × 49 ×10−6 = 15.68 ×103 N/m=15.68kN/m q≤ 0.5 0.5
A
B
W
a + Δa
W + ΔW
B
A
a图
b图
整理后得
Δa =
ΔW (l − a ) (W + ΔW )
此即为相邻跳水者跳水时，可动点 B的调节距离 Δa 与他们体重间的关系。 7－ 14 利用弯曲内力的知识，说明为何将标准双杠的尺寸设计成 a=l/4。
9
习题 7－14 图
解：双杠使用时，可视为外伸梁。 其使用时受力点应考虑两种引起最大弯矩的情况。如图a、b所示。
[ ]＋
[σ ]－ ＝120 MPa。试校核梁的强度是否安全。
6
30 x 10 M(kN.m) C 截面
+ = σ max － σ max
40
习题 7－9 图
30 ×103 N ⋅ m × 96.4 ×10−3 m = 28.35 × 106 Pa=28.35 MPa 1.02 ×108 ×10−12 m 4 30 ×103 N ⋅ m ×153.6 ×10−3 m = = 45.17 ×106 Pa=45.17 MPa 1.02 ×108 × 10−12 m 4 40 ×103 N ⋅ m ×153.6 ×10−3 m = 60.24 ×106 Pa=60.24 MPa> [σ ] 8 −12 4 1.02 ×10 × 10 m 40 ×103 N ⋅ m × 96.4 × 10−3 m = = 37.8 × 106 Pa=37.8 MPa 8 −12 4 1.02 × 10 × 10 m
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三
平
单向应力状态
向面应应力 Nhomakorabea力
状 特例 态
状 态
特例
纯剪应力状态
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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例题1
FP S平面
l/2
l/2
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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5
FQ
FP 2
例题1
应力状态中的主应力与最大剪应力
因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形 式。用主应力表达的形式最简单也是最本质的。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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＝ x＋
x
2
y
＋ x－
2
y
cos2q－ xysin2q
将上式对q 求一次导数，并令其等于零，有
d x dq
＝－(
x－
y
)sin2 q
2
xy cos2q＝0
由此解出的角度
tan2q＝－ 2τxy x y
平面应力状态任意方向面上的应力
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平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力
利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平 面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：
x＝
x＋
2
y
＋
x－
2
y
cos2q－ xysin 2q
xy＝
x－
2
y
sin
2q
xy cos2q
应力状态的基本概念
根据微元的局部平衡
y' x
x'
x'y' x'
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x
x
拉中有剪
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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Mx Mx
根据微元的局部平衡
y'
yx
x'
xy
xy
x'y'
x'
yx
剪中有拉
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
the Stresses of a Given Point）
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态？
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
5
4
4
3
3
Mz
FPl 4
2
2
1
S平面
1
x1
1
2
x2
3
2 2
3 3
第7章 应力状态与强度理论及其 工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定 微元的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的
正应力与剪应力
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定
x 正应力
x
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拉为正
x
压为负
x
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
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韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
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为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
受扭之前，圆轴表面的圆
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长， 短轴方向缩短。这是为什么？
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正 应力。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主应 力。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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需要指出的是，对于 平面应力状态，平行于 xy坐标面的平面，其上 既没有正应力，也没有 剪应力作用，这种平面 也是主平面。这一主平 面上的主应力等于零。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
不仅要研究横截面上的应力，而 且也要研究斜截面上的应力。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的方法
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
横截面上的剪应力分布
横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明： 同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的 概念。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
应力的面的概念——过同一点 不同方向面上的应力各不相同
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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主平面、主应力与主方向
x＝
x＋
2
y
＋
x－
2
y
cos2q－
xysin 2q
xy＝
x－
2
y
sin
2q
xy cos2q
＝
xy
x－
2
y
sin2q
xycos2q
=0
tan
2q
＝
p
－
2τ xy x
y
剪应力xy＝0的方向面，称为主平面（principal plane），其 方向角用qp表示。
应力状态的基本概念
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x'y' x'
x'y' x'
xy
yx
x
微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的 应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
不仅横截面上存在应力，斜截面 上也存在应力。
应力状态的基本概念
受力之前,表面的正方形
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FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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受力之前,表面斜置的正方形
FP
FP
受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉 后，正方形变成了菱形。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
什么是应力状态？ 为什么要研究应力状态 描述一点应力状态的方法
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
什么是应力状态？
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
应力的点的概念——同一截面上 不同点的应力各不相同
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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FQ FNx
Mz
横截面上的正应力分布
1 2 3
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生 失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以 说主应力是反映应力状态本质的特征量。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
x
y
2
4
2 xy
＝0
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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＝ x y 1 22
x
y
2
4
2 xy
＝ x y 1 22
x
y
2
4
2 xy
＝0
以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用
表示，即
1 , 2 ,3
角度q 与qP 具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性
质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐 标系中正应力的极值。
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