张量分析第四章
张量第四章
第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
第4章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
ij,k ilj glk glk ilj
定义式：
ij ,k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F;
i j
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
g
i
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
dxi
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f (r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
张量分析第四章
Q ⋅ F ⋅ Q* = F (Q ⋅ A ⋅ Q*)
例3： 试证明：
ε=
1+υ υ σ − (trσ ) I E E
是各向同性函数。 证： 1+υ υ Q ⋅ ε ⋅ Q* = Q ⋅ σ ⋅ Q * −Q ⋅ (tr σ ) I ⋅ Q * ∵ E E
β i1Lir ≤ A i1Lir ≤ α i1Lir
设 P是 Pr张量空间的开集。按第一章第四节的标量积可以 定义A,B∈ P的标量积： 〈 A, B〉 = A⊙ B = Ai Li Bi Li ; (i1 ,L , ir = 1, 2,3) （4.1-1） 容易证明 〈 , 〉 具有下列性质： i）对称性： 〈 A, B〉 = 〈 B, A〉 ; A⊙ B = B ⊙ A , A, B ∈ P （4.1-2） ii）线性性： 〈 A, B + C 〉 = 〈 A, B〉 + 〈 A, C 〉 ; A ⊙ ( B + C ) = A ⊙ B + A⊙ C , A, B, C ∈ P （4.1-3） 4.1-3 iii）正定性： 〈 A, A〉 > 0 , ∀A ≠ 0 ; A⊙ A > 0 , ∀A ≠ 0 （4.1-4） 对任意Pr中的张量 A, B∈ P 。由（4.1-1）式可引入张量的 模和两张量之间的距离。其定义如下：
i i Q
AQ = ( Aij i i i j ) Q = Aij (Q ⋅ i i )(Q ⋅ i j ) = Q ⋅ A ⋅ Q *
F ( A) = F (Q ⋅ A ⋅ Q*)
∴ iii） ∵ ∴
FQ ( A) = ( Fij i i i j ) Q = Fij (Q ⋅ i i )(Q ⋅ i j ) = Q ⋅ F ⋅ Q *
第四章-曲线坐标系下张量分析
对开口曲面S1取一平面面积微元，则沿面元边界的积分 所以
然而 所以，对平面微元： 由于两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的曲面微元依然成立； 而任意曲面可以看作是平面微元的组合，所以上式对一般的曲面成立。 设 其中 是张量
然而
所以 例：在极坐标系中
矢量
而 极坐标系下的线性应变 由于 极坐标系下质点的速度
第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数： 笛卡尔坐标系下 坐标线：只变化一个曲线坐标时，矢径的轨迹。 直线坐标系下，坐标线都是直线。 当，，，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基： 所以： 基矢量的导数 基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示： 其中称为第二类Christoffel符号，称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上：
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直 线坐标使Christoffel符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率 张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面 可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张 曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线 段的长度）。如圆柱面、锥面。 通过将R-C张量表达为度量张量的函 数，可以证明： ①关于前两个指标反对称
质点的加速度 其中
所以 相对加速度 向心加速度 切向加速度 柯氏加速度
先缩并后求导（自由指标减少2个）
4. 设 则有： 因此：
Riemann-Christoffel 张量
（二阶张量） 互换k,j指标，可得： 可以证明：
（后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标）
张量与连续介质力学基本公式总结
第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
张量分析-第10讲LJ
时间 t 求导. Euler 坐标系中求物质导数时, 不仅要考虑物理自身随时间的变化, 而且要考虑由于质点运动而引起的位置坐标 x i 的变化. Lagrange 坐标系一般是曲线坐标系, 而Euler坐标系可以取直角坐 标系,一般在推导时采用Lagrange坐标系, 然后转换到Euler坐标系 中进行计算. 5
ˆi dg ˆ v) g ˆ i ( ˆi E g ˆi ω g dt
ˆi dg ˆ ) g ˆ i ( v ˆ i (E - Ω) g ˆi E g ˆ i Ω g ˆi E g ˆi ω g dt
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4.3 欧拉坐标系基矢量的物质导数
r r ( x i (t )),
2. Lagrange坐标
r ( x j (t )) j gi g ( x (t )) i i x
ξ3
拉格朗月坐标是嵌在质点上, 随物体一起运动和变形, 又称随体坐标或嵌入坐标: i ξ3 变形前后的同一个质点坐标值不 B g ξ2 改变, 但是两质点的距离在变形前 A 后发生了变化。
ˆij dT
j ˆij d T ˆ ˆ d g dT d ˆ i d g j j i j i ˆ j i g ˆ j g ˆ ig ˆ T ˆ T ˆi ˆ ig ˆ ) (T j g g dt dt dt dt dt
ˆ r ˆ ˆi dr ( i ) t d i d i g ˆ r ˆ ˆ i ( j , t ) g i ( i )t g
ξ3
B A
3 g
ξ3
ˆ3 g
B'
ˆ2 g
A'
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析PPT文档68页
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等 得
2 α
不是张量
α′
Γ
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标 变换时的变换规则. 变换时的变换规则
定义 则
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之 将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
正好是逆变张量指标α和协变 的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系 的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =
ERROR: limitcheck OFFENDING COMMAND: string STACK: 66038 33018 32512 33019
g Γ λ , βγ = ∑ gαλ g Γ
α
αλ
α βγ
Γ
α gαβ g βγ = δ α ∑ β
与度规张量的关系, 为了进一步求出 Γ λ , βγ 与度规张量的关系 由度规张量的定义式有 r r
∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
ri ri r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x r r i ∂x
r r ∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
求导, 对xβ求导 得
Γ λ , βγ
r 2r ∂x ∂ x = λ ⋅ β γ 代入 得 ∂x ∂x ∂x ∂g
r r 2r 2r ∂g λγ ∂x ∂ x ∂x ∂ x ⋅ β γ + γ ⋅ λ β = β λ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
第三章
平直空间中的曲线坐标
§3. 3. 2
联络的变换规律
个分量. 联络 Γα 是有三个指标的量 共有 3 ( =27 ) 个分量 βγ 是有三个指标的量, 共有3 但是, 它并不是一个三阶张量, 但是 它并不是一个三阶张量 因为它在坐标变换时不 按张量规律变. 按张量规律变 我们来研究联络的变换规律. 我们来研究联络的变换规律 在坐标系 xα ′中, 有
2
r ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xα + ∑ β ′ γ ′ β γ ∂x ∂x ∂x α ∂x ∂x βγ ∂x
2 α
β
γ
2
2 α β γ r ∂ x ∂x ∂x α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ α′ n r ∂x r xα = ∑ α xα ′ α =1 ∂x 2 α α′ α′ ∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α r = ∑ (∑ β ′ γ ′ α + ∑ α Γ βγ ) xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r xγ
哑标γ改写为α
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ 代入 ∂x ∂x α
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r ∂ 2 xα ∂x β ∂xγ α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x α
2
r r ∂x xα = α ∂x β′ 求导, 对 x 求导 得 2r 2 γ β γ 2r ∂ x ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xγ + ∑ β ′ γ ′ β γ β′ γ′ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x γ ∂x ∂x βγ ∂x