2003年全国高中数学联合竞赛试卷
2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)07
2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编（精编版）07解析几何部分1、（2003一试2）设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B2、（2003一试3）过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ）(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴PF=163．选A ．3、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是( )A. B. C.D.A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ． 4、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C5、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c+和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c =0时，轨迹是两个同心圆）。
2003年全国高中数学联赛试题2
2003年全国高中数学联赛试题2003．10．12一、 选择题1． 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是（A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492． 设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的图形是(A)(B)(C ) (D)3． 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x轴交于P 点，则线段PF 的长等于 （A ）163(B)83 (D) 4． 若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是（A (C) 127 (D) 125 5． 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y =+--的最小值是 （A ）85(B)2411 (C) 127 (D) 1256． 在四面体ABCD 中设1,AB CD ==，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于（A）2 (B) 12 (C) 13(D) 3二、填空题7．不等式322430x x x --+<的解集是______________8．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________. 9. 已知 {}2430,,A xx x x R =-+<∈ (){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________. 10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________.11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则limnn nS T →∞=________. 三、解答题13． 设35,2x ≤≤ 证明不等式<14．设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.。
2003年全国高中数学联赛(安徽赛区)预赛试题及解答
和 b 之间有关系式| k a t;
0. 则 a ・ b 的最小值为 . 12. 已知 x 、 y、 z 均为正整数 . 则方程 x + y + z = 15 有 组解 .
三、 解答题 ( 每小题 15 分 ,共 60 分)
2 13. 设 a ∈R ,函数 f ( x) = ax + x - a (| x| ≤ 1) .
9. 501. (sin θ+ i cos θ ) n = [i ( cos θ- i sin θ ) ]n
n ) + i sin ( - θ ) ]n = i [ cos ( - θ n θ- i sin n θ ) = i n - 1 ( sin n θ+ i cos n θ ). = i ( cos n
1
x
2
5
的展开式中 ,常数
项为 .
9. 设 n 为不超过 2 003 的正整数 . 如果有一个角 θ+ i cos n θ成立 ,则这 θ使得 (sin θ+ i cos θ ) n = sin n 种 n 的总个数为 . 10. 三位数中 ,如果十位上的数字比百位上的数 字和个位上的数字都小 ,则称这个数为凹数 ,如 504 、 746 等都是凹数 . 那么 ,各个数位上无重复数字的三 位数中凹数共有 个. ) , b = (cos β,sin β ) ,a 11. 已知 a = (cos α,sin α
11. 1 . 2
由| k a + b| 2 = ( 3| a - k b| ) 2 得 2 2 2 2 8 ka・ b = (3 - k ) a + (3 k - 1) b . 故 a・ b=
(3 - k2 ) a 2 + ( 3 k2 - 1) b2 . 8k
2003年全国高中数学联合竞赛试题与答案
3. 过抛物线 y2 = 8(x + 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60◦ 的直线. 若此直线与抛物线 交于 A、B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P ，则线段 P F 的长等于
() A. 16
3
B. 8 3
√ C. 16 3
3
解答
p 2
=
2
⇒
F (0, 0).
联立方程
y2 = 8(x +
12 √ 2
5
B.
11 √ 2
6
C.
11 √ 3
6
D.
12 √ 3
5
解答
的最大 ()
令
θ
=
x+
π 6
∈
ππ −4,−6
，则 y = tan
π θ+
2
−
tan
θ
+
cos √
θ
=
cos
θ
−
2 sin 2θ
.
由于函数 y 在 θ ∈
ππ − ,−
46
时单调递增，从而 ymax =
34 +√
=
11
√ 3.
2
11. 将八个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四
个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于
.
解答
如图，从每个球心引出的四条线段长度均为 2.
√
注意到上、下正方形的对角线长为 2 2，
则几何体的高
h
=
» 4
−
1
−
√ (2
−
1)2
=
√ 4 8.
√ 所以圆柱的高等于 2 + 4 8.
2003-2012年全国高中数学联赛
在 △PF1 F2 中 , 三边之长分别为 2 、 4、 2 5 ,而
2 2 2 + 4 = (2 5 ) ,可见 △PF1 F2 是直角三角形 ,且两 2
1 1 1 1 n- 1 + + …+ n - 1 × 2 10 102 2 10
n- 2
+2
n- 1
1 × n 10
=2
×
1 9
1-
1 n- 1 10
(A) 12 2 (B) 11 2 ( C) 11 3 (D) 12 3 5 6 6 5 5. 已知 x 、 y 都在区间 ( - 2 ,2 ) 内 , 且 xy = - 1. 4 9 ). 2 + 2 的最小值是 ( 4- x 9- y (B) 24 11 ( C) 12 7 (D) 12 5
因为 M n 中小数的小数点后均有 n 位 , 而除最 后一位上的数字必为 1 外 , 其余各位上的数字均有 两种选择 (0 或 1) 方法 , 故 Tn = 2 n - 1 . 又因在这 2 n - 1 个数中 ,小数点后第 n 位上的数字全是 1 ,而其余各 位上数字是 0 或 1 ,各有一半 ,所以 ,
x +1 ,c =
a +b +c + d
易得 A = (1 ,3) . 设 1- x 2 f ( x) = 2 + a , g ( x) = x - 2 ( a + 7) x + 5. 要使 A Α B ,只需 f ( x ) 、 g ( x ) 在 ( 1 ,3) 上的图像均在
0, 0 , f ( 3) ≤ x 轴下方 . 其充要条件是 : 同时有 f ( 1) ≤ 0. 由此推出 - 4 ≤a ≤- 1. 0 , g (3) ≤ g (1) ≤ 10. 93.
2003答案
Sn 1 1 1 1 lim 1 n1 n ． n Tn 18 10 10 18
三．解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13．
3 设 ≤ x ≤ 5 ，证明不等式 2 x 1 2 x 3 15 3x 2 19 ． 2
的面积等于_________． 【解析】 4 ． 设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a 、 2b 、 2c ，则由其方程知 a 3 ， b 2 ， c 5 ， 故 PF1 ＋ PF2 2a 6 ，又已知 PF1 : PF2 ＝2:1 ，故可得 PFl ＝4 ， PF2 ＝2 ．在 △PFl F2 中， 三边之长分别为 2 ， 4 ， 2 5 ，而 22 42 2 5 ，可见 △PF1F2 是直角三角形，且两直角边 的长为 2 和 4 ，故 △PF1F2 的面积为 4 ． 9． 已知 A {x | x2 4x 3<0 , x R} ， B x 21 x a ≤ 0 ， x2 2 a 7 x 5 ≤ 0 ， xR ， 若 A B ，则实数 a 的取值范围是_________． 【解析】 4 ≤ a ≤ 1 ． 易得： A (1 , 3) ，设 f ( x) 21 x a , g ( x) x2 2(a 7) x 5 ，要使 A B ，只需 f ( x) , g ( x) 在 (1 , 3) 上的图象均在 x 轴下方，其充要条件是 f (1) ≤ 0 , f (3) ≤ 0 ， g (1) ≤ 0 , g (3) ≤ 0 ，由此推 出 4 ≤ a ≤ 1 ．
π 2π π π 5π 若 x , ，则 y tan x tan x cos x 的最大值是（ 3 6 6 3 12
2003年全国高中数学联赛试卷及答案
2003年全国高中数学联赛试题第一试2003年10月12日一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是 【答】（ ） （A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 204922 ）3. 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ） （A ）163 (B)83 (D) 4. 若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是（A (C) 127 (D) 125 【答】（ ） 5. 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y =+--的最小值是 （A ）85 (B)2411 (C) 127 (D) 125【答】（ ） 6. 在四面体ABCD 中设1,AB CD ==AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 【答】（ ） （A (B) 12 (C) 13 (D) 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式322430x x x --+<的解集是______________8．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________.9. 已知 {}2430,,A xx x x R =-+<∈ (){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________.11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则limnn nS T →∞=________. 三、解答题 （本题满分60分，每小题20分） 13． 设35,2x ≤≤ 证明不等式319.14．设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠ 二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭其中{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中21,n q q =++()2111,2,.2l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和四条连线段AB,BC,CD,DA 组成的图形）2003年全国高中数学联赛第一试参考答案提示：1. 注意到2025452=,2116462=,故20484520032003=+=a ;2. 题设方程可化为b ax y +=和122=+by a x ,观察图形可知；3. 易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB 中点的横坐标为340=x ,纵坐标340=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=316； 4. 原函数可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 342sin 2ππx x y ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3π-=x 时，y 取最大值3611; 5. 消去y 之后可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=224937351x x u ,用基本不等式可求得函数u 的最小值512; 6. 可用等积法求得，过程略。
2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)
2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)1.2003年一试5题：已知$x$，$y$都在区间$(-2,2)$内，且$xy=-1$，则函数$u=2^{4-x}-9-y$的最小值是多少？答案：D2.2004年一试3题：不等式$3\log_2{x}-1+\log_{\frac{1}{x}+2}>0$的解集为什么？答案：C解析：令$\log_2{x}=t\geq 1$，则$t-1>\frac{t}{2}$，所以$t\in [1,2)$，即$x\in [2,4)$，故选C。
3.2005年一试1题：使关于$x$的不等式$x-3+6-x\geq k$有解的实数$k$的最大值是多少？答案：D4.2006年一试2题：设$\log_x{(2x^2+x-1)}>\log_x{2}-1$，则$x$的取值范围是什么？答案：B5.2007年一试2题：设实数$a$使得不等式$|2x-a|+|3x-2a|\geq a$对任意实数$x$恒成立，则满足条件的$a$所组成的集合是什么？答案：A6.2009年一试3题：在坐标平面上有两个区域$M$和$N$，$M$为$y\leq x$，$N$是随$t$变化的区域，它由不等式$t\leq x\leq t+1$所确定，$t$的取值范围是$0\leq t\leq 1$，则$M$和$N$的公共面积是函数$f(t)=-t^2+t+\frac{1}{2}$。
答案：$-t^2+t+\frac{1}{2}$1.使不等式$\frac{11}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n+13}<a-2007$ 对一切正整数 $n$ 都成立的最小正整数 $a$ 的值为 $2009$。
2.设 $a,b$ 为正实数，由 $a^2+b^2\leq 1$ 得 $a+b\leq\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq \sqrt{2}$，又 $ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{1}{2}$，所以 $\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}\leq \frac{\ln 2}{\ln \sqrt{2}}=-1$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2003年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00-9:40)一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是C(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是BA. B. C. D.3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于A(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 34．若x∈[－5π12，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是C(A)1252 (B)1162 (C)1163 (D)12535．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是D(A)85(B)2411(C)127(D)1256．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，则四面体ABCD的体积等于B(A)32(B)12(C)13(D)33二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若A⊆B，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设M n={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…a n|a i只取0或1(i=1，2，…，n－1)，a n=1}，T n是M n中元素的个数，S n是M n中所有元素的和，则limn→∞S nT n=．三、（本题满分20分）13．设32≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R) 与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104+⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．解：即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3．∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．解：F 1(－5，0)，F 2(5，0)；|F 1F 2|=25．|PF 1|+|PF 2|=6，⇒|PF 1|=4，|PF 2|=2．由于42+22=(25)2．故∆PF 1F 2是直角三角形55．∴ S=4．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．解：A=(1，3)； 又，a ≤－21－x ∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．解：a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．解：由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次． ∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n ．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118． 三、（本题满分20分）13．设32≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．解：x +1≥0，2x －3≥0，15－3x ≥0．⇒32≤x ≤5．由平均不等式x +1+x +1+2x －3+15－3x4≤x +1+x +1+2x －3+15－3x4≤14+x4． ∴ 2x +1+2x －3+15－3x=x +1+x +1+2x －3+15－3x ≤214+x ．但214+x 在32≤x ≤5时单调增．即214+x ≤214+5=219．故证．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R) 与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t ) ∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2 即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c ≠0，得4x 2+4x +1=0，此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可． 证明：连AB ．∵ ∆PBC ∽∆PDB ，∴ BD BC =PD PB ，同理，AD AC =PD PA． ∵ PA=PB ，∴BD AD =BCAC． ∵ ∠BAC=∠PBC=∠DAQ ，∠ABC=∠ADQ ． ∴ ∆ABC ∽∆ADQ ． ∴BC AC =DQ AQ ．∴ BD AD =DQ AQ． ∵ ∠DAQ=∠PBC=∠BDQ ． ∴ ∆ADQ ∽∆DBQ ．∴ ∠DBQ=∠ADQ=∠PAC ．证毕．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104+⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．解：当3l 、3m 、3n 的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104+⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104． 即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0) 但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)． 下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数； ∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数； ∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501． 取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．OQ CDBAP三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．证明：设点集为V ＝{A 0，A 1，…，A n －1}，与A i 连线的点集为B i ，且|Bi |＝b i ．于是1≤b i ≤n －1．又显然有i ＝0n －1∑b i ＝2l ≥q (q +1)2+2． 若存在一点与其余点都连线，不妨设b 0＝n －1． 则B 0中n －1个点的连线数l －b 0≥12q (q +1)2+1－(n －1) (注意：q (q +1)＝q 2+q ＝n －1)＝12(q +1)(n －1)－(n －1)+1＝12(q －1)(n －1)+1。