特殊的平行四边形

特殊平行四边形

【知识框架】

（一）菱形

1、定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、性质

1.具有平行四边形的一切性质

2.菱形的四条边相等

3.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

4.菱形是轴对称图形

5. S菱形=底边长×高=对角线乘积的一半

3、判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.四边都相等的四边形是菱形

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【练习】

练习1（性质）

1、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC

的大小为___________

2、如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于________

3、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于

4、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．

5、如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为cm2．

6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为_________

7、如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC是，连接BM、DN，

若四边形MBND是菱形，则=

8、如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为___________

9、已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．

10、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围

11、如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的

函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

练习2（判定）

1、顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（）

A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形

2、如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）

A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线

3、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形

4、如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．

5、如图，在△ABC中，AB=2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°，得到△CFE．试判断四边形BCFD的形状，并说明理由．

6、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．

7、如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

8、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．

9、如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形EFGH是菱形。

10、如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，

P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。

11、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC,，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s），当t= s时，由A、F、C、E四个点围成的四边形是菱形.

练习3（周长面积）

1、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是

2、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是

3、在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为___________

4、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别等于8和6，将BD沿CB的方向平移，

使D与A重合，B与CB延长线上的点E重合，则四边形AEBD的面积等于____________

（二）矩形

1、定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、性质

1.具有平行四边形的一切性质

2.矩形的四个角都是直角

3.矩形的对角线相等

4.矩形是轴对称图形

3、判定

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形

2.有三个角是直角的四边形是矩形

3.对角线相等的平行四边形是矩形

【练习】

练习1（性质）

1、如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为

2、如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF= ．

3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正

半轴的夹角为30°，OC=2，则点B 的坐标是 ．

4、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=6，E 是斜边AB 上任意一点，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BC 于G ，则矩形CFEG 的周长是 ．

5、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE 的长度是 ．

6、如图，在矩形ABCD 中， AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在

点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF= 。

7、如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是

8、如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE

、A

B

D C

E F

BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=22，BC=23，则图中阴影部分的面积为．

9、如图, 在矩形ABCD中, AD=12, AB=7, DF平分∠ADC, AF⊥EF, 求EF长;

10、如图, 在矩形ABCD中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分∠CBH.

11、已知：如图，矩形ABCD中，AB=2BC ，E在AB延长线上，∠BCE=60° ，则∠ADE= _______

12、如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，已知相邻六条边得长依次为AB=7，BC=4，CD=2，DE=5，EF=6，FG=2，求该八边形ABCDEFGH的周长

13、如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF ⊥BD于点F，则PE＋PF的值为________

14、如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．

（1）求证：BD=BE；

（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．

练习2（判定）

1、四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）

A．B．C．D．

2、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）

A．矩形B．菱形

C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形

3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．

4、如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，

BD为邻边作

▱ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

5、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．

①求证：CD=AN；

②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

ABCD

AB CD

=AD BC

=AB BC

=AC BD

=

6、已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，•H ，求证：•四边形EFGH 是矩形．

7、已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点．

（1）求证：△BOE ≌△DOF ；

（2）若OA=BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由．

（三）正方形

1、定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、性质

1.具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

2.正方形的四个角都是直角，四条边都相等

3.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

4.正方形是轴对称图形，有4条对称轴

5.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

6.正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

1

2

7. 设正方形边长为a ，对角线长为bS 正方形= 3、判定

1.先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

2.先证它是菱形，再证有一个角是直角。

【练习】

练习1（性质）

1、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，CE 、DF 交于点O ．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE ，③S △ODC =S

四边形BEOF 中，正

确的有

2、如图，边长为a 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形A ′B ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为

3、如图，已知EF 为正方形ABCD 的对折线，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A

落在EF 上的G 点处，则∠DKG=

4、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2=

22

2

b a

5、如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．

6、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．

A．2B．3 C．4D．5

7、如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；

（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

8、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．

求证：AM⊥DF．

9、如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，求证：AF⊥DE．

10、如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

11、正方形ABFG和正方形BCDE的位置如图所示，二者边长分别为5和3，求△GEC的面积

12、正方形ABCF和正方形CDEG的位置如图所示，二者边长分别为5和3，求△BFE的面积

13、如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE。作FM⊥BC，交CB的延长线于点M，作DN⊥BC，交BC的延长线于点N。求证：FM+DN=BC

14、如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG。

（1）求证：△ABC与△AEG面积相等。

（2）若O为EG的中点，连接AO，求证：BC=2AO。

（3）作AH⊥BC，HA的延长线交EG于P，求证：P为EG的中点

（4）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．

（5）如图3，点A、B、C、D、E都在同一直线上，四边形X、Y、Z都是正方形，若图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是

（6）如图4，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．

15、如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE，DG，BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值

练习2（判定）

1、已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．

2、如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．

（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；

（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．

3、（1）如图，E、F、G、H是正方形ABCD上的点，AE=BF=CG=HD，求证：四边形EFGH 是正方形。

（2）如图，四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是正方形，AE=BF=CG=HD，求证：四边形ABCD是正方形。

4、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：

（1）说明四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？

（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？

（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？

5、如图，△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．

⑴请猜测OE与OF之间的关系，并说明你的理由；

⑵点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；

⑶在什么条件下，四边形AECF是正方形？

6、如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG和GE，点M、N、P、Q分别是EG、GE、BC、CE的中点，求证：四边形MNPQ是正方形。

7、如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．