2021年山东省普通高中学业水平考试数学试题及参考答案
2021届新高考山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷05(解析版)
2021年山东省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷03数学试卷满分100分 姓名_________ 班级_________一、单选题：本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{}4A x x =<，{}0,1,2,3,4,5,6B =，则()A B =R（ ）A ．{}0,1,2,3B ．5,6C ．{}4,5,6D ．{}3,4,5,61．【答案】C【解析】因为{}4A x x =<，所以{}R4A x x =≥．因为{}0,1,2,3,4,5,6B =，所以(){}R4,5,6A B ⋂=．故选：C.2．若函数sin 23y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭最小正周期为π，则ω的值为（ ） A ．2 B ．2±C ．1D ．±12．【答案】D【解析】由周期公式可得2|2|T πω=，所以2|2|2πωπ==，所以1ω=±.故选：D. 3．列函数中，在R 上单调递增的是（ ） A ．y =|x | B ．y =log 2xC ．13y x =D ．y =0.5x3．【答案】C【解析】对数A ，,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，可知函数当0x ≥，函数单调递增， 当0x <时，函数单调递减，故A 不正确；对数B ，2log y x =，则0x >，所以函数在()0,∞+单调递增，故B 不正确；对于C ，13y x =，即y =13y x =在R 上单调递增，故C 正确，对于D ，0.5xy =，由00.51<<，由指数函数的单调性可知0.5xy =在R 上单调递减， 故D 不正确；故选：C4．已知角α的终边经过点P (4，，3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A ．25-B ．45C ．35D ．254．【答案】A【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP -==， 所以利用三角函数的定义， 求得34,cos 55sin αα=-=， 3422cos 2555sin αα∴+=-⨯+=-，故选A.5．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ）A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件5．【答案】A【解析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件.故答案选A 6．已知实数m ， n 满足22m n +=，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．126．【答案】A【解析】实数m ，n 满足22m n +=，其中0mn >12112141(2)()(4)(44222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=,当且仅当422,n m m n m n =+=，即22n m ==时取等号.12m n∴+的最小值是4.所以A 选项是正确的.点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件22m n +=化为1，即112112(2)1,(2)()22m n m n m n m n+=∴+=++.7．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若45A =︒，60B =︒，a =则b 的值为（ ）.A BCD ．7．【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a b A B =45sin 60b=，解得b = B. 8．已知向量(12)a =-，，b (1,1)=，,m a b n a b λ=+=-，如果m n ⊥，那么实数λ=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．【答案】A 【解析】()12a =-，，()1,1b =()2,1,(1,2)m a b n a b λλλ∴=+=-=-=---(),21mnmnλ→⊥→∴→⋅→=-()()120λ+---=,4λ∴=故答案选A9．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2221013a b c bc =+-，则cos A =（ ） A ．726B ．513C ．1726D ．12139．【答案】B【解析】因为2221013a b c bc =+-， 由余弦定理可得，222cos 221051313A bc b b c bcc a ==+=-.故选：B. 10．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误．．的是（ ）A ．这五年，2015年出口额最少B ．这五年，出口总额比进口总额多C ．这五年，出口增速前四年逐年下降D ．这五年，2019年进口增速最快10．【答案】C【解析】对于选项A,观察5个白色条形图可知,这五年中2015年出口额最少,故A 正确; 对于选项B,观察五组条形图可得,2015年出口额比进口额稍低,但2016年至2019年出口额都高于进口额,并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额,故这五年,出口总额比进口总额多,故B 正确;对于选项C,观察虚线折线图可知,2015年到2016年出口增速是上升的,故C 错误; 对于选项D,从图中可知,实线折线图2019年是最高的,即2019年进口增速最快,故D 正确.故选，C.11．在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为（ ）A ．14B ．23C ．13D ．1211．【答案】D【解析】因为方程2280x ax -+=有实数根，所以2()4280a ∆=--⨯⨯≥，解得8a ≥或8a ≤-，故方程2280x ax -+=有实数根的概率12811242p -==-.故选D.12．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若//l α，m α⊂，则//l mC ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βD ．若//l α，//m α，则//l m12．【答案】C【解析】对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确； 对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确，故选：C13．在用二分法求方程3x +3x -8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定13．【答案】B【解析】∵f （1）＜0，f （1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数()338xf x x =+-存在一个零点又∵f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，∴在区间（1.25，1.5）内函数()338xf x x =+-存在一个零点，由此可得方程3380x x +-=的根落在区间（1.25，1.5）内， 故选：B ．14．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（ ）A ．4πB ．4π C ．2π D ．2π14．【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则圆柱的高为a ，设圆柱的底面半径为R ， 则正方体的侧面积为24a ，圆柱的侧面积为2R a π⋅，所以242a Ra π=，所以2aR π=，所以正方体和圆柱的体积之比为32a R a π⋅322a a a ππ=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=4π.故选：B. 15．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（ ）A ．513B ．－513C ．512D ．－51215．【答案】B【解析】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-. 故选：B ．16．中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min 测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律（ ）A ．()20y mx n m =+>B ．()0y mx n m =+>C ．0(,01)x y m ma n a a +=>>≠，D ．()log 0,01a y m x n m a a =+>>≠，16．【答案】C【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型.故选：C. 17．命题p :∀x ∈N ，x 3>1，则⌝p 为（ ）A ．∀x ∈N ，x 3<1B ．∀x ∉N ，x 3≥1C ．∃x ∉N ，x 3≥1D ．∃x ∈N ，x 3≤1 17．【答案】D【解析】因为∀x ，q 的否定为∃x ，q ⌝因此命题p :∀x ∈N ，x 3>1的⌝p 为：∃x ∈N ，x 3≤1，故选：D18．设a ，b ∈R ，则“ln ln a b >”是“ln 0ab>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件18．【答案】A【解析】ln ln 0a b a b >⇔>>，ln01a ab b>⇒>，当a ，b 同为正时，a b >，当a ，b 同为负时，a b <，所以“ln ln a b >”是“ln 0ab>”的充分不必要条件．故选：A ．19．已知i 为虚数单位，若()12ia R a i+∈+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-19．【答案】B【解析】因为()()()()()212221121i a i a a i i a i a i a i a +-++-+==++-+，又()12ia R a i+∈+为纯虚数，所以20a +=，即2a =-.故选：B ．20．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A ．18B ．14C ．38D ．1220．【答案】C【解析】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦， 其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦， ∴概率为38.故选：C.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 21．函数()f x =的定义域是_______________.21．【答案】()1,2-【解析】根据题意得：220x x +->，解不等式得：12x -<<，故函数()f x =的定义域为()1,2-.故答案为：()1,2-22．已知向量(,2),(1,3)a k b =-=，若(2)a a b ⊥-，则实数k =__________. 22．【答案】4-或2【解析】由题意，2(,2)2(1,3)(2,4)a b k k -=--=---，因为(2)a a b ⊥-，所以(2)0a a b ⋅-=，又(2)(,2)(2,4)a a b k k ⋅-=-⋅---即2(2)()(2)2(4)28a a b k k k k ⋅-=---+⨯-=+-，则2280k k +-= 解得4k =-或2k =. 故答案为：4-或223．如图，正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm23．【答案】8【解析】由斜二测画法还原可得正方形OABC 的原图形为下图中的OAB C ''其中2OB OB '==1BC B C ''==3AB OC ''∴=== ∴原图形周长为：32128⨯+⨯=故答案为824．若不等式220ax bx ++> 的解为1123x -<< ，则不等式220x bx a ++< 的解集是__________．24．【答案】{}23x x -<< 【解析】根据不等式的解集可知0112311223a b a a⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩ ，解得12,2a b =-=- ，即不等式为()()222212060230x x x x x x --<⇔--<⇔+-< ，所以不等式的解集为{}23x x -<<.25．若函数()()212f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是______ . 25．【答案】(],0-∞【解析】因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-，即()212kx k x +-+=()212kx k x --+对任意实数都成立，所以1k =，即()22f x x =+，故()f x 的递减区间是(],0-∞．故答案为：(],0-∞．三、解答题：本大题共3小题，共25分.26．(本题8分) 已知0ϕπ≤<，函数2()cos(2)sin 2f x x x ϕ=++． （，）若6π=ϕ，求()f x 的单调递增区间； （，）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值． 26．【解析】（Ⅰ）由题意()11cos242f x x x =-+ 11cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由2223k x k ππππ-≤+≤，得236k x k ππππ-≤≤-． 所以单调()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由题意()11cos2sin222f x x x ϕϕ⎫=-+⎪⎪⎝⎭，由于函数()f x 的最大值为32，即221cos sin 1222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而cos 0ϕ=，又0ϕπ≤<， 故2πϕ=．27．(本题8分)已知)2f x =-（1）求()f x 的函数解析式；（2）讨论()f x 在区间[]22-,函数的单调性，并求在此区间上的最大值和最小值.27．【解析】（12t =，则()22x t =+0x ≥，0≥，2t ∴≥-()()()2232f t t t ∴=+-+()222t t t =+-≥-， ()()222f x x x x ∴=+-≥-；（2）()f x 的对称轴为直线12x =-，又10a =>，开口方向向上，()f x ∴在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数， ∴当12x =-时，min 19()()24f x f =-=-， 由函数图像性质得：1315222222⎛⎫⎛⎫---=<--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当2x =，()()max 24f x f ==.28．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．28． 【解析】（1），111ABC A B C -是直三棱柱，，1CC ⊥平面ABC ． 又，AD ⊂平面ABC ，，1CC AD ⊥．又，1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E ⋂=，，，AD ⊥平面11BCC B ．又，AD ⊂平面ADE ，，平面ADE ⊥平面11BCC B ． （2），1111A B AC =，F 为11B C 的中点，，111A F B C ⊥．又，1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，，11CC A F ⊥．又，111CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，，1A F ⊥平面11BCC B ． 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，，1A F ，AD ．又，AD ⊂平面1,ADE A F ⊄平面ADE ，，直线1//A F 平面ADE。
2021届山东师范大学附属中学高三11月学业水平测试数学试题(解析版)
2021届山东师范大学附属中学高三11月学业水平测试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，集合{}1124x B x -=∈≤≤R ，则A B =（）A ．{}1,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2【答案】D【分析】解不等式确定集合B ，然后由交集定义计算．【详解】由1124x -≤≤，得012x ≤-≤，解得13x ≤≤，所以{|13}B x x =≤≤， 又{}1,0,1,2A =-，所以A B ={}1,2.故选：D2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可.【详解】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】A【分析】由条件和余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，然后化简可得答案.【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a ac c +-=⋅，即22222a c b a +-=所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A4．已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（） A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】D【分析】由已知条件求得tan 2θ=，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得sin 2θ的值.【详解】由题意可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，可得tan 2θ=，因此，2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ====++. 故选：D.5．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（） A ．91010a - B ．4510a -C ．4510aD ．91010a【答案】A【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力5.1的视标边长为91010a - 故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.6．向量a ，b 满足()1,3a =，1=b ，3a b +=，则b 在a 方向上的投影为（） A ．-1 B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】根据题条件，先求出a b ⋅，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足()1,3a =，1=b ，3a b +=， 所以2223a a b b⋅=++，即4213a b ⋅=++，则1a b ⋅=-，所以b 在a 方向上的投影为1cos ,2a b b a b a ⋅==-. 故选：B.7．已知函数())lgf x x =，若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1110f a -=-，()2020110f a -=，则2020S =（）A ．1010-B ．2020-C ．2020D ．1010【答案】C【分析】分析出函数())lgf x x =为R 上的奇函数且为增函数，由()1110f a -=，()2020110f a -=推导出120202a a +=，利用等差数列的求和公式可求得2020S 的值.【详解】对任意的x ∈R 0xx x >+≥，所以，函数()f x 的定义域为R ，()))lg lg xxf x xx-===)()lgx f x ==-=-，所以，函数()f x 为奇函数， 当0x ≥时，由于内层函数u x =为增函数，外层函数lg y u =也为增函数，所以，函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，由于函数()f x 为奇函数，则该函数在(),0-∞上也为增函数， 因为函数()f x 在R 上连续，所以，函数()f x 在R 上为增函数，因为()()()12020202011011f a f a f a -=-=--=-，1202011a a ∴-=-，可得120202a a +=.因此，()120202020202020202a a S +==.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列求和，利用函数()f x 在R 上的单调性与奇偶性推导出120202a a +=是求解的关键.8．已知变量()()12,0,0x x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（e 2.71828=为自然对数的底数）（）A ．e BC ．1eD ．1【答案】A【分析】不等式两边同时取对数，然后构造函数()ln xf x x=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论. 【详解】21122112ln ln x x x x x x x x <⇒<，()12,0,,0x x m m ∈>，1212ln ln x x x x ∴<恒成立， 设函数()ln xf x x=，12x x <，()()12f x f x <， ()f x ∴在()0,m 上为增函数，函数的导数()21ln xf x x -'=，()00f x x e '>⇒<<，即函数()f x 的增区间是()0,e ，则m 的最大值为e . 故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等式变形，211212211212ln ln ln ln x xx x x x x x x x x x <⇒<⇒<，转化为求函数()ln xf x x=的单调区间. 二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．设a ，b 为非零向量，则“a b ⊥”是“a b a b +=-”的充要条件B ．设a ，b 为非零向量，若0a b ⋅>，则a ，b 的夹角为锐角C ．设a ，b ，c 为非零向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD【分析】利用向量数量积的运算可判断A ，利用数量积的定义可判断B ，利用数乘及数量积定义可判断C ，利用向量的线性运算可判断D.【详解】对于A ，因为22()()0a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅= 所以“a b ⊥”是“a b a b +=-”的充要条件，A 正确； 对于B ，若0a b ⋅>，则a ，b 的夹角为锐角或零角，B 错误；对于C ，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，所以两者不一定相等，故C 错误；对于D ，如图，设BC 的中点为D ，因为G 为ABC 的重心， 所以2AG GD GB GC ==+，即0GA GB GC ++=，D 正确. 故选：AD10．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤ D ．当且仅当0nS <时，26n ≥【答案】AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.11．已知函数()()πcos 206f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（） A ．()00g =B ．()g x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 的图象关于π4x =-对称D ．()g x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1 【答案】ABC【分析】先由最小正周期求出2ω=，再根据函数的变换求出()sin 2g x x =-，结合三角函数的性质即可判断. 【详解】()f x 因为最小正周期为π2，222ππω∴=，解得2ω=，()πcos 46f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得πcos 4cos 4sin 4662y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得sin 2y x =-，即()sin 2g x x =-， 则()0sin00g =-=，故A 正确；sin 02g ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴()g x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确； sin 142g ππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 的图象关于π4x =-对称，故C 正确；当ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即1sin 21,2x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()g x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，故D 错误.故选：ABC.【点睛】结论点睛：判断对称轴和对称中心的方法：对于()()sin f x A x =+ωϕ，若函数满足()00f x =，则()f x 关于点()0,0x 对称；若函数满足()0f x A =±，则()f x 关于0x x =对称. 12．已知函数()()2214sin 2xxex f x e -=+，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xxe x ef x x e e-+=+-， 定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xx g x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0xx g x e x x e'=+≥≥，()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 三、填空题 13．若11abi i=++，其中a 、b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=________．【分析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出a bi +的值.【详解】()()()1111122a i a a a bi i i i i -+===-++-，则122a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得21ab =⎧⎨=-⎩， 因此，2a bi i +=-==【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 14．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1y e=-【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e ==⇒=+'，令()01f x x =⇒=-'，此时1(1)f e-=-函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e=- 【解析】：导数的几何意义.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为__________． 【答案】16 【分析】由ABCABD CBD SSS =+可推出ac c a =+，即111a c+=，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出3+a c 的最值. 【详解】由题可知ABCABDCBD SSS=+，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：111sin120sin 60sin 60222ac c a =+， 化简得ac c a =+，即111a c+=，所以()11999101016a c a c a c a c c a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当9a cc a=即34c a ==时，取等号. 故答案为：16. 【点睛】思路点睛：利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 四、双空题16．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，且AD BC λ=，2AD AB ⋅=-则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =，则AM DN ⋅的最小值为_______． 【答案】13114【分析】求出120BAD ∠=︒，由2AD AB ⋅=-利用数量积公式求解λ的值即可；建立坐标系，设(),0M m ，则()1,0N m +，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.【详解】因为AD BC λ=，所以//AD BC ， 因为60B ∠=︒，所以120BAD ∠=︒， 所以12co 0s AD AB AD AB ⋅=⋅︒111622223BC AB λλλ=-⋅=-⨯⨯=-⇒=；建立如图所示的坐标系xoy ， 因为60B ∠=︒，2AB =，6BC =，可得((,A D ，设(),0M m ，因为1MN =，则()1,0N m +，所以()(,3,1,AM m DN m =-=-，()2221111113244AM DN m m m m m ⎛⎫⋅=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当12m =时等号成立， 所以AM DN ⋅的最小值为114， 故答案为：13,114. 【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 五、解答题17．已如函数()()2ππsin 2cos 12f x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2f A =，2a =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2【分析】（1）先将函数整理，得到()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果； （2）由（1）根据题中条件，先求出π3A =，根据余弦定理，求出224b c bc bc =-+≥，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】（1）()1πcos cos 222cos 22sin 226f x x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由()πππ2π22π262k x k k -+≤-≤+∈Z ， 得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）∵()2f A =，∴π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC 为锐角三角形， ∴ππ262A -=，∴π3A =．在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =-+≥-=，当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A =≤△，∴当2b c ==时，()maxABC S =【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+a b ，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解. 18．在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足__________，__________；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）答案见解析；（2）5352n nnT +=-． 【分析】（1）选择①②，可以判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由112n n S a +=-可判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；不能选择①③；根据{}n b 的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；（2）利用错位相减法可求解. 【详解】（1）选择①②：当2n ≥时，由121n n S S +=+得121n n S S -=+， 两式相减，得12n n a a +=，即()1122n n a n a +=≥， 由①得2121S S =+，即()12121a a a +=+，∴121112122a a =-=-=，得112a =． ∴2112a a =，∴{}n a 为112a =，公比为12的等比数列， ∴1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 选择②③：当2n ≥时，由③112n n S a +=-，得112n n S a -=-，两式相减，得122n n n a a a +=-，∴()1122n n a n a +=≥， 又1212S a =-，得112a =， ∴2112a a =，∴{}n a 为112a =，公比为12的等比数列， ∴111111222n nn n a a q --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 选择①③，由于121n n S S +=+和112n n S a +=-等价，故不能选择； 设等差数列{}n b 的公差为d ，0d ≥， 且1b ，21b -，3b 成等比数列．()21321b b b =-，即()()22221d d +=+，解得3d =，1d =-（舍去），∴()21331n b n n =+-=-．（2）312n n n n n c a b -==，231132131222nnn T ⨯-⨯--=+++， 2311311321343122222n n n n n T +⨯-⨯---=++++， ∴21113331533112222222n n n n n n n T ++--=+++-=--， ∴5352n n nT +=-．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，PA PC ⊥，PA PC =，4PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱PC 上，且2MC PM =，求二面角M AB C --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30︒.【分析】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，OB ，先证PO AC ⊥，再证PO OB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . （2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接PO，OB ， 因为ABC 是正三角形， 所以OB AC ⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥.在POB 中，2PO =，OB =4PB =， 所以222PO OB PB +=， 所以PO OB ⊥，因为OB AC O =，所以PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABC .（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 可知(0,2,0)A -，B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，240,,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以(23,2,0)AB =，840,,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =，所以23208433AB nx y AM n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令x =(3,3,6)n =-.取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 记二面角M AB C --的平面角为θ，||cos ||||m n m n θ⋅==， 易知θ为锐角，所以二面角M AB C --为30︒.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 且0n a >，263n n n S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()122121nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，求k 的最小值．【答案】（1）3n a n =；（2）149． 【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，可得()132n n a a n --=≥，再利用等差数列的通项公式即可求解.（2）利用裂项求和法可得()11149781n n T +=--，再利用数列的单调性即可求解.【详解】（1）当1n =时，211163a a a =+，解得13a =． 当2n ≥时，由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a ---=+， 两式相减并化简得()()1130n n n n a a a a --+--=，由于0n a >，所以130n n a a ---=，即()132n n a a n --=≥， 故{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列，所以3n a n =．（2）()()112111781812121n n n a n n n a a b ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭． 故12n n T b b b =+++()1111111778149781n n ++⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭， 由于{}n T 是单调递增数列，()11114949781n +-<-， 所以149k ≥．故k 的最小值为149． 【点睛】易错点睛：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩下两项，后面也剩下两项；或者前面剩下几项，后面也剩几项.（2）将通项裂项后，有时要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.21．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．（1）由上面等高条形图，填写22⨯列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为23，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨. 【分析】（1）根据所给等高条形图，得到22⨯的列联表，利用公式，求得2K 的观测值，比较即可得到结论；（2）设修复费用为X 万元．得出X 可得0，0.1，0.2，0.3，求得相应的概率，得到X 的分布列，利用公式求得数学期望.【详解】（1）根据所给等高条形图，得到22⨯的列联表：2K 的观测值()210045205301250507525K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关．（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元．易知X 可得0，0.1，0.2，0.3．()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21321120.13327P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2231260.23327P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2110.3327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）修复费用的期望：()100.10.20.30.127272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．所以石墨烯发热膜的定价至少为0.111 2.1++=万元/吨，才能实现预期的利润目标． 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；4、若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.22．已知函数()()1211222x f x x e x x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．【答案】（1）增函数；()1,+∞；（2）答案见解析.【分析】（1）先对函数求导，得到()()()111x f x x e -'=--，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案.【详解】（1）()()()()111111x x f x x e x x e --'=--+=--，当1x >时，10x ->，110x e -->，∴()0f x '>， 当1x <时，10x -<，110x e --<，∴()0f x '>， 当1x =时，()0f x '=，所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数； 又()10f =，所以()0f x >的解集为()1,+∞． （2））函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f = 当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f x g x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 的零点即为函数()g x 的零点 下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数：1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+ ①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>=即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增 当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a => 又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f =当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点；当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；②当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由①得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<， 所以当0a =时函数()F x 有2个零点③当0a <时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++≤，即()0g x <成立，由()10f =，所以当0a <时函数()F x 有1个零点 综上所述：当1ln 214cos1a ->+或0a <时，函数()F x 有1个零点；当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点；当1ln214cos1a-<<+时，函数()F x有3个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.。
2021届新高考山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷05(解析版)
2021年山东省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷03数学试卷满分100分姓名 ___________ 班级 ___________一、单选题：本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合A = {x∣x<4}, B={0,l,2,3,4,5,6},则([R A)∩B=( )A.{0,l,2,3}B. 5,6 c. {4,5,6} D. {3,4,5,6}1.【答案】C【解析】因为A≈{x∖x<4},所以C R A = {x∣x≥4}.因为B = {0,l,2,3,4,5,6},所以(GA)CB = {4,5,6}.故选:C.2.若函数V = Sin 2亦+彳最小正周期为G则Q的值为( )\ 3丿A. 2 B, ±2 C. 1 D. ±12.【答案】D【解析】山周期公式可得T = 吕，所以∖2ω∖=- = 2,所以Q = ±l∙故选：D.I2Λ? I π3.列函数中，在R上单调递增的是( )1A. y=∣x∣B.尸Iog2*C. V _ X i D・y≡0.5x3.【答案】CI I X.X≥0【解析】对数A,y = W = i &可知函数当Xn0,函数单凋递增，1 1-x,x<0当XCO时，函数单调递减，故A不」E确;/B, y = log 2x.则χ>0,听以函数亿(O,+")单调递增，故B 不正确： 对于C, AI==X 5,即y = √7,所以函数y =」在尺上单调递增，故C 正确， 对于D. y = 0.5∖由0v θ.5vl,由指数函数的单调性可知y = 05'在R 匕单调递减, 故D 不正确：故选：C4. 已知角&的终边经过点P(4333),贝∏sinσ + cos α的值等于()2432A. ——B. —C. -----D.—55 5 54. 【答案】A【解析】因为角α的终边过点P(4,-3)j = OP = 5二所以利用三角函数的宦义,Q e SlflCt + COS Ct = — X 2 H —=— 一 故选 A.5 5 55. 2021年某省新高考将实行“ 3 + 1 + 2”模式，即语文、数学.外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二共有12种选课模式.某同学已选了物理, 记事件4: “他选择政治和地理”，事件3： “他选择化学和地理”，则事件A 与事 件3 ( )5. 【答案】A【解析】事件A件B 不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件.故答案选A1 26.已知实数加，"满足2加+ “ = 2,其中Inn> O,则一+—的最小值为()In H求得Sina = 一2,COS.= A.是互斥事件，不是对立事件C.既是互斥事件，也是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件D.既不是互斥事件也不是对立事件A. 4B. 6C. 8D. 126.【答案】A【解析】实数m> n2m + n = 2.∣∣<ψ/??//>O1 2 IS XZ 1 2、 1 / 4n 4加、、1 八C n 4/n X 4 >p .. n, .p— + — = — (2In + //)(—+ —) = —(4 + —+ ——)≥ -(4 + 2J-・——) = 4, -IJLfX d In H 2 m n 2 m n 2 V m H-= -,2m÷n = 2,即n = 2m = 2时取等从「•丄+ ?的最小值是4•所以A选项是疋In H m n确的.点睛:本题主要考査基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数：②二泄：关系式中，含变量的齐项的和或积必须有一个为定值：③三相等：含变量的各项均相等，取得最值•解决本题的关键是巧妙地将已知条件2nι+n = 2化为1,即1 12 1 1 2—(IIn + n) = 1,/.———=—(Inl + /?)(——F —)・2 In H 2 m n7.ΔAB C 的内角A, B t C 的对边分别为d, b, c.若 A = 45°, 3 = 60。
2021年山东省普通高中学业水平等级考试(山东高考卷)
本试卷解析，没有详细，只有更详细，以期对即将参加高考同学和高中的同学有帮助2021年山东省普通高中学业水平等级考试物理（新高考山东卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1．在测定年代较近的湖泊沉积物形成年份时，常利用沉积物中半衰期较短的P b 82210 ，其衰变方程为P b 82210→B i83210+X 。
以下说法正确的是（ ）A ．衰变方程中的X 是电子B ．升高温度可以加快的衰变C ． P b 82210与B i 83210的质量差等于衰变的质量亏损D ．方程中的X 来自于P b 82210内质子向中子的转化 解析：本题主要考查核衰变方程、质量亏损和半衰期在核衰变的时候，满足质量数守恒和核电荷数守恒的。
这样可以判断X 的质量数是零，电荷数为-1，所以是电子。
A 正确。
质量数是近似的整数，电子的质量数为0，不是质量为0。
P b 82210与B i 83210的质量差等于衰变的质量亏损加电子的质量，所以C 错误。
在发生β衰变的时候。
有一个中子转化为质子，电子是从中子中释放出来的，中子转化为质子，所以D 是错误的。
半衰期是元素内部因素决定的，任何的外界条件如温度变化、增大或减少压强、化合物或单质都不可能改变半衰期，不可能改变衰变的快慢。
所以B 错误。
故本题正确答案:A2．如图所示，密封的矿泉水瓶中，距瓶口越近水的温度越高。
一开口向下、导热良好的小瓶置于矿泉水瓶中，小瓶中封闭一段空气。
挤压矿泉水瓶，小瓶下沉到底部；松开后，小瓶缓慢上浮，上浮过程中，小瓶内气体（ ） A ．内能减少 B ．对外界做正功C ．增加的内能大于吸收的热量D ．增加的内能等于吸收的热量解析：本题主要考查玻马定律和理想气体的内能。
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格考试数学模拟试题(二)(解析版)
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试数学试题（二）一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。
每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合{}32A x x =-<<，{4B x x =<-或}1x >，则A B = （）A ．{}43x x -<<-B ．{}31x x -<<C ．{}12x x <<D ．{3x x <-或}1x >【答案】C 【详解】解： 集合{}32A x x =-<<，{4B x x =<-或}1x >，∴{}12A B x x ⋂=<<.故选：C.2．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B 【详解】解：根据三角函数的周期公式得函数的最小正周期为22T ππ==.故选：B3．函数()3f x x =-的定义域为（）A ．(],4-∞B ．()(],33,4-∞UC ．[]22-,D ．(]1,2-【答案】B 【详解】由题意得，3040x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得4x ≤且3x ≠，故函数()y f x =的定义域为()(],33,4-∞U .故选：B.4．下列函数中，在区间()1,+∞上为增函数的是（）A ．31y x =-+B ．2y x=C ．245y x x =-+D ．12y x =-+【答案】D 【详解】对于A ，31y x =-+为R 上的减函数，A 错误；对于B ，2y x=在(),0-∞，()0,∞+上单调递减，B 错误；对于C ，245y x x =-+在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，C 错误；对于D ，1,1123,1x x y x x x +≥⎧=-+=⎨-<⎩，则12y x =-+在()1,+∞上为增函数，D 正确.故选：D.5．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【答案】C 【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确；在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确；在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确．故选：C ．6．设1232,2()log (1),2x x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则f (f (2))的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】由题得23(2)log (21)1f =-=，所以f (f (2))11(1)21f -===.故选：B7．若p 与q 是相反向量，且p =3，则p q ⋅ 等于（）A ．9B ．0C ．-3D ．-9【答案】D 【详解】由已知得cos18033p q p q ⋅=︒=⨯⨯(-1)=-9故选：D8．已知e 为单位向量，且2a e = ，3b e =-，则|4|a b -= （）A ．3B ．5C ．10D ．14【答案】D【详解】因为e为单位向量，所以||1e = ，|4|a b -= 14===.故选：D9．设111(()1222b a<<<，那么（）A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．a >b >1D ．b >a >1【答案】B 【详解】由011112222b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭以及函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数可知0<a <b <1，故选：B.10．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】D 【详解】解：由函数sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移6π个单位即可.故选：D.11．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．93B ．123C ．137D ．167【答案】C 【详解】由题意，初中部女教师人数为：110×70%=77（人），高中部女教师人数为：150×40%=60（人），总共有77+60=137人.故选：C.12．已知向量(1,2)a =- ，(2,)b t =r ，且//a b，那么t 等于（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】A【详解】因为(1,2)a =- ，(2,)b t =r ，且//a b，所以1221x y x y =即122t -⨯=⨯，解得4t =-故选：A13．已知cos α=，则cos 2α等于（）A ．19B ．19-C ．D ．3【答案】A 【详解】解：由题可知cos α3=，221cos 22cos 12139αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭.故选：A.14．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是（）A ．不可能事件B ．必然事件C ．对立事件D ．互斥且不对立事件【答案】D 【详解】黑、红、白3张卡片分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红卡”与“乙分得红卡”不可能同时发生，但事件“甲分得红卡”不发生时，事件“乙分得红卡”有可能发生，有可能不发生，∴事件“甲分得红牌卡”与“乙分得红卡”是互斥但不对立事件．故选：D ．15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ．若a =b =π4A =，则角B =（）A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】D 【详解】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以sin sinb AB a===因为b a >，所以B A >，因为0πB <<，所以B =π3或2π3，故选：D.16．某班有30位同学，他们依次编号为01，02，⋯，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为（）4179271635860893215795620921092914574955828359837883513478702079932122A ．08B ．21C ．09D ．29【答案】D 【详解】依次从数表中读出的有效编号为：16，08，21，09，21，09，29，去掉重复的，得到选出来的第5位同学的编号为29．故选：D ．17．已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是（）A ．m >0，0<n <1B ．m <0，0<n <1C ．m >0，n >1D ．m <0，n >1【答案】C 【详解】解析：由题中图象知函数为增函数，故n >1．又当x ＝1时，f (x )＝m >0，故m >0．故选：C ．18．表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为（）A ．B ．C ．16πD ．8π【答案】A 【详解】由题意可知，4πR 2＝16π，所以R ＝2，即球的半径R ＝2．设圆柱的底面圆半径为r 2R =，即2816r =，所以r∴V 圆柱＝πr 2·2r ＝2ππ．故选：A.19．函数()2sin()f x x ωϕ=+，(0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=，6π=ϕB ．12ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6πϕ=-D ．12ω=，6π=ϕ【答案】D 【详解】由图所知，1822233T πππ=-=，即24||T ππω==，又0>ω，所以12ω=；故1()2sin()2f x x ϕ=+，又因为2(,2)3π在函数()f x 上，所以212(2sin()2323f ππϕ=⨯+=，解得，26k πϕπ=+，k Z ∈，又因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ.故选：D.20．若函数2()21f x ax x =--在区间(0,1)内只有一个零点，则a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【详解】0a =时，2210ax x --=化为10x --=，函数只有一个零点1x =-，不合题意，可排除选项A ，B ；1a =时，2210ax x --=化为2210x x --=，121,12x x =-=不合题意，可排除选项D ，故选：C ．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）21．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生__人．【答案】970【详解】因为样本容量为200，女生比男生少6人，所以样本中女生的人数为97，因为分层抽样的抽取比例为2001200010=，所以总体中女生的人数为970人．故答案为：970．22．已知扇形的弧长为2π，半径为1，扇形的面积为______.【答案】4π【详解】依题意可知，扇形面积为11224ππ⨯⨯=.故答案为：4π23．已知圆柱的底面周长为c ，侧面展开图矩形的面积为S ，则它的体积为________．【答案】4Sc π【详解】设圆柱底面半径为r ，高为h ，则,2,ch S c r π=⎧⎨=⎩所以,2c S r h cπ==，所以2224c S ScV r h c ππππ⎛⎫==⨯⋅=⎪⎝⎭．故答案为：4Scπ24．若函数221y ax ax =++的图像恒在直线2y =-上方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】03a ≤<【详解】函数221y ax ax =++的图像恒在直线2y =-上方，则2212ax ax ++>-恒成立，（1）0a =时，12>-符合题意，所以0a =成立，（2）0a ≠时，则转化为2230ax ax ++>恒成立，204120a a a >⎧⎨-<⎩解得0<<3a 综上所述，实数a 的取值范围是03a ≤<25．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为___________m.【答案】103【详解】如图所示，设炮台顶部为A ，两条船分别为,B C ，炮台底部为D ，则tan 45,tan 30,tan 30,30BAD CAD BDC AD m ∠=∠=∠== ，在直角ABD △与直角ACD △中，可得tan 45DB AD = ，tan 30DCAD= ，则30,103DB m DC m ==，在DBC △中，由余弦定理得2222cos 30BC DB DC DB DC =+-⋅ ，即222330(103)2301033002BC =+-⨯⋅⨯=，所以103BC m =.故答案为：103三、解答题（本题共3小题，共25分）26．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，1O 为底面1111D C B A 的中心．求证：（1）平面AB 1D 1//平面C 1BD ；（2）1AO BD ⊥．【详解】解：（1）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，11//BB DD ，且11=BB DD ，所以四边形11BDD B 为平行四边形，则11//B D BD ，同理11//AD BC BD ⊂平面1C BD ，1⊄B D 平面1C BD ，所以11//B D 平面1C BD ，同理1//AD 平面1C BD ，且1111B D AD D ⋂=，所以平面AB 1D 1//平面C 1BD ；（2）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，11AD AB =，1O 为11B D 的中点，所以111AO B D ⊥，又11//B D BD ，所以1AO BD ⊥.27．如图，在ABC 中，342,,cos ,25AB DC A CB ===的垂直平分线交边AC 于点D ．（1）求AD 的长；（2）若AD AB >，求sin ACB ∠的值．【详解】解：（1）在ADB △中，2224cos 25AD AB BD A AD AB +-==⋅，整理得22064350AD AD -+=，即()()251070AD AD --=，所以52AD =或710．（2）因为AD AB >，由（1）得52AD =，所以4AC AD DC =+=．在ABC 中，由余弦定理得2224362cos 41622455BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=．所以BC =．由4cos 5A =，得3sin 5A ==．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AB A ACB ∠∠=，即253sin 5ACB ∠=，所以sin ACB ∠=28．已知函数1()7f x x =-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）求5(2)(2f f -+的值；（3）当6a >时，求(1)f a +的值．【详解】（1）若使函数有意义，需24070x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或2x ≥且7x ≠，故函数()f x 的定义域为(,2][2,7)(7,)-∞-⋃⋃+∞（2）153223(2),(922918f f -=-=-= 51237(2)()29186f f ∴-+=-+=（3）因为6a >，所以(1)f a +有意义，1(1)6f a a ∴+=-。
2021年山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)
2021年山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01满分100分 姓名_________ 班级_________一、单选题：本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{}|1A x x =>，则下列关系中正确的是（ ）A ．0A ⊆B ．{}0A ⊆C ．A φ⊆D ．{}0A ∈ 【答案】C【解析】∵{}|1A x x =>，∴0A ∉，所以选项A 、B 、D 错误，由空集是任何集合的子集，可得选项C 正确.故选：C .2．已知x 是实数，则使24x <成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．2x <±B ．2x <C ．2x <D ．11x -<<【答案】B 【解析】由24x <，可得：22x -<<，根据题意，若要求24x <成立的一个必要不充分条件，只要求真包含{}|22x x -<<的集合，A 选项表达错误；B 选项的范围包含22x -<<，正确；C 选项的范围就是22x -<<，是充要条件，错误；D 选项的范围是{}|22x x -<<的子集，是充分不必要条件，错误.故选：B.3．若a b c d ,,,为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则||||a c b c <B ．若22ac bc <，则a b <C ．若a b <，c d <，则a c b d -<-D ．若a b <，c d <，则ac bd < 【答案】B【解析】对于A 选项，当0c 时，不符合，故A 选项错误.对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.对于D 选项，由于a b c d ,,,的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B4．当02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】C【解析】因为02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立，令()22()211f x x x x =-+=--+， 因为02x ≤≤时，min ()0f x =，所以0a <，故选：C5．下列各图中，可表示函数()y f x =图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的定义，对于定义域内的每一个x 值对应唯一的y 值，则只有D 满足条件；故选：D6．若函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．1±【答案】C 【解析】因为函数()21()22m f x m m x-=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =.故选:C 7．计算210232983()( 2.5)()()4272----+的结果为（ ） A ．52 B ．12 C ．2518 D ．32【答案】B 【解析】210232983344()( 2.5)()()14272299----+=--+ 12=；故选：B.8．已知函数1()4x f x a +=+的图象经过定点P ，则点P 的坐标是（ ）A ．(－1，5)B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0) 【答案】A【解析】当10x +=，即1x =-时，011x a a +==，为常数，此时()415f x =+=，即点P 的坐标为(－1，5).故选：A.9．设a ＝132，b ＝231()4，c ＝21log 2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【答案】A 【解析】2413332214b -⎛⎫= ⎪⎝=<⎭，0b a ∴<<，又21log 12c ==-，a b c ∴>>.故选：A.10．已知tan 4α=，则cos2=α（ ）A ．725 B ．725- C ．1517D ．1517- 【答案】D【解析】因为tan 4α=， 所以222222cos sin 1tan 11615cos 2cos sin 1tan 11617a a a a a a α---====-+++ 故选：D.11．化简cos16cos44cos74sin 44︒︒-︒︒的值为（ ）AB． C ．12 D ．12- 【答案】C【解析】（方法一）cos16cos44cos74sin 44︒︒-︒︒cos16cos44sin16sin 44=︒︒-︒︒()1cos 1644cos602=︒+︒=︒=， （方法二）cos16cos44cos74sin 44︒︒-︒︒sin74cos44cos74sin 44=︒︒-︒︒()sin 7444=︒-︒1sin 302=︒=， 故选：C ． 12．函数12sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期，振幅，初相分别是（ ） A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ-- C ．4,2,4ππ D ．2,2,4ππ-【答案】C【解析】因为12sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2412T ππ==， 当0x =，初相为4π；由解析式可知振幅为2， 故选：C.13．已知,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，则2a b →→-=（ ）A ．1B C ．2 D 【答案】B 【解析】因为,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，所以20a b b →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭， 所以221a b b →→→⋅==，所以2a b →→-=== 故选：B .14．在ABC 中，1BC =，AB =3C π=，则A =（ ）. A ．6π或56π B ．6π C ．23π D ．3π 【答案】B【解析】由正弦定理可得：sin sin BC AB A C=，代入可得：1sin A =， 解得1sin 2A =， 因为在ABC 中，所以0A π<<， 所以6A π=或56A π=，AB BC >，所以C A >， 所以6A π=，故选：B.15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2,cos 10a c B ===则b =（ ）A B C ．2 D ．3【答案】B【解析】因为2,cos 10a c B ===∴由余弦定理可得2222cos 35422a c ac b B =+-=+-=，所以b =故选：B ．16．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B ．3 C ．83 D ．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.故选：C .17．下列命题中正确的是（ ）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行【答案】D【解析】选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误;选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确,故选:D18．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）A ．23B ．13C ．35D ．14【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4，()12,4,3，()3,12,4，()4,12,3，()3,4,12，()4,3,12，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4，()4,23,1，()23,1,4，()23,4,1，()1,4,23，()4,1,23，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34，()2,1,34，()34,1,2，()34,2,1，()1,34,2，()2,34,1，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为61183 P==.故选：B.19．下图为某地区2006年~2018年地方财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知，该地区2006年~2018年（）A．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【答案】D【解析】由图知，财政预算内收入2006、2007、2008年没有明显变化，故AB错；由图可知，财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量，故C错；由图可知，城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增，即D正确.故选：D．20．如图1，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面【答案】D 【解析】如图所示，连结1A B ，由几何关系可得点E 为1A B 的中点，且1BF FC =， 由三角形中位线的性质可得：11EF AC ，即EF 与11A C 不是异面直线， 很明显，EF 与CD 异面， 由几何关系可得：11111,AC BB AC BD ⊥⊥，则1,EF BB EF BD ⊥⊥， 综上可得，选项D 中的结论不成立. 本题选择D 选项.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分21．已知0,0x y >>，则12(2)x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为__________. 【答案】8【解析】由0,0x y >>，可得：124(2)2248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当4x y y x=，即2y x =时取得最小值8. 故答案为：8.22．已知函数2,[0,2](),(2,4]x x f x x x -∈⎧=⎨∈⎩，则()()13f f +=__. 【答案】4.【解析】函数2,[0,2](),(2,4]x x f x x x -∈⎧=⎨∈⎩， 所以()1211f =-=，()33f =，()()134f f ∴+=.故答案为：4.23．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________. 【答案】35【解析】因为角α的终边经过点(3，4)， 所以3cos 5x r α===， 故答案：3524．若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 【答案】13【解析】因为632πππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：13. 25．复数21i i+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】一【解析】复数()()()22122211112i i i i i i i i i --===+++- 复数对应的点(1,1)．在第一象限．故答案为：一三、解答题：本大题共3小题，共25分.26．（本小题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别为棱11,AC A B 的中点，且AB BC =（1）求证：平面BMN ⊥平面11ACC A ；（2）求证：MN ∥平面11BCC B .【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】(1)证明：因为M 为棱AC 的中点，且AB BC =，所以BM AC ⊥，因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ABC ⊥平面，因为BM ABC ⊂平面，所以1AA BM ⊥，又因为111,AC A A ACC A ⊂平面，且1AC A A A ⋂=，所以11BM ACC A ⊥平面，因为BM BMN ⊂平面，所以平面11BMN ACC A ⊥平面.(2)取BC 的中点P ，连接1B P 和MP ，因为M P 、为棱AC BC 、的中点，所以MP AB ，且12MP AB =，因为111ABC A B C -是棱柱，所以1111,A B AB A B AB =，因为N 为棱11A B 的中点，所以1B N BA ，且112B N BA =， 所以1B N PM ，且1B N PM =，所以1MNB P 是平行四边形，所以1MN PB ，又因为11111,MN BCC B PB BCC B ⊄⊂平面平面，所以11MN BCC B 平面.27．（本小题8分）2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【解析】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=.28．（本小题9分） 在①sin sin sin sin A C A B b a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， .（1）求角C ；（2）若c =，a b +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3C π=；（2）2. 【解析】（1）若选①： 由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC 的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=，故ABC 的面积为2.。
2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)07
2021年普通高中学业水平考试 科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ． 【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ． 【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ． 【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ． 【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下： 在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ． 【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解． 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ． 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． 【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格考试数学模拟试题(一)(解析版)
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试数学试题一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。
每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知复数z 满足2i z z -=，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i【答案】B 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，故2i 2i z z b -==， 所以1b =， 故选：B.2．若向量()1,2BA =，()4,5CA =，则BC =（ ） A ．()5,7 B ．()3,3-- C ．()3,3 D ．()5,7--【答案】B 【详解】因为向量()1,2BA =，()4,5CA =，所以()()()1,24,53,3BC BA CA =-=-=--； 故选：B.3．设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为（ ）． A ．有的正方形不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是正方形 C ．所有正方形都不是平行四边形 D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 【答案】A 【详解】解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 命题p ：所有正方形都是平行四边形， 所以p ⌝为有的正方形不是平行四边形. 故选：A. 4．不等式12x x+>-解集为（ ） A ．{|0}x x >B ．{}1x x ≥C ．{}1x x >D ．{|1x x >或0}x =【答案】A 【详解】由12x x +>-得：2221(1)0x x x x x+++=>，解得0x >.故选：A5．若tan θ=cos2θ=( )A ．12B ．0.5-C ．D 【答案】B 【详解】由sin tan cos θθθ=和22sin cos 1θθ+=可得，1cos 2θ=±，所以21cos22cos 10.52θθ=-=-=-. 故选：B.6．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】当1a >时，1xy a a =-为增函数，当0x =时，111y a=-<且110y a =->，故A ，B 不符合.当01a <<时，1xy a a=-为减函数，当0x =时，110y a =-<，故C 不符合，D 符合.故选：D.7．某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）A ．16B ．18C ．22D ．40【答案】B 【详解】由题意得高三学生人数为1500500550450m =--=，因为在抽取的样本中，高二年级有20人， 所以样本容量n 满足500201500n =，得60n = 所以样本中高三年级的人数为45060181500⨯=， 故选：B8．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．1x e -+【答案】D 【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，()()1x f x e f x -=-=-，即：()1x f x e =-+. 故选：D9．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b > B ．b c a c -<-C ．ac bc >D ．11a b< 【答案】B 【详解】A ：1,2a b ==-时，22a b >不成立，错误；B ：由a b >，两边同时减去c ，有a c b c ->-，正确；C ：当0c <时，由a b >则ac bc <，错误；D ：1,2a b ==-时，11a b<不成立，错误； 故选：B10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题为真命题的是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件 B ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件 C ．“a ＜3”是“a ＜5”的必要条件D ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件 【答案】D 【详解】取a ＝2，b ＝3，c ＝0，满足ac ＝bc ，但是不满足a ＝b ，选项A 错误， 取a ＝2，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但是不满足a 2＞b 2，选项B 错误， 由“a ＜5”推不出“a ＜3”，选项C 错误，“a +5是无理数”，则“a 是无理数”，选项D 正确， 故选：D ．11．如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）A ．16海里/小时B ．15海里/小时C ．/小时D ．/小时【答案】A 【详解】由图可知BS =753045ASB ∠=︒-︒=︒，则sin 45AB =︒8AB =， 所以该船的航行速度为1162AB ÷=（海里/小时）． 故选：A12．,a b →→为平面向量，已知()()1,2,1,0a b →→==，则,a b →→夹角的余弦值等于（ ）A B ．C ．15D ．15-【答案】A 【详解】设,a b →→向量的夹角为θ，则·cos||||a ba b θ→→→→=== 故选：A.13．抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为（ ） A ．1 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，样本总数由2(54321)30⨯++++=种，其中目标样本“向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6”的样本数为2510⨯=种，所以抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为101303=. 故选：C14．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（ ）A ．甲得分的中位数和极差都比乙大B ．甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大C ．甲得分的中位数和极差都比乙小D ．甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小【答案】B 【详解】甲得分依次为1、2、10、38、39， 中位数是10，极差为39138-=， 乙得分依次为11、22、23、24、30， 中位数是23，极差为301119-=， 则甲得分的中位数比乙小，极差比乙大， 故选：B.15．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件A 为摸出的小球编号为奇数，事件B 为摸出小球的编号为2，则()P A B =（ ）A ．13B ．23C ．12D ．56【答案】B 【详解】事件A 与事件B 是互斥事件，112()()()263P A B P A P B ∴⋃=+=+=. 故选：B.16．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ） A ．12 B ．24 C ．4 D ．30【答案】C 【详解】所求的体积为11324432⨯⨯⨯⨯=，故选：C.17．已知在长方体1111ABCD A B C D -中，在平面11ABB A 上任取一点M ，作ME AB ⊥于E ，则（ ）A ．ME ⊥平面ABCDB ．ME ⊂平面ABCDC ．//ME 平面ABCD D ．以上都有可能【答案】A 【详解】M ∈平面11ABB A ，E AB ∈，即E ∈平面11ABB A ，ME ∴⊂平面11ABB A ， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，ME ∴⊥平面ABCD .故选：A.18．函数22cos 1y x =-的最小正周期为（ ） A ．2π B ．πC ．2π D ．4π 【答案】B 【详解】22cos 1cos 2y x x =-=，因此，该函数的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.19．在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在[]40,100）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在[)70,80）的频率为（ ）A ．0.001B ．0.01C ．0.03D ．0.3【答案】D 【详解】由频率分布直方图可得第四小组的频率为()10.010.0150.0150.0250.005100.3-++++⨯=. 故选：D.20．已知12是函数2log (),2()2,2x x m x f x x +≥⎧=⎨<⎩的一个零点，则[4(19)]f f 的值是（ ）A ．1B ．0C ．2D +1【答案】B 【详解】由题意知：2(12)log (12)0f m =+=，可得11m =-， ∴2log (11),2()2,2x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则2(19)log (1911)3f =-=.∴[4(19)](43)(12)0f f f f =⨯==. 故选：B二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）21．已知1x >，则121x x ++-的最小值是___________． 【答案】5 【详解】 1,10x x >->，112133511x x x x ++=-++≥=--， 当且仅当11,2x x -==时等号成立. 故答案为：522．若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23【详解】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==， 又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤.即正实数a 的取值范围是12(,]23.故答案为：12(,]23.23．函数()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩，则()4f =______.【答案】10 【详解】因为()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩，所以(4)[(10)](8)[(14)](12)10f f f f f f f =====. 故答案为：1024．在ABC 中，1,,6AC B AB π===ABC 的面积为______．【详解】在ABC 中，1,,6AC B AB π===由正弦定理得sin sin AC AB B C =，所以sin sin AB B C AC ⋅==， 因为0C π<<，则3C π=或23π，可得2A π=或6π，又由1sin 2ABCSAB AC A A =⋅⋅=，所以ABCS =25．已知tan α、tan β是方程240x -+=的两根，并且α、π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则αβ+的值是______． 【答案】8π3【详解】tan α、tan β是方程240x -+=的两根，并且α、π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan tan αβ+=tan tan 4αβ⋅=，()π,3παβ+∈．∴tan α、tan β均大于零，故α、3ππ,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()2π,3παβ+∈．∴()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-⋅∴2π8π2π33αβ+=+=， 故答案为：8π3． 三、解答题（本题共3小题，共25分）26．已知函数()()sin 0||2f x x ϕπωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及其单调递减区间；（2）若要得到()f x 的图象，只需要函数sin y x =的图象经过怎样的图象变换？ 【详解】（1）根据函数的图象：43124T πππ=-=，解得T π=，故2ω=，由于sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以函数的最小正周期为π； 令()222262k x k k ππ3π+π≤-≤π+∈Z ， 整理得()536k x k k ππ+π≤≤π+∈Z ， 故函数的单调递减区间为：()5,36k k k ππ⎡⎤+ππ+∈⎢⎥⎣⎦Z ， （2）要得到函数()f x 的图象，只需将函数sin y x =的图象向右平移6π个单位，再将函数图象的横标压缩为原来的12即可.27．如图所示，斜三棱柱111ABC A B C -中，点1D 为11A C 上的中点．（1）求证：1//BC 平面11AB D ；（2）设三棱锥111A A B D -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为2V ，求12V V ． 【详解】（1）证明：连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1，则在平形四边形ABB 1A 1中，点O 为A 1B 的中点，又点D 1为A 1C 1的中点，所以OD 1∴BC 1，又OD 1∴平面AB 1D 1，B 1C ∴平面AB 1D 1，所以BC 1∴平面AB 1D 1．（2）V 1＝111A A B D V -＝11112A A B C V -＝11116ABC A B C V -＝16V 2 所以12V V ＝16．28．已知函数1()22x x f x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.【详解】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数，则当0x 时，设120x x <， 则2112121212121122()()22222222x xx x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，则()f x 在[0，)+∞上是增函数，()f x 是R 上的奇函数，()f x ∴在R 上是增函数.（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )(1)f x f <等价为不等式2log 1x <，即02x <<.即不等式的解集为(0,2).。
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山东省普通高中学业水平考试数学试题
第一卷（选取题 共45分）
一、选取题（15’×3=45’）
1、已知角终边通过点（-3，4），则tanx 等于
A
43 B 43- C 34 D 3
4
- 2、已知lg2=a,lg3=b ，则lg 2
3
等于
A a-b
B b-a
C a b
D b
a
3、设集合M={})2,1(，则下列关系成立是
A 1∈M
B 2∈M
C (1,2)∈M
D (2,1)∈M 4、直线x-y+3=0倾斜角是
A 300
B 450
C 600
D 900 5、底面半径为2，高为4圆柱，它侧面积是 A 8π B 16π C 20π D 24π 6、若b<0<a(a,b ∈R)，则下列不等式中对的是
A b 2<a 2
B a b 1
1> C -b<-a D a-b>a+b 7、已知x ∈(-2
π,o),cosx=54
，则tanx 等于
A 43
B 43-
C 34
D 3
4-
8、已知数列{}n a 前n 项和s n =2
1
++n n ，则a 3等于
A 201
B 241
C 281
D 32
1
9、在ΔABC 中，sinA •sinB-cosA •cosB<0则这个三角形一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 10、若函数)2(2
1
)(≠-=
x x x f ，则f(x) A 在(-2，+∞),内单调递增 B 在(-2，+∞)内单调递减
C 在(2，+∞)内单调递增
D 在(2，+∞)内单调递减
11、在空间中，a 、b 、c 是两两不重叠三条直线，α、β、γ是两两不重叠三个平面，下列命题对的是
A 若两直线a 、b 分别与平面α平行，则a ∥b
B 若直线a 与平面β内一条直线b 平行，则a ∥β
C 若直线a 与平面β内两条直线b 、c 都垂直，则a ⊥β
D 若平面β内一条直线a 垂直平面γ，则γ⊥β 12、不等式（x+1）（x+2）<0解集是
A {}12-<<-x x
B {}
12->-<x x x 或 C {}21<<x x D {}
21><x x x 或
13、正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1 C 1与BD 所在直线所成角大小是
A 300
B 450
C 600
D 900
14、某数学兴趣小组共有张云等10名实力相称成员， 现用简朴随机抽样办法从中抽取3人参加比赛， 则张云被选中概率是
A 10%
B 30%
C 33.3%
D 37.5% 15、如图所示程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ， 规定输出这三个数中最大数，那么在空白处判断框中， 应当填入下面四个选项中
（注：框图中赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”） A c>x B x>c C c>b D b>c
第二卷（非选取题共55分）
二、填空题（5’ ×4=20’）
16、已知a>0,b>0，a+b=1则ab 最大值是____________
17、若直线2ay-1=0与直线(3a-1)x+y-1=0平行，则实数a 等于____________
18、已知函数⎩⎨⎧≥-<=)
4(),1()
4(,2)(x x f x x f x ，
那么f(5)值为____________ 19、在[-π,π]内，函数)3
sin(π
-
=x y 为增函数区间是____________
20、设┃a ┃=12，┃b ┃=9，a • b=-542， 则a 和 b 夹角θ为____________
三、解答题（共5小题，共35分）
21、已知a =（2，1）b=（λ，-2），若a ⊥ b ，求λ值
22、（6’）已知一种圆圆心坐标为（-1， 2），且过点P （2，-2），求这个圆原则方程
23、（7’）已知{}n a 是各项为正数等比数列，且a 1=1，a 2+a 3=6，求该数列前10项和S n
24、（8’）已知函数R x x x x f ∈-=
,cos 2
1
sin 23)( 求f(x)最大值，并求使f(x)获得最大值时x 集合
25、（8’）已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x)，b ≠0,f(2)=-1,且f(1-x)=-f(x+1)对两边均故意义任意 x 都成立
（1）求f(x)解析式及定义域
（2）写出f(x)单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？
参照答案
一、1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.D12.A13.D14.B15.A
二、16、41 17、31 18、8 19、[6π-,65π] 20、4
3π
三、21、解：∵a ⊥b ，∴a •b=0，又∵a=（2，1），b =（λ，-2），∴a •b=2λ-2=0，∴λ
=1
22、解：依题意可设所求圆方程为（x+1）2+（y-2）2=r 2。
∵点P （2，-2）在圆上， ∴ r 2=（2+1）2+（-2-2）2=25
∴所求圆原则方程是（x+1）2+（y-2）2=52 。
23、解：设数列{}n a 公比为q ，由a 1=1，a 2+a 3=6得： q+q 2=6，即q 2+q-6=0， 解得q=-3（舍去）或q=2
∴S 10=1023122
1211)1(1010
101=-=--=--q q a
24解：∵)6
sin(6sin cos 6cos sin cos 21sin 23)(π
ππ-=-=-=
x x x x x x f ∴f(x)取到最大值为1 当时即Z k k x Z k k x ∈+=∈+
=-
,3
2
2,,226
πππ
ππ
，f(x)取到最大值为1 ∴f(x)取到最大值时x 集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
∈+
=Z k k x x ，│.322ππ 25、解：（1）由xf(x)=b+cf(x)，b ≠0，
∴x ≠c ，得c x b
x f -=)(， 由f(1-x)=-f(x+1)得c
x b
c x b -+-=--11
∴c=1
由f(2)=-1，得-1=12-b
，即b=-1 ∴x
x x f -=--=11
11)(， ∵1-x ≠0，∴x ≠1 即f(x)定义域为}
{1≠x x │
（2）f(x)单调区间为（-∞，1），（1，+∞）且都为增区间
证明：当x ∈（-∞，1）时，设x 1<x 2<1， 则1- x 1>0,1- x 2>0 ∴)
1)(1(11
11)()(21212121x x x x x x x f x f ---=
---=-， ∵1- x 1>0,1- x 2>0 ∴)
1)(1(11
11)()(21212121x x x x x x x f x f ---=
---=
-<0 即)()(21x f x f <∴f(x)在（-∞，1）上单调递增。
同理f(x)在（1，+∞）上单调递增。