数学-离散型随机变量的期望(高颖)

离散型随机变量的期望

高颖

课题：离散型随机变量的期望（1）

一、教学目标：了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．

二、教学重点：

1．了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望。

2．理解公式“E(a ε+b)=aE ε+b ”，以及“若ε～B(n ，p)，则E ε=np ”。能熟练地应用它们求相应的离散

型随机变量的期望。

三、教学过程：

（一）主要知识：

1．随机变量的数学期望

⑴离散型随机变量的数学期望：

++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平。 （2）基本性质：b aE b a E +=+εε)(

2．在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平

（二）知识点详析

离散型随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律，但是分布列往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，例如它的取值的平均水平、集中位置、稳定与波动情况、集中与离散程度等。离散型随机变量的期望与方差就是体现上述特点的最重要的两种特征数（或数字特征）。

1．期望

（1）概念分析

①随机变量的数学期望表示了随机变量在随机试验中所取的平均值，所以随机变量的数学期望（期望）又常称为随机变量的平均数、均值。又由于离散型随机变量的期望的计算是从它的概率分布出发，因而期望就是离散型随机变量的概率平均值。

②课本中给出的离散型随机变量的数学期望实质上是一个不严格的定义，所以课本中涉及到的离散型随机变量所有可能取的不同值的个数是有限的，这个定义对于在离散型随机变量取有限个值是成立的。今后不作特别说明离散型随机变量的取值均为有限个不同值。

（2）根据离散型随机变量的期望的概念和意义，在实际应用中，我们可以用它来解决一些问题和作出科学的决策。

（3）关于随机变量的函数η=a ε+b 的期望的计算公式的理解，关键是弄清b ax b a i +=+=εη的重要条件是i x =ε，从而有)()(i i x P b ax P ==+=εη，i=1，2，…由此可得到η的分布列，由期望的定义求得η的数学期望E η=aE ε+b 。

（4）对二项分布的数学期望E ε=np 的证明是本节的难点，可以按以下程序进行思考：

设在一次试验中某事件发生的概率p ，η是k 次试验中此事件发生的次数，令q=1-p ，则k=1时，p(η=0)=q ，

p(η=1)=p ，

E η=0×q+1×p=p ；

k=2时，2)0(q p ==η，p(η=1)=2pq ，

2)2(p p ==η， 222210p pq q E ?+?+?=ηp p q p 2)(2=+=

由此可知，在一次试验中，此事件平均发生p 次；二次试验中，此事件平均发生2p 次。由此，我们作出猜想，“若ε～B （n ，p ），则E ε=np ”，为公式的证明作了必要的铺垫。

努力探究数学知识的发生过程，对一些数学结论逐步作出科学猜想，并给出理性的证明，有利于培养我们敢于独立思考，勇于创新的科学精神。

2．离散型随机变量的数学期望的计算主要有以下两种方法．

⑴用定义求：

若和式 +++++k k 332211p x p x p x p x 可以计算，则称之为随机变量η的数学期望，记作ηE ，即

++++=ηk k 2211p x p x p x E

X=a η+b, EX= a ηE + b

注：我们一般见到的分布列都为有限项，所以其期望值都是可以计算的．对于无限项的分布列，在计算时

要用到级数和极限的内容，我们这里暂不作介绍。

（2）特殊分布列公式

（3）已知ηE ，X=a η+b,求EX

（三）例题分析：

例1．（0～1分布）

某射击手击中目标的概率为P ，求他射击一次击中目标的次数ξ的分布列、期望。

解：

P E =ξ 例2．（二项分布）

某射击手击中目标的概率为P ，它射击n 次，求击中目标的次数ξ的分布列、期望

n n n n P C n P P KC P P C P P C E ?++-++-?+-?= )1()1(1)1(0

11--?=K n K n C n KC

∴ ])1()1([111111101-------++-+-=n n n n n n n P

C P P C P C nP E ξ nP P P P n n =+-??=-1])1[(

例4．（2003年全国高考辽宁卷(20) 天津理科卷(20)）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A

队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3 。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分。设A 队、B 队最后总分分别为 ξ、η。 (Ⅰ) 求 ξ、η 的

概率分布；(Ⅱ) 求E ξ、E η。

分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

解：(Ⅰ) ξ、η 的可能取值分别为3, 2, 1, 0. P (ξ = 3) =758525232=?? 即A 队连胜3场） P (ξ = 2) =7528525231525332535232=??+??+?? （即A 队共胜2场） P (ξ = 1) =5

27530525331535231535332==??+??+?? （即A 队恰胜1场） P (ξ = 0) =25

3759535331==?? （即A 队连负3场） 根据题意知 ξ + η = 3，所以

P (η = 0) = P (ξ = 3) = 8 75

， P (η = 1) = P (ξ = 2) = 28 75，

P (η = 2) = P (ξ = 1) = 2 5， P (η = 3) = P (ξ = 0) = 3 25

。 (Ⅱ) E ξ =15

222535275287580123=?+?+?+? ； 因为ξ + η = 3，

所以E η = 3 – E ξ =15

23。 （四）巩固练习：

交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和。求抽奖人获利的数学期望。

分析 抽到的2个球上的钱数之和ε是个随机变量，其每一个ε取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得

的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望。由ε与η关系为η=ε-5，利用公式E η=E ε-5可获解答。

解 设ε为抽到的2球钱数之和，则ε的可能取值如下：

ε=2（抽到2个1元）， ε=6（抽到1个1元，1个5元）， ε=10（抽到2个5元）。

所以，由题意：

4528)2(21028===C C P ε，4516)6(2101218===C C C P ε，

451)10(21022===C C P ε，

45162451104516645282=?+?+?=εE ，

又设η为抽奖者获利可能值，则η=ε-5，所以抽奖者获利的期望为： 4.15

75451625-=-=-=-=εηE E 。 说明 要分清楚是谁获利？不能忽视了先交5元才能参加这一抽奖。因此，不能只计算E ε，最终E η的结果

为负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元。

四、课后作业：．

（一）选择题

1．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是

0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为： （ ）

A ．0.4

B ．1.2

C ．34.0

D ．0.6

2．随机变量ε的分布列为

则其期望等于 （ ）

A ．1

B ．31

C ．4.5

D ．2.4

（二）填空题

3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为ε，则E

（5ε+1）=________________。

4．已知随机变量ε的分布列为

且E ε=1.1，则