九年级中考数学专题训练：锐角三角函数及其应用(含答案)

中考数学专题训练：锐角三角函数及其应用

一、选择题

1. 如图，已知在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cos B 的值是 ( )

A .

B .

C .

D .

2. (2019?天津) 60sin 2的值等于

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

3. 如图，在△ABC

中，CA=CB=4，cos C=，则sin B 的值为 ( )

A .

B .

C .

D .

4. (2019·湖北宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，

△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为

A ．43

B ．34

C ．35

D ．45

5. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，

数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )

A . 斜坡A

B 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°

C . AC ＝1.2tan 10° 米

D . AB ＝ 1.2

cos 10°

米

6. (2019?湖南长沙?3

分)如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离

灯塔60nmile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是

A ．

30nmile B ．60nmile C ．120nmile

D ．

7. (2019?江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖

直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是

A ．55.5m

B ．54m

C ．19.5m

D ．18m

8. (2019·浙江金华)如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．已知AB=m ，∠BAC=

∠α，则下列结论错误的是

C

A ．∠BDC=∠α

B ．BC=m ?tan α

C ．AO 2sin m

α

=

D ．BD cos m

α

=

9. 如图，以

O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵

上一点(不

与A ，B 重合)，连接OP ，设△POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α)

10. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板

ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，

B ，

C ，

D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于

A ．asinx+bsinx

B ．acosx+bcosx

C ．asinx+bcosx

D ．acosx+bsinx

二、填空题 11. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6 m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m ，则旗杆AB 的高度约为 m(精确到0.1 m).(参考数据:sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)

12. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.

13. 如图△是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图△所示的几何图形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．

14. (2019?湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．

15. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

16. 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

17. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l 上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．

三、解答题

18. 如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20n mile.

(1)求sin∠ABD的值;

(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).

19. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角△OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角△OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．

20. (2019?贵阳?8分)如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．

(1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；

(2)为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．(结果保留小数点后一位)

=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41)

中考数学专题训练：锐角三角函数及其应用答案

一、选择题

1. 【答案】A [解析]在Rt△ABC 中，cos B==.

2. 【答案】B

【解析】锐角三角函数计算，?60sin 2=2×2

3

=3，故选A ．

3. 【答案】D

[解析]过点A 作AD ⊥BC 于点D ，

∵cos C=，AC=4，∴CD=1， ∴BD=3，AD==.

在Rt△ABD 中，AB==2

，

∴sin B===，故选D .

4. 【答案】D

【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC=90°，∴=5．∴sin ∠BAC=

CD AC =4

5

．故选D ．

5. 【答案】

B 【解析】△斜坡AB 的坡角是10°，∴选项A 是错误的；△坡度

＝坡比＝坡角的正切，∴选项B 是正确的；△AC ＝ 1.2

tan10°

米，∴选项C 是错

误的；△AB ＝ 1.2

sin10°

米，∴选项D 是错误的．

6. 【答案】D

【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．

在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD

AC

，∴CD=AC?cos∠ACD=60

×

2

．

在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴

，∴

AB=AD+BD=30+30．

所以此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是

．故选D．

7. 【答案】C

【解析】过D作DE AB

⊥交AB于E

，DE BC

==在Rt ADE

△中，tan30

AE

DE

=，

18(m)

AE

∴==，18 1.519.5(m)

AB

∴=+=，故选C．

8. 【答案】C

【解析】A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，

∴AO=OB=CO=DO，∴∠DBC=

∠ACB，

C

A

∴由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，故本选项不符合题意； B 、在Rt △ABC 中，tan αBC

m

=，即BC=m ?tan α，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，AC cos m α=

，即AO 2cos m

α

=，故本选项符合题意； D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=m ，∵∠BAC=∠BDC=α，∴在Rt △DCB 中，BD cos m

α

=，故本选项不符合题意； 故选C ．

9. 【答案】C

【解析】如解图，过点P 作PC △OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，

OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．

10. 【答案】D

【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，

∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a ?cosx+b ?sinx ， 故选D ．

二、填空题

11. 【答案】9.5 [解析]由题可知BC=6 m ，CD=1.5 m ，过D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，易知四边形BCDE 是矩形，∴DE=BC=6 m ， 在Rt△ADE 中，AE=DE ·tan53°≈7.98(m)，EB=CD=1.5 m ，

∴AB=AE +EB=9.48(m)≈9.5 m .

12. 【答案】2(

3－2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin 45°＝4×2

2＝

22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin 60°＝4×3

2＝23，故梯子顶端沿墙面

升高了 23－22＝2(3－2)m .

13. 【答案】14.1 【解析】如解图

，过点B 作BE △CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．

14. 【答案】0

【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．

15. 【答案】2.9

【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4

＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．

16. 【答案】11

【解析】△△A ＝30°，∴PM ＝1

2PA ＝9海里．△△B ＝55°， sin B

＝PM PB ，∴0.8＝9

PB ，∴PB ≈11海里．

17. 【答案】3

或3 3 或37 【解析】如解图，∵点O 是AB 的中点，AB ＝6，

∴AO ＝BO ＝3.①当点P 为直角顶点，且P 在AB 上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP 1＝60°，∴△AOP 1是等边三角形，∴AP 1＝OA ＝3；②当点P 为直角顶点，且P 在AB 下方时，AP 2＝BP 1＝62－32＝33；③当点A 为直角顶点时，AP 3

＝AO·tan∠AOP3＝3×3＝33；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝

62＋（33）2＝37.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 3 或

37.

三、解答题

18. 【答案】

解:(1)过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD=20，∠DAE=45°，

∴DE=20×sin45°=20.

在Rt△BED中，BD=20，

∴sin∠ABD===.

(2)过D作DF⊥BC于F，

在Rt△BED中，DE=20，BD=20，

∴BE==40.

易知四边形BFDE是矩形，

∴DF=EB=40，BF=DE=20，

∴CF=BC-BF=30.

在Rt△CDF中，CD==50，

∴小岛C，D之间的距离为50 n mile.

19. 【答案】

解：△tan∠OBC＝tan30°＝OC

BC＝

3

3，

∴OC＝

3

3BC，(2分)

∵sin∠OAC＝sin75°＝OC

OA≈0.97，

∴

3

3BC

40≈0.97，(6分)

∴BC≈67.1(cm)．(8分)

20. 【答案】

(1)阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；

(2)如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，

∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，

∵OB=100，∴OE=

，

∴PE=OP

–OE=100

–≈29.5cm，

答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．

2