量子力学第五章近似方法
第五章近似方法
第五章近似方法在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。
因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。
常用的近似方法有微扰论、变分法、半经典近似、绝热近似、自洽场理论、玻恩(Born)-奥本哈R (Oppenheimer)近似等。
不同的近似方法有不同的适用范围。
在本章中将先讨论分立谱的微扰理论、变分法和半经典近似，其他各种近似将在以后各章中讨论。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于昨定态的两类。
本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。
最后再介绍半经典近似。
5.1非简并定态微扰论近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。
当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。
本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。
假定体系的哈密顿量H 不显含t ，能量的本征方程：H ψψE = (5.1.1)满足下述条件:(1) H 可分解为H 。
和H ’两部分，H O 厄米，而且H ’远小于H OH = H 0 + H ’ (5.1.2) H'<<H o (5.1.3)（5.1.3）式表示，H 与H O 的差别很小H'可视为加于H O 上的微扰。
（5.1.3）式的严格意义我们将在以后再详细说明。
由于H 不显含t ，因此，无论H 。
或是H ’均不显含t 。
(2) H o 的本征值和本征函数已经求出，即H o 的本征方程H 0 n n n E )0()0()0(ψψ= (5.1.4)中，能级E n (o)及波函数n )0(ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从H o 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，H 的本征值和本征函数。
量子力学中近似方法的概念
量子力学中近似方法的概念
概念的形成是指通过对事物之间相似和不同的特征进行相似性比较和分类，把具有相同性质和特征的事物划分为同一类别，从而形成一个概括性的表征。
概念可以是具体或抽象的，是人类进行思维和交流的基本单位。
概念的同化是指一个人通过与已有概念的比较和类比，把新事物或新经验归入已有的概念范畴中，快速理解和适应。
例如，当一个人第一次看到一只陌生的动物时，如果他已经掌握了狗的概念，他就会将新动物与狗进行比较和类比，通过发现相同和不同之处，最终将其划分为狗科动物或者其他类别。
概念的形成和同化是通过人类对外界信息进行处理和分类，从而把复杂的现实世界简化为概括性的概念体系，方便我们进行理解和交流。
量子力学中的微扰理论和近似方法
量子力学中的微扰理论和近似方法量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，它描述了微观世界中的粒子和它们之间的相互作用。
微扰理论是量子力学中一种重要的近似方法，它用于处理相对简单的系统，使得复杂的问题可以得到简化和解决。
本文将介绍量子力学中的微扰理论和近似方法。
在量子力学中，微扰理论是一种将系统的哈密顿量分解为一个简单的“未受扰动”的哈密顿量和一个“微扰”的哈密顿量的方法。
未受扰动的哈密顿量通常是我们已经熟悉的系统，而微扰的哈密顿量是我们想要研究的系统。
通过将这两个哈密顿量进行线性组合，我们可以得到一个新的哈密顿量，用于描述整个系统。
微扰理论的基本思想是将系统的波函数和能量按照幂级数展开，然后通过逐阶近似的方法来求解。
在一阶微扰理论中，我们假设微扰项相对于未受扰动的系统是很小的，这使得我们可以通过一阶修正来计算系统的波函数和能量。
一阶微扰理论的计算公式为：E_n^(1) = <n|H^(1)|n>其中，E_n^(1) 是系统在一阶微扰下的能量修正，|n> 是未受扰动系统的第n个能级的波函数，H^(1) 是微扰哈密顿量。
除了一阶微扰理论，还存在高阶微扰理论。
在高阶微扰理论中，我们考虑了更多的微扰项，通过逐阶修正来计算系统的波函数和能量。
高阶微扰理论的计算公式为：E_n^(k) = <n|H^(1)|n> + ∑_(m≠n) (|<m|H^(1)|n>|^2)/(E_n^(0) - E_m^(0))其中，E_n^(k) 是系统在k阶微扰下的能量修正，|n> 是未受扰动系统的第n个能级的波函数，H^(1) 是微扰哈密顿量，E_n^(0) 是未受扰动系统的第n个能级的能量。
除了微扰理论，近似方法也是量子力学中常用的工具。
近似方法通过对系统进行简化，使得复杂的问题可以得到解决。
常见的近似方法包括变分法、WKB近似和矩阵对角化等。
变分法是一种通过选择适当的试探波函数来求解系统的能量的方法。
量子场论中的近似方法
量子场论中的近似方法导言量子场论是物理学中描述微观世界的理论，它是量子力学和相对论的结合。
在量子场论中，我们研究的是微观粒子的场，而不是单个粒子，这使得我们能够描述更加复杂的物理过程。
然而，由于量子场论的复杂性，我们常常需要使用近似方法来处理实际问题。
本文将介绍几种常用的量子场论中的近似方法，并讨论它们的优缺点以及适用范围。
平均场近似平均场近似是量子场论中最常用的近似方法之一。
它的基本思想是忽略场的量子涨落，将场看作是经典场。
在平均场近似下，我们可以通过求解经典场的方程来获得系统的行为。
平均场近似的一个重要应用是处理玻色-爱因斯坦凝聚体系。
在这种系统中，大量的玻色子被激发到能量最低的单粒子态，形成一个集体行为。
通过平均场近似，我们可以得到系统的密度分布和能量谱，并研究其性质。
然而，平均场近似忽略了量子涨落的贡献，对于某些量子效应较强的系统可能不适用。
此外，在相变点附近的行为也无法用平均场近似来描述。
因此，在使用平均场近似时，必须注意其适用范围。
重整化群方法重整化群方法是处理长程相互作用的量子场论的一种强有力的工具。
它的基本思想是通过不断地改变系统的尺度，从而推导出系统在不同尺度下的行为。
在重整化群方法中，我们将系统分解为不同的尺度段，并研究每个尺度段下的物理行为。
重整化群方法的一个重要应用是处理相变问题。
通过重整化群方法，我们可以研究相变点附近的临界行为，并得到临界指数等重要物理量。
此外，重整化群方法还可以用于处理强关联系统，如自旋系统和高温超导等。
然而，重整化群方法的具体实施较为复杂，需要运用复杂的计算技巧，如求解重整化群方程和计算格林函数等。
此外，重整化群方法在处理非平衡动力学问题时可能遇到一些困难。
因此，在使用重整化群方法时，需要谨慎选择适用的情况。
泛函积分方法泛函积分方法是处理量子场论问题的另一种重要方法。
它的基本思想是将场视为无穷多个自由度的集合，通过对这些自由度进行积分来获得物理量的期望值。
量子力学中的量子力学近似方法
量子力学中的量子力学近似方法量子力学是描述微观世界的物理学理论，它通过数学模型来描述粒子的行为和性质。
然而，在处理复杂问题时，精确求解量子力学方程往往十分困难，因此需要使用近似方法来简化计算。
本文将介绍几种常见的量子力学近似方法。
一、时间无关微扰理论时间无关微扰理论是处理量子力学方程近似解的一种方法。
它将系统的哈密顿量（描述系统能量和相互作用的数学量）写成一个简单的部分（通常为已知的精确解）和一个微小的扰动部分的和。
然后，通过级数展开和微扰理论的方法来计算系统的性质。
这种方法适用于系统的扰动较小的情况，可以在较长时间范围内计算系统的行为。
二、变分法变分法是处理量子力学近似解的一种常用方法。
它通过猜测一个波函数形式，然后利用变分原理来确定波函数的具体形式和相应的能量本征值。
变分法的关键是找到一个合适的波函数猜测，通常可以通过物理直觉或数学技巧来选择。
这种方法适用于系统的基本状态和激发态的计算。
三、准经典近似准经典近似是处理量子力学中粒子运动问题的一种方法。
它基于经典力学的观点，将量子力学中的波函数用粒子的经典轨迹来近似描述。
在准经典近似下，波函数的振幅和相位可以看作是粒子的位置和动量的函数。
这种方法适用于粒子的运动速度远大于普朗克常数的情况。
四、WKB近似WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）近似是处理量子力学中波动方程的一种常用方法。
它通过对波函数进行分离变量的近似，将波函数表示为振幅和相位的乘积形式。
然后，利用波动方程的解析解和边界条件来确定波函数的形式和相应的能量本征值。
WKB近似适用于波函数变化缓慢的情况，例如势垒和势阱问题。
五、平均场理论平均场理论是处理量子力学中多体系统的一种方法。
它假设系统中粒子之间存在平均相互作用，而忽略粒子之间的具体相互作用细节。
通过求解平均场方程，可以得到系统的平均性质，如能量、密度和磁矩等。
平均场理论适用于大量粒子组成的系统，如原子核和凝聚态物质。
微扰理论
( a + b ) = a + na
n
n
n- 1
b + L + n ab
n- 1
+ b
9
n
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等 应该相等:
λ0 : λ1 : λ2 :
LL
( ( ( ˆ H ( 0 )ψ n0 ) = E n0 )ψ n0 ) ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ H ( 0 )ψ n1 ) + H ( 1 )ψ n0 ) = E n0 )ψ n1 ) + E n1 )ψ n0 ) ˆ ˆ H ( 0 )ψ ( 2 ) + H ( 1 )ψ ( 1 ) = E ( 0 )ψ ( 2 ) + E ( 1 )ψ ( 1 ) + E ( 2 )ψ ( 0 ) n n n n n n n n
其中H 所描写的体系是可以精确求解的， 其中H(0) 所描写的体系是可以精确求解的， 本征值E 其本征值En(0) ，本征矢 Ψn(0) 。则：
ˆ ( 0)ψ ( 0) = E (0)ψ (0) H n n n
6
ˆ (0)ψ (0) = E(0)ψ (0) H n n n
时引入微扰，使体系能级发生移动， 当 H ′≠ 0 时引入微扰，使体系能级发生移动， 状态由ψ 由 En(0) → En ，状态由ψn(0)→ψn 。
8
代入Schrödinger方程得： 方程得： 代入 方程得
( ( ( ˆ ˆ ( H ( 0 ) + λH (1) )(ψ n0) + λψ n1) + λ2ψ n2) + L)
( ( ( ( ( ( = ( En0 ) + λEn1) + λ2 En2) + L)(ψ n0) + λψ n1) + λ2ψ n2) + L)
同济大学量子力第五章近似方法
E
(0) k
|2
kn
1 n | n
[
(0 n
)
|
(1) n
|]
•
[|
(0) n
|
(1) n
]
(0 n
)
|
(0 n
)
(0 n
)
|
(1) n
(1) n
|
(0 n
)
2
(1) n
|
(1) n
1
[a
(1) kn
(0 n
)
|
(0 k
)
a (1) kn
*
(0) k
|
(0) n
] 2
k 1
1
[ak(1n) nk
)
e i
|
(0) n
kn
a (1) kn
|
(0 k
)
（三）能量的二阶修正
上式结果表明，展开式中，an
(1) n
|ψn (0)
>
项的
存在只不过是使整个态矢量|ψn > 增加了一个相因子，这
是无关紧要的。所以我们可取
=
0，即
an
(1) n
=
0。这样一来，
| n
|
(0 n
)
a(1) kn
|
(0 k
E
(0 k
)
E (0) n
]
mk
k 1
Hˆ
(1) mn
En(1)
mn
考虑两
1. m = n
种情况
2. m ≠ n
准确到一阶微扰的体系能量：
a(1) mn
[
E (0) m
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法ppt课件
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
§5.2 简并定态微扰
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§5.2 简并定态微扰
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§5.1 非简并定态微扰论
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）
2020届高考物理竞赛量子力学部分 第五章 近似方法（共118张ppt）源自§5.1 非简并定态微扰论
➢说明： ▪ H’<<H0是指
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§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
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§5.1 非简并定态微扰论
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§5.1 非简并定态微扰论
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§5.1 非简并定态微扰论
➢说明： ▪ 电介质在x方向加均匀弱电场E后的极化率
量子力学的解析解与近似方法
量子力学的解析解与近似方法量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，其具有广泛的应用范围，包括原子、分子、固体物质和基本粒子等领域。
在研究量子体系时，求解薛定谔方程是一项重要任务。
然而，由于薛定谔方程的复杂性，通常很难找到解析解，因此人们常常使用近似方法来研究量子体系。
本文将介绍量子力学中的解析解和常见的近似方法。
一、量子力学中的解析解量子力学中的解析解是指可以通过代数运算得到的方程的解。
然而，由于薛定谔方程的复杂性，能够找到精确解析解的情况相对较少。
下面介绍一个常见的具有解析解的量子力学模型——简谐振子。
简谐振子是一种理想化的量子力学模型，它的薛定谔方程可以通过代数运算求解得到解析解。
简谐振子的薛定谔方程为：$-\frac{{\hbar^2}}{{2m}}\frac{{d^2\psi}}{{dx^2}}+\frac{{1}}{{2}}m\ome ga^2x^2\psi = E\psi$其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子质量，$\omega$为振动频率，E为能量。
通过变量替换和代数运算，可以得到简谐振子的解析解：$\psi(x) = Ne^{-\frac{{m\omega}}{{2\hbar}}x^2}H_n(\sqrt{\frac{{m\omega}}{{\hbar}}}x )$其中，N为归一化常数，$H_n$为厄米多项式，n为整数，代表简谐振子的能级。
除了简谐振子，量子力学中还存在一些其他具有解析解的模型，如无限深势阱、氢原子等。
这些模型的解析解给我们提供了一些基础的量子力学理论，有助于我们深入理解量子世界的奥秘。
二、量子力学中的近似方法对于大多数复杂的量子力学系统，很难找到精确的解析解。
因此，人们常常采用各种近似方法来研究这些系统。
下面介绍几种常见的近似方法。
1. 平均场近似平均场近似是一种常用的近似方法，它将复杂的多体相互作用问题简化为单体问题。
该方法假设粒子在平均势场下运动，并忽略粒子之间的相互作用。
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第五章 近似方法量子力学中的薜定谔议程能求出解析解的情况并不多。
在第二章中曾讲述了几个能求出解析解的例子。
在许多实际问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求出精确的解析解；同时，由于对实际问题的考虑总有程度不同的简化和近似，所以也没有必要一定要求出精确的解析解。
因此，对于大量的实际问题，近似方法是很重要的。
薜定谔议程的近似解可分为数值近似解与解析近似解两种，在这一章中将只讲述求解析近似解的方法。
5.1非简并定态微扰论1.定态微扰论中的方程及波函数的归一化条件设体系的哈密顿算符ˆH不显含时间t ，而且可表示为两部分之和：一部分是(0)ˆH ，具基本征方程容易求解；另一部分ˆH'是小量，可以视为加在(0)ˆH 上的微扰。
ˆH=(0)ˆH +ˆH ' （5.1-1）(0)(0)(0)(0)ˆn n nH E ψ=ψ （5.1-2） 由于上方程容求解，所以(0)n E 与(0)n ψ 可视为己知。
若能级(0)n E 无简并，则(0)n E 只对应唯一的(0)n ψ；若能级(0)n E 的简并度为n f ，则(0)n ψ可改写为nj ，j=1.2…n f 为描写简并波矢的序数。
ˆH的本征方程为： ˆn n nH E ψ=ψ （5.1-3） 通常上方程不易求解。
微扰的加入使体系的能量由(0)n E 变为n E ，对应的波矢也由(0)n ψ变为n ψ。
如果设：(0)ˆˆˆHH H λ'=+ （5.1-4） 则当λ由零度变到1时，正好反映了这种变化过程，所以λ是表征微扰程度的参数。
λ应为实数，使ˆH 保持为厄密算符。
将上式代入（5.1-3）式后求得的n E 和nψ展开为λ的幂级数： (0)(0)2(2)......n n n n E E E E λλ=+++ （5.1-5）(0)(1)2(2)......n n n nλλψ=ψ+ψ+ψ+ （5.1-6）其中，(0)n E 和(0)n ψ是n E 和n ψ的零级近似。
当λ=1时，(0)(1)(1)n n n E E ⎡⎤⎡⎤+ψ⎣⎦⎣⎦和是n E 和nψ的一级近似，而和(1)n E 和(1)nψ为n E 和n ψ的一级近似修正项……。
值得注意的是：当(0)n E 的简并度为n f 时，n f 个nj 张开一个n f 维空间，在此空间中，(0)ˆH的本征值是确定的。
加入ˆH'后，此n f 维空间可能分裂为几个正交子空间，在每个子空间中，ˆH的本征值是确定的。
每一个nj 不一定只处在某个子空间中。
通过n f 个nj 的线性组合可以构成新的n f个独立的n αβϕ，其中α表示第α个子空间，β表示第α个子空间中描写简并的角标（β的取值个数与该子空间的维数相同），调节组合系数可使个n αβϕ分别处在各子空间中。
只有处在同一子空间内的n αβϕ的线性组合才能作为n ψ的零级近似波函数。
只有当子空间为一维时才能完全确定零级近似波函数。
如果(0)n E 无简并，则n ψ的零级近似波函数就是(0)ˆH 对应(0)n E的本征函数(0)n ψ；如果(0)nE 有简并，则n ψ的各零级近似波函数都应表示为nj 的线性组合，其组合系数有待进一步确定。
将（5.1-4）、（5.1-5）、（5.1-6）式代入（5.1-3）式得：(0)(0)(1)2(2)ˆˆ()(......)n n nH H λλλ'+ψ+ψ+ψ+(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(......)(......)n n n n n nE E E λλλλ=+++ψ+ψ+ψ+ 比较止式中入同次幂的系数得（5.1-7）（5.1-8） （5.1-9） （由1n n ψψ=得：()()(1)(2)2(0)(1)2(2)............1n nn n nλλλλψ+ψ+ψ+ψ+ψ+= 比较上式中入同次幂的系数得：......=⎩ （5.1-10） （5.1-11） （5.1-12） （5.1-10）式、（5.1-11）式、（5.1-12）式……就是定态微扰论中应逐级考虑的波函数归一化条件。
2.一级微扰考虑(0)ˆH 的某个无简并能级(0)nE ，将un ψ对(0)n ψ展开： (1)(1)(0)nl l la ψ=ψ∑ （5.1-13） 若其他能级有简并，则上式中的lk 的集合，其中k 为描写简并的角标。
将止式代入（5.1-8）式得：()()()()(0)(0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)ˆˆ0,ˆ0nll n lll l n l nll HE aH E a HEHE '-ψ+-ψ='-ψ+-ψ=∑∑即设(0)l ψ为公正基组，以(0)mψ左乘上式两边得： (1)(0)(0)(1)(0)0()ˆm m n mnn mn mnm n a E E H E H H δ'⎧-+-⎪⎨''=ψψ⎪⎩其中 （5.1-14） 当m=n 时，得一级能量修正项为：(1)n nnE H '= （5.1-15） 当m≠n 时得：(1)(0)(0)mnm n mH a E E '=- （5.1-16） 由于上式中的m≠n ，所以（5.1-13）式中的展开系数中还有一个(1)n a 未求出，(1)n a 可由归一化条件求出，由（5.1-11）式得：(1)1*0n n a a +=因为没有其他条件限制(1)n a 的选取，所以可选取(1)n a 为实数，则得：(1)0n a = （5.1-17）将上式与（5.1-16）式代入（5.1-13）式可得波函数的一级修正式为：(1)(0)(0)(0)mnnm m n mH E E ''ψ=∑ψ- （5.1-18） 上式中带撇的m'∑表示在求和中不含m=n 的项。
3.二级微扰将(2)n ψ对(0)l ψ（5.1-19）将（5.1-18）式，（5.1-19）式代入（5.1-9）式得：()()()()(0)(0)(2)(0)0(2)(0)ln (0)(0)(2)(0)(0)(0)(2)(0)ln (0)(0)ˆˆ0ˆ0nl l nnl n n lln ll l l nn l n nl ln lH H E a H H E E E H a E H H E E E ''''-ψ+-∑ψ-ψ=-''''ψ+∑-ψ-ψ=-∑∑即以(0)m ψ左乘上式两边得：()()(2)(0)(0)(2)ln (0)(0)0m m n ml nn ml n mn ln lH a E E H H E E E δδ''''-+∑--=- (5.1-20) 当m=n 时，注意到在m'∑中l ≠n ，则从上式得二级能量修正项为：(2)ln (0)(0)nl n l n lH H E E E '''=∑-因H′为厄密矩阵，*ln nl H H ''=，所以上式可化为：2ln (2)(0)(0)n lnlH E EE''=∑- （5.1-21）当m≠n 时，由（5.1-20）式得：()()()(2)ln 2(0)(0)(0)(0)(0)(0)ml mnnn m ln m n l n m H H H H a E E E E E E '''''=∑---- （5.1-22） 由（5.1-19）式可知，要完全确定波函数的二级修正项，还必须求出(2)m a ，(2)m a 可利用归一化条件（5.1-12）式求出，即(2)(0)(1)*(1)(0)(2)*0n K K l l n K l a a a a ⎡⎤⎡⎤''+∑ψ∑ψ+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦取(2)m a 为实数得：()22ln(2)(1)2(0)(0)1122n l l l nlH a a E E '''=-∑=-∑- （5.1-23）至此，波函数的二级修正式(2)n ψ已完全确定。
总结上述一级和二级微扰的结果如下：2(0)(0)(0)......mm n n nnmnmH E E H EE'''=++∑+- （5.1-24）(0)(0)(0)(0)mn n nm mn mH E E ''ψ=ψ+∑ψ- ()()()(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)ml ln mn nn m m mn m n n n m H H H H E E E E E E ⎡⎤''''+''⎢⎥+∑∑-ψ---⎢⎥⎣⎦()2ln(0)2(0)(0)1......2n l nlH E E ''-∑ψ+- （5.1-25） 如果只考虑微扰 非间并能级(0)n E 的影响，则除能级(0)n E 外，其他能级(0)m E 允许有简并。
设能级(0)m E 的简并度为m f ，(0)m E 对应的m f个正交为一波函数为(0)mi ψ，i =1.2…m f ，则上述各微扰论公式应作如下修改：将角标m 都改为mi ，将对m 的求和都改为对mi 的求和。
上述定态微扰论方法实际上是哈密顿算符本征方程的微扰论求解方法，这种方法对求解其他含微扰项算符的本征方程也同样适用。
当粒子在有心力场中运动时，径向方程通常没有简并，当径向方程中含微扰项时，便可应用非简并微扰论方法求解。
在（5.1-24）式与（5.1-25）式中，级数收敛很快的条件是：(0)(0)1mnn mH E E '- ，m≠n （5.1-26） 上式就是定态微扰论适用的条件。
当这人条件被满足时，（5.1-24）式与（5.1-25）式的级数只需计算前面几项就可以了。
如果上式不满足，则定态微扰论不适用。
由上式可知，定态微扰论方法能否适用不仅取决于矩阵元mnH '的大 小，而且党政军与能级间的距离(0)(0)n m E E -有关。
例如，在库仑场中带电粒子的能级与主量子数n 的平方成反比[见（2.13-12）式]，当n 较大时，能级间的距离很小，加入微扰后，定态微扰论只适用于计算低能级的修正，而不能用来计算高能级的修正。
例：设电荷为e 沿x 轴方向的线性谐振子受恒定弱电场ε作用，电场沿x 轴正方向，用微扰法求体系的能量至二级近似和波函数至一级近似。
解：体系的哈密顿符为：222(0)1ˆˆˆ22H x e x H H μωεμ'=-+-=+ 22(0)2221ˆ22d Hx dx μωμ=-+ ，ˆH e x ε'=- (0)ˆH 的本征值(0)mE 和对应的本征函数(0)n ψ分别由（2.11-14）式和（2.11-15）式给出。