2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：9.1 导数的概念及运算 Word版含答案
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：8.2 圆的方程 Word版含答案
§8.2圆的方程Ａ组基础题组1.(2021课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.102.(2021浙江嘉兴一中阶段测试)若P(2,-1)为圆M:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.x-y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=03.(2021浙江湖州德清高级中学月考)已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( )A. B.1 C. D.4.(2021黑龙江大庆铁人中学月考,4,5分)已知圆C的方程为x2+y2+2x-2y+1=0,当圆心C到直线kx+y+4=0的距离最大时,k的值为( )A. B. C.- D.-5.(2021河北衡水中学一调,5)假如直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分且l不通过第四象限,则l的斜率的取值范围是( )A.[0,2]B.[0,1]C. D.6.(2022福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5B.+C.7+D.67.(2021浙江六校联考文,10,6分)已知点M(2,1)及圆x2+y2=4,则过M点的圆的切线方程为,若直线ax-y+4=0与该圆相交于A、B两点,且|AB|=2,则a= .8.(2022山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C 的标准方程为.9.(2021湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .10.(2021湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.11.(2021黑龙江双鸭山一中期中,20)已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+4=0与圆C相切.(1)求圆C的方程;(2)若过点(0,-3)的直线l与圆C交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2+y1y2=3,求三角形AOB的面积. B组提升题组1.(2021宁波十校联考,4,5分)直线x+y-2=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对的圆心角的大小为( )A. B. C. D.2.(2021山东烟台诊断)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若线段PA长度的最小值为2,则k的值为( )A.3B.C.2D.23.(2022陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.4.(2021诸暨高中毕业班检测,12,6分)已知圆C:(x-1)2+y2=25与直线l:mx+y+m+2=0,若圆C关于直线l对称,则m= ;当m= 时,圆C被直线l截得的弦长最短.5.(2021浙江冲刺卷五,14)过点A(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于M,N两点,若|MN|=8,则l的方程为.6.(2021浙江模拟训练冲刺卷一,14)已知圆的方程为x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0,若过点A(1,-2)的圆的切线有两条,则实数m的取值范围是.7.(2022重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .8.(2021宁波高考模拟文,12,6分)已知实数a,b,c满足a+b=2c,则直线l:ax-by+c=0恒过定点,该直线被圆x2+y2=9所截得的弦长的取值范围为.9.(2021山东济南模拟)已知P是直线3x+4y-10=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x+4y+4=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为.10.(2021湖北华中师大附中期中,14)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围是.11.(2021河南六市一联)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对相互垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求全部满足条件的点P的坐标.12.(2021重庆一中期中,21)已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴正半轴上,点M在PQ所在直线上,且满足·=0,=-.(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;(2)给定圆N:x2+y2=2x,过圆心N作直线l,此直线与圆N和(1)中的轨迹C共有四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,假如线段AB,BC,CD的长按此挨次构成一个等差数列,求直线l的方程.Ａ组基础题组1.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b==-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|==5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2,则|MN|=|(-2+2)-(-2-2)|=4.2.B 依题意知圆心M(1,0),MP⊥AB,而k MP==-1,所以k AB=1,由于直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.故选B.3.C 圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线3x+4y-2=0的距离,依据点到直线的距离公式得d==,故点N到点M的距离的最小值为d-1=.故选C.4.D 圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=1,圆心为C(-1,1).又直线kx+y+4=0恒过定点A(0,-4),所以当圆心C到直线kx+y+4=0的距离最大时,直线CA垂直于直线kx+y+4=0,而k CA=-5,则由-5×(-k)=-1,得k=-.5.A 圆的方程x2+y2-2x-4y=0可化为(x-1)2+(y-2)2=5,其圆心坐标为(1,2),经过圆心和原点的直线的斜率为2,由题意知直线l过圆心且不过第四象限,则斜率k的取值范围是0≤k≤2.6.D 设Q(cosθ,sinθ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|= ===≤5当sinθ=-时取等号,故|PQ|max =5+=6.7.答案x=2或3x+4y-10=0;±解析若过M点的圆的切线斜率不存在,则切线方程为x=2,阅历证满足条件.若切线斜率存在,可设切线方程为y=k(x-2)+1,由圆心到切线的距离等于半径得=2,解得k=-,故切线方程为y=-(x-2)+1,即3x+4y-10=0.综上,过M点的圆的切线方程为x=2或3x+4y-10=0.由=得a=±.8.答案(x-2)2+(y-1)2=4解析由于圆心在直线x-2y=0上,且圆C与y轴相切,所以可设圆心坐标为(2a,a),则(2a)2=a2+()2,解得a=±1.又圆C与y轴的正半轴相切,所以a=1,故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.9.答案 2解析过O作OC⊥AB于C,则OC==1,在Rt△AOC中,∠AOC=60°,则r=OA==2.10.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)--1解析(1)记AB的中点为D,在Rt△BDC中,易得圆C的半径r=BC=.因此圆心C的坐标为(1,),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)由于点B的坐标为(0,+1),C的坐标为(1,),所以直线BC的斜率为-1,所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y=x++1,故切线在x轴上的截距为--1.11.解析(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则圆C的方程为(x-a)2+y2=4.由于圆C与直线3x-4y+4=0相切,所以=2,解得a=2或a=-(舍),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.(2)依题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-3,由得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,∵l与圆C相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),∴Δ=[-(4+6k)]2-4(1+k2)×9>0,且x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2·x1x2-3k(x1+x2)+9=-+9,又∵x1x2+y1y2=3,∴+-+9=3,整理得k2+4k-5=0,解得k=1或k=-5(不满足Δ>0,舍去). ∴直线l的方程为y=x-3.∴圆心C到l的距离d==,易得|AB|=2=,又△AOB的边AB上的高h==,所以S△AOB=|AB|·h=××=.B组提升题组1.C 以直线x+y-2=0与圆x2+y2=4的两个交点及圆心为顶点的三角形为等腰三角形.圆x2+y2=4的圆心为原点,由点到直线的距离公式,得原点到直线x+y-2=0的距离为=,所以直线被圆截得的弦长为2=2,所以该三角形为等边三角形,所以劣弧所对的圆心角的大小为.故选C.2.D 圆C:x2+(y-1)2=1,圆心C(0,1),半径r=1,由题意得=,解得k=2或k=-2(舍去),故选D.3.答案x2+(y-1)2=1解析点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.4.答案-1;1解析当圆C关于l对称时,圆心(1,0)在直线mx+y+m+2=0上,得m=-1.直线l:m(x+1)+y+2=0恒过圆C内的点M(-1,-2),当圆心到直线l的距离最大,即MC⊥l时,圆C被直线l截得的弦长最短,k MC==1,由(-m)×1=-1,得m=1.5.答案x=-4或5x+12y+20=0解析当直线l的斜率不存在时,其方程为x=-4,可得交点坐标为(-4,6),(-4,-2),此时|MN|=8,符合题意. 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+4),圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,则圆心到直线l的距离d=,由|MN|=2=8,得25-=16,解得k=-,故l的方程为5x+12y+20=0.综上,直线l的方程为x=-4或5x+12y+20=0.6.答案解析将圆的方程配方得(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,则有-m2+3m+4>0;由题意知点A(1,-2)在圆外,则(1+m)2+(-2+2)2>-m2+3m+4,即2m2-m-3>0.由得故实数m的取值范围是<m<4.7.答案4±解析易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为,即=,解得a=4±.经检验均符合题意,故a=4±.8.答案;[,6]解析依题意,c=,故ax-by+c=0⇔ax-by+=0,即(2x+1)a-(2y-1)b=0,可知直线l过定点.圆心到直线的距离d=,故弦长为2≥2=,当且仅当a=b时等号成立.又弦长≤6,故弦长的取值范围为[,6].9.答案 2解析圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1,其圆心为C(1,-2),半径为1,且直线与圆相离,如图所示,四边形PACB的面积等于2S△PAC,而S△PAC=|PA|·|AC|=|PA|=,又|PC|min==3,∴(S△PAC)min==,故四边形PACB面积的最小值为2. 10.答案(3-2,3-2]∪[3+2,3+2)解析圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,则圆心C(m,2),半径r=4,S△ABC=r2sin∠ACB=16sin∠ACB,∴当∠ACB=90°时,S△ABC取得最大值16,此时△ABC为等腰直角三角形,∴AB=8,则C到AB的距离为4,∴4≤PC<4,即4≤<4,∴16≤(m-3)2+4<32,即12≤(m-3)2<28,∴解得3-2<m≤3-2或3+2≤m<3+2.故实数m的取值范围是(3-2,3-2]∪[3+2,3+2).11.解析(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,由于直线l被圆C1截得的弦长为2,所以d==1.由点到直线的距离公式得d=,从而=1,化简得k(24k+7)=0,所以k=0或k=-,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-(x-a).由于圆C1和C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即=,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,由于k的取值有无穷多个,所以或解得或这样点P的坐标为或.经检验,上述坐标均满足题目条件.12.解析(1)设M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)(x'>0),∵·=0,=-,∴(3,y')·(x,y-y')=0,(x,y-y')=-(x'-x,-y),∴3x+y'y-y'2=0,x'=x,y'=-y,将y'=-y代入3x+y'y-y'2=0,整理得y2=4x,又由x'>0得x>0,∴点M的轨迹C的方程为y2=4x(x>0).(2)圆N:(x-1)2+y2=1,直径为2,圆心为N(1,0),由题意设l的方程为x=my+1,将x=my+1代入y2=4x(x>0),得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,则|AD|=·=4(m2+1),∵线段AB,BC,CD的长按此挨次构成一个等差数列,∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,∴|AD|=3|BC|,又|AD|=4(m2+1),|BC|=圆N的直径=2,∴4(m2+1)=6,解得m=±,∴直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：3.4 简单的三角恒等变换 Word版含答案
§3.4简洁的三角恒等变换Ａ组基础题组1.(2021河南许昌一模,5)已知sin2α=,则cos2=( )A. B.- C. D.-2.(2021嘉兴一模,6,5分)已知锐角α满足cos2α=cos,则sin2α等于( )A. B.- C . D.-3.(2021安徽阜阳期末,7)化简=( )A.1B.C.D.24.(2021浙江嘉兴桐乡一中调研(二),11)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期是.5.(2021四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.6.(2021丽水一模,13,4分)设α,β∈(0,π),sin(α+β)=,tan=,则cosβ的值是.7.(2022山东师范高校附属中学第三次模考,13,5分)设α,β∈,且tanα=,则2α-β=.8.(2022宁波效实中学期中,12,6分)若sinα+2cosα=-(0<α<π),则tanα=;cos= .9.(2022宁波效实中学期中文,13,4分)= .10.求证:=sin2α.11.(2021合肥第一次质检)已知cos·cos=-,α∈,求:(1)sin2α;(2)tanα-. B组提升题组1.(2021温州一模,3,5分)已知sinx+cosx=,则cos=( )A.-B.C.-D.2.(2021西宁三校联考)已知sin=-,α是其次象限角,则tan=( )A. B. C. D .3.(2021嘉兴教学测试二,5,5分)若sinθ+cosθ=,θ∈[0,π],则tanθ=()A.-B.C.-2D.24.(2021烟台诊断)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为( )A.-B.C.-D.5.(2022山东,12,5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.6.(2021课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.7.(2021浙江六校联考)函数f(x)=sinx+cosx的单调增区间为,已知sinα=,且α∈,则f= .8.(2022超级中学原创猜测卷九,14,6分)已知α∈,β∈,若tan(α+β)=2tanβ,则当α取最大值时,tanβ=,tan2α=.9.(2022江苏盐城中学月考,11,5分)若α∈,且tan=2cos2α,则α的值为.10.化简:.11.(2021广东,16,12分)已知函数f(x)=cos,x∈R.(1)求f的值;(2)若cosθ=,θ∈,求f.Ａ组基础题组1.C cos2====,故选C.2.A 由cos2α=cos得,cos2α-sin2α=cosα+sinα,而α为锐角,∴cosα+sinα≠0,∴cosα-sinα=,两边平方得,1-sin2α=,∴sin2α=.故选A.3.C 原式=====.4.答案π解析f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin,所以最小正周期T==π.5.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=sin(15°+45°)=sin60°=.6.答案-解析由tan=,得tanα==,又α∈(0,π),所以α∈,所以sinα=,cosα=,又β∈(0,π),所以α+β∈,而sin(α+β)=<,所以α+β∈,因此cos(α+β)=-,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-.7.答案解析tanα==,化简得sin(α-β)=cosα,又α,β∈,所以sin(α-β)=cosα=sin,因此α-β=-α,所以2α-β=.8.答案-;解析由sinα+2cosα=-(0<α<π)可知,α为钝角,又sin2α+cos2α=1,可得sinα=,cosα=-,所以tanα=-.sin2α=2sinαcosα=-,cos2α=cos2α-sin2α=-,所以cos=cos2αcos-sin2αsin=.9.答案解析===.10.证明证法一:左边=====sincoscosα=sinαcosα=sin2α=右边,∴原式成立.证法二:左边===sinαcosα=sin2α=右边,∴原式成立.证法三:左边==cos2α·=cos2α·tanα=cosαsinα=sin2α=右边,∴原式成立.11.解析(1)cos·cos=cos·sin=sin=-,(2分)即sin=-,∵α∈,∴2α+∈,∴cos=-,(5分)∴sin2α=sin=sincos-cossin=.(7分)(2)∵α∈,∴2α∈,又sin2α=,∴cos2α=-.∴tanα-=-===-2×=2.(12分)B组提升题组1.B sinx+cosx=2cos=,故cos=.2.A 由于sin=cosα=-,α是其次象限角,所以tanα=-,所以tan==,故选A.3.C 由于sinθ+cosθ=sin=,所以sin=.由于θ∈[0,π],所以≤θ+≤.又<,所以<θ+<π,所以cos=-,所以tan===-,解得tanθ=-2,故选C.4.C 由于tan[2(α-β)]===,所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]===1,由于β∈(0,π),tanβ=-,所以β∈,又tanα=tan[(α-β)+β]===>0,α∈(0,π),所以α∈,所以α-β∈(-π,0),由于tan(α-β)=>0,所以α-β∈,所以2α-β∈(-π,0),所以2α-β=-,故选C.5.答案π解析y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin2x+cos2x+=sin+,所以该函数的最小正周期为π.6.答案-解析由帮助角公式得:f(x)==sin(x-φ),其中sinφ=,cosφ=,由x=θ时,f(x)取得最大值得sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+,k∈Z,即θ=φ++2kπ,k∈Z,∴cosθ=cos=-sinφ=-.7.答案,k∈Z ;解析f(x)=sinx+cosx=sin,当2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z时,函数f(x)单调递增,所以f(x)的递增区间是,k∈Z.由于sinα=,α∈,所以cosα=,所以f=sin=sin=sinα+cosα=×+×=.8.答案;解析解法一:由tan(α+β)=2tanβ,可得2tanβ=,从而tanα==≤,当且仅当tanβ=时取等号.又α∈,所以当tanα=时,α取最大值,此时tan2α==.解法二:由tan(α+β)=2tanβ,可得tanα=tan[(α+β)-β]===≤,当且仅当tanβ=时取等号.又α∈,所以当tanα=时,α取最大值,此时tan2α==.9.答案解析cos2α=sin=sin=2sincos=2cos2tan=tan,所以cos2=,又α∈,所以cos=,所以α+=,所以α=.10.解析原式=========2.11.解析(1)f=cos--=cos=cos=1.(2)f=cos=cos=cos2θ-sin2θ.由于cosθ=,θ∈,所以sinθ=-,所以sin2θ=2sinθcosθ=-,cos2θ=cos2θ-sin2θ=-,所以f=cos2θ-sin2θ=--=.。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：2.4 二次函数与幂函数 Word版含答案
§2.4二次函数与幂函数Ａ组基础题组1.(2021陕西模拟)若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图,则a、b、c、d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c2.(2021浙江乐清白象中学模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=()A. B.1 C. D.23.(2022杭州学军中学其次次月考文,2,5分)函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()4.(2021安徽芜湖质检)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有( )A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定5.(2021辽宁,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-166.(2021四川,9,5分)假如函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为( )A.16B.18C.25D.7.(2022超级中学原创猜测卷三,7,5分)已知关于x的方程|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,1]B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(0,2)8.(2022超级中学原创猜测卷八,11,6分)若函数f(x)=且b=f(f(f(0))),则b= ;若y=是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则整数a的值是.9.(2021杭州二模文,12,6分)设函数f(x)=其中c>0,则函数f(x)的零点为;若f(x)的值域是,则c的取值范围是.10.(2022杭州学军中学其次次月考文,13,4分)已知二次函数f(x)=-x2+x,其定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n](m<n),则m-n= .11.(2022杭州学军中学其次次月考,20,15分)已知函数f(x)=ax2-x-3.(1)求a的范围,使y=f(x)在[-2,2]上不具单调性;(2)当a=时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上的最小值记为g(t),求g(t)的函数表达式;(3)第(2)题的函数g(t)是否有最值?若有,恳求出;若没有,请说明理由.12.(2021浙江宁波十校联考,20)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c,且a≠0),f(1)=0,且存在实数m使得f(m)=-a.(1)求证:①b≥0;②f(m+3)>0;(2)函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴的两个交点间的距离记为d,求d的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷二,19,15分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)若函数y=为奇函数,求g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)在[-1,1]上的最小值h(a);(2)若a=2,当x∈[-1,1]时,f(x)的最大值与最小值之差总不大于3,求实数b的取值范围.B组提升题组1.若(x-3<(1+2x,则x的取值范围是( )A. B.{x|x<-4}C. D.{x|x>-4}2.(2021诸暨一模文,5,5分)函数f(x)=xα+1,若f(x)在区间[a,b](0<a<b)内的值域为[3,6],则f(x)在[-b,-a]内的最大值与最小值之和为( )A.-9B.-7C.-5D.9或-53.(2021杭州高级中学月考,4)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定4.(2021浙江舟山模拟,6)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③>;④<.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③5.(2021浙江冲刺卷三,5)若函数f(x)=x2+m|x-2|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是( )A.[-4,0]B.[-2,0]C.[0,4]D.[0,2]6.(2021陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上7.(2021镇海中学5月模拟,9,6分)已知函数f(x)=.当a=1时,不等式f(x)≥1的解集是;若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是.8.(2021福建,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.9.(2022温州高三上学期返校联考文,20,15分)设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a)的表达式;(2)若f(x)在闭区间[m,n]上单调递增,且{y|y=f(x),m≤x≤n}=[m,n],求a的取值范围.10.(2022温州高三上学期返校联考,18,15分)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,f(x)是区间[2,+∞)上的增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,u=m+n,求u的取值范围.11.(2021浙江测试卷,20)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<.(1)当x∈(0,x1)时,证明:x<f(x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<. 12.(2021浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷一,20,15分)已知函数f(x)=x|x-a|+2x.(1)当a=0时,若对任意的m∈[-2,2],不等式f(mx-2)+f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;(2)若存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,求实数t的取值范围.Ａ组基础题组1.B 依据幂函数的性质及图象知选B.2.C ∵f(x)=k·xα是幂函数,∴k=1.又f(x)的图象过点,∴=,∴α=,∴k+α=1+=.故选C.3.D 在A、B、C中,由y=的图象知a>0,而y=ax2+a=a(x2+1)的图象过定点(0,a)且对称轴为直线x=0,故A、B、C均错.再推断可知D对.4.A 由f(0)>0得c>0.∵函数f(x)=x2+x+c图象的对称轴是x=-,∴-1<p<0,∴0<p+1<1,再由二次函数的图象知f(p+1)>0,故选A.5.B 令f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)·x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.由题意知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),故A-B=f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.6.B 当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-8<0⇒n<8,于是mn<16,则mn无最大值.当m∈[0,2)时,f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间上单调递减,需-≤,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m=-m2+9m.而g(m)=-m2+9m在[0,2)上为增函数,∴m∈[0,2)时,g(m)<g(2)=16,故m∈[0,2)时,mn无最大值.当m>2时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2,所以mn≤18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m>2.故(mn)max=18.故选B.7.A 依据题意,k>0,|x-k|=k等价于|x-k|2=,即x2-x+k2=0,因此,|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根等价于方程x2-x+k2=0在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,记f(x)=x2-x+k2,依据二次函数的图象与性质,得解得0<k≤1,故选A.8.答案1;1或3解析由分段函数f(x)可得b=f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1.由于y=在(0,+∞)上是减函数,则a2-4a-1<0,解得2-<a<2+,由于a为整数,则a=0,1,2,3,4.检验:只有当a=1,3时,函数y=x-4为偶函数.故a的值为1或3.9.答案-1和0;0<c≤4解析解方程f(x)=0,得x=-1或x=0.由图可知,若f(x)的值域是,则c的取值范围是0<c≤4.10.答案-4解析分对称轴x=1在区间[m,n]内,在区间[m,n]左侧和在区间[m,n]右侧三种状况争辩.11.解析(1)由题知-2<-<2,解得a>或a<-.(2)当a=时,f(x)=x2-x-3=(x-1)2-,g(t)=(3)当t≥1时,g(t)≥-;当0<t<1时,g(t)=-;当t≤0时,g(t)≥-.综上,g(t)有最小值-,无最大值.12.解析(1)证明:①由于f(1)=a+b+c=0,且a>b>c,所以a>0,c<0,且a+c=-b.由于存在实数m使得f(m)=-a,即存在实数m,使am2+bm+c+a=0成立,所以Δ=b2-4a(a+c)≥0,即b2+4ab=b(4a+b)≥0.(2分)由于4a+b=3a+a+b=3a-c>0,所以b≥0.(4分)②由题意可知f(x)=0的两根为1,,所以可设f(x)=a(x-1),其中a>0,<0.(5分)由于f(m)=-a,所以a(m-1)=-a,即(m-1)=-1<0,所以必有<m<1.(6分)由于a+c=-b≤0,a>0,c<0,所以+1=-≤0,即≤-1,又由于a>b=-a-c,所以>-2,所以-2<≤-1,(7分)所以m+3>3+>3-2=1,结合图象可知f(m+3)>f(1)=0,即f(m+3)>0成立.(8分)(2)由(1)可知-2<≤-1.令g(x)=f(x)+bx=0,即ax2+2bx+c=0,记函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴必有两个交点分别(x1,0),(x2,0),则d=|x1-x2|,x1+x2=-,x1x2=,(10分)d2=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=-=-=4=4+2+其中-2<≤-1.(12分)所以4≤d2<12,又d>0,所以2≤d<2.(15分)13.解析(1)由于函数y==为奇函数,所以b=1,函数g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)=x2-2ax+2.函数g(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=a,所以分三种状况争辩:①当a>1时,g(x)在[-1,1]上单调递减,故[g(x)]min=g(1)=3-2a;②当-1≤a≤1,且a≠0时,g(x)在[-1,1]上先减后增,故[g(x)]min=g(a)=2-a2;③当a<-1时,g(x)在[-1,1]上单调递增,故[g(x)]min=g(-1)=3+2a.综上,函数g(x)在[-1,1]上的最小值h(a)=(2)由题意可知,f(x)=2x2+bx+c=2+c-,设f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值分别为M,m,当≥1,即|b|≥4时,M-m=|f(1)-f(-1)|=|2b|≥8,与题意不符;当<1,即|b|<4时,M必为f(1),f(-1)中的较大者,所以M=2+|b|+c,而m=c-,所以M-m=2+|b|+c-=2+|b|+≤3,整理得b2+8|b|-8≤0,解得|b|≤2-4,所以4-2≤b≤2-4,即实数b的取值范围为[4-2,2-4].B组提升题组1.A 奇函数f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)内均为减函数,且x>0时,f(x)>0,x<0时,f(x)<0,所以x-3>1+2x>0或1+2x<x-3<0,或所以x<-4或-<x<3.2.D 当α∈时,函数g(x)=xα均是奇函数,g(x)=xα在[a,b]上的值域是[2,5],则g(x)=xα在[-b,-a]上的值域是[-5,-2],所以f(x)在[-b,-a]上的值域是[-4,-1],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于-5;当α=2时,函数f(x)是偶函数,则f(x)在[-b,-a]上的值域是[3,6],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于9,故选D.3.A f(x)=ax2+2ax+4=a(x+1)2+4-a,其图象的对称轴为x=-1,由于0<a<3,所以x1+x2=1-a>-2,又由于抛物线开口向上,所以结合图象可知f(x1)<f(x2).4.D 设f(x)=xα,∵f(x)的图象经过点,∴=,∴α=,即f(x)=,又P(x1,y1),Q(x2,y2)是f(x)=图象上的两点,且0<x1<x2,∴f(x2)>f(x1),∴x2f(x2)>x1f(x1).∵k OP>k OQ,∴>,故②③是正确的,选D.5.A 由题意得f(x)=由条件知f(x)在[0,2)和[2,+∞)上都是增函数,∴解得-4≤m≤0.6.A 由已知得,f'(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有由①②得代入③中并整理得9a2-4a+=0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.故选A.7.答案(-∞,0]∪[2,+∞);0≤a≤1解析当a=1时,f(x)≥1⇔≥2,可得x2-2x+1≥1,解得不等式的解集为(-∞,0]∪[2,+∞).若函数的定义域为R,则不等式≥1恒成立,等价于x2-2ax+a≥0恒成立,只需Δ=4a2-4a≤0,解得a∈[0,1]. 8.答案9解析依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根,则a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由题意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a,将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此时a+b=5,则p=5,故p+q=9.9.解析(1)当-≤0,即a≥-时,g(a)=f(0)=a2+3a;当-≥2,即a≤-时,g(a)=f(2)=a2+7a+6;当0<-<2,即-<a<-时,g(a)=f=2a-.综上,g(a)=(2)∵f(x)在[m,n]上递增,∴即方程f(x)=x在上有两个不相等的实数根,设F(x)=f(x)-x,则F(x)=x2+2ax+a2+3a,则则-≤a<0.故a的取值范围为-≤a<0.10.解析(1)由f(1)=b+c+1=0可得b=-c-1,又由于当1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,所以f(3)=9+3b+c≤0,所以9+c-3(c+1)≤0,即c≥3;由f(x)是区间[2,+∞)上的增函数可知-=≤2,所以c≤3,所以c=3,b=-4,所以f(x)=x2-4x+3.(2)由(1)可知|f(x)|=|(x-1)(x-3)|=|(x-2)2-1|,设|f(m)|=|f(n)|=t,则2-<m<1<n<2,且0<t<1,由|f(m)|=|(m-2)2-1|=t可得(m-2)2=1+t,所以m=2-,由|f(n)|=|(n-2)2-1|=t可得(n-2)2=1-t,所以n=2-,u=m+n=4--.令s=+,则s2=(+)2=2+2,由0<t<1可知,2<s2<4,所以<s<2,所以2<u<4-.故u的取值范围是2<u<4-.11.证明(1)由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)(a>0).当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,a>0,所以a(x-x1)(x-x2)>0,故x<f(x).由于x1-f(x)=x1-a(x-x1)(x-x2)-x=(x1-x)[1+a(x-x2)],又x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0,于是x1-f(x)>0.从而f(x)<x1.综上,x<f(x)<x1.(2)由题意知x0=-.由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根,所以x1+x2=-,所以x0=-==.由于ax2<1,所以x0<=.12.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,故f(x)图象的对称轴为直线x=-.当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-2<a≤2时,g(a)=f=1.当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,≤st≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-4].13.解析(1)当a=0时,有f(x)=x|x|+2x=由于f(-x)=-x|-x|-2x=-(x|x|+2x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易得函数f(x)在R上单调递增.不等式f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<f(-x),所以mx-2<-x,即mx+x-2<0对任意的m∈[-2,2]恒成立.令g(m)=mx+x-2,则g(m)可看作关于m的一次函数,所以即解得-2<x<.故实数x的取值范围是-2<x<.(2)易知f(x)=x|x-a|+2x=若x≥a,当对称轴x=≤a,即a≥-2时,函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增;若x<a,当对称轴x=≥a,即a≤2时,函数f(x)在区间(-∞,a)上单调递增.则当-2≤a≤2时,函数f(x)在R上单调递增,所以函数y=f(x)-at不行能有三个不同的零点,即此时实数t的取值范围为⌀.只需要争辩a∈(2,4]的情形:若x≥a,对称轴x=<a,则函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增,此时函数f(x)的值域为[f(a),+∞),即[2a,+∞).若x<a,对称轴x=<a,则①函数f(x)在区间上单调递增,此时函数f(x)的值域为;②函数f(x)在区间上单调递减,此时函数f(x)的值域为.由于存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,则ta∈,即存在a∈(2,4],使得t∈.而当a∈(2,4]时,函数y=为单调递增函数,所以实数t的取值范围为.。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：1.2 命题与充要条件 Word版含答案
§1.2命题与充要条件Ａ组基础题组1.(2021浙江延安中学段考)命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠02.(2021湖南,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021四川文,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2021浙江文,3,5分)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.(2021杭州学军中学第五次月考,1,5分)>1的一个充分不必要条件是( )A.x>yB.x>y>0C.x<yD.y<x<06.(2021桐乡一中等四校联考,3,5分)设a,b为非零实数,命题甲:ab>b2,命题乙:<<0,则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2022浙江新高考争辩联盟一联,2,5分)已知m>0且m≠1,则log m n>0是(1-m)(1-n)>0的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2022广东文,7,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件9.(2021青岛诊断)“0≤m≤1”是“函数f(x)=sinx+m-1有零点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件B组提升题组1.(2021安徽,3,5分)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021湖北文,5,5分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件3.(2021浙江金华一中期中检测)在△ABC中,“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2021四川,8,5分)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(2021金华十校一模,2,5分)若a,b∈R,则>的一个充要条件是( )A.a>bB.ab(a-b)<0C.a<b<0D.a<b6.(2021金华一中全真模拟考,1,5分)设a,b∈R,则“0<a<1且0<b<1”是“ab+1>a+b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2021宁波一模,2,5分)在△ABC中,“A>”是“sinA>”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.(2022领航高考冲刺卷二,3,5分)已知p:x>k,q:≥1,若p是q的必要不充分条件,则实数k的取值范围是( )A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1]9.(2022领航高考冲刺卷六,3,5分)设x、y是两个实数,命题“x、y中至少有一个大于1”成立的充分不必要条件是( )A.x+y=2B.x+y>2C.x2+y2>2D.xy>110.(2021嘉兴一模,5,5分)已知p:x2-3x-4≤0,q:x2-6x+9-m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( )A.[-1,1]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-1]∪[4,+∞)11.(2022超级中学原创猜测卷六,3,5分)已知a,b∈R,则“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件Ａ组基础题组1.D “若p,则q”的逆否命题为“若¬q,则¬p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.故选D.2.C 若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A明显成立,∴A∩B=A.综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.3.A ∵y=log2x是增函数,∴当a>b>1时,有log2a>log2b>log21=0.另一方面,当log2a>log2b>0=log21时,有a>b>1.故选A.4.D 当a=2,b=-1时,a+b=1>0,但ab=-2<0,所以充分性不成立;当a=-1,b=-2时,ab=2>0,但a+b=-3<0,所以必要性不成立,故选D.5.B >1⇔x>y>0或x<y<0,知>1的一个充分不必要条件是x>y>0.6.B 命题甲等价于:若b>0,则a>b,若b<0,则a<b,命题乙等价于a<b<0,所以甲是乙的必要不充分条件,故选B.7.A log m n>0等价于m>1,且n>1,或0<m<1,且0<n<1,此时有(1-m)(1-n)>0,即充分性成立.当0<m<1,n≤0时,有(1-m)(1-n)>0,此时log m n无意义,即必要性不成立,故选A.8.A 设R为△ABC外接圆的半径.由正弦定理可知,若a≤b,则2RsinA≤2RsinB⇒sinA≤sinB,故“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分条件;若sinA≤sinB,则≤⇒a≤b,故“a≤b”是“sinA≤sinB”的必要条件.综上所述,“a≤b”是“sinA≤sinB”的充要条件.故选A.9.A 函数f(x)=sinx+m-1有零点,则m-1=-sinx∈[-1,1],所以0≤m≤2,故选A.B组提升题组1.A 由2x>1,得x>0.∵{x|1<x<2}⫋{x|x>0},∴p是q成立的充分不必要条件.2.A 在空间中,两条直线的位置关系有平行、相交、异面.直线l1、l2是异面直线,肯定有l1与l2不相交,因此p是q的充分条件;若l1与l2不相交,那么l1与l2可能平行,也可能是异面直线,所以p不是q的必要条件.故选A.3.B ·>0只能说明△ABC中的角A是锐角,不能说明△ABC为锐角三角形;但反过来,若△ABC为锐角三角形,则角A肯定是锐角,从而·>0,故选B.4.B “3a>3b>3”等价于“a>b>1”,“log a3<log b3”等价于“a>b>1或0<a<1<b或0<b<a<1”,从而“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件.故选B.5.B >⇔->0⇔<0⇔ab(a-b)<0,故选B.6.A ab+1>a+b⇔(a-1)(b-1)>0,则a>1,且b>1,或a<1,且b<1,故选A.7.B △ABC中,由A>得不到sinA>.由sinA>可推出A>.故选B.8.D ∵≥1,∴≥0,∴-1<x≤2,又p是q的必要不充分条件,即q能推出p,但p不能推出q,∴k∈(-∞,-1],选D.9.B 命题“x、y中至少有一个大于1”等价于“x>1或y>1”,若x+y>2,则必有x>1或y>1,否则x+y≤2;而当x=2,y=-1时,2-1=1<2,所以由x>1或y>1不能推出x+y>2.当x=1,且y=1时,满足x+y=2,不能推出x>1或y>1,所以A错;对于x2+y2>2,当x<-1,y<-1时,满足x2+y2>2,不能推出x>1或y>1,故C错;对于xy>1,当x<-1,y<-1时,满足xy>1,不能推出x>1或y>1,故D错.综上知选B.10.C p:-1≤x≤4;在x2-6x+9-m2≤0中,当m>0时,解得3-m≤x≤3+m,要满足条件应满足且两个等号不能同时取到,解得m≥4.当m<0时,解得m≤-4.当m=0时,不满足条件.故m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).11.A a2+b2<1⇒-1<a<1,-1<b<1⇒(a-1)·(b-1)>0⇒ab+1>a+b,反之,取a=2,b=2,满足ab+1>a+b,但不能得出a2+b2<1,故选A.。
《导数的概念及其几何意义》典型例题
《导数的概念及其几何意义》典型例题深研1 导数的几何意义1.可导函数在0x x =处切线的斜率为此处函数的导数值.2.根据导数值的变化可确定原函数图象的变化情况. 考向1 由切线确定导数值例1（★）如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+,点P 的横坐标是4,则(4)(4)f f +'=_______________.解析 ∵函数()f x 的图象在点P 处的切线为29y x =-+, ∴2(4)k f '=-=切.又 ∵点P 在切线29y x =-+上,∴(4)1f =,∴(4)(4) 1.f f +'=-① 答案 1-考向2 由切线特点确定函数图象②例2（★）已知函数()y f x =的图象如图所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是___________.（填序号）解析 由()y f x =的图象及导数的几何意义可知,当x ＜0时,()f x '＞0；当x ＝0时,()f x '＝0；当x ＞0时,()f x '＜0,故②符合. 答案 ② 方法技巧①1.由切线方程可确定函数()y f x =在0x 处的导数值,即()0f x k '=切. 2.切点为切线与曲线的公共点. 即时训练1.（1）（★★）已知函数()f x 在R 上可导,其部分图象如图所示,设(2)(1)21f f a -=-,则下列不等式正确的是（ ）A.(1)(2)f f a '<'<B.(1)(2)f a f '<<'C.(2)(1)f f a '<'<D.(1)(2)a f f <'<'解析 由题中图象可知,在区间(0,)+∞上,函数()f x 增长得越来越快,∴(1)f '(2)f <',∵(2)(1)21f f a -=-,∴通过作切线与割线可知(1)(2)f a f '<<',故选B.答案 B 方法技巧②导数的符号、曲线的升降、切线的斜率、切线的倾斜角之间的关系即时训练2.（★）()()()y f x y g x y h x ===，，的图象如图1所示：而图2是其对应导数的图象：则()y f x =的导数图象对应___________；()y g x =的导数图象对应___________；()y h x =的导数图象对应___________.解析 由导数的几何意义,知()f x 图象上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,故()y f x =的导数图象对应B ；()y g x =图象上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故()y g x =的导数图象对应C ；()y h x =图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故()y h x =的导数图象对应A. 答案 B ；C ；A深研2 求曲线的切线方程由于可导函数()f x 在0x x =处切线的斜率为0()f x ',从而可用点斜式确定切线方程.考向1 求过曲线上一点的切线方程 例3（★★）求曲线213y x x=+-在2x =处的切线方程. 解析 设()y f x =,则21()3f x x x=+-.2222(2)(2)11(2)32322114()224().2(2)14.2(2)y f x f x x x x x xx x x yx x x ∆=+∆-⎛⎫=+∆+--+- ⎪+∆⎝⎭=∆+∆+-+∆∆=∆+∆+∆∆∴=+∆-∆+∆-∵当x ∆无限趋近于0时,y x ∆∆无限趋近于115444-=, ∴曲线()y f x =在2x =处的切线斜率为154. 又2x =时,32y =,∴切点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴曲线在2x =处的切线方程为315(2)24y x -=-, 即154240x y --=.考向2 求过曲线外一点的切线方程例4（★★）求曲线2y x =过点（3,5）的切线方程.思路分析 先判断点（3,5）是否在曲线上,不在曲线上则需设切点坐标为（0x ,20x ）,再利用（3,5）与（0x ,20x ）连线的斜率等于0()f x '建立方程求0x ,从而确定切线斜率.解析 因为点（3,5）不在曲线上,所以设切点坐标为（0x ,20x ）, 又()()()220000lim lim 22x x x x x f x x x x x∆→∆→+∆-'==+∆=∆,故切线斜率为02x ,则切线方程为()20002y x x x x -=-, 因为点（3,5）在切线上,所以()2000523x x x -=-,解得01x =或05x =,则切点坐标为(1,1)或(5,25),故切线方程为12(1)y x -=-或2510(5)y x -=-, 即210x y --=或10250x y --=. 主编点评求过某点的曲线的切线方程④时,需先设切点（0x ,0y ）,再对()y f x =求导得出切线斜率()0f x ',从而得到含参的切线方程0y y -=()()00f x x x '-,最后代入已知点,从而求出切点坐标以及切线方程.即使已知点在曲线上,也不能按在某点处的切线方程求解,否则易漏解.⑤ 方法技巧③求曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程,其切线只有一条,点()00,P x y 在曲线()y f x =上,且是切点.切线方程为()()000y y f x x x -='-.如图1,在点()00,P x y 处的切线为1l ,如图2,在点()00,P x y 处的切线为(22l l 与曲线()y f x =有两个公共点不影响结果).即时训练3.（★★）已知3()21f x x x =-+,求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程.解析 因为330()2()121()lim x x x x x x x f x x ∆→∆+-∆++-+-'=∆3220()3()32lim x x x x x x xx∆→∆+⋅∆+⋅∆-∆=∆ 220lim ()332x x x x x ∆→⎡⎤=∆+⋅∆+-⎣⎦ 232x =-,所以(1)321f '=-=, 所以切线的方程为1y x =-, 即10x y --=. 知识补充④求曲线()y f x =过点()00,P x y 的切线方程的步骤 第一步：设出切点坐标()()11,P x f x '；第二步：写出过()()11,P x f x '的切线方程()()()111y f x f x x x -='⋅-； 第三步：将点P 的坐标()00,x y 代入切线方程,求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程()()11y f x f x -='()1x x ⋅-,由此即可得过点()00,P x y 的切线方程. 误区警示⑤此处点()00,P x y 可以在曲线()y f x =上,也可以不在曲线()y f x =上.如图1,过点()00,P x y (不在曲线()y f x =上)的切线12l l ，,如图2,过点(0P x ,0y )(在曲线()y f x =上)的切线34l l ，.即时训练4.（★★）求过点（-1,-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程.解析 33002()()2limlim x x y x x x x x x y x x∆→∆→∆+∆-+∆-+'==∆∆2220lim 233()23x x x x x x ∆→⎡⎤=--∆-∆=-⎣⎦. 设切点坐标为()3000,2x x x -,则切线方程为()320000223()y x x x x x -+=--.∵切线过点(1,2)--,∴()()32000022231x x x x --+=---,即320230x x +=,解得00x =或032x =-, ∴切点坐标为(0,0)或33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭,当切点坐标为(0,0)时,切线斜率2k =,切线方程为20x y -=；当切点坐标为33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时,切线斜率23192324k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭,切线方程为192(1)4y x +=-+,即194270x y ++=. 综上可知,过点(1,2)--且与曲线32y x x =-相切的直线方程为20x y -=或19x +4270y +=.考点3 导数几何意义的综合应用求解导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导,利用题目所提供的直线的位置关系、斜率的范围等条件求解相关问题,此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 考向1 求切点坐标⑥例5（★★）在曲线2y x =上取一点,使得在该点处的切线； （1）平行于直线45y x =-； （2）垂直于直线2650x y -+=； （3）倾斜角为135︒.分别求出满足上述条件的点的坐标.思路分析 先求函数的导函数()f x ',再设切点()00,P x y ,由导数的几何意义知切点()00,P x y 处的切线的斜率为()0f x ',最后根据题意列方程,解关于0x 的方程即可求出0x ,又点()00,P x y 在曲线2y x =上,易得0y .解析 设()y f x =,则2200()()()()lim lim x x f x x f x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆lim(2)2x x x x ∆→=+∆=.设()00,P x y 是满足条件的点.（1）因为点P 处的切线与直线45y x =-平行,所以024x =,解得0x 2=,所以04y =,即(2,4)P .（2）因为点P 处的切线与直线2650x y -+=垂直,且直线265x y -+0=的斜率为13, 所以01213x ⋅=-,解得032x =-,所以094y =,即39,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）因为点P 处的切线的倾斜角为135︒,所以切线的斜率为tan1351︒=-,即021x =-,解得012x =-,所以014y =,即11,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.⑦知识补充⑥根据切线斜率求切点坐标的步骤 （1）设切点坐标为()00,x y ； （2）求导函数()f x '； （3）求切线的斜率()0f x '；（4）由斜率间的关系列出关于0x 的方程,解方程求0x ；（5）由点()00,x y 在曲线()f x 上,将()00,x y 代入解析式求0y ,即得切点坐标. 知识补充⑦求解本题注意方程思想的应用.切点坐标()00,x y 有两个变量,因此需建立两个方程求解. 即时训练5.（★）已知曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标.解析 设点P 的坐标为()300,x x ,∵()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆22300033()()lim x x x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆ 22000lim 33()x x x x x ∆→⎡⎤=+∆+∆⎣⎦ 203x =,2033x =,解得01x =±,∴点P 的坐标是(1,1)或(1,1)--. 考向2 切线围成的三角形的面积问题例6（★★）已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(1,0)处的切线,2l 为该曲线的另一条切线,且12l l ⊥. （1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.解析（1）因为()2200()()22lim lim x x x x x x x x y y x x∆→∆→+∆++∆--+-∆'==∆∆21x =+,所以12113x y ='=⨯+=,所以直线1l 的方程为3(1)y x =-,即330x y --=. 设直线2l 与曲线22y x x =+-切于点()2,2B b b b +-,则2l 的方程为2(21)2y b x b =+--.因为12l l ⊥,所以1213b +=-,所以23b =-,所以直线2l 的方程为12239y x =--,即39220x y ++=.（2）由（1）知,联立330,39220,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得1,65.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线1l 和2l 的交点坐标为15,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.又易知1l 、2l 与x 轴的交点的坐标分别为22(1,0),03⎛⎫- ⎪⎝⎭、,所以所求三角形的面积125512523212S =⨯⨯-=.主编点评本题求解时应抓住两切线斜率的关系及切线斜率与导数的关系,构建方程组求解. 方法技巧求切线围成的三角形的面积时,关键是准确求得切线方程,然后分析围成的三角形的特点,进而求其面积.6.（★★）求曲线1(0)y x x x =->上一点()00,P x y 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点,A B O 、是坐标原点,若△OAB 的面积为13,则0x =_____________.解析 ∵1(0)y x x x=->， ∴011lim x x x x x x x y x∆→⎡⎤⎛⎫+∆--- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦'=∆011()lim x x x x x x x x∆→⎡⎤⎛⎫+∆-+- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦=∆ 0()lim x x x x x x x∆→∆∆++∆=∆ 01lim 1()x x x x ∆→⎡⎤=+⎢⎥+∆⎣⎦ 211x=+, ∴切线的斜率为2011x +,则切线的方程为()00200111y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭, 令0x =得02y x =-,令0y =得02021x x x =+,∴△OAB 的面积020********x S x x =⨯⨯=+,解得0x =(负根舍去).答案考向3 根据切线求参数值例7（★★）设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<,若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值.思路分析 先利用定义求导,结合二次函数求最值,最后结合切线斜率求a . 解析 ∵32()()()()9()1y f x x f x x x a x x x x ∆=+∆-=+∆++∆-+∆--()()3222391329(3)()()xax x x ax x x a x x +--=+-∆++∆+∆, ∴22329(3)()y x ax x a x x x∆=+-++∆+∆∆, ∴22220()lim 329399333x y a a a f x x ax x x ∆→∆⎛⎫'==+-=+---- ⎪∆⎝⎭. 由题意知()f x '的最小值是12-,∴29123a --=-,即29a =,∵0a <,∴3a =-.⑨ 主编点评本题得到()f x '的表达式是关于x 的二次函数,从而可利用二次函数求最值. 方法技巧⑨当题中涉及切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标等问题时,可利用导数的定义与几何意义迅速获解.遇到“切线的斜率最小、最大”问题时,通常只需求出导函数,再求其最值即可解决.即时训练⑦（★★）已知函数3()1f x x ax =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(1,1)-,求a 的值.解析 函数3()1f x x ax =++的导函数为3320()()11()lim 3x x x a x x x ax f x x a x∆→⎡⎤+∆++∆+---⎣⎦'==+∆, ∴(1)3f a '=+,而(1)2f a =+,∴切线方程为2(3)(1)y a a x --=+-,∵切线方程过点(1,1)-,∴12(3)(11)a a --=+--,解得5a =-.。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：10.1 排列、组合 Word版含答案
第十章计数原理§10.1排列、组合Ａ组基础题组1.(2021浙江温州一模,3)8名同学和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )A. B.C. D.2.(2021南昌二模)支配A,B,C,D,E,F六名义工照看甲、乙、丙三位老人,每两位义工照看一位老人.考虑到义工与老人住处距离问题,义工A担忧排照看老人甲,义工B担忧排照看老人乙,支配方法共有( )A.30种B.40种C.42种D.48种3.(2021浙江重点中学协作体摸底)某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需要停放,假如要求剩余的4个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为( )A.16B.18C.24D.324.(2021浙江调研模拟试卷自选模块三(镇海中学),04(1))4名男生3名女生排成一排,若3名女生需要有2名排在一起,但不能全排在一起,则不同的排法种数为( )A.2880B.3080C.3200D.36005.(2021浙江五校第一次联考)设{a n}是等差数列,从{a1,a2,…,a20}中任取3个不同的数,使这3个数仍成等差数列,则这样不同的等差数列的个数最多为( )A.90B.120C.180D.2006.(2021河南高考适应性测试)3对夫妇去看电影,6个人坐成一排.若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性,则坐法的种数为( )A.54B.60C.66D.727.(2022湖北荆门调考,12,5分)含有甲、乙、丙的六位同学站成一排,则甲、乙相邻且甲、丙两人中间恰有两人的站法的种数为( )A.72B.60C.32D.248.(2021浙江诸暨三都综合高中摸底测试)如图,用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( )A.400种B.460种C.480种D.496种9.(2021广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)10.(2021浙江重点中学协作体高考摸底)把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且某人分得的两张票必需是连号,那么不同的分法种数为.(用数字作答)11.(2021浙江六校联考自选模块,04(1))由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是.12.(2021江苏南京检测,9)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).13.(2021四川南充高三第一次高考适应性考试,13)南充市教科所派出4名调研员到3个县,调研该县的高三复习备考状况,要求每个县至少一名,则不同的安排方案有种.14.(2021河南洛阳模拟,18,12分)有5个同学排队,问:(1)甲、乙2个同学必需相邻的排法有多少种?(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种?(3)乙不能站在甲前面,丙不能站在乙前面的排法有多少种?(4)甲不站在中间位置,乙不站在两端的排法有多少种?15.(2021河北石家庄第一次调研,19,12分)某医科高校的同学中,有男生12名、女生8名在某市人民医院实习,现从中选派5名同学参与青年志愿者医疗队.(1)某男生甲与某女生乙必需参与,共有多少种不同的选法?(2)甲、乙均不能参与,有多少种选法?(3)甲、乙二人至少有一人参与,有多少种选法?(4)医疗队中男生和女生都至少有一名,有多少种选法?B组提升题组1.(2021湖北七市4月联考)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼-15飞机预备着舰,假如甲、乙两机必需相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法种数为( )A.12B.18C.24D.482.(2021济南模拟)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有( )A.48种B.72种C.96种D.108种3.(2021兰州双基)从6名男医生、5名女医生中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种4.(2021贵州遵义模拟)从6名同学中选3名分别担当数学、物理、化学科代表,若甲、乙2人至少有1人入选,则不同的选法有( )A.40种B.60种C.96种D.120种5.(2021浙江调研模拟试卷自选模块四(绍兴一中),04(1))书架上有不同的数学书与不同的外文书共7本,若取2本数学书,1本外文书借给3位同学,每人一本,共有72种不同的借法,则数学书与外文书的本数分别为( )A.4,3B.3,4C.5,2D.2,56.(2021浙江台州质检,8)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有2和3时,2需排在3的前面(不肯定相邻),这样的三位数有( )A.51个B.54个C.12个D.45个7.(2022山西八校联考,7,5分)某班班会预备从甲、乙等7名同学中选派4名进行发言,要求甲、乙两人至少有一人参与.当甲、乙同时参与时,他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言挨次的种数为( )A.360B.520C.600D.7208.(2021浙江金华调研,6)将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中挨次为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有( )A.12种B.20种C.40种D.60种9.(2021洛阳期末)将5名实习老师安排到4个班级任课,每班至少1人,则不同的安排方案有种.(用数字作答)10.(2022广东八市联考,16,5分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为.11.(2021浙江名校(金华一中)沟通卷自选模块(六),04(2))某同学期望参与某6所高校中的3所学校的自主招生考试,其中甲、乙两所学校的考试时间相同,因此该同学不能同时报考甲、乙这两所学校,则该同学不同的报考方法种数是(用数字作答).12.(2021北京海淀二模,10)某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有种不同的抽调方法.13.(2021浙江调研模拟试卷自选模块一(诸暨中学),04(2))A,B,C,D,E,F六位同学和一位数学老师站成一排合影留念,数学老师穿白色文化衫,A,B和C,D分别穿白色和黑色文化衫,E和F分别穿红色和橙色文化衫.若老师站中间,穿着相同颜色文化衫的都不相邻,则不同的站法种数为.14.(2021河南郑州检测,20,12分)有5名男生和3名女生,从中选出5人担当5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必需少于男生;(2)某女生肯定要担当语文课代表;(3)某男生必需包括在内,但不担当数学课代表; (4)某女生肯定要担当语文课代表,某男生必需担当课代表,但不但任数学课代表.15.(2021河北唐山模拟,19,12分)某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必需在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?Ａ组基础题组1.A 不相邻问题用插空法,8名同学先排有种排法,产生9个空,2位老师插空有种排法,所以共有·种排法.故选A.2.C 当B照看老人甲时,有=24种支配方法;当B照看老人丙时,有=18种支配方法,所以一共有42种支配方法,故选C.3.C 先排3辆需要停的车有种,排完后有4个空,把4个剩余的车位捆在一起,选一个空放有种,所以共有=24(种).故选C.4.A 不同的排法种数为=2880.5.C 本题难点在于对题意的理解,不妨从特殊状况入手:当取到a1时,由于{a n}是等差数列,所以第三个数只能从{a3,a5,…,a19}共9个中选择,而其次个数由一,三两个数唯一确定;同理,当取到a2时,由于{a n}是等差数列,所以第三个数只能从{a4,a6,…,a20}共9个中选择;同理,当取到的是a3,a4时有8个数列,……,当取到的是a17,a18时有1个,所以共有2××9=90个.又由于交换挨次也可以,所以总共有180个.6.B 当女性有3人相邻时,有2(+1)=36种坐法;当女性只有2人相邻时,有2(1+1)=24种坐法,所以共有36+24=60种坐法,故选B.7.B 由题意知关于甲、乙、丙三人的相对位置共有以下几种站法:乙甲□□丙,丙□□甲乙,甲乙□丙,丙□乙甲,再加上其余三人,站法共有2+2(++)=60种.8.C 从A开头,A有6种方法,B有5种,C有4种,D、A同色有1种,D、A不同色有3种,∴不同的涂法共有6×5×4×(1+3)=480种,故选C.9.答案1560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1560条毕业留言.10.答案96解析共有=96种分法.11.答案108解析先选一个偶数字排在个位,有3种选法;①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,有2=24个,②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,有3=12个.算上个位为偶数的排法,共有3×(24+12)=108个.12.答案336解析3个人各站一级台阶有=210种站法;3个人中有2个人站在一级,另一人站在另一级,有=126种站法,共有210+126=336种站法.13.答案36解析依据题意可得有·=36种不同的安排方案,故答案为36.14.解析(1)(捆绑法)先排甲、乙,有种排法,再与其他3名同学排列,共有·=48(种)不同排法.(2)(插空法)先排其他的2名同学,有种排法,消灭3个空,将甲、乙、丙插空,所以共有·=12(种)排法.(3)这是挨次肯定问题,由于乙不能站在甲前面,丙不能站在乙前面,故3人只能按甲、乙、丙这一种挨次排列. 解法一:5人的全排列共有种排法,甲、乙、丙3人全排列有种排法,而3人按甲、乙、丙挨次排列是全排列中的一种,所以共有=20(种)排法;解法二(插空法):先排甲、乙、丙3人,只有一种排法,然后插入1人到甲、乙、丙中,有4种插法,再插入1人,有5种插法,故共有4×5=20(种)排法.(4)(间接法)5个人的全排列有种,其中甲站在中间有种排法,乙站在两端时有2种排法,甲站在中间同时乙站在两端时有2种排法,所以一共有--2+2=60(种)排法.15.解析(1)只需从其他18人中选3人即可,共有=816(种).(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8568(种).(3)分两类:甲、乙中只有一人参与,则有·种选法;甲、乙两人都参与,则有种选法.故共有·+=6936(种).(4)解法一(直接法):男生和女生都至少有一名的选法可分为四类:1男4女;2男3女;3男2女;4男1女.所以共有·+·+·+·=14656(种). 解法二(间接法):由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数,得-(+)=14656(种).B组提升题组1.C 把甲、乙看作1个元素和除甲,乙,丙,丁外的1架飞机全排列,共有=4种方法;再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中,有=6种方法,由分步计数原理可得总的方法种数为4×6=24.2.B 如图所示,若点B与D处所染颜色相同,则不同的染色方法有4×3×2×2=48种;若点B与D处所染颜色不相同,则不同的染色方法有4×3×2×1×1=24种.由分类加法计数原理可知不同的染色方法总数为48+24=72种.3.C 从6名男医生中选出2名有=15种不同的选法,从5名女医生中选出1名有=5种不同的选法,依据分步乘法计数原理可得,组成的医疗小组共有15×5=75种不同的选法,故选C.4.C 从6名同学中选3名分别担当数学、物理、化学科代表,没有限制条件时共有=120种选法,甲、乙都没入选相当于从4人中选3人,有=24种选法,故甲、乙2人至少有1人入选的不同的选法有120-24=96种.故选C.5.B 设数学书有n本,则有=72,∴n(n-1)(7-n)=24,检验知B符合.6.A 分三类:第一类,没有2,3,由其他三个数字组成三位数,有=6(个);其次类:只有2或3,需从1,4,5中选两个数字,可组成2=36(个);第三类:2,3均有,再从1,4,5中选一个,由于2需排在3的前面,所以可组成=9(个).故这样的三位数共有51个,故选A.7.C 当甲、乙只有一人参与时,不同的发言挨次的种数为2=480,当甲、乙同时参与时,不同的发言挨次的种数为=120,则不同的发言挨次的种数为480+120=600,故选C.8.C (消序法)五个元素没有限制全排列数为,由于要求A,B,C的次序肯定(按A,B,C或C,B,A),故排列数有×2=40(种).9.答案240解析依题意,满足题意的不同安排方案共有=240种.10.答案472解析分两种状况:(1)不取红色卡片,有(-3)种.(2)取红色卡片1张,有种.所以不同的取法有-3+=472种.11.答案16解析该同学甲、乙这两所学校都不报考,有=4种报考方法;该同学报考甲、乙这两所学校中的一所,有=12种报考方法.故该同学不同的报考方法种数是16.12.答案84解析解法一(分类法):在每个车队抽调1辆车的基础上,还需抽调3辆车.可分成三类:一类是从某1个车队抽调3辆,有种,一类是从2个车队中抽调,其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有种;一类是从3个车队中各抽调1辆,有种.故共有++=84(种)抽调方法.解法二(隔板法):由于每个车队的车辆均多于4辆,所以只需将10个份额分成7份.可将10个小球排成一排,在相互之间的9个空中插入6个隔板,即可将小球分成7份,故共有=84(种)抽调方法.13.答案160解析按先排白色,再排黑色,最终排红色和橙色的挨次进行,白色分下面4种状况:白白白此时两个黑色有-1种位置;白白白此时两个黑色有-2种位置;白白白此时两个黑色有种位置;白白白此时两个黑色有-1种位置.所以共有(4-4)=160种排法.14.解析(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(+)种,排列方法有种,所以满足题意的选法有(+)·=5400(种).(2)除去该女生后,相当于选择剩余的7名同学担当四科的课代表,有=840(种)选法.(3)先选后排,从剩余的7名同学中选出4名有种选法,排列方法有种,所以选法共有=3360(种).(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人,有种选法,该男生的支配方法有种,其余3人全排列,有种,因此满足题意的选法共有=360(种).15.解析(1)从余下的34种商品中,选取2种有=561(种),∴某一种假货必需在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有=5984(种)或者-==5984(种),∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种,有=2100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)选取2种假货有种,选取3种假货有种,共有选取方式+=2100+455=2555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(5)解法一(直接法):有2种假货在内,不同的取法有种;有1种假货在内,不同的取法有种;没有假货在内,有种,因此共有选取方式++=6090(种).解法二(间接法):选取3种假货的种数为,因此共有选取方式-=6545-455=6090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：9.2 导数的应用 Word版含答案
§9.2导数的应用Ａ组基础题组1.(2021浙江苍南巨人中学模拟)函数y=4x2+的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.C.(-∞,-1)D.2.(2022课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)3.(2022福建四地六校联考,7,5分)若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)4.(2021浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则+等于( )A. B. C. D.5.(2021浙江,8,5分)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则( )A.当k=1时,f(x)在x=1处取到微小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到微小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值6.(2022陕西,10,5分)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开头下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x7.(2021福建,10,5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中肯定错误的是( )A.f<B.f>C.f<D.f>8.(2021湖南师大附中月考三)设函数f(x)=x3-ax2+3x-2.若f(x)在区间上单调递减,试求实数a的取值范围. 9.(2021浙江名校(镇海中学)沟通卷自选模块(二),03(2))已知函数f(x)=x2++alnx(x>0)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.10.(2021浙江新高考争辩卷自选模块二(慈溪中学),03(2))已知函数f(x)=ax2-4bx+2alnx(a,b∈R),若函数f(x)存在极大值和微小值,求的取值范围.11.(2021浙江台州中学第三次统练,03(2))已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)+m=0在区间内有两个不等实根,求m的取值范围.12.(2021浙江名校(杭州二中)沟通卷自选模块(三),03(2))已知函数f(x)=(ax2+2x)e x在[0,2]上单调递增,求实数a的取值范围.13.(2021浙江新高考争辩卷自选模块一(镇海中学),03(2))设x1,x2是函数f(x)=x3+x2-a2x的两个极值点.若a>0,且|x1|+|x2|=2,求证:|b|≤.14.(2021江苏,19,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试争辩f(x)的单调性; (2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪∪,求c的值.B组提升题组1.(2021东北三校一联)若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C. D.2.(2022辽宁,11,5分)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]3.(2021安徽,10,5分)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<04.(2021课标Ⅱ,12,5分)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)5.(2022山西八校联考,10,5分)设点P在曲线y=e x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)6.(2021浙江新高考争辩卷自选模块五(学军中学),03(2))已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.7.(2021浙江冲刺卷六“复数与导数”模块,03(2))已知函数f(x)=x2+x-2lnx+a在区间(0,2)上恰有一个零点,求实数a的取值范围.8.(2021浙江调研模拟试卷自选模块四(绍兴一中),03)已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值;(2)当x>0时,不等式f(x)≥ax-lnx恒成立,求实数a的取值范围.9.(2021重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值. (1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)e x,争辩g(x)的单调性.10.(2022课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.11.(2021浙江镇海中学新高考调研卷一,21)已知函数f(x)=ax3+2x2-a2x+b2(a,b∈R)在x=1处取得极大值.(1)求a的值及f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程f(x)=b在区间[0,2]上恰有三个不同的实根,求b的取值范围.Ａ组基础题组1.B 由y=4x2+得y'=8x-,令y'>0,即8x->0,解得x>,∴函数y=4x2+在上单调递增.故选B.2.D 依题意得f'(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥在(1,+∞)上恒成立,∵x>1,∴0<<1,∴k≥1,故选D.3.C f'(x)=1+=,若f(x)=x+alnx不是单调函数,则f'(x)=0在(0,+∞)内有解,所以a<0,故选C.4.C 由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f'(x)=3x2-6x+2.x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,因此x1+x2=2,x1·x2=,所以+=(x1+x2)2-2x1·x2=4-=,故选C.5.C 当k=1时,f(x)=(e x-1)(x-1),f'(x)=xe x-1,f'(1)≠0,故A、B错;当k=2时,f(x)=(e x-1)(x-1)2,f'(x)=(x2-1)e x-2x+2=(x-1)[(x+1)e x-2],故f'(x)=0有一根为x1=1,另一根x2∈(0,1).当x∈(x2,1)时,f'(x)<0,f(x)递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增,∴f(x)在x=1处取得微小值.故选C.6.A 依据题意知,所求函数在(-5,5)上单调递减.对于A,y=x3-x,∴y'=x2-=(x2-25),∴∀x∈(-5,5),y'<0,∴y=x3-x在(-5,5)上为减函数,同理可验证B、C、D均不满足此条件,故选A.7.C 构造函数g(x)=f(x)-kx+1,则g'(x)=f'(x)-k>0,∴g(x)在R上为增函数.∵k>1,∴>0,则g>g(0).而g(0)=f(0)+1=0,∴g=f-+1>0,即f>-1=,所以选项C错误,故选C.8.解析f'(x)=3x2-2ax+3.由于函数f(x)在区间上单调递减,所以f'(x)≤0对一切x∈恒成立.从而解得a≥5.9.解析依题意有f'(x)=2x-+≥0对于x≥1恒成立,即x≥1时,a≥-2x2恒成立.令g(x)=-2x2(x≥1),则g'(x)=--4x<0,则g(x)在[1,+∞)上单调递减,∴a≥g(x)max=g(1)=0,即a的取值范围为[0,+∞).10.解析f'(x)=2ax-4b+=(x>0),要使函数f(x)存在极大值和微小值,需2ax2-4bx+2a=0有两个不等的正根x1,x2, ∴即解得>1.11.解析(1)f'(x)=-2bx,f'(2)=-4b,f(2)=aln2-4b.∴-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2.解得a=2,b=1.(2)由(1)知f(x)=2lnx-x2,设h(x)=f(x)+m=2lnx-x2+m,则h'(x)=-2x=,令h'(x)=0,得x=1(x=-1舍去).当x∈时,h'(x)>0,h(x)是增函数;当x∈(1,e]时,h'(x)<0,h(x)是减函数,则方程h(x)=0在内有两个不等实根的充要条件是解得1<m≤+2.12.解析f(x)=(ax2+2x)e x在区间[0,2]上单调递增,则不等式f'(x)≥0在区间[0,2]上恒成立,即(2ax+2)e x+(ax2+2x)e x≥0在区间[0,2]上恒成立,也即ax2+(2a+2)x+2≥0在区间[0,2]上恒成立.设g(x)=ax2+(2a+2)x+2.当a=0时,明显g(x)≥0在[0,2]上恒成立.当a>0时,x=-<0,此时g(x)min=g(0)=2≥0,则g(x)≥0在[0,2]上恒成立.当a<0时,由于g(0)=2,只要g(2)≥0即可,由a·22+2(2a+2)+2≥0得-≤a<0.综上,a∈.13.证明f'(x)=ax2+bx-a2,∵x1,x2是f(x)的两个极值点,∴x1,x2是ax2+bx-a2=0的两个实根.又∵a>0,∴x1x2=-a<0,x1+x2=-,∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=,又∵|x1|+|x2|=2,∴+4a=4,即b2=4a2-4a3=4a2(1-a).∵b2≥0,∴0<a≤1.设b2=g(a)=4a2-4a3,则g'(a)=8a-12a2=4a(2-3a).由g'(a)>0得0<a<,由g'(a)<0及0<a≤1得<a≤1.∴g(a)在上单调递增,在上单调递减,∴g(a)max=g=,∴b2≤,∴|b|≤.14.解析(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-.当a=0时,由于f'(x)=3x2>0(x≠0),所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,若x∈∪(0,+∞),则f'(x)>0,若x∈,则f'(x)<0,所以函数f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减;当a<0时,若x∈(-∞,0)∪,则f'(x)>0,若x∈,则f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f=b<0,从而或又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.设g(a)=a3-a+c,由于函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪∪,则在(-∞,-3)上,g(a)<0,且在∪上,g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g=c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数f(x)有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪1,∪.综上,c=1.B组提升题组1.D 由于f'(x)=6x2-6mx+6,当x∈(2,+∞)时,有f'(x)≥0,即6x2-6mx+6≥0,则m≤x+,又由于y=x+在(2,+∞)上为增函数,故当x∈(2,+∞)时,x+>,故m≤,故选D.2.C 由题意知∀x∈[-2,1]都有ax3-x2+4x+3≥0,即ax3≥x2-4x-3在x∈[-2,1]上恒成立.当x=0时,a∈R.当0<x≤1时,a≥=--+.令t=(t≥1),g(t)=-3t3-4t2+t,由于g'(t)=-9t2-8t+1<0(t≥1),所以g(t)在[1,+∞)上单调递减,g(t)max=g(1)=-6,所以a≥-6.当-2≤x<0时,a≤--+,同理,g(t)在(-∞,-1]上递减,在上递增.因此g(t)min=g(-1)=-2,所以a≤-2.综上可知-6≤a≤-2,故选C.3.A 由f(x)的图象易知d>0,且f'(x)=3ax2+2bx+c的图象是开口向上的抛物线,与x轴正半轴有两个不同的交点,则即故选A.4.A 令g(x)=,则g'(x)=,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数,f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)==0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)====g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0;当x∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0.综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).5.B 函数y=e x和函数y=ln(2x)互为反函数,它们的图象关于y=x对称,则只有直线PQ与直线y=x垂直时,|PQ|才能取得最小值.设P,则点P到直线y=x的距离为d=,令g(x)=e x-x(x>0),则g'(x)=e x-1,令g'(x)=e x-1>0,得x>ln2;令g'(x)=e x-1<0,得0<x<ln2,则g(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,所以当x=ln2时g(x)取得微小值,即最小值,g(x)min=e ln2-ln2=1-ln2>0,所以d min=.则|PQ|min=2d min=(1-ln2).故B正确.6.解析∵当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,∴-3a≤x++.记g(x)=x++,则g'(x)=1--==.当x∈[2,+∞)时,g'(x)≥0,∴g(x)在[2,+∞)上单增递增,∴g(x)min=g(2)=. ∴-3a≤,即a≥-.(5分)7.解析f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=x+1-=,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1.故函数f(x)在区间(0,1]上为减函数,在区间[1,2)上为增函数,则函数f(x)在区间(0,2)上的微小值为f(1)=a+.故当0<x≤1时,f(x)≥a+;当1≤x<2时,a+≤f(x)<4-2ln2+a.要使函数f(x)在区间(0,2)上恰有一个零点,则f(2)≤0或f(1)=0,得a≤2ln2-4或a=-.(5分)8.解析(1)f'(x)=x-=,当1≤x≤e时,f'(x)≥0,故函数f(x)在[1,e]上为增函数,故f(x)max=f(e)=-1.(5分)(2)令g(x)=f(x)-ax+lnx=-ax-lnx(x>0),则g'(x)=x-a-=(x>0).易知g'(x)=0只有一正根.设x0是方程g'(x)=0(x>0)的根,则x∈(0,x0)时,g'(x)<0,x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)min=g(x0),∴-ax0-lnx0≥0,且2-2ax0-1=0,消去a得1--lnx0≥0,又函数y=1-x2-lnx在(0,+∞)上为减函数,且x=1时,y=0,∴0<x0≤1,∴a=x0-≤.(10分)9.解析(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,由于f(x)在x=-处取得极值,所以f'=0,即3a·+2·=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=e x,故g'(x)=e x+e x=e x=x(x+1)(x+4)e x.令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.10.解析(1)f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.由题设得-=-2,所以a=1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k>0.当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一实根. 当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)上没有实根.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.11.解析(1)f'(x)=3ax2+4x-a2,由f'(1)=0⇒a=-1或a=4,当a=-1时,f'(x)=-3x2+4x-1,f'(x)>0⇒<x<1,f'(x)<0⇒x<或x>1,∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴x=1时,函数f(x)取得极大值,∴a=-1符合题意;当a=4时,f'(x)=12x2+4x-16,f'(x)<0⇒-<x<1,f'(x)>0⇒x<-或x>1,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴当x=1时,函数f(x)取得微小值,∴a=4不符合题意. ∴a=-1,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)由(1)知f(x)=-x3+2x2-x+b2,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在[1,2]上单调递减.则f(x)在区间[0,2]上的极大值为f(1)=b2,微小值为f=-+b2,又f(0)=b2=f(1),f(2)=-2+b2<f,所以由方程f(x)=b在区间[0,2]上恰有三个不同的实根,得即∴b的取值范围是-<b<0或<b<.。
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第九章导数及其应用§9.1导数的概念及运算Ａ组基础题组1.(2021江西重点中学盟校一联)函数f(x)=x3的图象在原点处的切线方程为( )A.y=xB.x=0C.y=0D.不存在2.(2022湖北荆门调考,3,5分)函数f(x)=xe x在点A(0,f(0))处的切线斜率为( )A.0B.-1C.1D.e3.(2021浙江重点中学协作体摸底)已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)D.(1,0)4.(2021吉林二调)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c图象上点A(2,1)处的切线方程为2x-y+a=0,则a+b+c=( )A.-B.-C.0D.5.(2021广东惠州第三次调研)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x6.(2022山东曲阜期中,8,5分)设函数h(x),g(x)在[a,b]上可导,且h'(x)<g'(x),则当a<x<b时,有( )A.h(x)<g(x)B.h(x)>g(x)C.h(x)+g(a)>g(x)+h(a)D.h(x)+g(b)>g(x)+h(b)7.(2022陕西,10,5分)如图,修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x8.(2021天津,11,5分)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.9.(2022广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.10.(2021课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .11.(2021河北石家庄一模,14)已知点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为.12.(2021课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .13.(2021浙江温州十校联考,03(2))已知函数f(x)=(x2+ax+2)e x(a∈R).(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)为单调函数,求实数a的取值范围.14.(2021浙江冲刺卷五,03(2))已知函数f(x)=x3-12x+2,其图象过原点的切线与函数g(x)=m-lnx的图象有两个交点,试求m的取值范围.B组提升题组1.(2022课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.32.(2021浙江丽水二模,6)设曲线y=x2+alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为( )A.(1,1)B.(2,3)C.(3,1)D.(1,4)3.(2021江西九校联考)等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=( )A.26B.29C.212D.2154.(2021河南新乡质检,12)过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有( )A.3条B.2条C.1条D.0条5.(2022山东淄博摸底,10,5分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时不等式f(x)+xf'(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=log3·f,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a6.(2022江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.7.(2021浙江温州十校联合体联考)与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是.8.(2021浙江台州椒江一中段考)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为.9.(2021陕西,15,5分)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.10.(2022江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.11.(2022安徽,15,5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P四周位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是(写出全部正确命题的编号).①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx12.(2021河北唐山二模,20,12分)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?假如存在,求出k的值;假如不存在,说明理由.13.(2022北京,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论) Ａ组基础题组1.C 由f'(x)=3x2得f'(0)=0,所以f(x)的图象在原点处的切线方程为y=0,故选C.2.C ∵f'(x)=(x+1)e x,∴f'(0)=1,即所求切线的斜率为1.3.D 设P(x0,y0),由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f'(x0)=4-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).故选D.4.C 由于A(2,1)在直线2x-y+a=0上,所以4-1+a=0,a=-3,又由于f'(x)=3x2+2ax+b,f'(2)=2,所以12+4a+b=2,得b=2.将A(2,1)代入f(x)=x3-3x2+2x+c中,得8-12+4+c=1,得c=1,所以a+b+c=0,故选C.5.D 若f(x)=sinx+cosx,则f″(x)=-sinx-cosx,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,则f″(x)=-,在x ∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x,则f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x,在x∈上,恒有f″(x)>0,故选D.6.D 令f(x)=g(x)-h(x),x∈[a,b],则f'(x)=g'(x)-h'(x)>0,所以f(x)为增函数,所以f(b)>f(x)>f(a),即g(b)-h(b)>g(x)-h(x)>g(a)-h(a),故选D.7.A 设三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则y'=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是曲线y=ax3+bx2+cx+d 在点(0,0)处的切线,则y'|x=0=-1⇒c=-1,排解选项B、D.又y=3x-6是该曲线在点(2,0)处的切线,则y'|x=2=3⇒12a+4b+c=3⇒12a+4b-1=3⇒3a+b=1.只有A选项中的函数符合,故选A.8.答案 3解析∵f'(x)=alnx+a,∴f'(1)=aln1+a=3,解得a=3.9.答案5x+y-3=0解析y'=-5e-5x,曲线在点(0,3)处的切线斜率k=y'|x=0=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.10.答案 1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.11.答案解析设P(x0,y0),P点处切线倾斜角为α,则0≤tanα≤1,由f(x)=x2+2x+3,得f'(x)=2x+2,令0≤2x0+2≤1,得-1≤x0≤-.12.答案8解析令f(x)=y=x+lnx,求导得f'(x)=1+,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-,又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,明显不满足此方程,∴x0=-,此时a=8.13.解析(1)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2].当a=0时,f'(x)=e x(x2+2x+2).f(1)=3e,f'(1)=5e,∴切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.(2)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2],∵e x>0恒成立,且x2的系数为正,∴f(x)在R上单调等价于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,∴(a+2)2-4(a+2)≤0,解得-2≤a≤2.∴a∈[-2,2].14.解析设切点为(x0,-12x0+2),则切线斜率为f'(x0)=3-12,所以切线方程为y-+12x0-2=(3-12)(x-x0),将原点坐标代入上式得x0=1,所以切线方程为y=-9x.由得lnx-9x-m=0,设h(x)=lnx-9x-m,则h'(x)=,令h'(x)=>0,得0<x<,所以h(x)在上单调递增,在上单调递减,所以h(x)最大值=h=-ln9-1-m. 若lnx-9x-m=0有两个解,则h(x)最大值>0.∴m<-ln9-1.B组提升题组1.D y'=a-,x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.2.A y=x2+alnx的定义域为(0,+∞),y'=2x+≥2=4,即a=2,当且仅当x=1时等号成立,此时y=1,故所求的切点坐标是(1,1).3.C 函数f(x)的开放式含x项的系数为a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212,而f'(0)=a1·a2·…·a8=212,故选C.4.A 由题意得,f'(x)=3x2-3,设切点为(x0,-3x0),那么切线的斜率为k=3-3,利用点斜式方程可知切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),将点A(2,-1)代入可得关于x0的一元三次方程2-6+5=0.令y=2-6+5,则y'=6-12x0.由y'=0得x0=0或x0=2.当x0=0时,y=5>0;x0=2时,y=-3<0.所以方程2-6+5=0有3个解.故过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有3条,故选A.5.D 令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x),由题意知g(x)在(0,+∞)内递减,由于f(x)为偶函数,所以g(x)为奇函数,故g(x)在R上为减函数,又log3<logπ3<30.3,所以c>b>a.故选D.6.答案(-ln2,2)解析令f(x)=y=e-x,则f'(x)=-e-x.令P(x0,y0),则f'(x0)=-=-2,解得x0=-ln2,所以y0==e ln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).7.答案3x+y+2=0解析设切点的坐标为(x0,+3-1),由切线与直线2x-6y+1=0垂直,可得切线的斜率为-3,又f'(x)=3x2+6x,故3+6x0=-3,解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为3x+y+2=0.8.答案 4解析∵g(x)=f(x)-x2,∴g'(x)=f'(x)-2x,由题意知g'(1)=2,∴g'(1)=f'(1)-2=2,∴f'(1)=4.9.答案y=-解析由y=xe x可得y'=e x+xe x=e x(x+1),从而可得y=xe x在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xe x取得微小值-e-1,由于y'|x=-1=0,故切线方程为y=-e-1,即y=-.10.答案-3解析∵y=ax2+,∴y'=2ax-,由题意可得解得∴a+b=-3.11.答案①③④解析①直线l:y=0在P(0,0)处与曲线C:y=x3相切,且曲线C在点P(0,0)四周位于直线l的两侧,①对;②直线l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在P(-1,0)处的切线,②错;③中y'=cosx,cos0=1,因此曲线C:y=sinx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0,即f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当x<0时,f(x)<0⇒x<sinx,当x>0时,f(x)>0⇒x>sinx,即曲线C:y=sinx在P(0,0)四周位于直线l的两侧,③正确;④中y'='=,=1,因此曲线C:y=tanx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设g(x)=x-tanx,则g'(x)=1-≤0,即g(x)在上是减函数,且g(0)=0,同③得④正确;⑤中y'=,=1,因此曲线C:y=lnx在P(1,0)处的切线为l:y=x-1,设h(x)=x-1-lnx(x>0),则h'(x)=1-=,当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,因此当x=1时,h(x)min=h(1)=0,因此曲线C在P(1,0)四周位于直线l的一侧,故⑤错误.因此答案为①③④.12.解析(1)f'(x)=3ax2+6x-6a,由于f'(-1)=0,所以a=-2.(2)存在.由题意得直线m恒过点(0,9).先求直线m是曲线y=g(x)的切线.设切点为(x0,3+6x0+12),∵g'(x0)=6x0+6.∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9,当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18,当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9,∴y=9是公切线.又由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴y=12x+9不是公切线.综上所述,k=0时,y=9是两曲线的公切线.13.解析(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3.令f'(x)=0,得x=-或x=.由于f(-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化状况如下表:x (-∞,0)0 (0,1) 1 (1,+∞)g'(x) + 0 - 0 +g(x) ↗t+3 ↘t+1 ↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的微小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,由于g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.。