建模作业商品价格问题
建模作业商品价格问题
商品价格和包装大小的关系摘要我们知道现在很多商品都不止一种包装，为了满足不同消费者需求，厂家生产时将相同商品分成不同质量的包装，定价也各不相同。
显然由于节省包装成本的缘故，大包装商品单位重量价格明显比小包装商品便宜，那么商品价格及单位重量价格与包装大小的具体关系是怎样的，需要我们建立模型来说明。
本文建模的主要目的即是说明商品包装大小和价格的关系，用比例方法构造模型，通过定性分析，观察商品包装成本规律。
可得基本结论:包装增大时单位重量商品的成本减小；单位重量商品价格的减小值不会随着包装增大而无限增大。
我们知道成本包括生产成本、包装成本和其他成本。
由生活常识易知生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积与重量有关，假设出三个参数建立成本与重量的函数关系，进而求导观察函数的增减。
可得价格和单位重量价格与商品包装大小的关系。
关键词：商品包装；比例模型；单位质量价格；成正比一、问题的重述在超市购物时我们注意到大包装商品比小包装商品便宜。
比如题目中提到的洁银牙膏，50g装每只1.50元，即单价为0.03元/g,120g装3.00元，即单价为0.025元/g,单价比1.2:1,。
第一小题要求我们分析商品价格C与商品质量w的关系，价格由生产成本、包装成本和其他成本决定，其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比等。
第二小题要求我们给出单位质量价格c与w的关系并画出简图说明w越大c越小但是随着c减小的程度变小，解释其实际意义。
整个建模过程要求运用比例方法构造模型。
二、问题分析题目中要求分析商品价格和重量的关系，即分析成本和重量的关系，成本由生产成本、包装成本和其他成本组成，生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积又与质量有关，其他成本由于其不确定性为建模带来巨大困难，设为常数即忽略包装损耗及工作效率的差异。
建立几个量之间的函数关系，即可求解。
三、模型假设1.总成本=生产成本+包装成本+其他成本，其中其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比，其他成本记为与w,s无关。
火车售餐价格问 题_数学建模
列车售餐价格问题洪佳李莉1 摘要：列车上的服务方处于垄断地位，有着得天独厚的优势，让食品以高出市场价售出很容易。
价格越高利润自然越大，但乘客有一个承受的上限，超过这一上限，随着价格的继续提高，就会有越来越多的乘客放弃购买，相应地服务方所获得的总的利润就会随之发生变化。
在本模型中，我们选供需双方为一个系统，站在供者的角度研究怎样使得售价乘需求量减成本，即,使销售效益最大化的问题2 问题重述：长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。
提供一天三餐是主要的服务。
由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。
以K452次成都开往乌鲁木齐的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。
由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。
列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。
如一般售价3元的方便面卖5元。
当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。
但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。
假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。
请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。
3 问题分析：价格增长利润增加同时导致要求购买的人数下降；价格降低利润减小同时导致要求购买的人数上升；存在最优的价格使得列车上的东西全都售出同时获得最大效益；这是一个优化问题，关键在找到最优的价格。
4 问题假设：1）盒饭价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买 ,即b1 = 20;2）方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买 ,即b2 = 36;3）因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份；4）早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买, 即b3 = 30;5）各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1 = 10元（盒饭），q2 = 3元（方便面），q3 =5元（早餐）；6）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数进一步设: x ( p ) = a – bp, a, b > 0；5 符号说明：q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；p：食物所卖的价格；a：绝对需求( p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；b ：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）；I ：收入；U ：利润；C ：支出；x ：需要购买某食物的人数；相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2, x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；6 模型建立与求解：采用先统一再分开的算法；收入I ( p ) = px; 支出 C ( p ) = qx; 利润 U ( p ) = I ( p ) – C ( p ); 求p 使U ( p ) 最大； 使利润 U (p )最大的最优价格 p *满足U ( p ) = I ( p ) – C ( p )= (p –q )( a – bp) = -bpp + ( a + bq)p - aq因为 q / 2 ~ 成本的一半；b ~ 价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b ↑ → p*↓a ~ 绝对需求( p 很小时的需求) a ↑ → p* ↑7 对于盒饭：由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 20p1;由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5;由 500 – 20 * 17.5 = 150 < 200; 此时不能直接用公式；由500 – 20p1 >= 200 得到 p1 <= 15;所以取得最大利润时p1 = 15;8 同理可得方便面：q2 = 3, b2 = 36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2 = 300, 购买人数x = 300 –36p2 ;由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q2 / 2 + a2 / 2 * b2 = 3 / 2 + 300 / 2 * 36 = 6.3;由 300 – 36 * 6.3 = 73 < 100; 此时也不能直接用公式由 300 – 36 * p2 >= 100;得到p2 <= 5.5 由U （p ）= -bpp + (a + bq)p – aq 可知： 当U （p)取最大值时，p2 = 5.5;0*==p p dp dU p x p I =)(q x p C =)(b p a p x -=)((p x9 同理可得早餐：q3 = 5, b3 = 30；因为500人有在车上买饭的要求，以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 –30p3;因为供应量不受约束，所以可以直接用公式：由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q3 / 2 + a3 / 2 * b3 = 5 / 2 + 500 / 2 *30 = 11.5;所以取得最大利润时p1 = 11.5;10 结果分析与检验:1）盒饭、方便面、早餐的价格分别为15元、5.5元、11.5元；1)通过计算各价格都没有超出市场价格的3倍，并且能使所提供（早餐除外）的卖完.并从中获取最大的效益；2)算出的这些结果，消费者应当能够接受的；3)该模型算出的价格跟列车的实际价格相差不多，说明它是合理的；4)该模型中的建模与求解的过程已对它检验过了，深入地检验有待实践去完成；11 模型的评价：优点：由一个二次函数来解决了这个价格优化问题，从而获得了最大效益；使一个复杂多变的问题简单化了；缺点：需求对价格的敏感度仅靠自我的经验而得出的并没有精确化，敏感度问题仅用了一次函数，这太过简单化，可能不能很好的表现出它真实的模；改进方向：将敏感度问题精确化，进一步的接近于现实；函数可以尝试用更高层次富于变化的；推广新思想：建立数学模型必须从多方面去思考，它的最终目的是使复杂问题简单化、实际问题数学化；数学问题又生活化；但这些都有一个前提：必须要有严密的数学法则，数学理论为基础；12 参考文献：[1] 熊伟.运筹学[M]，武汉.武汉理工大学[2] 姜启源等.数学模型[M]，北京.高等教育出版社。
食品价格变动分析数学建模 (1)
食品价格变动分析摘要本文在研究分析挖掘食品平均价格数据的基础上，分析了食品价格变动的特点、未来一段时间食品价格的预测以及食品价格与CPI的关系。
针对问题一，首先要对附录中27种食品进行分类，本文选择根据2014年1-4月各种食品平均价格涨跌幅的原始数据，应用SPSS进行组间系统聚类分析，将总体27种食品分为了6大类，分别作出这6大类食品价格随时间变化的折线图，分析出食品价格波动的特点。
针对问题二，结合1中的结论，应用SPSS软件对六类食品的均价走势进行线性，二次项，三次，对数等拟合，并依据2R、F检验显著度选择拟合方式，最后，通过拟合函数预测2014年5月份食品价格走势。
针对问题三，我们通过所给数据及查找的数据，进行食品价格走势与CPI变化相关度分析,选择相关性P>7.0分析得出27种食品种类中价格走势与CPI指数变动相似的依次为第1、7、15种食品，故可以通过检测较少食品种类，就能相对精确地预测CPI数值。
经过对地域经济特点的研究，选取河北和上海两地，通过查找相关CPI和食品价格数据，计算得出对CPI影响大的几类食品权重，分析得出不同地区应选取不同的食品种类进行检测。
关键词：组间系统系统聚类分析拟合相关性分析权重分析一、问题重述1.1 问题背景食品价格是居民消费价格指数（CPI）的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，影响人们的生活质量，是关系国计民生的重要战略问题。
1.2 问题提出根据已知的信息，建立数学模型解决以下问题：（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。
（2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。
（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。
用函数建模法解应用题
台
台
分析：
01
塘下 有6台
07
50元
02
莘塍 有12台
08
80元
03
飞云镇中 要10台
04
上望二中 要8台
05
40元
06
30元
09
10
11
12
X台
(6-x)台
(10-x)
(2+x)
台
台
建模法解应用题的一般步骤：
实际问题
数学化
数学模型
回 答 问 题 实际结果
现实化
数 学 解 答 数学结论
(25天时,获得最 大利润,且最大 利润是6250元.)
100
100
0
200 t（天）
0
150 t（天）
（1）写出图甲中表示市场售价p与上市时间t的关系式 P=－t+300
（2）写出图乙中表示种植成本Q与上市时间t的关系 式Q= 1 ( t1502)100
150
（3）如果市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时
上市的草莓纯收益最大？ Y = p – Q = 1-510t2+t+50
50
80
莘塍
30
40
（1）求总运费最低的调运方案及最低运费？
（2）最不合理的调运方案是哪一种？它使公司造 成的不该有的损失是多少？
分析：
01
塘下 有6台
07
50元
02
莘塍 有12台
08
80元
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飞云镇中 要10台
04
上望二中 要8台
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40元
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经济数学建模作业及答案
2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍？1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S 80353.92t e dt -==⎰8003S S re =4、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车哪一种方式合算。
计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。
租车租金流量总值的现值为所以买车比租车合算。
002.5S S +=2T0.08（1）2101014141172003875635000i i i i i S e e -%-%==≈>=∑∑5、一商家销售某种商品的价格满足关系x p 2.07-=(万元/吨)，x 为销售量(单位：吨)；商品的成本函数是C =3x +1(万元)。
(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t (万元)，求该商家获最大利润时商品的销售量；(2) t 为何值时，政府税收总额最大。
6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长多少？总收益会增长多少？2'5(2) 10 0 22T tx t t T t ==-=⇒=R18%,3%R Q Q∆∆==令2(70.2)31(4)0.21Px C Tx x x tx t x x --=----=---'''5()0,()0102L x L x x t=<⇒=-（1）利润L(x)=7、某消费者打算购买两种商品q 1和q 2，他的预算约束是240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为U=q 1q 2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效用是多少？8、效用函数U (q 1,q 2) 应满足的条件是以下的A,B 之一：A. U (q 1,q 2) =c 所确定的函数q 2=q 2(q 1)单调减、下凸；0,0,0,0,0.B 21222221221>∂∂∂<∂∂<∂∂>∂∂>∂∂q q Uq U q U q U q U AB ⇒证明：对U (q ,q 2) =c 两端求q 1的一阶导和二阶导12102240q q +=1212MU MU P P =1212,60q q ==解建立方程组得解出一元钱边际效用为610、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。
数学建模论文-生猪价格[1]
![数学建模论文-生猪价格[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/ed2c00d53186bceb19e8bbe8.png)
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学院（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2010 年 5 月 29 日评阅编号(教师评阅时填写)：生猪价格问题摘要本文主要就生猪价格下跌原因以及如何制定合理的生猪价格定价策略问题采用线性回归和对数线性模型以及统计学知识对其进行分析。
问题一，采用线性回归法，对猪肉价格的发展趋势进行短期预测。
首先通过对2009年12月到2010年5月我国猪肉价格分析得出，猪肉价格在短期内呈线性下降趋势，得到线性方程^t S a bt =+，然后用根据这个线性方程拟合该时间序列上的猪肉变化趋势，再与实际的变化曲线进行比较，说明此方法的可行性，并对2010年6月的猪肉价格进行预测。
问题二，首先根据猪的不同重量，将猪分为三个成长阶段：5Kg ～25Kg 为幼年期；25Kg ～90Kg 为成长期；90Kg ～110Kg 为成年期。
由于猪的体重从5到110公斤呈正态分布，可以算出这三个阶段的猪的数量比为6：988：6。
然后根据猪场收入与成本建立猪场盈亏平衡点等式模型362%100n X G m ⨯⨯⨯=⨯生。
可以得到猪粮比约为6：1，即该养猪场的盈亏平衡点，从而得问题四出定价策略的数学模型中的猪粮比参数s 。
接着对2009年12月到2010年5月的猪肉价格和猪料价格进行统计，分别求出他们之间的猪料比值。
农产品定价-数学建模竞赛
第1号题水质评价按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。
现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。
第2号题工资比较为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如表一所示，试通过回归方程分析月工资收入与性别和工作年限有何关系。
表一 10名职工工资水平、工作年限和性别数据第3号题农产品定价某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。
原奶首先要分离成脂肪和奶粉两中组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。
各种产品的百分比组成见下表：产品\成分脂肪奶粉水牛奶4987奶油80218奶酪1353035奶酪2254035往年的国内消费和价格如下表：产品牛奶奶油奶酪1奶酪2消费量（千吨）482032021070价格（元/吨）2977201050815价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：E=需求降低百分数/价格提高百分数各种产品的E值，可以据往年的价格而后需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。
表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值,同样可以凭数据用统计方法求出已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1, E21=0.4.试求出4种产品的价格，试所导致的需求使销售总收入为最大。
然而，政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。
因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
2023数学建模国赛c题思路--蔬菜类商品的自动定价与补货决策
2023数学建模国赛c题思路--蔬菜类商品的自动定价与补货决策一、问题概述蔬菜类商品定价与补货是一个复杂的决策过程，涉及多方面因素，包括市场需求、成本、竞争状况等。
在本次数学建模比赛中，我们将重点关注2023年的蔬菜市场，运用数学模型和方法对蔬菜类商品进行自动定价和补货决策。
二、思路与方法1.数据收集与处理数据是制定有效决策的关键。
首先，我们需要收集关于蔬菜类商品的各种数据，包括但不限于：市场价格、需求量、成本、竞争对手价格等。
这些数据可以通过市场调查、政府报告、行业协会等途径获取。
在收集到数据后，我们需要进行清洗和整理，确保数据的准确性和完整性。
2.需求预测需求预测是定价和补货决策的基础。
通过分析历史销售数据，我们可以预测未来的市场需求。
常用的需求预测方法包括时间序列分析、回归分析等。
通过预测未来一段时间内的需求量，我们可以更好地制定定价和补货策略。
3.成本分析成本是定价的重要因素之一。
我们需要分析蔬菜类商品的成本结构，包括种植、采摘、运输、储存等环节的成本。
通过成本分析，我们可以了解商品的盈亏平衡点，为定价提供依据。
4.定价策略在综合考虑需求和成本后，我们可以制定定价策略。
常见的定价策略包括成本加成定价、竞争导向定价等。
在制定定价策略时，我们需要考虑市场需求、竞争对手价格、商品特点等因素。
5.补货计划补货计划是根据需求预测和库存情况制定的采购计划。
我们需要根据市场需求和库存情况确定最佳补货时间点和补货量。
常用的补货计划方法包括实时库存监控和定期补货计划等。
通过制定合理的补货计划，我们可以确保库存充足，满足市场需求。
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商品价格和包装大小的关系
摘要
我们知道现在很多商品都不止一种包装，为了满足不同消费者需求，厂家生产时将相同商品分成不同质量的包装，定价也各不相同。
显然由于节省包装成本的缘故，大包装商品单位重量价格明显比小包装商品便宜，那么商品价格及单位重量价格与包装大小的具体关系是怎样的，需要我们建立模型来说明。
本文建模的主要目的即是说明商品包装大小和价格的关系，用比例方法构造模型，通过定性分析，观察商品包装成本规律。
可得基本结论:包装增大时单位重量商品的成本减小；单位重量商品价格的减小值不会随着包装增大而无限增大。
我们知道成本包括生产成本、包装成本和其他成本。
由生活常识易知生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积与重量有关，假设出三个参数建立成本与重量的函数关系，进而求导观察函数的增减。
可得价格和单位重量价格与商品包装大小的关系。
关键词：商品包装；比例模型；单位质量价格；成正比
一、问题的重述
在超市购物时我们注意到大包装商品比小包装商品便宜。
比如题目中提到的洁银牙膏，50g装每只1.50元，即单价为0.03元/g,120g装3.00元，即单价为0.025元/g,单价比1.2:1,。
第一小题要求我们分析商品价格C与商品质量w的关系，价格由生产成本、包装成本和其他成本决定，其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比等。
第二小题要求我们给出单位质量价格c与w的关系并画出简图说明w越大c越小但是随着c减小的程度变小，解释其实际意义。
整个建模过程要求运用比例方法构造模型。
二、问题分析
题目中要求分析商品价格和重量的关系，即分析成本和重量的关系，成本由生产成本、包装成本和其他成本组成，生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积又与质量有关，其他成本由于其不确定性为建模带来巨大困难，设为常数即忽略包装损耗及工作效率的差异。
建立几个量之间的函数关系，即可求解。
三、模型假设
1.总成本=生产成本+包装成本+其他成本，其中其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比，其他成本记为与w,s无关。
2.商品包装在用料形状大小方面完全相同没有差异。
3.商品成本中的其他成本包括包装损耗及工作效率不一忽略不计。
四、变量说明
商品价格：C
商品单价：c（单位重量价格）
商品重量：w
商品表面积：s
总成本：A
生产成本：包装成本：其他成本：
1 a
2 a
3 a
五、模型的建立与求解
5.1模型的建立
生产成本与重量w 成正比，有=kw (其中k>0且为常数）
包装成本与表面积s 成正比，而一般地s 又与成正比，
有,
(m,l 均>0且为常数） 其他成本为固定常数，与w,s 无关
由总成本=生产成本+包装成本+其他成本
有
所以商品单位重量价格为
（其中k,m,l 均为大于0的常数）
5.2.模型的求解
（其中k,m,l 均为大于0的常数）
上述c-w 的函数对w 求导可得：
易知,所以c 是定义域上的减函数，对再求导可得c 是定义域上的凹函数， 即随着w 的增大，c 的减少量始终减小，当w 很大时，，即c 不再减小。
w 和c 的关系如下图。
1a 1a 2a 23w 23s lw =232a ms mlw ==3a 123A a a a =++233kw lmw a =++1331A c k lmw c w w -==++1331A c k lmw c w w -==++3432113c mlw c w -'=--0c '<c '0c '
→
六、模型的解释
从上述函数可得，c 是w 的减函数，c 随着w 的增大而减小，说明大包装比小包装便宜；但是由c 是定义域上的凹函数，说明单位重量价格的减小值随着重量变大的是在减少的，当某一刻w 足够大时，，c 不再减少，所以不是包装越大单位质量越小，建模的实际意义告诉我们不要一味追求大包装商品。
七、模型的评价
上述模型虽然来自对现实精确的评估，但仍然停留在定性分析阶段，结论是可靠的，但是模型本身来说比较粗糙，缺少检验步骤，需要对同一种商品不同包装进行大数据检测，但是商品本身包装规格只有有限种类，就给检验增加了难度。
最后函数中含有三个参数，想要确定参数的值，至少需要三组不同重量及包装的同种商品。
0c '→。