大学物理4-1刚体的平动、转动和定轴转动
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4-1刚体转动定律
2l
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
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2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
大学物理B1_第4章_2
v 4mgh m 2m
R
m'
0
m
v
h
求加速度
dv a dt
m
4mg 1 ds 2m g m 2m 2 s dt m 2m
14
第四章 刚体的转动2
上题若用转动定律求加速度、张力、速度等
M J 1 1 1 2 FT R mR FT mR ma 2 2 2 1 mg FT ma mg ma ma 2 a R 2m mm a g FT g 2m m 2m m
1）守恒条件：M=0，外力矩为零，或 M内力矩>>M外力矩； 2）内力矩不改变系统的总角动量； 3）是自然界中一个基本规律 有许多现象都可以用角动量守恒来说明。 花样滑冰
6
第四章 刚体的转动2
例1. 如图示，一长度为l，质量为m的细杆在光滑水平面内沿杆 的垂向以速度v平动。杆的一端与定轴Z相碰撞后杆将绕Z轴转动， 求杆此时转动的角速度。
第四章 刚体的转动2
例3.一质量为m，半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩 擦的水平轴转动，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体，问 物体在静止下落高度h时，其速度的大小为多少? 解： 系统：物体、圆盘、地球 重力势能零点为0点 o
1 1 2 2 0 J O mv mgh 2 2 1 J O mR 2 v R 2 11 1 mR2 2 mv2 mgh 22 2
L1 L2
m1
v 1 r sin 2 m1r 2 2 2
o
r
L1 m2 vr sin 1
L2 m2
m2
v
v 1 m2 vr sin 60 m2 r sin 30 m1r 2 2 2
R
m'
0
m
v
h
求加速度
dv a dt
m
4mg 1 ds 2m g m 2m 2 s dt m 2m
14
第四章 刚体的转动2
上题若用转动定律求加速度、张力、速度等
M J 1 1 1 2 FT R mR FT mR ma 2 2 2 1 mg FT ma mg ma ma 2 a R 2m mm a g FT g 2m m 2m m
1）守恒条件：M=0，外力矩为零，或 M内力矩>>M外力矩； 2）内力矩不改变系统的总角动量； 3）是自然界中一个基本规律 有许多现象都可以用角动量守恒来说明。 花样滑冰
6
第四章 刚体的转动2
例1. 如图示，一长度为l，质量为m的细杆在光滑水平面内沿杆 的垂向以速度v平动。杆的一端与定轴Z相碰撞后杆将绕Z轴转动， 求杆此时转动的角速度。
第四章 刚体的转动2
例3.一质量为m，半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩 擦的水平轴转动，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体，问 物体在静止下落高度h时，其速度的大小为多少? 解： 系统：物体、圆盘、地球 重力势能零点为0点 o
1 1 2 2 0 J O mv mgh 2 2 1 J O mR 2 v R 2 11 1 mR2 2 mv2 mgh 22 2
L1 L2
m1
v 1 r sin 2 m1r 2 2 2
o
r
L1 m2 vr sin 1
L2 m2
m2
v
v 1 m2 vr sin 60 m2 r sin 30 m1r 2 2 2
4刚体的平面运动
A2
M
刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。
3 刚体平面运动的分解
平面图形S在其平面上的位置完 全可由图形内任意线段O'M的位置来 确定，而要确定此线段的位置，只需 确 定 线 段 上 任 一 点 O' 的 位 置 和 线 段 O'M与固定坐标轴Ox间的夹角 即可。 点O'的坐标和 角都是时间的函数， 即 y S M
以A为基点，分析点B的速度。
vB v A vBA
vBA wII BA wO (r1 r2 ) vA
vBA与vA垂直且相等，点B的速度
2 2 vB vA vBA 2vA 2wO (r1 r2 )
vC vA vB vBA vA B vA D vCA C A II wII
例7 直杆AB与圆柱O相切于D点， 杆的A端以 vA 60cm s匀速向前滑动， B r ，圆柱与地面、圆 10 cm 圆柱半径 柱与直杆之间均无滑动，如图，求 w 时圆柱的角速度。 60 O 解一：圆柱作平面运动，其 C1点，设其角速度为 w 。 瞬心在
w AB
D
C2
vD
3 刚体平面运动的分解
刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动。 若作一平面N与平面M平行, 并以此去截割刚体得一平 面图形S。 可知该平面图 形S始终在平面N内运动。 因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动。 A1A2 的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。
A1 N A S
vCA
N
S
C
vA
A
vC vA w AC
如果取AC＝ vA /w ，则
vC vA w AC 0
大学物理刚体力学
4-2-1力矩 1.外力F在转动平面内：
Mi ri Fi
ri : 转动平面与转轴交点 o指向力的作用点的矢量 。
z
Fi
Fi
i
Fin
大小：Miz ri Fi sini ri Fi
(Fi Fi sini : 力的切向分量）
方向：右手螺旋，图中向上
2.外力 F不在转动平面内，将其分解为F和F||
解 (1)碰撞过程经历的时间极短，因此，系统所受外力(重力与轴的支持力)对于
轴O的力矩都为零，因而系统对轴O的角动量守恒。
碰前角动量
L1
mv l 2
碰后角动量
L2 J
J 为子弹与杆组成的系统相对于O的转动惯量，且：
M
J J 杆 J子弹
由角动量守恒
M l2 12
m( l )2 2
•O l mv
Md
dA Md M与d同向，dA为正；否则为负。
当刚体由
1
位置，外力矩作功：
2
A dA 2 Md 1
若M为恒力矩
A
2 Md M
1
2 1
d
M (1
2)
功— —力矩的角积累（空间积累）效应。
4-3-2刚体定轴转动的动能
mi：
Eki
1 2
mi
vi2
1 2
mi
ri2
2
总转动动能： Ek
此平行
转动：刚体上所有质元都绕同一直线(转轴)作圆周运动
如转轴相对所选参照系固定不动，称定轴转动
刚体运动＝平动＋转动
•A
•A
•C •A
•C •B •C
•B
•B
o
o
图4-1 刚体的平动
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
大学物理04刚体
合外力矩沿着转 轴方向的分量
----微分形式
冲量矩
Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
J2
J1
----积分形式
如果转动惯量变化了
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J22
J11
二当、刚M体定0 轴转动角动量守恒
B两滑轮的角加速度分别为 A和 B ，不 计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速
度大小满足（A ）
A A B
R
R
B A B
C A B
m
F
A
B
[例12]质量为mA的物体A静止在光滑水平面 上，它和一质量不计的绳索相连接，此绳 索跨过一半径为R、质量为mc的圆柱形滑 轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B 竖直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴
0.5m
JC 1 0.32 2 0.52
0.59kg m2
例4质量m,长度L 的均质细杆的转动惯量 （1）转轴过杆的端点
dm m
dl L
dm
dx
x
J L x2dm L x2dx 1 mL2
0
0
3
（2）转轴过杆的中点
dm dx x
J
单位：kg m2
连续分布有
r 2dl 线分布，为线密度
J
r
2dm
r
2
ds
面分布， 为面密度
r 2 dV 体分布，为体密度
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
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刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都相同。而且在任何时刻，各个 质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内 任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。
刚体运动时，如果刚体中的每个质点都绕同 一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一 直线就叫做转轴。
定轴转动
3. 刚体的定轴转动
O
an r
v
a
at
角速度
解 （1）设初始角度0的方向如图所示， 量值为0=21500/60rad/s =50 rad/s，对于
匀变速转动，应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时 =0，代入方程0t 得 0 50 rad / s2
t 50 3.14rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数
定轴转动： 刚体上各点都绕同一固定轴作不同半径的圆周运动。
定轴转动
特点： 角位移、角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内作圆周运动。
z
A
r1 o1
A
B
r2
o2
B
角位移 角速度 d
dt
角加速度 d
dt
刚体的定轴转动
角速度
4. 角速度矢量
角速度的方向：与刚体 转动方向呈右手螺旋关系。
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a bb
平动和转动
刚体的平动过程
c a
b
平动和转动
刚体的平动过程
c a
b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得
d d (a 3bt2 4ct3) 6bt 12ct2
dt
由此可见飞轮作变加速转动。
vr 78.5m/s
切向加速度和向心加速度分别为
at r 3.14m/s2 an 2r 6.16 103 m / s2
角速度
边缘上该点的加速度 a an，a其t 中 的方at向与
v
的方向相反，an的方向指向轴心， a的大小为
a an2 at2 (6.16103)2 3.142 m / s2
在定轴转动中，角速 度的方向沿转轴方向。
ω
角速度矢量
角速度
例题4-1 一飞轮转速n=1500rev/min，受到制动后均匀
地减速，经t=50s后静止。
（1）求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t =25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。
6.16103 m / s2
a
的方向几乎和
an 相同。
角速度
例题4-2 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 ,
式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。
解：将飞轮的角位置＝at+bt3-ct4 对t求导数，即得飞轮
角速度的表达式为
d (at bt3 ct4 ) a 3bt2 4ct3
N 分别为
角速度
0
0t
1 2
t2
50
50
1
2
502
1250 rad
N 1250 ＝625转 2 2
（2）t=25s 时飞轮的角速度为
0 t (50 25)rad /s 25 rad /s 78.5rad /s
角速度
的方向与0相同 ； （3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动
1. 刚体
刚体是一种特殊的质点系统，无论它在 多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离 始终保持不变。
2. 平动和转动
刚体最简单的运动形式是平动和转动。
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直 线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动 叫平动。
平动和转动
刚体的平动过程
刚体运动时，如果刚体中的每个质点都绕同 一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一 直线就叫做转轴。
定轴转动
3. 刚体的定轴转动
O
an r
v
a
at
角速度
解 （1）设初始角度0的方向如图所示， 量值为0=21500/60rad/s =50 rad/s，对于
匀变速转动，应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时 =0，代入方程0t 得 0 50 rad / s2
t 50 3.14rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数
定轴转动： 刚体上各点都绕同一固定轴作不同半径的圆周运动。
定轴转动
特点： 角位移、角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内作圆周运动。
z
A
r1 o1
A
B
r2
o2
B
角位移 角速度 d
dt
角加速度 d
dt
刚体的定轴转动
角速度
4. 角速度矢量
角速度的方向：与刚体 转动方向呈右手螺旋关系。
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a bb
平动和转动
刚体的平动过程
c a
b
平动和转动
刚体的平动过程
c a
b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得
d d (a 3bt2 4ct3) 6bt 12ct2
dt
由此可见飞轮作变加速转动。
vr 78.5m/s
切向加速度和向心加速度分别为
at r 3.14m/s2 an 2r 6.16 103 m / s2
角速度
边缘上该点的加速度 a an，a其t 中 的方at向与
v
的方向相反，an的方向指向轴心， a的大小为
a an2 at2 (6.16103)2 3.142 m / s2
在定轴转动中，角速 度的方向沿转轴方向。
ω
角速度矢量
角速度
例题4-1 一飞轮转速n=1500rev/min，受到制动后均匀
地减速，经t=50s后静止。
（1）求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t =25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。
6.16103 m / s2
a
的方向几乎和
an 相同。
角速度
例题4-2 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 ,
式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。
解：将飞轮的角位置＝at+bt3-ct4 对t求导数，即得飞轮
角速度的表达式为
d (at bt3 ct4 ) a 3bt2 4ct3
N 分别为
角速度
0
0t
1 2
t2
50
50
1
2
502
1250 rad
N 1250 ＝625转 2 2
（2）t=25s 时飞轮的角速度为
0 t (50 25)rad /s 25 rad /s 78.5rad /s
角速度
的方向与0相同 ； （3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动
1. 刚体
刚体是一种特殊的质点系统，无论它在 多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离 始终保持不变。
2. 平动和转动
刚体最简单的运动形式是平动和转动。
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直 线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动 叫平动。
平动和转动
刚体的平动过程