必修4第三章《三角恒等变换》单元检测题

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数学必修4单元检测：第3章三角恒等变换附答案含解析

数学苏教必修4第3章三角恒等变换单元检测(满分：100分时间：60分钟)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．若α的值为__________．2．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c a ，b ，c 的大小关系是__________．3．已知2sin 3α＝，则cos(π－2α)＝__________.4．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值是__________． 5__________．6．已知α∈(π，2π)__________.7．若π1sin =63α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________.8．若θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ的值为__________．9．(2012江苏高考，11)设α为锐角，若π4cos =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．10．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝－1)，n ＝(cosA ，sin A )．若m ⊥n ，且a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，则角B ＝__________.二、解答题(本大题共4小题，共50分)11．(12分)已知12cos 13α＝，4sin 5β-＝，α，β均是第四象限角，求sin(α－β)的值． 12．(12分)已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－．(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 13．(12分)化简下列各式：；(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 14．(14分)已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)设α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫⎪⎝⎭＝，求α的大小．参考答案1. 答案：－3 解析：原式＝cos 2sin |cos ||sin |αααθ+＝cos 2sin cos sin αααα+--＝－1－2＝－3.2. 答案：a ＜c ＜b解析：a ，b ，c ，所以a ＜c ＜b . 3. 答案：19-解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝19-. 4. 答案：4解析：(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋[tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)]＋tan 21°tan 24°＝2，同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，所以原式＝4.5. 解析：＝cos20cos35(cos10sin10)︒︒⋅︒-︒6. 答案：cos 2α-∵α∈(π，2π)，∴2α∈ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，.∴cos <02α.cos 2α-. 7. 答案：79-解析：∵πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππcos 26α⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π1cos =33α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭＝πcos 23α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝2π2cos 13α⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2×19－1＝79-.8.答案：3解析：(sin2θ＋cos2θ)2＝sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ＝5192+sin22θ＝1，故28sin29θ＝.又因为2kπ＋π＜θ＜2kπ＋3π2(k∈Z)，所以4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π(k∈Z)．所以sin 2θ＞0，即sin 23θ＝.9.解析：∵α为锐角，π4 cos=65α⎛⎫+⎪⎝⎭，∴π3 sin=65α⎛⎫+⎪⎝⎭，∴πsin26α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ππ2sin cos66αα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝34242=5525⨯⨯，且0＜α＋π6＜π4，故0＜α＜π12，∴π26α⎛⎫+⎪⎝⎭＝2α＋π3∈ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭，∴π7 cos2=625α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴πsin212α⎛⎫+⎪⎝⎭ππsin234α⎡⎤⎛⎫+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝＝ππsin2cos34α⎛⎫+⎪⎝⎭ππcos2sin34α⎛⎫+⎪⎝⎭－＝ππππsin2cos cos2sin6464αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝247 2525-10.答案：π6解析：m⊥n⇒3cos A－sin A＝0⇒A＝π3，sin A cos B＋sin B cos A＝sin C sin C，sin A cosB＋sin B cos A＝sin(A＋B)＝sin C＝sin2C⇒C＝π2，∴B＝π6.11.解：∵α，β均是第四象限角，∴5sin=13α--，3cos5β.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝5312433=13513565⎛⎫-⨯-⨯-⎪⎝⎭.12.解：(1)因为()π4cos sin16f x x x⎛⎫+⎪⎝⎭＝－＝14cos cos122x x x⎛⎫+⎪⎪⎝⎭－x＋2cos2x－1x＋cos 2x＝π2sin26x⎛⎫+⎪⎝⎭，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为π6－≤x≤π4，所以π6－≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即当π6x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝π6－，即π6x＝－时，f(x)取得最小值－1．13.解：(1)2sin8012sin50cos10cos102⎛⎫︒︒+︒︒⎪︒()2sin802sin50cos6010︒︒+︒-︒＝2cos5⎫︒︒⎪⎝⎭︒＝2cos(5045)cos5︒-︒︒＝2.(2)解法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin20cos20cos40cos804sin20︒︒︒︒︒＝2sin 40cos 40cos802sin 80cos808sin 2016sin 20︒︒︒︒︒=︒︒＝sin160116sin 2016︒==︒. 解法二：令M ＝sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°， N ＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°，则MN ＝(sin 10°cos 10°)(sin 30°cos 30°)(sin 50°cos 50°)(sin 70°cos 70°)＝412sin 20°sin 60°sin 100°sin 140° ＝412cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝412N ， ∴116M ＝，即sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.14. 解：(1)由ππ242x k π+≠+，k ∈Z ，得ππ82k x ≠+，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为ππ|,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由2f α⎛⎫⎪⎝⎭＝2cos 2α，得πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos 2α，即πsin 4πcos 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2(cos 2 α－sin 2 α)，整理得sin cos cos sin αααα+-＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈π0,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即1sin 22α＝.由α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以π2=6α，即π=12α.。

数学人教A版必修4单元检测：三角恒等变换附答案含解

数学人教A 版必修4第三章三角恒等变换单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 105°＝( )A ．2B ．－2C ．－3D ．－22．已知sin2α＝45，cos 2α＝35-，则sin α等于( ) A ．1225- B ．725- C ．2425-D ．6253．函数y ＝3sin x －x 的最大值是( )A ．3＋B ．C ．6D ．34．若函数f (x )＝cos 22x －sin 22x ＋sin 4x (x ∈R )，则f (x )的( )A ．最小正周期为π2，最大值为1 B ．最小正周期为πC ．最小正周期为π2，最小值为D ．最小正周期为π，最小值为－15．函数f (x )＝1－2π2sin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝( )A ．B ．12-C ．12D 6．若cos α＝45-，α是第三象限角，则πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．10-B ．10C ．10-D ．107．已知x ∈π,02⎛⎫-⎪⎝⎭，cos(π－x )＝45-，则tan 2x 等于( )A ．724B ．724-C ．247D ．247-8．函数f (x )＝(1x )cos x 的最小正周期为( ) A ．2πB ．3π2C ．πD ．π29．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan 2θ的值为( ) A ．2B ．12C ．12或不存在 D ．2或不存在10．已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为__________． 12．已知tan α＝12，tan(β－α)＝25，那么tan(β－2α)＝__________. 13．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α＝__________. 14．sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，则cos 2β＝__________. 15．在△ABC 中，sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝__________. 三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)(2011·广东惠州一模)已知函数f (x )＝2＋sin 2x ＋cos 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调增区间．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)．求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)．求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．。

三角恒等变换》单元测试题

三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。

cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。

又cos(α+β)=−1。

sin(α+β)=−24/5π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。

A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。

又cos(α+β)=−135。

sin(α+β)=−35π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。

cosx−sinx>0。

即sin(−x)=−sinx=cosx<0。

sin(−x)∈(−1,0]。

x∈[2kπ−π2,2kπ]。

x∈[2kπ,2kπ+π2]。

cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。

高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)

第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。

数学人教A版必修4单元检测：第三章三角恒等变换含解

数学人教A 必修4第三章三角恒等变换单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分) 1．化简22ππcos sin 44αα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到( ) A ．sin 2α B ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2α 2．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则3cos π22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．9-B ．79-C ．9D ．793．已知tan α＝12，tan(α－β)＝25-，那么tan(β－2α)的值为( )A ．34-B ．112- C ．98- D ．984．已知函数f (x )ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．5π11ππ+,π+1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．πππ,π+36k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 5．2cos10sin 20sin 70︒-︒︒的值是( )A ．12B ．2CD 6．22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅+等于( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．127．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A B ．C D ．8．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则2sin 22cos 1tan x xx++的值为( )A ．85 B ．58 C ．25 D ．52二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________． 10．已知0＜x ＜π2，化简：2lg cos tan 12sin 2x x x ⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭＋πlg 4x ⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎭⎦－lg(1＋sin 2x )＝________．11．设函数f (x )＝2cos 2x x ＋a ，已知当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )的最小值为－2，则a ＝________．三、解答题(本大题共3小题，共34分)12．(10分)已知 3π5sin 413α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且ππ44α-<<，π3π44β<<，求cos 2(α－β)的值．13．(10分)已知πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭x ∈π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭． (1)求sin x 的值； (2)求πsin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 14．(14分)已知函数f (x )＝π3π2cos 2sin 32x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．参考答案1答案：A解析：原式＝πcos 24α⎛⎫-⎪⎝⎭＝πcos22α⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin 2α．2答案：C解析：3cosπ22θ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝123=．3答案：B解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝1 12 -．4答案：C解析：f(x)ωx＋cos ωx＝π2sin6xω⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得周期T＝π．∴ω＝2，即f(x)＝π2sin26x⎛⎫+⎪⎝⎭．由ππ2π226k x-≤+(k∈Z)得ππππ36k x k-≤≤+(k∈Z)．5答案：C解析：原式＝2cos(3020)sin20sin70︒-︒-︒︒＝2(cos30cos20sin30sin20)sin20sin70︒⋅︒+︒⋅︒-︒︒=．6答案：B解析：原式＝22222 2sin2cos2sin cos2tan12cos1cos2cos sin1tanαααααααααα⋅⋅==+---＝tan2α．7答案：C解析：设等腰三角形的底角为π2αα⎛⎫<<⎪⎝⎭，则其顶角为π－2α．由已知cos(π－2α)＝45，∴cos 2α＝45-．故1－2sin2α＝45-，sin2α＝910．又0＜α＜π2，∴sin α．8答案：C解析：由已知条件知tan x＝2，原式＝22cos(sin cos)2cos(1tan)1tan1tanx x x x xx x++=++＝2cos2x＝2221tan5x=+．9答案：1解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcosβ－cos αsin β．∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1．10答案：0解析：原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(sin x＋cos x)2＝0．11答案：－2解析：f(x)＝1＋cos 2x x＋a＝π2sin216x a⎛⎫+++⎪⎝⎭．∵x∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．∴sπ1sin2,162x⎛⎫⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴f (x )min ＝2×12⎛⎫-⎪⎝⎭＋a ＋1＝a ．∴a ＝－2． 13答案：解：∵ππ44α-<<，∴π3ππ24α<+<．∴312cos π413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． ∵π3π44β<<，∴ππ024β-<-<．∴π4sin 45β⎛⎫-==-⎪⎝⎭．∴cos(α－β)＝3πcos π44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝3π3π16sin πsin cos πcos 444465αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅--+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴cos 2(α－β)＝2cos 2(α－β)－1＝216371321=654225⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭． 13答案：解：(1)∵x ∈π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭，∴πππ,442x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∵πcos 410x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴πsin 410x ⎛⎫-=⎪⎝⎭． ∴sin x ＝ππsin 44x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ππππ4sin cos cos sin 44445x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)由(1)可得cos x ＝35-，∴sin 2x ＝2425-，cos 2x ＝725-，∴πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin 2cos 3x ＋πcos 2sin 3x＝． 14答案：解：f (x )＝π2cos cos3x ＋π2sin sin 3x －2cos x＝cos x x －2cos x x －cos x＝π2sin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)令ππ32π2ππ262k x k +≤-≤+ (k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴单调递减区间为2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，ππ2π62x k -=+(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是2π2π,3x x k k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ．(3)f (x )＝65即π62sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴π3sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴2ππcos 212sin 36x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝23712525-⨯=．。

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(含答案解析)

一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（） A ．21-B ．1C ．22D ．212-2．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（） A ．1 B ．22-或1 C ．34-或1 D ．1或-13．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-4．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（）A ．12B 3C ．1225D ．24255．已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 6．已知72cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 7．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（） A ．433+ B ．433- C ．334+ D ．334- 9．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11010．已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α＝（）A ．31250B ．17250C ．7225D ．1222511．若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．3-B ．3C ．13-D ．13二、填空题13．已知10cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 14．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.15．已知函数1()sin 2222f x x x =-+，对于任意的0,2a ⎡∈⎢⎣⎭，方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根，则m 的最大值为__________．16．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．17．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________. 18．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 19．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 20．下列判断正确的有___________. ①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 三、解答题21．已知函数()1cos 2sin cos 2f x x x x =+⋅，其中x ∈R . （1）求使()12f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数()3sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的120x x t ≤<≤，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值.22．已知02πα<<，4sin 5α．（1）求tan2α的值；（2）求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）若02πβ<<且1cos()3αβ+=-，求sin β的值．23．已知函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++．（1）若[,]126x ππ∈-，求函数()f x 的最值；（2）记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若()0f A =，4b c +=，求△ABC 面积的最大值． 24．已知300cos 25παβπα<<<<=，，．（1）分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值；（2）若1sin()3αβ+=，求cos β． 25．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.26．在①2sin 3sin 2αα=，②cos2α=，③tan α=个，补充在下面问题中，并解决问题. 已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，_______，求cos β. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．【详解】函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1，不妨()f t 取得最大值()=1M t ，则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 442N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为1．故选：D ．【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论．【详解】 ∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()4πα-=sin()4πα+=± sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=，当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．3．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++，对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得：222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 4．D解析：D 【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为a ，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出sin θ，代入二倍角公式即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25，边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长，设直角三角形的直角边分别为a ，b 且a b <，则1b a =+，所以()2222125a b a a +=++=，得2120a a +-=，所以3a =或4a =-舍去，所以4b =，∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.5．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A =1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.7．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果．【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++，故选D ．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．8．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可.【详解】 ∵cos （α6π+）3=5（α为锐角）， ∴α6π+为锐角， ∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=，故选:B ．【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.9．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++，故选A ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．10．A解析：A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭，cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由两角差的余弦公式求得cos2α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7224231225225250=⨯+⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查平方关系同、二倍角公式，解题时需要确定角的范围，才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解．11．C解析：C 【解析】试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．12．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.二、填空题13．【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数【分析】先由cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】依题意πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1.本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．【分析】化简原题等价于函数与函数的图象的交点个数为1做出图像数形结合即可得答案【详解】利用辅助角公式化简可得方程仅有一个实数根等价于函数与函数的图象的交点个数为1结合图象可知当时m 的最大值为故答案为解析：23π 【分析】化简()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，原题等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1，做出图像，数形结合，即可得答案. 【详解】利用辅助角公式，化简可得()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根，等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1，结合图象可知，当30,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，m 的最大值为23π．故答案为：23π. 【点睛】本题考查辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.16．【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题 3先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=．【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．17．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.18．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析：45-【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值．【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++．故答案为：45-．【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．19．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则12=平方得22131424a a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.20．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断； ③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<，则tan 2000︒=<，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====，又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确；④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立，证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.三、解答题21．（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【分析】（1）化简2())4f x x π=+，根据正弦函数的图象解不等式2sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭可得结果；（2）构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，将题意转化为当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，根据[0,][,]22t ππ⊆-可解得结果.【详解】（1）()1112cos 2sin cos cos 2sin 2222224f x x x x x x x π=+⋅=+=+（）， ()12f x ≥，即2sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以3222444k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，，解得4k x k k Z πππ≤≤+∈，，即使()12f x ≥的x 的取值范围是4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，.（2）令()()()32sin 22424F x f x g x x x ππ=-=+-+（）（）22sin 244x x x ππ=++=（）（），因为对任意的120x x t ≤≤＜，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，所以当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，所以[0,][,]22t ππ⊆-，所以22t π≤，解得4t π≤，所以实数t 的最大值为4π.【点睛】关键点点睛：构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，根据函数()sin 2F x x =在[0,]t 上为增函数求解是解题关键.22．（1）247-，（2）50-，（3）415【分析】（1）由02πα<<，4sin 5α，可求出35cos α=，从而可求出4tan 3α=，进而利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出sin()αβ+=，再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果【详解】解：（1）因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α===，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===，所以22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）cos 2cos 2cos sin 2sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos 2sin 2)2αα=-2(12sin 2sin cos )2ααα=--1643(122)2255550=-⨯-⨯⨯=-，（3）因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，因为1cos()3αβ+=-，所以sin()3αβ+===，所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+3144()353515=⨯--⨯=【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题 23．（1）最大值为2，最小值为1（2【分析】（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为()f x ＝2sin （2x +3π），由,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最值；（2）锐角△ABC 中，由f （A ）＝0 可得A ＝3π，利用基本不等式求得bc ≤4，即bc 的最大值为4，由此求得△ABC 的面积1sin 2S bc A =的最大值．【详解】（1）∵函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++22cos s s sin cos in x x x x x x -+=sin 222sin(2)3x x x π==+∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴6π≤2x +3π≤23π， 1sin(2)123x π∴≤+≤ 故函数f （x ）的最大值为2，最小值为1．（2）锐角△ABC 中，由()0f A =可得 sin （2A +)03π=，∴A ＝3π． ∵b +c＝当且仅当b ＝c 时取等号，故bc ≤4，即bc 的最大值为 4．故△ABC 面积1sin 24S bc A ==≤故△ABC 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的最值问题，一般需要利用面积公式111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===．根据题目条件选择合适的方法求出两边之积的最值，一般考虑余弦定理及均值不等式，属于中档题.24．（1）724cos 2,sin 2,sin 252525ααα=-==；（2）415- ．【分析】（1）先由30cos 25παα<<=，，求出sin α，然后分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值；（2）先判断αβ+的范围，再凑角()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式即可求解．【详解】（1）因为30,cos 25παα<<=，所以24sin 1cos 5αα．所以27cos 22cos 1,2524sin 22sin cos ,25sin 2αααααα=-=-====；（2）因为0,02παβπ<<<<，所以302παβ<+<，因为14sin()sin 35αβα+=<=，所以αβ+不可能是锐角，所以cos()3αβ+==-，所以4cos cos[()]cos()cos sin()sin 15βαβααβααβα-=+-=+++=．【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 25．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点，所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈，所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．26．112【分析】①②③任选一个条件，均可求出sin ,cos αα，求出sin()αβ+，利用()βαβα=+-，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】若选条件①因为2sin 3sin 2αα=，所以2sin 32sin cos ααα=⨯，即1cos 3α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α==因为1cos()4αβ+=-，由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=，解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0αβ<+<π，所以sin()4αβ+=，所以cos cos[()]βαβα=+- cos()cos sin()sin αβααβα=+++1143=-⨯=若选条件②因为cos 2α=21cos 2cos 123αα=-=. 由平方关系22sin cos 1αα+=，得28sin 9α=.因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α= 以下同①的解法.若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=，解得sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 31cos 3αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法.【点睛】关键点点睛：本题根据不同的条件，利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+，根据角的变换()βαβα=+-求解是关键，属于中档题.。

数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案

第三章三角恒等变换一、选择题.1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.23-B.21 -C.21D.232. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．A.43B.83 C.81D.413. 函数y =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．A.4π B.2π C. π D. 2π4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+B.12-C.2D. 25. 化简2cot 2tan2cos 1ααα-+，其结果是( )．A.21-sin 2α B.21sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α6. 若sin (α + β)=21，sin (α - β)=31，则βαtan tan 为( )．A. 5B. - 1C. 6D.617. 设tan θ和tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4π是方程x 2+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．A. p + q + 1 = 0B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5B. -4≤a ≤4C. -3≤a ≤3D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤49. 若α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3 ,π，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2tan αB. 2sin αC. 2cot αD. 2cos α二、填空题.1.︒+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =32，则 cos (α - β)= ___________．4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23π2θ＞21，则2sin2cos sin 1θθθ--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=21，tan β=51，tan γ=81，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．三、解答题．1. 已知α，β为锐角，cos α =54，tan (α - β)= -31，求cos β的值．2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-21，cos α + cos β =27，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -41sin 4α sin 2α．参考答案一、选择题．1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -21． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21sin 150°sin 30°=81． 3. C 【解析】y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21sin 2 x -21cos 2 x = -21cos 2x . ∴ T =π22π=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x= 1 +⎪⎭⎫⎝⎛-4π2sin 2x ．∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】αααααααααααα2sin 21cos sin cos 2sin2cos2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =21，sin αcos β - cos αsin β =31． ∴ 2sin αcos β =65， 2cos αsin β =61．∴ βαtan tan = 5． 7. B【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+qp θθθθ4πtan tan 4πtan tanθθθπtan 1tan 14tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθθθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=，θθθq tan 1tan tan 2+-=．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =21时，f (x )max =214414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；当 cos x = - 1时，f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C【解析】ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22222222αααααααααααααααα-++++-+-++=2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sinαααααααα-++--+=．∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，，∴ 2α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sinααααααααα=-+++-+．三、解答题．1. 【解】∵ cos α =54，∴ sin α =53．∵ α，β 为锐角， ∴ -2π＜α - β＜2π． ∵ tan (α - β)=31-，∴ cos (α - β)=10103，sin (α - β)=1010-cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos (α - β)+ sin αsin (α - β)=10509．2. 【解】② 27cos cos ①21sin sin =+-=-βαβα①2 + ②2，得 sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2cos α cos β + cos 2 β = 2.∴ cos (α + β)= 0．又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =2π， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -21． sin 2α + cos 2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =41．又sin 2α + cos 2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，∴ sin α =417-． ∴ sin (α - β)= sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-αα2π= - cos 2α = 2sin 2α -1 = 47-． 3. 【解】∵ tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=A A tan 1tan 1+-，∴ 3tan A =AA tan 1tan 22+-，∴ tan A =31，或 tan A = - 2．当tan A =31时，tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=21，p = -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121 = -65，q =21×31=61．当tan A = - 2时，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π= -3，p = -(-2 - 3) = 5，q = (-2)×(-3) = 6．4. 【证明】cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = (cos 4 α + sin 4 α)(cos 2 α + sin 2 α)(cos 2 α - sin 2 α)- cos 2α= (cos 4 α + sin 4 α)cos 2α - cos 2α =(cos 4 α + sin 4 α - 1)cos 2α= [cos 4 α +(sin 2 α - 1)(sin 2 α + 1)] cos 2α = [cos 4 α - cos 2 α(sin 2 α + 1)]cos 2α = - 2cos 2 αsin 2 αcos 2α = -41sin 4αsin 2α．。

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．若160,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．53B ．3- C ．53- D ．3 2．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（） A ．()f x 的最小值为2- B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C ．函数()y f x =的图象可由函数2sin y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称. 3．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15164．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（）A 125- B 35+ C 15+ D 45+ 5．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-6．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（） ABCD7．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（） A ．－118 B ．118 C ．－1718D ．17188．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（） A ．2B ．1C ．18D ．989．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（） A ．15BC．-D10．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（） A ．12B ．35C ．310-D ．3511．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（） A ．①B ．②C ．③D ．①③12．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A． B ．12-C ．12D二、填空题13．将22sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______. 14．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．15．已知函数()sin cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，有以下结论：①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 图象的一条对称轴方程是4x π=； ④()f x 的最大值为2．则上述说法中正确的是__________（填序号）16．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 17．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222A Bsin +=1﹣cos 2C ，cos （B +C ）＞0，则ab的取值范围为_____. 19．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 20．设函数()cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,； ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.（写出所有正确结论的序号）.三、解答题21．在ABC 中，A B C <<且 tan A ，tan B ，tan C 均为整数. （1）求A 的大小；（2）设AC 的中点为D ，求BCBD的值. 22．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域；（2）若004()524f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．23．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 24．已知函数2()2sin sin 26f x x x.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 25．已知14cos ,sin()435πββα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，其中π0π2αβ<<<<．（1）求tan β的值；（2）求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 26．已知函数3()sin (cos 3)2f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==. 故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．D解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.3．B解析：B 【分析】化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.4．C解析：C 【分析】计算出5cos 72=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则112cos72cos 4BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=，而2cos722cos 361=-，所以，131cos364+====. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果．【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++，故选D ．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．6．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】∵cos （α6π+）3=5（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=，故选:B ．【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.7．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-，又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋，故17sin 218α=-，故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， 2219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最大值为98，故选:D.【点睛】本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.9．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-，所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-，因为()0,απ∈，所以sin 0α≠，所以2cos sin αα=-，因为22sin cos 1αα+=，所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin α=，故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题10．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．B解析：B 【分析】取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅- sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=，所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题解析：π2sin(2)16x -+ 【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解.【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+ 故答案为：π2sin(2)16x -+【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题. 14．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是解析：12- 【分析】由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．【详解】因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-，所以tan 3α=-或13（舍），所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12ααααααααα+++===-++．故答案为：12-．【点睛】本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值． 15．①【分析】去掉绝对值利用辅助角公式化简函数解析式利用函数的奇偶性单调性对称性以及函数的最值对选项进行判断即可【详解】当时当时即函数为偶函数图象关于y 轴对称①正确；函数在区间上单调递增在区间上单调递减解析：①【分析】去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用函数的奇偶性，单调性，对称性以及函数的最值对选项进行判断即可.【详解】(),,042sin cos ,0,42x x f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确；函数()f x 在区间,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，②错误；因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不关于直线4x π=对称，所以直线4x π=不是一条对称轴，③错误；()f x，④错误．故答案为:①．【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查余弦函数的奇偶性，单调性，对称性以及最值，考查辅助角公式的应用，考查学生的分析推理能力，属于中档题.16．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【解析：6【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >，A B ∴>， 31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==，由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==，于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A A B B A B B A B B∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．17．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值.【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+ 232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.18．（2+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos （A+B ）＝2cos2C ﹣1即﹣cosC ＝2cos2C ﹣1整解析：（2，+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ，然后结合正弦定理及同角基本关系可求．【详解】∵222A B sin +=1﹣cos 2C ， ∴1﹣222A B sin+=cos 2C ， ∴cos （A +B ）＝2cos 2C ﹣1，即﹣cosC ＝2cos 2C ﹣1，整理可得，（2cosC ﹣1）（cosC +1）＝0，∵cosC ≠﹣1，∴cosC 12=， 0C π<<∴C 13π=，∵cos （B +C ）＞0， ∴11032B ππ+＜＜， ∴06B π＜＜，由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinBπ+==（），=，12=+， ∵06B π＜＜，∴0tanB ＜∴1tanB122，故a b的范围（2，+∞）. 故答案为：(2,)+∞【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 19．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系解析：12【分析】由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为2tan 3tan 5πα=所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan 5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系. 20．①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①；求出的最值可判断②；求出函数的单调递减区间可判断③；求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确；因为的最大值为2最小值为所以的解析：①②④.【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 代入2π3x =求最值可判断①；求出()f x 的最值可判断②；求出函数()f x 的单调递减区间可判断③；求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④.【详解】 ()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2π3x =时，22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取得最大值2，故①正确；因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为2-，所以()f x 的值域为[]22-,，故②正确；令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈，得252233k x k ππππ+≤≤+，即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，故③错误；图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，故④正确. 故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）45A =︒；（2）1BC BD = 【分析】（1）A B C <<，A 不能是钝角，且若tan 2A ≥，与A B C π++=矛盾，可得45A =︒；（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及tan B ，tan C 均为整数，可得tan ,tan B C ，再利用正弦定理结合平面向量求出BD ，进而得出答案．【详解】（1）A B C <<，A ∴不能是钝角，tan 0A >若tan 2A ≥，tan 60︒=tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，60A ∴>︒ 又A B C <<，,B C ∴都大于60︒，与A B C π++=矛盾tan 1A ∴=，即45A =︒（2）45,135A B C =︒∴+=︒，()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B C B C B C++==--，即tan tan 1tan tan B C B C -=+ 由tan B ，tan C 均为整数，且B C <，可得tan 2,tan 3B C ==则cos B B ==；cos C C ==由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒，可得,55b ac a == 又AC 的中点为D ，则2214BA BC BD AC ⋅=-，即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=-2214a BD ⎫⋅=-⎪⎪⎝⎭解得BD a =，故1BC a BD a== 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用A B C <<且tan A ，tan B ，tan C 均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．22．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域,122⎤+⎥⎣⎦；（2）024sin 310x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sincos 1cos 333x x x f x ⎫=++⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为1⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 33252x f x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134525210+=⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．23．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈．【分析】（1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==，由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值，故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈，又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-，由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增，所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈．【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.24．（1）最小正周期T π=；（2）3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先利用余弦的二倍角公式和两角差的正弦化简后，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出26x π-的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域．【详解】由已知2()2sin sin 26f x x x11cos 22cos 22x x x =-+12cos 212x x =-+ sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）函数()f x 的最小正周期T π=；（2）因为,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以72,066x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数的周期性、值域及两角和与差的正弦、二倍角公式，关键点是对()f x 的解析式利用公式进行化简，考查学生的基础知识、计算能力，难度不大，综合性较强，属于简单题.25．（1）97+-2）315；【分析】由已知函数值以及角的范围得3444πππβ<-<，322ππαβ<+<，且()44ππββ=-+，()()44ππαβαβ+=+--，结合两角和差公式即可求值. 【详解】（1）2πβπ<<知：3444πππβ<-<， ∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()43πβ-=，∴tan 4πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan tan[()]44ππββ=-+，∴tan()tan 944tan 71tan()tan 44ππββππβ-++===--- （2）由cos cos[()()]44ππαβαβ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭， ∴cos cos()cos()sin()sin()444πππαβαββαβ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭，由π0π2αβ<<<<知：322ππαβ<+<， ∴由题意，得3cos()5βα+=-，结合（1）有sin()43πβ-=，∴3143cos 4535315πα⎛⎫+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：根据已知确定4πβ-，αβ+范围，并确定β，4πα+与已知角的关系，进而求函数值.26．（1）2，单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间；（2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-=+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 3332f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.。

人教A版数学必修4第三章《三角恒等变换》单元测试题.docx

必修4第三章《三角恒等变换》单元测试题命题人：余德勇审题人：总分：考试时间：第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.) 1.下列命题中不正确．．．的是（）. A ．存在这样的α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ B ．不存在无穷多个α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ C ．对于任意的α和β，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ D ．不存在这样的α和β值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(-≠+ 2.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <⋅，则△ABC 一定为（）. A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形3.44cossin 88ππ-等于（） A ．0B ．22C ．1D ．－22 4.︒⋅︒+︒+︒19tan 11tan 19tan 311tan 3的值是（）. A ．3B ．33 C ．0 D ．15.若)sin(32cos 3sin 3ϕ+=-x x x ，(,)ϕ∈-ππ，则ϕ等于（）.A ．－6π B ．6π C ．56π D ．56π-6.在△ABC 中，已知A tan ，B tan 是方程01832=-+x x 的两个根，则C tan 等于（）. A.4- B.2-C.2D.47.要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数3sin 2cos 2y x x =-的图象（）.DA.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向左平移12π个单位8.48cos 78sin 24cos 6sin ⋅⋅⋅的值为（）.A ．161 B ．161-C ．321 D ．81 9.4cos 2sin 22+-的值等于（）.A ．2sinB ．2cos -C ．2cos 3D ．2cos 3-10.已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos2θ的值为（）.A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±11.设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（）.A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 12.已知不等式()2632sincos 6cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的 566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）. A.3m ≥B.3m ≤C.3m ≤-D.33m -≤≤第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.=︒-︒10cos 310sin 1 .14.已知βα,3(,)4π∈π，53)sin(-=+βα，12sin()413βπ-=，则cos()4απ+= . 15.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是 . 16.已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的值为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.（本小题满分10分）已知91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，0α<<π，02βπ<<，求)co s(βα+的值.18.（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且415sin =α，求sin()4sin 2cos21αααπ+++的值.19．（本小题满分12分）（1）求值：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋；（2）已知0cos 2sin =+θθ，求θθθ2cos 12sin 2cos +-的值.20.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值． 21．（本小题满分13分）已知函数2()sin()sin()cos 2f x x x x π=π--+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当3[,]88x ππ∈-时，求函数()f x 的单调区间.22.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552.（1）求)tan(βα+的值；（2）求βα2+的值.第三章《三角恒等变换》测试题参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.B 由两角差的余弦公式易知C ，D 正确，当0==βα时，A 成立，故选B.2.D 由B A B A cos cos sin sin <⋅得0)cos(>+B A ，即0)cos()](cos[cos <+-=+-=B A B A C π，故角C 为钝角. 3.B 4422222cossin (cos sin )(cos sin )cos 88888842πππππππ-=-+==. 4.D 原式3(tan11tan19)tan11tan19=︒+︒+︒⋅︒3tan 30(1tan11tan19)tan11tan19=︒-︒⋅︒+︒⋅︒119tan 11tan 19tan 11tan 1=︒⋅︒+︒⋅︒-=.5.A 313sin 3cos 23(sin cos )23sin()226x x x x x π-=-=-，故6ϕπ=-.6.C ∵38tan tan -=+B A ，31tan tan -=B A ，∴231138tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan =+--=-+-=+-=+-=BA BA B A B A C π. 7.D 313sin 2cos22(sin 2cos2)2sin(2)2sin 2()22612y x x x x x x ππ=-=-=-=-. 8.A ︒︒︒︒=⋅⋅⋅48cos 24cos 12cos 6sin 48cos 78sin 24cos 6sin1616cos 1696sin 6cos 248cos 24cos 12cos 6sin 6cos 244=︒︒=︒︒︒︒︒︒=. 9.D22222sin 2cos4(1sin 2)(cos41)cos 22cos 2-+=-++=+3|cos2|3cos2==-.10.B 由225sin sin 240θθ+-=得2524sin =θ或1sin -=θ（∵θ为第二象限角，故舍去），∴257cos -=θ，且2θ为第一或者第三象限角，∴25712cos22-=-θ，故3cos 25θ=±. 11.C 由0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x 得x x cos 2sin =，0cos ≠x ，故2tan =x ，5231t a n t a n 2221c o s s i n c o s s i n 2c o s 2t a n 12s i n c o s 222222=++=+++=++x xx x x x x x x x . 12.A ()2632632sin cos 6cos sin cos 44422222x x x x xf x m m =+--=+-， 6sin()026x m π=+-≤， ∴6sin()26x m π≥+，∵566x ππ-≤≤， ∴4264x πππ-≤+≤， ∴36sin()326x π-≤+≤， ∴3m ≥.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.)13.4 132(cos10sin10)13cos103sin10221sin10cos10sin10cos10sin 202︒-︒︒-︒-==︒︒︒︒︒4sin(3010)4sin 20︒-︒=︒.14.6556- 由已知可得54)cos(=+βα，5cos()413βπ-=-，故cos()cos[()()]44ααββππ+=+--56cos()cos()sin()sin()4465αββαββππ=+-++-=-.15.0 原式)60sin(2)]60(180cos[3)60sin(︒-+︒+-︒-︒+=x x x )60sin(2)60cos(3)60sin(︒-+︒++︒+=x x x )60sin(2)6060sin(2︒-+︒+︒+=x x0)60sin(2)60sin(2)60sin(2)18060sin(2=︒-+︒--=︒-+︒+︒-=x x x x . 16.724 易知22βαβαα-++=，22βαβαβ--+=，由41sin sin =+βα，得412cos 2sin 2=-+βαβα，由31cos cos =+βα，得312cos 2cos 2=-+βαβα，两式相除，得432tan =+βα，724)43(1432)tan(2=-⨯=+βα. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17．解：由已知145,cos()sin()422929βββαααπ<-<π-=--=又故，同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故，故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα． 18．解：22sin()(sin cos )42sin 2cos212sin cos 2cos ααααααααπ++=+++)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=，当α为第二象限角，且415sin =α时，0cos sin ≠+αα，41cos -=α，所以sin()4sin 2cos21αααπ+++2cos 42-==α. 19．解：（1）原式=00000000000000sin(8015)sin15sin10sin80cos15cos1523sin(1510)cos15cos80sin15cos10sin15-+===++-. （2）由0cos 2sin =+θθ，得θθcos 2sin -=，又0cos ≠θ，则2tan -=θ，所以θθθθθθθθθ22222cos 2sin cos sin 2sin cos cos 12sin 2cos +--=+-612)2()2(2)2(12tan tan 2tan 12222=+-----=+--=θθθ. 20．解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32ϕπ+=，而0ϕ<<π，536ϕπ∴+=π，2ϕπ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2αβπ∈，2234125sin 1(),sin 1()551313αβ∴=-==-=，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=. 21．解：（1）11()sin cos cos 222f x x x x =⋅++111sin 2cos 2222x x =++21sin(2)242x π=++ ∴函数()f x 的最小正周期22T π==π. （2）当3[,]88x ππ∈-时，2[0,]4x π+∈π， ∴当2[0,]42x ππ+∈即[,]88x ππ∈-时，函数()f x 单调递增；当2[,]42x ππ+∈π即3[,]88x ππ∈时，函数()f x 单调递减.22.解：由条件得102cos =α，552cos =β，∵α，β为锐角， ∴1027cos 1sin 2=-=αα，55cos 1sin 2=-=ββ，因此7cos sin tan ==ααα，21cos sin tan ==βββ. （1）32171217tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα. （2）∵34)21(1212tan 1tan 22tan 22=-⨯=-=βββ， ∴134713472tan tan 12tan tan )2tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα， ∵α，β为锐角， ∴3022αβπ<+<， ∴324αβπ+=.。

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第三章《三角恒等变换》单元检测题
命题桂山中学高一备课组胡文
一、选择题
1.若cos2α＝－54
，且α∈[
2
π，π]，则sinα＝ ( )
A.
10
103 B.10
10
C.
5
3
D.
5
10
2.已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝5
4，则tan 2
α＝ ( )
A.3
B.2
C.－2
D.－3
3.已知tan(α＋β)＝5
2，tan(α－
4
1)6
=
π，那么tan(β＋
6
π)＝( )
A.6
1 B.
22
3 C.
18
13 D.
22
13
4.若sinα＋sinβ＝3
3(cosβ－cosα)，α、β∈(0，π)，则α－β的值为 ( )
A.－
3
2π
B.－
3
π C.
3
π D.
3
2π
5．若m m
m 则,464cos 3sin --=-αα的取值范围是（） A ．3
7≤
m
B ．1-≥m
C ．3
71≤≤-m
D ．3
71≥
-≤m m 或 6．化简=+--
80
cos 2280sin 12
（）
A ．－2sin40°
B ．2cos40°
C ．cos40°－sin40°
D ．0
7．已知)2tan(,2
1
)tan(),,2
(,5
4sin βαβαππαα-=-∈=则的值等于
（）
A ．7
24-
B ．24
7
-
C ．
7
24 D ．24
7
8．函数)2
60sin(2sin x x y -+=
的最大值是
（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题： 9.已知sinθ＋cosθ＝2
1，则sin 3θ＋cos 3θ＝_______________ 10.
o
o
o
20
cos 70
cos 80
sin 2-＝____________________
11.f(x)＝2tanx －
2
x cos
2
x sin
2x cos
212
-，则f(
12
π)＝________________
12．=-)120tan 3(20cot 10cos 三、解答题： 13.已知tan 2
12-
=α，求cos(α－
6
π)的值
14．解答下述问题：
（I ）化简：)).2,23(
(sin 12
sin
sin 12
cos
ππ∈-+
+x x
x x x
（II ）.2sin )
1cos )(sin 1cos (sin x
x x x x +--+
15．已知,3
2)2
sin(
,9
1)2
cos(=
--
=-βα
β
α
且)cos(,2
0,2
βαπ
βπαπ
+<
<<<求的值.
16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般早潮叫潮，晚潮叫汐。

在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。

下面是某港口在某
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值。

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底和洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
（3）若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
《答案与解析》
一、1．A 2．D 3．B 4.D 5．C 6．A 7.A 8. D 二、9．
16
11 10．3 11．8 12．-1
13. 解：cos(α－6π)＝2
3cos α＋
2
1sin α
∵ tan
2
12-
=α
由万能公式可得sin α＝－4/5 cos α＝3/5 ∴ cos(α－
6
π)＝
10
3
34+-
14. （I ）2
2
2
)2
cos
2
(sin
2
cos
2cos
2sin
22
sin
sin 1x x x x x x x ±=+±=+,
|
2
c o s 2s i n |2s i n
|2c o s 2s i n |2c o s ,02
c o s 2s i n ,02c o s 2s i n ,24
3x x x
x x x x
x x x x
-++=∴<->+∴<<
原式ππ
.c o s 12
c o s
2s i n 2s i n
2c o s 2s i n 2c o s x x x x
x x x -=-++-=
（II ）原式=
.2
tan
sin cos 12sin cos 2cos
22sin )1(cos sin
2
2
2
x x
x x
x
x x
x x =-=
+-=
--
15．由,0)2sin(0)2
cos(,22424202⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-<-<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<βαβαπβαππβαππβπαπ而
,35)2cos(95
4)2sin(,220,2
2⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-<<-<∴βαβαπβαπβαπ
.729
239)cos(,27
57)]2
(
)2
cos[(2
cos
-
=+∴=
---
=+∴βαβα
β
αβ
α
16.略。