5.2.1三角函数的概念(1)学案(学生版)人教版高中数学必修一
三角函数的概念(性质)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5.2.1 三角函数的概念（2）【教学内容】三角函数值的符号判断，诱导公式一及应用.【学习目标】1.掌握各象限角的三角函数值的符号规律.2.掌握三角函数诱导公式一的简单应用.【教学重难点】教学重点：三角函数值的符号判断，诱导公式一.教学难点：诱导公式一的应用.■微思考 1三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示：根据三角函数的定义，三角函数值由单位圆和角终边交点坐标决定，所以其符号由角的终边所在的象限决定.1.三角函数值的符号如图所示：正弦：一、二象限正，三、四象限负；余弦：一、四象限正，二、三象限负；正切：一、三象限正，二、四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sinα，π 4 π4 cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中 k ∈Z.■ 微思考 2根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？提示：不一定，如sin α = 1 ，则α = π + 2kπ或α = 5π + 2kπ(k ∈Z )． 2 6 6探究点 1 三角函数值符号的判定例 1 确定下列三角函数值的符号（1）cos 250°；（2）sin − ；（3）tan −672°；（4）tan 3π；（5）tan 120°sin 269°.【解】（1）因为 250°是第三象限角,所以 cos250°＜0.（2） 因为− π是第四象限角, 4 所以 sin − ＜0.（3） 因为 tan （ − 672°） = tan(48° − 2 × 360°),而 48°是第一象限角，所以 tan −672°＞0.（4） 因为 tan3π = tan π + 2π = tanπ,而π的终边在 x 轴上,所以 tanπ = 0.（5） 因为 120°角是第二象限角，所以tan 120°＜0.因为 269°角是第三象限角，所以sin 269°＜0. 所以tan 120°sin 269° > 0 .11π 6正弦、余弦函数值的正负规律探究点 2 公式一的简单应用例 2 求下列三角函数值：(1) cos 9π； 4(2) tan − ；(3)sin810° + tan 1125° + cos 420°.【解】（1） cos 9π4= cos= cos π 4 + 2π = 2; 2（2） tan − = tan= tan π 6− 2π = 3. 3 3原式= sin 2 × 360° + 90° + tan 3 × 360° + 45° + cos (360° + 60°)= sin90° + tan 45° + cos 60°π 4 11π 6 π 6= 1 + 1 + 12= 52利用公式一求解任意角的三角函数的步骤课堂小结：本节课学习了两个知识点1.三角函数值的符号正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z。
5-2-1三角函数的概念 教案——高一上学期数学人教A版必修第一册
第五章三角函数5.2.1三角函数的概念教学设计一、教学目标1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求具体弧度的三个三角函数值.2.从三角函数的定义认识其定义域、函数值在各个象限的符号.3.根据定义理解公式一，初步解决与三角函数值有关的一些简单问题.二、教学重难点1.教学重点三角函数的定义.三角函数值在各个象限内的符号，公式一.2.教学难点用角的终边上的点刻画三角函数.三角函数值的符号的应用.三、教学过程（一）探究一：三角函数的概念1.定义：设α是一个任意角，α∈R，它的終边OP与单位圆交于点P（x，y）.（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；（3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=（x ≠0）.2.记法：通常将三角函数记为：正弦函数：sin ,y x x =∈R ；余弦函数：cos ,y x x =∈R ； 正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 探究二：三角函数的定义域交流讨论完成下表：探究三：各象限角的三角函数值的符号各个象限角的三角函数值的符号求证：角θ为第三象限角的充要条件是sin 0,(1)tan 0.(2)θθ<⎧⎨>⎩.证明：先证充分性，即如果（1）（2）式都成立，那么θ为第三象限角.因为（1）式sin 0θ<成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为（2）式tan 0θ>成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为（1）（2）式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.再证必要性，即如果角θ为第三象限角，那么（1）（2）式都成立.因为角θ为第三象限角，所以sin 0θ<，同时tan 0θ>，即（1）（2）式都成立.综上，命题得证.探究四：公式一公式一：sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中 在运算中起到简化的作用，即利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π范围角的三角函数值.（二）课堂练习1.已知4sin 5α=，α在第二象限，则tan α=（ ） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 答案：B 解析：由4sin 5α=及α是第二象限角，得3cos 5α==-，所以sin tan s 43co ααα==-. 故选： B2.如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C3.已知点()2,0A -，()2,0B ，若圆()()22230x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是( )A.(1,5)B.[]1,5C.(]1,3D.[)3,5 答案：B解析：0PA PB ⋅=，∴点P 在以AB 为直径的圆224x y +=上. 圆222(3)(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点A ，B ），使得0PA PB ⋅=，∴圆222(3)(0)x y r r -+=>与圆224x y +=有公共点，|2|32r r ∴-≤≤+，解得15r ≤≤，故选B.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.三角函数的定义.2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一.四、板书设计1.定义：正弦函数：sin ,y x x =∈R ； 余弦函数：cos ,y x x =∈R ；正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z . 2.三角函数的定义域.3.各象限角的三角函数值的符号.4.公式一sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan .k k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=∈Z 其中。
人教版A高中数学必修第一册5.2.1 三角函数的概念 教学设计(1)
5.2.1 三角函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》,本节课是第3课时,这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象( 概括)层次。
它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。
在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。
在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。
任意角的三角函数是研究一个实数集( 角的弧度数构成的集合)到另一个实数集( 角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。
认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。
本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。
A.借助单位圆理解任意角三角函数的定义;B.根据定义认识函数值的符号,理解诱导公式一;C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题;D.体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结1.教学重点:任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义;2.教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程。
多媒体一、复习回顾,温故知新 1. 1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角 2. 角度制与弧度制的换算:【答案】︒︒︒≈==30.571801180）（弧度，ππ3. 关于扇形的公式【答案】.21)3(;21)2(;12lR S R S R l ===αα）（ 4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 【答案】.tan ,cos ,sin abc a c b ===ααα二、探索新知探究一.角α的始边在x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点P 。
【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 三角函数的概念(第一课时)教案
5.2.1三角函数的概念（第一课时）一、教学目标借助单位圆理解任意角三角函数的定义.二、教学重难点1. 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义.2. 难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数.三、教学过程1.任意角三角函数概念的形成1.1创设问题情景，引发认知冲突【问题情境】通过复习锐角三角函数定义，明确了锐角的三角函数是在直角三角形中定义的。
但现在角已经扩充为了任意角，锐角三角函数的定义已无法定义任意角的三角函数.【设计意图】通过问题情景，引发学生的认知冲突，激起学生探寻任意角三角函数定义的兴趣.1.2创设问题串，引导学生类比出三角函数的概念研究任意角一般是在平面直角坐标系中研究。
当锐角α确定，α的终边也就确定了，进而α的终边与单位圆的交点P(x,y)也就确定了.问题1：锐角α的三角函数值可以用P点的坐标表示吗？【预设的答案】可以；sinα=y,cosα=x,tanα=yx【设计意图】通过这个问题，让学生建立起锐角三角函数与锐角终边与单位圆交点的坐标的联系，突破学生对锐角三角函数定义的局限，为类比出任意角三角函数定义做铺垫.问题2： 类比锐角α的三角函数值与P 点的坐标的关系，可以定义任意角的三角函数吗？【预设的答案】可以；任意角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)，那么sinα=y,cosα=x,tanα=y x【设计意图】1.3 概念形成教师总结：设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x,y).（1）把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα（2）把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα（3）把点P 的纵坐标和横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作tanα，即 y x =tanα 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.问题：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么？【预设的答案】R ；R ；{|,}2k k Z πααπ≠+∈【设计意图】加深学生对任意角三角函数的理解.练习：求53π的正弦、余弦和正切值. 【预设的答案】sin 5π3＝－32，cos 5π3＝12，tan 5π3＝－3【设计意图】巩固任意角三角函数的概念.1.4 概念深入任意角α的三角函数可以用α的终边与单位圆相交于点P(x,y)的坐标表示.但角α的终边不仅可以由P 点坐标唯一确定，也可以由终边上其他点的坐标唯一确定，所以角α的三角函数也可以用终边上其他点的坐标表示.问题：设α是一个任意角，α∈R ，00(,)Q x y 为它的终边上的任意一点，将α的三角函数用00(,)Q x y 的坐标表示.【活动预设】（1）学生可能没有头绪，引导学生建立00(,)Q x y 与P(x,y)的联系.（2）学生可能只将某个确定象限的角α的三角函数用00(,)Q x y 的坐标表示；从角α是任意角这个角度引导学生，应对角α分象限分别表示.【设计意图】先让学生独立思考后再小组讨论，最后通过教师的引导，让学生自己探寻出结果，这样可以突破将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示这个难点.教师总结：设α是一个任意角，α∈R ，Q(x,y)为它终边上任意一点，那么sin ,cos ,tan y x y r r xααα===，其中r = 2. 初步应用，理解概念例1. （1）角α的终边经过点P (－3，－4)求角α的正弦、余弦和正切值．（2）若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝35，求tan α的值.【预设的答案】sin α＝－45；cos ＝－35；tan α＝43；tan α＝43【设计意图】熟悉将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示. 例2. 已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．【预设的答案】(1)若α的终边在第一象限内，设点P (a ,2a )(a >0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a＝55. (2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ,2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0)，所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a＝－55. 练习：1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，且cos θ＝－35，若点M (x ,8)是角θ终边上一点，求x 的值. 2. 点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，求点Q 的坐标.【预设的答案】 1. 由任意角的三角函数的定义可得，cos θ＝x r ＝x x 2＋64＝－35，解得x ＝－6. 2. 点P 运动的弧长所对圆心角的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 【设计意图】巩固任意角三角函数的定义3. 回顾小结直角三角形中定义锐角三角函数直角坐标系中利用锐角终边与单位圆的交点坐标表示锐角三角函数直角坐标系中利用任意角终边与单位圆的交点坐标定义任意角的三角函数直角坐标系中利用任意角终边上任意一点定义任意角三角函数【设计意图】梳理任意角三角函数定义的全过程.四、课后作业。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 三角函数 三角函数的概念
x=-3,则y=-4,
∴r=5,∴cos
则 cos α-sin
3
α==-5,sin
3
4
α=- +
5
5
=
4
α= =-5,
1
.
5
规律方法
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各
三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x,
(2)sin
11π
−
6
25π
+cos tan
3
15π
−
4
.
解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)
=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
6
3
解(1)sin 390°=sin(360°+30°)=sin
1
30°=2.
(2)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan
25
19
(3)sin π+cos π=sin
6
3
π
4π +
6
+cos
3
30°= 3 .
π
6π +
3
π
π
=sin +cos
6
3
5.2三角函数的概念-人教A版高中数学必修第一册(2019版)教案
5.2 三角函数的概念-人教A版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.理解角的概念，熟练掌握角的度量方法。
2.理解三角形的概念，熟练掌握三角形的分类方法。
3.理解正弦、余弦、正切三角函数的定义，能够计算其在不同角度上的取值。
4.学会如何利用三角函数解决实际问题。
5.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点1.熟练掌握角度的度量方法。
2.理解三角函数的定义及其公式。
3.掌握三角函数在不同角度上的取值。
三、教学难点1.对于初学者，理解角的概念可能会较为抽象。
2.一些学生可能会较难掌握三角函数的各项公式。
四、教学过程1. 角的概念及度量方法教学内容1.角的概念。
2.角度的度量方法。
教学步骤1.引入角的概念，让学生理解角是由两条射线构成的形状。
2.解释角度的度量方法，包括角度的符号、大小和单位。
3.让学生进行角度的计算练习。
教学方法讲授与练习相结合的教学方法。
教学效果学生能够清晰地理解角的概念，并熟练掌握角度的度量方法。
2. 三角形的分类教学内容1.三角形的定义。
2.三角形的分类。
教学步骤1.引入三角形的定义，让学生明确三角形是由三条线段所围成的图形。
2.解释三角形的分类方法，包括按角度大小进行分类和按边长大小进行分类。
3.让学生进行三角形分类的练习。
教学方法讲授与练习相结合的教学方法。
教学效果学生能够清晰地理解三角形的定义，并熟练掌握三角形的分类方法。
3. 三角函数的定义及其公式教学内容1.正弦函数的定义及其公式。
2.余弦函数的定义及其公式。
3.正切函数的定义及其公式。
教学步骤1.引入三角函数的概念，让学生明确三角函数是由三角形的边长比值所确定的函数。
2.解释正弦、余弦、正切函数的定义及其公式。
3.让学生进行三角函数的计算练习。
教学方法讲授与练习相结合的教学方法。
教学效果学生能够掌握三角函数的定义及其公式，并能够熟练计算三角函数的取值。
4. 实际问题的解决教学内容1.利用三角函数解决实际问题的方法。
《5.2 三角函数的概念》导学案最新版(统编人教A版高中必修第一册)
【新教材】5.2.1 三角函数的概念（人教A版）1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．一、预习导入阅读课本177-180页，填写。
1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以__________为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与__________交于点P(x，y)，那么：图121(2)结论①y叫做α的__________，记作__________，即sin α＝y；②x叫做α的__________，记作__________，即cos α＝x；③yx叫做α的__________，记作__________，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．三角函数定义名称sinα__________ 正弦cosα__________ 余弦tanα__________ 正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin α__________cos α__________tan α__________4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图122(2)口诀：“一全正，二__________，三__________，四__________”．5．诱导公式一1．若角α的终边经过点P (2，3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝232．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．sin 253π＝ ．4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α＋sin α的值为 ．题型一 三角函数的定义及应用例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 跟踪训练一1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限．(2)判断下列各式的符号： ①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5. 跟踪训练二1．确定下列式子的符号：(1) tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.题型三 诱导公式一的应用例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；(2)sin 7π3cos ⎝⎛⎭⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4cos 13π3. 跟踪训练三 1．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积；③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )A. 12B ．－12 C. 32 D ．－323．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( )A ．第一或第四象限B ．第一或第三象限C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2B ．±2C ．－2D ．－25．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝51，则sin β＝ ．6．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；(2)cos 25π3+tan15π4.答案小试牛刀 1．C 2．B 3．32 4.3＋12. 自主探究例1 【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝255，cos α＝－55，tan α＝－2.当α的终边在第四象限时， sin α＝－255，cos α＝55，tan α＝－2.【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.跟踪训练一1．【答案】当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当x ＝－1时，此时sin θ＝31010，tan θ＝－3.【解析】由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 例2 【答案】（1）四； （2） ①sin 183°<0；②tan 7π4<0；③cos 5>0. 【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限． (2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0；②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.跟踪训练二1．【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0；（3）tan 120°sin 269°＞0.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0. (2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.从而tan 120°sin 269°＞0.例3 【答案】（1）32；（2）54. 【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3 ＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.跟踪训练三1．【答案】（1）(a －b )2 ； （2）12.【解析】(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12. 当堂检测1-4． BDBD5.−156．【答案】(1) 0；(2) 32 .【解析】 (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.(2) cos25π3+tan15π4＝cos π3+tan π4 ＝12＋1＝32.。
高中数学人教A版(2019)必修第一册 5 三角函数的概念 教案
5.2.1三角函数的概念一、教学目标：1、借助单位园理解任意角的三角函数的定义2、会利用相似关系，由角a 终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦，余弦，正切的三角函数的定义。
3、能根据定义理解正弦，余弦，和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值4、理解并掌握公式一，并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明。
二、教学重难点教学重点：三角函数的定义教学难点：对三角函数概念的抽象过程及定义的理解．三、情景导入江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓的把水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然，把水车放在坐标系中，点p 为水车上一点，它转动的角度为a,水车的半径为r ，点p 的坐标如何表示？四、预习检查五、教学过程① 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？② 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？1.三角函数的定义前面，我们已经把角的范围扩展到了任意角，并用弧度制来度量角，将角和实数建立一一对应关系.接下来，我们将建立一个数学模型，刻画单位圆上点P 位置变化情况.(以点A 为起点做逆时针方向旋转)191 sin -1050tan 3π︒、（）2sin ,cos ,tan Pαααα、已知角 则分别是多少？以单位圆的圆心为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P(x,y)射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值y叫做α的正切函数,记作tanα,即xy=tanα(x≠0).x我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.例1、2.同角三角函数的符号一全正、二正弦、三正切、四余弦例2、3.特殊角的三角函数4.诱导公式一终边相同的角的对应三角函数相同.其中k ∈Z做题时，把角同化为(0~2π)即(0°~360°)终边相同的角，简化计算. 例4：求下列三角函数的值。
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5.2.1 三角函数的概念（第1课时）
【学习目标】
1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
【教材知识梳理】
一．利用单位圆定义任意角的三角函数
在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以 为半径的圆为单位圆． 前
提 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R ，
它的终边与 交于点P (x ，y )，那么：
定
义 正弦
把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作 ，即y ＝ 余弦
把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作 ，即x ＝ 正切
单位圆上点P 的纵坐标与横坐标的比值y x
为函数值的函数叫做α的正切函数，记作 ，即y x ＝ (x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．
正弦函数y ＝sin x ，定义域为 ；
余弦函数y ＝cos x ，定义域为 ；
正切函数y ＝tan x ，定义域为 .
α的终边上任意一点的坐标定义三角函数
推广到一般情况：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P (异于原点)，其坐标为(x ，y )，且OP ＝r ＝ x 2＋y 2 (r ＞0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0). 注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P (x ，y )所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．
二．三角函数值在各象限的符号
三角函数值的符号变化规律可概括为“ ”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )
(2)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )
(3)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( )
(4)若α是第二象限角，且(,)P x y 是其终边与单位圆的交点，则cos x α=-．（ ）
(5)由三角函数的定义，可知1≤sinα≤1.（ ）
【教材例题变式】
【源于P179例2】例1 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，求sin α，cos α，tan α的值．
(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
【源于P178例1】例2 .利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1)2π； (2)4
π-； (3)34π， (4)73π． 【源于P180例3】例3 .对于sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>与⑥tan 0θ<，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角θ为第一象限角的充要条件是_____；（2）角θ为第二象限角的充要条件是_____； （3）角θ为第三象限角的充要条件是_____；（4）角θ为第四象限角的充要条件是______.
【源于P181例4】例4 .确定下列三角函数值的符号：
①sin 156°；②cos 165π；③cos(－450°)；④tan )817(π-；⑤sin )3
4(π-；⑥tan 556°. 【教材拓展延伸】
例5．（1）已知θ是第二象限角，试判断()()tan sin tan cos θθ的符号．
（2）若()()sin cos cos sin 0θθ<，求θ的终边的位置．
【课外作业】
基础过关：
1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）
A ．45
B ．35
C ．35
D ．45
- 2．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 3．点()cos2023,tan8A ︒在平面直角坐标系中位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于
点P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则sin α=（ ）
A ．
B
C ． D
5．已知角θ的终边经过点1,2P ⎛- ⎝⎭
，则角θ可以为（ ） A ．76π B ．23π C ．43π D ．53
π 6．（多选）已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（ ）
A ．tan 2α
B ．cos α
C ．sin cos 0αα<
D ．sin cos 0αα> 7．若点(4,)P a -在角240°的终边上，则实数a 的值是__________.
8．点P 从点()10A ，出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动23
π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是___________.
9．已知角α的终边落在直线3y x =-上，求2sin 3cos αα+的值.
能力提升：
10.设角θ是第一象限角，且满足cos
=cos 22θθ-，则2θ的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 11．（多选）函数y sin cos tan sin cos tan x x x x x x =
++的值可能为（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．1 D ．﹣1
12．（多选）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（ ）
A ．sin(100°)
B ．cos(220°)
C ．tan(10)
D ．cos0
13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
14．已知角α的终边上一点P 与点()1,2A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称，则sin sin αβ+=______．
15．已知角α的终边上有一点)
1P
a +，a ∈R ． (1)若60α=︒，求实数a 的值．
(2)若cos 0α>且tan 0α<，求实数a 的取值范围．
16．如图所示，滚珠P ，Q 同时从点(2,0)A 出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q 按顺时针方向每秒钟转6
π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠P ，Q 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠P ，Q 各自滚动的路程．。