离散数学知识点整理
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面为您整理了一些离散数学的关键知识点。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合之间的关系有包含、相等、真包含等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 包含于 B；如果 A 和 B 的元素完全相同，则 A和 B 相等；如果 A 包含于 B 且 A 不等于 B，那么 A 真包含于 B。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如在集合{1, 2, 3}中，“小于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和图来表示。
矩阵表示法通过 0 和 1 来表示元素之间是否存在关系；图表示法则用节点代表元素，用边表示关系。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于其到达的集合；双射则是既单射又满射。
四、数理逻辑数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题是可以判断真假的陈述句。
命题逻辑中的基本运算有与（并且）、或、非、蕴含和等价。
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注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学知识点总结及应用
离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。
(完整word版)离散数学知识汇总
离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。
(2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式。
(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。
1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。
（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。
定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
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离散数学一.逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A. V. -、f -o记住“p仅当q”意思是“如果p,则q” ,即系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1. 3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过推导出证永真式是通过推导岀。
1・4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如Vx>OP(x)o当论域中的元素可以一一列举，那么VxP(x)就等价于P(xl)AP(x2)... A P (xn) o 同理，3 xP (x)就等价于P(xl) \/P(x2)・•. VP(xn) o两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x (P(x) AQ(x))和(V xP(x)) A (W xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP (x) o 3 x「P(x), T xP (x) o V X^P (x) O 1.5量词嵌套我们釆用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用徳摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1・6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代表结二.集合、函数、序列、与矩阵2 ］集合W说的是元素与集合的关系，匚说的是集合与集合的关系。
常见数集有N=｛0,l,2, 3...｝, Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集, C复数集。
A和B相等当仅当V X(X WA F EB)； A是B的子集当仅当V x(xGA-xGB)； A 是B 的真子集当仅当V x(xWAf xWB) AB X(X^AA X^B)。
幕集：集合元素的所有可能组合，肯定有0何它自身。
如0的幕集就是｛可，而｛0｝的幕集是｛0, ｛0｝｝。
笛卡尔积：AXB,结果是序偶，其中的一个子集叫一个关系。
带量词和集合符号2考虑A-B的函数关系，定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。
一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。
映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。
一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。
反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。
合成函数：f og(a)=f(g(a)), 一般来说交换律不成立。
2. 4序列无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。
前者是可数的，后者不可数。
想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。
如果A和B是可数的，则AUB也是可数的。
如果存在一对一函数f从A到B和一对一函数g从B到A,那么A和B之间是一一对应的。
求和公式：a+ar+ar:+ar3+・・・ +ar n = (ar^-a) / (r-1) 1+2+3+.・・ +n 二n(n+l)/2l+2:+3:+... +n2二n(n+l) (2n+l)/6 l+23+33+... +n3二n: (n+l)742. 6矩阵普通矩阵和、减、乘积，0-1矩阵还可以/\、V. O (和相乘类似，用V代替+,用/\代替X)九、关系9. 1关系及其性质设A和B是集合，从A到B的二元关系是AXB的子集。
一个从A到B的二元关系是集合R，第一个元素取自A,第二个元素取自B,当(a, b)属于R时写作aRbo 集合A上的关系是A到A的关系，有n个元素就有£个有序对，£个有序对就有2£个关系。
考虑集合A到A的关系R：任意aGA都有(a, a) WR,则R是集合A上的自反关系。
任意a, bGA,若(a, b) WR都有(b, a) WR,则R是对称关系。
任意a, bGA,若(a, b) ER且(b, a) ER —定有沪b,则R是反对称关系。
任意a, b, 若(a, b) WR 且(b, c) WR—定有(a, c) ER,则R是传递关系。
若R是A到B的关系，S是B到C的关系，R与S的合成R o S是有序数对(a, c) o 其中aeA, cec,且存在一个bGB 使得(m b) eR, (b, c) WS。
二元关系的5种复合要会翻译成汉语。
9・3关系的表示0-1矩阵法：A有n个元素，B有m个元素，用一个nXm的矩阵览表示，m i;=l 表示有关系。
自反关系的0-1矩阵主对角线全为1；对称关系的0-1矩阵是对称阵；反对称关系的0-1矩阵关于主对角线反对称。
M KI U V M K：9 M KI n A Ms：9 M KI 0O M K： O有向图法：A有n个元素，每一个关系是一条有向边。
自反关系的图每一个顶点都有一个环；对称关系的图在不同顶点之间每一条边都存在与之对应的反方向边(也可用无向图)；反对称关系的图在不同顶点之间每一条边都不存在与之对应的反方向边；传递关系的图在3个不同顶点之间构成正确方向的三角形。
9. 4关系的闭包自反闭包：RU A ,其中△二{ (a, a) la^A} 对称闭包：R并其中RJ{ (b,a) (a, b) ER}传递闭包：R矩阵传递闭包二.. VM./S 了解沃舍尔算法9・5等价关系：自反、对称且传递的关系集合A的元素a在R上的等价类[a] = {s (a, s) G R A s G A} o如A={1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, R={(a, b) a = b(mod 3)}的等价类划分如下[1]=[4]=[7] = {1,4, 7},[2]=[5]=[8]={2, 5, 8}, [3]=[6]={3, 6}9・6偏序关系：自反、反对称且传递的的关系偏序集(S, W)中如果既没有a^b,也没有bW/则&和b是不可比的。
全序集：如果偏序集中每个元素都可比，则为全序集，如(Z, W)是全序集，但(ZS )不是，因为有5和7是不可比的。
良序集：如果是全序集，而且S的每个非空机子都有一个最小元素，则为良序集。
哈塞图：对有穷偏序集，去掉环，去掉所有山传递性可以得到的边，排列所有的边使得方向向上。
极大元极小元：图中的顶元素和底元素，可能有多个最大元最小元：只有唯一的一个，比其他都＞或＜上界下界：只有唯一的一个，比其他都事或W格：每对元素都有最小上界和最大下界十、图10. 1图的概念简单图：每对顶点最多只有一条边多重图：每对顶点可以有多条边无向图：边没有方向有向图：边有方向10.2图的术语无向图中，点v的度为deg(v),如果v是一个环，则度为2。
度为0的点是孤立的，度为1的点是悬挂的。
有m条边的无向图则2m=Sdeg(v)o无向图有偶数个度为奇数的点，因为2m二为deg (VJ +工deg (VJ。
有向图中，点V的入度为deg'(v),出度为deg"(v),且deg'(v) =deg*(v)=边数。
有向图忽略边的方向后得到的图叫做基本无向图，它们有相同的边数。
会画完全图忆、圈图G、轮图肚。
二分图，将点分成2部分，每条边都连着一部分和另一部分。
用着色法判读是否是二分图。
完全二分图K“是边最多的二分图。
10.3图的表示邻接表：无向简单图包括顶点和相邻顶点，不太好表示无向多重图因为边的数量不好表示。
有向图包括起点和终点。
邻接矩阵：①无向简单图按顶点排列，如果Vi和V」之间相邻则弘是1,否则是0。
②无向多重图这时九是Vi和Vj之间的边数。
可知无向图的邻接矩阵都是对称阵。
③有向简单图也按照顶点排列，如果｛% vj是边则％是1,否则是0。
④有向多重图也按顶点排列，只不过吐是｛v“ vj之间的边数。
关联矩阵:将图G按v行e列排列,如果w和①关联,则如是1,否则是0。
图的同构：简单图G1和G2,如果存在一一对应的从VI到V2的函数f,且对VI的3和b来说，&与b相邻当仅当f(a)与f(b)在G2中相邻，则G1和G2 是同构的，f称为同构。
图形不变量如顶点数、边数、度数，如果不同则不同构, 如果相同则可能同构。
当我们找到f后，还要比较两个图的邻接矩阵，看f是否是保持边的。
10.4图的连通性简单图中，用X。
二u, xl…XFV来表示一条通路，若u二v且路长度大于0,则是回路，如果不包含重复的边，则这条通路是简单的。
无向图中每对不同顶点之间都有通路则这个图是连通的，割点(关节点)、割边(桥)去掉后就会使图变得不连通，不含割点的图叫做不可割图。
有向图中，任意一对顶点&和b,都有从a到b以及从b到a的通路，贝IJ这个有向图是强连通的，如果只是基本无向图能保持联通则叫做弱联通的，会求強连通分支。
通路与同构：可以用长度为k^2的简单回路的存在性来证不同构或者是潜在的同构映射f,同样找到f后还要验证f保持边。
图G (允许是有向和无向、多重边和环)的匕到X的长度为n的不同通路的条数等于A P li, j], A是G的邻接矩阵。
10. 5欧拉回路与哈密顿回路欧拉回路：包含G的每一条边的简单回路。
欧拉通路：包含G的每一条边的简单通路。
含有至少2个顶点的连通多重图有欧拉回路当仅当它的每个顶点度都为偶数，有欧拉通路但无欧拉回路当仅当它恰有2个度为奇数的顶点。
哈密顿回路：包含G的每一个顶点恰好一次的简单回路。
哈密顿通路：包含G的每一个顶点恰好一次的简单通路。
含有至少3个顶点的简单图，若每个顶点的度都(n/2),或者每一对不相邻的顶点u 和v都有deg(u) +deg(v) Mn,则有哈密顿回路。
最短通路算法：迪克斯特拉算法和旅行商问题(枚举)10・7平面图欧拉公式：G是有e条边和v个顶点的平面连通简单图，r是G的平面图表示中的面数，则有r二e-v+2。
根据上述条件，有3个推论，可以用来判断不是平面图：推论1：若则eW3v-6。
推论2： G中有度不超过5的顶点。
推论3： vD3且没有长度为3的回路，则eW2v-4。
库拉兔斯基定理：若G是平面图，则删掉一条边｛u,v｝并添加一个新顶点w 和两条边｛u,w｝和&w｝得到的仍然是平面图。
若G1和G2都是这样得到的，则G1和G2是同胚的。
一个图是非平面图当仅当它包含一个同胚于矗3或者念的子图。
10.8着色图地图转换为对偶图时，区域变顶点，相邻的区域则顶点相连。
图的着色数是指着色所需的最少颜色数X (G),这个值不超过4。
X (KJ二m x (KJ二2, x (C a)=2 当n 为偶数且孑4； x (C a)=3 当n 为奇数且M3。