第一专题 量化误差2
量化与量化误差第二节
β0β1β2┄βb，则
设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb，则
①原码所代表的十进制表示为 通常定点数有两种表示法，均设P=0，小数点是隐含的，若数值部分为n位：
当S为纯整数时，此时定点数只能表示整数，所能表示的N范围是（2n-1）≥N≥-（2n-1）；
1）正数（三种码形式相同）
一般，我们总是通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差。
b
x0 i2i i1
例： x0.75
原码加减法运算要考虑符号位； 补码加法运算规律：
正负数可直接加减，符号位同样 参加运算，结果仍是补码。 若结果没有超出字长范围，则符号位 丢弃不影响结果的正确性。 若超出字长范围，如符号位发生双进 位，可以自然丢弃，若是单进位，丢 掉则发生溢出；
• 补码又称“2的补码”。补码中负数是采用2的补数来表示的，即先把 负数加上2，以便将正数与负数的相加转化为正数与正数的相加，从 而克服原码表示法做加减法的困难。
信号能量越大，量化信噪比越高。
②反码表示：（反码和补码的正数表示和原码 没有区别，负数的反码表示就是将该数正数表示形 式中的所有位取反）
b
x0(12b) i2i i1
例： x0.625
原码和反码的总和1- 2b 末尾加1进位成最大值1
③补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾
数求反加1，即 2 b）
通常定点数有两种表示法，均设P=0，小数点是隐含的，若数值部分 为n位： 当S为纯整数时，此时定点数只能表示整数，所能表示的N范围是（2n-1 ）≥N≥-（2n-1）；当S为纯小数时，此时定点数只能表示小数，所能表示 的N范围是（1-2-n）≥N≥-（1-2-n）。
实际数值不一定都是纯整数或纯小数，运算前可选择比例因子，使 所有原始数据化成纯小数或纯整数，运算后再用比例因子恢复成实际值 。
天津大学现代通信原理课后习题答案(1-4章)
天津大学现代通信原理课后习题答案(1-4章)《现代通信原理》课后习题解答第一章绪论1-1设英文字母C出现的概率为0.023，E出现的概率为0.105,试求C与E的信息量。
11IClog2log25.44bit解：p(某)0.023IElog213.25bit0.1051-2设某地方的天气预报晴占4/8，阴占2/8，小雨占1/8，大雨占1/8，试求各每个消息的信息量。
解：8log21bit晴：阴：2bit小雨：3bit大雨：3bit。
41-3设有四个信息A、B、C、D分别以概率1/4，1/8，1/8和1/2传递，每一消息的出现的是相互独立的。
试计算其平均信息量。
解：1111H(某)P(A)log2P(B)log2P(C)log2P(D)log2P(A)P(B)P(C)P(D)11111111log2log2log2log211114882()()()()48821.75bit/符号1-4一个离散信号源每毫秒发出4种符号中的一个，各相互独立符号出现的概率分别为0.4，0.3，0.2，0.1。
求该信号源的平均信息量与信息传输速率。
解：111H(某)0.4log20.3log20.2log20.40.30.210.2log21.84bit/符号0.21.841840bit/1061-5设一信息源的输出由128个不同的符号组成，其中16个出现的概率为1/32，R其余112个出现概率为1/224，信息源每秒钟发1000个符号，且每个符号彼此独立，试计算该信息源的平均信息速率。
11解:H(某)16(1/32)log2112(1/224)log2(1/32)(1/224)6.405bit/符号Rb6.40510006405bit/第1页共26页1-6设一数字传输系统传递二进制码元的速率为1200B，试求该系统的信息传输速率，若该系统改为8进制码元传递，传码率仍为1200B，此时信息传输速率又为多少？解:Rb=RB=1200b/RbRBlog2N1200log28120033600b/1-7已知二进制数字信号的传输速率为2400b/。
感测技术基础第1-4章习题解答
第1章习题解答１、在图1-1-3（b ）中，表头的满偏电流为0.1mA ，内阻等于4900Ω，为构成５mA 、50 mA 、500 mA 三挡量程的直流电流表，所需量程扩展电阻R 1 、R 2、R 3分别为多少？ （1Ω、9Ω、90Ω）解：据公式(1-1-8)计算得Ω=-Ω=-=++10011.05490013321mAmAI I R R R R gg ，Ω=Ω+Ω⨯=+++=+10)1004900(501.0)(321221mAmAR R R R I I R R g g ， Ω=Ω+Ω⨯=+++=1)1004900(5001.0)(32111mAmAR R R R I I R g g故Ω=Ω=90,932R R２、在图1-2-2中，电压表V 的“Ω/V ”数为20k Ω/V ,分别用5V 量程和25量程测量端电压U 0的读数值分别为多少?怎样从两次测量读数计算求出E 0的精确值?（2.50V ，4.17V ，5.01 V ）解：5V 档量程内阻 ()Ω=⨯Ω=k Vk R V 1005201，25V 档量程内阻 ()Ω=⨯Ω=k Vk R V 50025202。
图1-2-2中 伏50=E ，Ω=k R 1000， 5V 档读数V E R R R V V V 5.25100100100001101=⋅+=⋅+=，25V 档读数V E R R R V V V 17.45100500500002202=⋅+=⋅+=。
552512===V V K ，代入公式（1-2-8）式得： ()()V U U K U K E 01.55.217.4517.4151010202'0≈-⨯-=--=。
3、模拟直流电流表与模拟直流电压表有何异同？为什么电流表的内阻很小，而电压表的内阻却很大？解：模拟直流电流表与模拟直流电压表的表头都是动圈式磁电系测量机构。
模拟直流电流表是由“表头”并联很小的分流电阻构成，指针的偏转角与被测直流电流成正比；模拟直流电压表是由“表头”串联很大的分压电阻构成，指针的偏转角与被测直流电压成正比。
量化与量化误差第二节
02 量化误差的影响
量化误差对测量结果的影响
01
02
03
测量精度降低
量化误差会导致测量 结果 的精度降低，使得测量结 果与真实值存在偏差。
测量范围受限
在某些情况下，量化误差 可能导致测量结果超出预 期范围，从而影响测量结 果的可用性。
测量可靠性下降
由于量化误差的存在，相 同的输入数据可能会产生 不同的输出结果，从而影 响测量的可靠性。
对测量设备进行校准减小量 化误差。
详细描述
定期对测量设备进行校准， 确保其性能稳定并符合精度 要求，从而减小由于设备老 化或配置不当引起的误当导致测量结果偏离真实值。
详细描述
测量设备配置不当时，如量程选择不当或传感器灵敏度过低，可能导 致测量结果误差较大。
测量方法引起的量化误差案例
总结词
测量方法不完善或理论误差导致测量结果 偏离真实值。
总结词
测量方法操作不规范导致测量结果偏离真 实值。
详细描述
某些测量方法本身存在理论误差，如用欧 姆表测量电阻时，由于表内电池电压随时 间变化，导致测量结果存在误差。
根据测量需求和目标，选择合适的测量方法，确保能够准确反映 被测量对象的特性。
遵循标准操作程序
按照标准操作程序进行测量，避免因操作不当导致的误差。
多次测量求平均值
对同一被测量对象进行多次测量，取平均值作为最终结果，能够 减小随机误差的影响。
加强测量过程的控制
制定详细的测量计划
01
在测量前制定详细的计划，明确测量步骤、要求和注意事项，
详细描述
在实施测量方法时，操作不规范或忽略某 些细节，如未进行校准、读数不准确等， 可能引入较大的误差。
测量过程控制不当引起的量化误差案例
【VIP专享】第五章：量化与量化误差 第二节
实际数值不一定都是纯整数或纯小数，运算前可选择比例因子，使 所有原始数据化成纯小数或纯整数，运算后再用比例因子恢复成实际值。
数求反加1，即 2b）
b
x 0 i 2i i 1
例： x 0.75
正数表示：0.110 取反：1.001
x的补码：1.010
原码加减法运算要考虑符号位； 补码加法运算规律：
正负数可直接加减，符号位同样 参加运算，结果仍是补码。
若结果没有超出字长范围，则符号位 丢弃不影响结果的正确性。 若超出字长范围，如符号位发生双进 位，可以自然丢弃，若是单进位，丢 掉则发生溢出；
• 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，
称ห้องสมุดไป่ตู้定点制；
• 定点制总是把数限制在±1之间；
• 最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在 符号位后；
• 数的本身只有小数部分，称为“尾数”；
•定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为 “溢出”；
•乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。 为保证字长不变，乘法后，一般要对增加
5.2.3 A/D变换的量化效应 A/D变换器分为两部分：
采样：时间离散，幅度连续； 量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理
，得有限字长数字信号xˆ(n) 。
本节讨论这一过程中的量化效应。
以补码为例
对一个采样数据 x(n)作截尾和舍入处理，则
截尾量化误差：eT
电子测量技术与仪器(第3版)课后习题答案
课后习题
目前本课程教材选用北京理工大学出版社出版的《电子测量技术与仪器》主编王川2010年7月第一版，教学过程中在教材里选择合适的习题作为课后习题，参考答案如下：
第一章
1-1见教材P4
1-2见教材P5
1-3 Δx1=1v,Δx2 =1v ,γA1=10% , γA2=1%
1-4 (1)Δx=0.03v ,c=-0.03v
(2) γA=0.86%
(3)1.0级
第二章
2-1见教材P13-14
2-3见教材P23
2-4见教材P26
第三章
3-2
正弦波三角波方波
有效值表 1.77V 1.44V 2.5V
均值表 1.77V 1.39V 2.76V
峰值表 1.77V 1.77V 1.77V
3-3选均值表较为合适，均值表的波形误差相对较小
3-6见教材P57-59
3-10（1）甲为4位乙为4位半
（2）当乙的基本量程为2V时，乙具有超量程能力，甲没有超量程能力
（3）0.01mV
第四章
4-1见教材P98-99
4-4（1）先让所用通道的垂直耦合接地，确定电压为零的位置，然后换到直流耦合，测量高低电平的电压大小。
（2）分别读取方波波形上升沿10%—90%的时间长度与下降沿90%—10%的时间长度，即为前沿时间和后沿时间。
4-11见教材P117
第五章
5-2见教材P134
5-9见教材P146
第六章
6-2见教材P168-169
6-3见教材P165-166
6-5测频量化误差分别为±0.00001%，±0.0001%，±0.001%。
第一专题量化误差
数字运算中的有效字长效应
小结
综上所述，在数字运算中，数据的二进制数无论是由 定点表示还是由浮点表示，由于硬件的资源及计算速率的 要求，计算结果中均有截尾误差或舍入误差，即存在有效 字长效应。除非我们以资源或速率换取高精度，否则截尾 误差及舍入误差是难免的。
[1] 程佩青.数字信号处理教程(第三版).清华大学出版社.2007 [2] 陈后金.数字信号处理(第二版).高等教育出版社.2004
差。
0.001111
数字运算中的有效字长效应
浮点数的表示
数码中小数点的位置是浮动的，b位二进制数分成指数部分 和尾数部分。浮点数F可表示为:
F M 2c
Ｍ:尾数，决定浮点的精
度。0.5 M 1
……
2C:指数，决定浮点 数的动态范围 Ｃ：阶码
……
符号位
bm
bc
符号位，正数小数点
往右移，负数往左移
式中， 为s符号位； 为B整数宽度，表示长度为 位B； 表示C 小
数宽度。
十进制计算公式为
B
C
x (1)s ( ai 2i bi 2 j )
i 1
j 1
数字运算中的有效字长效应
定点数在FPGA IP 核中表示
数字运算中的有效字长字运算中的有效字长效应
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
最高位为符号位,O表示正数,1表示负数。其后是用原码表
示的指数e,若指数为E位,则表示范围为: 0 ~ 2,指E 数1的偏移量
下式表示：
bias 2E1 1
指数表示移位数：(2E1 1) ~ 2E1 浮点数字长的代数表达式为：
x (1)s 1.m 2ebias
参数量化重构误差度量
参数量化重构误差度量一、引言参数数量化是深度学习领域的一个重要研究方向，其目的是通过对模型参数进行量化，以减小模型大小、降低存储成本和提高模型推理速度。
然而，参数数量化会引起一定的量化误差，这些误差可能对模型的性能产生影响。
因此，度量量化误差并对其进行评估成为了该领域的一个关键问题。
本文将对参数量化重构误差度量进行详细探讨，首先介绍参数量化的基本原理，然后阐述参数量化重构误差度量的评估指标和方法，接着通过实验对比不同量化方法的性能，最后总结结论并提出未来研究方向。
二、参数量化原理参数量化主要包括标量量化、向量化以及矩阵/张量量化等几种方法。
标量量化将浮点数参数替换为具有更少精度的整数，例如8位整数（INT8）或16位整数（INT16）。
向量量化则将多个浮点数参数组合成一个向量，并对向量进行量化。
矩阵/张量量化适用于模型中的大尺寸参数，例如卷积层的权重矩阵。
参数量化可以减小模型的存储需求和提高推理速度，同时减小计算资源的消耗。
然而，量化过程会引入误差，这些误差可能导致模型性能的下降。
因此，对参数量化重构误差度量进行评估至关重要。
三、量化重构误差度量方法为了评估参数量化的性能，需要采用合适的评估指标和方法来度量量化重构误差。
以下是常用的参数量化重构误差度量的评估指标和方法：1.均方误差（MSE）：MSE是一种常用的误差度量方法，用于衡量预测值与真实值之间的平均平方误差。
在参数量化中，MSE用于衡量量化值与原始浮点数之间的平均平方误差。
2.峰值信噪比（PSNR）：PSNR常用于图像处理领域的误差度量，衡量的是图像经过处理后相对于原始图像的失真程度。
在参数量化中，PSNR可以用于衡量量化值与原始浮点数之间的峰值信噪比。
3.结构相似性指数（SSIM）：SSIM用于衡量两个图像之间的结构相似性。
在参数量化中，SSIM可以用于衡量量化值与原始浮点数之间的结构相似性。
4.L1/L2范数：L1和L2范数可以用于衡量预测值与真实值之间的绝对或相对误差。
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x1 x2
x1 x2
将
x2的阶码变成与 x1 一样： x2 2010 0.001001
两数相加可得：2010 0.111001
将两浮点数的阶码相加，小数部分相乘即可。 结果为
2
010
0.011011
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
最常见的浮点数格式为IEEE 754标准。IEEE 754标准有：32 位单精度浮点数、4位双精度浮点数及80位扩展双精度浮点数。
A/D变换器的统计模型
实际采样时要精确地知道所有的量化误差e(n)是很困难的， 一般情况下只要计算它的平均效应就可以了，所以用统计分析 方法来分析量化误差的效应。
输入信号经A/D变换产生的量化误差
A/D变换器的统计模型
xa (t )
x(n) xa (m) x ( n) 抽样 量化器
ˆ ( n) x
bias 2
E 1
1
E 1 E 1 (2 1) ~ 2 指数表示移位数： 浮点数字长的代数表达式为：
x (1) s 1.m 2ebias
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示 例：此处以32位单精度浮点数（1，8，23）为例：
符号位 计算结果
x (1) s 1.m 2ebias (1)1 1.100100101101 2(133127) =(-1100100.101101) 2 =(100.703125)10
数字运算中的有效字长效应
小结
综上所述，在数字运算中，数据的二进制数无论是由 定点表示还是由浮点表示，由于硬件的资源及计算速率的 要求，计算结果中均有截尾误差或舍入误差，即存在有效 字长效应。除非我们以资源或速率换取高精度，否则截尾 误差及舍入误差是难免的。
[1] 程佩青.数字信号处理教程(第三版).清华大学出版社.2007 [2] 陈后金.数字信号处理(第二版).高等教育出版社.2004
实例
主要计算方法：
CORDIC算法（坐标旋转曲 线法）
分段线性逼近法
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
数字运算中的有效字长效应
结论
定点数：数据的二进制数采用定点表示动态范围小，有溢出，尾数 处理会带来截尾或舍入误差。由此，在数字系统的计算中会发生有
限字长效应。
浮点数：浮点表示法尾数的字长决定浮点表示的精度，因此在硬件 中（如DSP、FPGA）实现计算时，由于硬件资源的限制及计算速率的 要求对尾数的处理也会带来截尾或舍入误差。由于浮点表示的阶码 决定浮点数的动态范围，因此与定点相比，浮点有更大的动态范围， 且不易溢出。
i 1
b
数字运算中的有效字长效应
定点数在FPGA IP核中表示
x sa1a2 aB b1b2 bC
C表 式中，s为符号位；B为整数宽度，表示长度为 B 位； 示小数宽度。
十进制计算公式为
x (1) s ( ai 2i bi 2 j )
i 1 j 1
B
C
数字运算中的有效字长效应
数字运算过程中的有效字长效应
输入信号经A/D变换产生的量化误差
滤波器的系数量化误差
总
结
滤波器的系数量化误差
数字滤波器的系统函数可用下式表示： 问题的提出
H ( z) B( z ) A( z )
k 0 N
bk z
k 1
M
k
1 ak z
k
k 0 N
bk z k
M
(1 0.99 z )
滤波器的系数量化误差
由此可知，滤波器系数在硬件中实现时其长度不可能是无 限精度的，它会受到硬件资源的限制。而若对其进行量化则会 产生截尾误差或量化误差，这一点是无可避免的，为了保持系 统稳定，我们只能用有限字长来对滤波器系数以二进制表示。 滤波器系数量化效应除了与寄存器的字长有直接的关系外， 还与滤波器的结构密切相关。高阶直接型结构滤波器的极点数 目多而密集，而低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏， 因而前者对系数量化误差要敏感得多[1][2]。
输入信号本身也含有噪声n(t) 增加b，使量化噪声功率远小于信号本身携带的噪声功率即可， 即：
2 e2 n
输入信号经A/D变换产生的量化误差
小结
输入信号经A/D变换会产生量化误差。采用信噪比来估算量 化误差的大小可知，提高A/D的量化信噪比的方法有： 增大输入信号 增加字长b
主要内容
数字运算过程中的有效字长效应
输入信号经A/D变换产生的量化误差
滤波器的系数量化误差
总
结
输入信号经A/D变换产生的量化误差
A/D变换的工作原理
A/D转换器是一种将输入的模拟信号x(t)转换为b位二进制数字信号的器件。 b的数值可以是8，12或高至20。它可以分为以下两部分：
采样：时间离散，幅度连续；
滤波器的系数量化误差应
定点数的表示
定点数表示就是指小数点在数中的位臵是固定不变的。 常用表达形式为：
0 1 2 b
其中，最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符 号位后；数的本身只有小数部分，称为“尾数”；
十进制计算公式为：
x (1) 0 i 2 i
数字运算过程中为限制位数而进行尾数处理、防止溢出而 产生的有效字长效应。
输入信号经A/D变换产生的量化误差
即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平时产生的量 化误差。
滤波器的系数量化误差
即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误差。
主要内容
数字运算过程中的有效字长效应
输入信号经A/D变换产生的量化误差
第六专题
量化误差与有限字长效应
前言
数字信号处理的实质：一组数值运算
从设计的角度来讨论：认为数字是无限精度的 从实现的角度考虑：数字的精度就是有限的
从设计时的无限精度到实现时的有限精度，会产生
相对于原设计系统的误差，严重时会导致系统崩溃。
前言
有限字长的影响，主要表现在以下三方面
数字运算过程中的有效字长效应
……
2C:指数，决定浮点 数的动态范围 Ｃ：阶码
…… bc
符号位
bm
符号位，正数小数点 往右移，负数往左移
数字运算中的有效字长效应
浮点数的表示
例1：F=0.101×2010=0.625×4=2.5
符号位 符号位
0
1
0
1
0
0
1
0
数字运算中的有效字长效应
浮点数的表示
例2：若两个二进制浮点数 x1 2010 0.1100, x2 2 000 0.1001 求 x1 x2 及 x1 x2
Px SNR Pe
其中， P 表示信号功率，P 表示噪声功率。
x
e
输入信号经A/D变换产生的量化误差
A/D变换器的误差计算
由此，可以计算误差为：
x2 x2 2 12 2 SNR 2 x x 12 22 q e q
12
b
SNR用dB表示有：
2 x 2 SNR 10 log10 2 6.02b 10.79 10 log10 x ( dB) e
定点数在FPGA IP 核中表示
数字运算中的有效字长效应
定点数在FPGA IP 核中表示
数字运算中的有效字长效应
定点数表示的缺点
结论 定点数作加减法时结果可能会 “溢出” 乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。 数据的二进制数采用定点表示动态范围小，有溢出，尾数 例：b=3=>0.101 处理会带来截尾或舍入误差。由此，在数字系统的计算中便会
输入信号经A/D变换产生的量化误差
结论
信号功率
2 x
越大，信噪比越高；
字长越长，A/D变换的信噪比越高；
随着字长b的增加，信噪比也增大，字长b每增加一 位，则信噪比增加约6dB。
输入信号经A/D变换产生的量化误差
在实际的信号处理中，输入信号的幅值往往会大于A/D变 换器的动态范围，因此，需要将原有模拟输入信号 x ( n) 压缩 为 Ax(n)， 0 A 1 ，然后对其量化。由于 Ax(n) 的实际方差 为 A2 x 2，所以信噪比为：
根据标准浮点数字长由一个符号位S、指数e和无符号(小数) 的规格化尾数 m构成。 其格式如下图所示。
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
最高位为符号位,O表示正数,1表示负数。其后是用原码表 E 示的指数e,若指数为E位,则表示范围为: 0 ~ 2 1 ,指数的
偏移量下式表示：
在满足抽样定理的前提下，模拟信号时间离散化的过程是可逆的。
量化 对抽样序列进行幅度上的离散化之后，用某种格式的数字代码来表示。
量化过程是不可逆的
必定要引入量化误差或量化噪声。 量化噪声的大小决定了A/D转换器的动态范围，是恒量A/D转换器性能 的一个最重要指标。
输入信号经A/D变换产生的量化误差
[1] 程佩青.数字信号处理教程(第三版).清华大学出版社.2007 [2] 桂志国，楼国红.数字信号处理.数字信号处理.2009
总结
浮点数具有更大的动态范围，取相同的尾数字长时，浮点运 算的误差要比定点运算的误差小，因此在数值运算时尽量采用 数字系统中的每一个数总是用有限字长的二进制数码表示， 浮点运算。 滤波器系数量化效应不仅与硬件中寄存器的字长相关，还与 运算过程中需要的数字信号的值、系统的系数和运算过程中的 滤波器的设计结构有联系。由于高阶滤波器的极点数比低阶滤 结果都是存储在有限字长的存储单元中的，此时数字的精度就 波器多，因此在滤波器设计时若能完成相同功能尽可能地采用 是有限的，这就会使数值的二进制表示存在截尾误差或舍入误 低阶滤波器结构。 为了减小A/D变换的量化误差，可以增大输入信号或增加字 差。 长，但若长到使A/D变换器的量化噪声比输入信号的噪声电平 更低则没有意义。