计算机中的数制表示
计算机中的数制
4
0
2
2
1
1
0.5
0
0.25
0.25
0.125
.0625
0.125 .0625
16 + 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + .25 + .125 + .0625 = 27.4375
数 制 的 转 换
例4: 将下面给出的二进制数转换成十六进制的数
二进制数 十六进制数
0010 2 0000 0 0101 5 1010 A 0111 7 1110 E 0100 4
[例]：
[X]原=1 0110100
[X]反=1 1001011
[+0]反=00000000 [-0]反 =11111111 即：数0的反码也不唯一
补码
定义：
若X>0， 则[X]补= [X]反= [X]原 若X<0， 则[X]补= [X]反+1 [例]： X= –52= – 0110100
[X]原=10110100
1.2
计算机中的数制
数制 是人们利用符号来计数的科学方法。数制可以 有很多种，但在计算机的设计和使用上常用的 则为十进制、二机制、八进制和十六进制。 数制的基和位权 数制所使用的数码的个数称为基，数制中每一 固定位置对应的单位值称为“位权”
十进制： 基为“10”，权为以10为底的幂， —D 二进制： 基为“2”，权为以2为底的幂， —B 八进制： 基为“8”，权为以8为底的幂， —O 十六进制：基为“16”，权为以16为底的幂 —H
ASCII码
ASCII码是目前微机中普遍采用的字符编码系统。 字符的编码，一般用7位二进制码表示128个字符和 符号。在需要时可在D7位加校验位。 0～9的ASCII码:30H~39H;
大学计算机基础1.2计算机的数制
0.3125
×
8
2.5000…………2
×8
4.0000…………4
因此： (125.3125)10 = (175.24) 8
注意： 在十进制小数转换成二进制小数过程中，如出现小数部分不 归0的情况，则应按精度要求“0舍1入”。
十进制
二进制
八进制
十六进制
不
0
0
0
0
同
1
1
1
1
数
2
10
计算机中常用的数制
进位制 进位规则 基数 二进制 逢二进一 r=2
所用数码 0，1
位权 表示符号
2i
B(Binary)
八进制 逢八进一 r=8 0，1，…，7 8i
O(Octal)
十进制 逢十进一 r=10 0，1，…，9 10i D(Decimal)
十六进制 逢十六进一 r=16 0,1,…,9,A,…,F 16i H(Hexadecimal)
三种基本逻辑运算的真值表
a
b
a
a∧b
a∨b
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
若干位二进制数组成的逻辑数据，位与位之间没有“位权”的内 在联系。对两个逻辑数据进行运算时，每位相互独立，按位进 行运算，不存在进位与借位，运算结果也是逻辑量。
逻辑代数是实现逻辑运算的数学工具，逻辑代数有三种基本的逻 辑运算：与、或、非。其它复杂的逻辑关系均可由这三种基本 逻辑运算组合而成。
①与运算(逻辑乘法) 当做一件事情取决于多种因素时，当且仅当所有因素都满足时才去做，
计算机常用数制及编码
计算机常用数制及编码1.二进制数制：二进制是计算机中最基本的数制，只包含两个数字0和1、它是一种逢二进一的计数法，每位上的数值以2为底数的幂来表示。
例如，二进制数1101表示1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=13、在计算机中，二进制数被广泛应用于存储和运算等操作。
2.八进制数制：八进制使用8个数字0-7来表示。
它是二进制数制的一种压缩表示方法，每3位二进制数可以表示为一位八进制数。
例如，二进制数1101可以表示为八进制数15、八进制数在计算机界并不常见，但在一些特定场景下仍然有一定的应用。
3.十进制数制：十进制是我们常用的数制，使用10个数字0-9来表示数值，每位上的数值以10为底数的幂来表示。
例如，十进制数123表示1*10^2+2*10^1+3*10^0=123、十进制数制通常用于人类的日常计算中，但在计算机中也会涉及到十进制的处理，例如在涉及到金额、日期和时间等数字的场景中。
4.十六进制数制：十六进制使用16个数字0-9和A-F来表示，其中A-F分别表示十进制数10-15、它是二进制数制的另一种压缩表示方法，每4位二进制数可以表示为一位十六进制数。
十六进制数常用于计算机领域，因为它们可以更紧凑地表示二进制数。
例如，二进制数1101可以表示为十六进制数D。
编码系统是为了实现计算机和人类之间的信息交流而发展的。
下面介绍几种常见的编码系统：1.ASCII码：ASCII（American Standard Code for Information Interchange）是最早和最广泛使用的字符编码系统之一、它使用7位二进制数（扩展ASCII使用8位二进制数）来表示128（或256）个字符，包括英文字母、数字、符号等。
ASCII码可以用于存储和表示文本文件中的字符。
2. Unicode编码：3.UTF-8编码：UTF-8（Unicode Transformation Format - 8-bit）是一种对Unicode进行可变长度编码的字符编码系统。
计算机中的常用数制.
1 计算机中的常用数制进位计数制，按进位的原则计数，超过基数，向左边进位。
日常生活中有10进制、60进制……计算机中有2进制、8进制、16进制等。
1.1 常用的数制数字66是几？先要确定它是几进制数。
在进位计数制中有数位、基数和位权三个要素。
✧数位：是指数码在一个数中所处的位置。
对于任意禁止—J进制，J个数字符号，逢J进一。
例如十进制，逢十进一；✧基数：是指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码的个数。
例如十进制，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
✧位权：在一个形成数的数码序列中，各位上的基数的幂有所不同。
例如十进制数，各数位的位权(由右至左)分别为100，101，102，……最常见，最熟悉的是10进制；计算机用2进制；8进制和16进制都是从2进制“派生”出来的。
1.2数制转换二←→十进制之间的转换是基础。
1)非十进制→十进制a n ...a1a0.a-1...a-m (r) = a n×r n+ …+ a1×r1 + a0×r0 +a-1×r-1+...a-m×r-ma i是某一位上的数码，r是基数，r i是权。
不同的基数，表示是不同的进制数。
r 进制转化成十进制：数码乘以各自的权的累加例：10101=1×24+1×22+1×20=21101.11(B)=22+1+2-1+2-2=5.75101(O)=82+1=6571(O)=7x8+1=57101A(H)=163+16+10＝4106注：(B)—表示该数是二进制数；(O)—表示该数是八进制数；(H) —表示该数是16进制数2) 十进制数→非十进制整数部分和小数部分分别计算。
整数—除2取余，到0为止；小数—乘2取整，到0或满足精度为止。
最先算出的数离小数点近。
例：将十进制数转换成二进制数，小数部分和整数部分分别转换：整数部分：小数部分：2 100 0.6252 50 0 离小数点近× 22 25 0 离小数点近1 1.2502 12 1 × 22 6 0 0 0.502 3 0 × 22 1 1 1 1.00 1100.625=1100100.1013) 二、八、十六进制数制间的转换等价关系，3位二进制数对应1位8进制数；4位二进制数对应1位16进制数。
计算机常用数制有哪些
计算机常用数制有哪些计算机常用数制有哪些数制也称计数制,是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
下面是一些关于数制的知识，欢迎大家阅读学习!1.数制记数系统(number representation system)简称记数制或数制，是用一组统一的符号和规则来表示数的方法。
根据基数的不同，有十进制、二进制和十六进制等。
日常生活中我们最熟悉十进制数制，但在与计算机打交道时，会接触到二进制。
除此之外，还有八进制、十六进制等等。
但无论哪种数制，其共同之处都是进位记数制，即：如果采用的数制有R个基本符号，则称为基R数制，R称为数制的“基数”，而数制中每一固定的.位置对应的单位值Rn称为“权”。
进位记数制的编码符合“逢R进位”的规则，各位的权是以R为底的幂，一个数A可按权展开成如下多项式：A=an1×Rn1+an2×Rn2+…a0 ×R0+ a1×R1+…am ×Rm其中ai(i=n，…，2，1，0，1，2，…，m)为R数制的任何一个数字符号。
常用进位计数制表示方法如表1-3-1所示。
2.数制转换十进制数和二进制数之间的转换方法如下：(1)十进制数转换成二进制数对整数部分采用“除2取余”法，即把一个十进制的整数部分连续地被2除，将依次得到的余数按相反顺序排列，得到的就是相应二进制数的整数部分。
对小数部分采用“乘2取整”法，即把一个十进制数的小数部分连续地乘以2，将依次得到的整数按顺序排列，得到的就是相应二进制数的小数部分。
(2)二进制数转换成十进制数把二进制数小数点前整数部分的第n位的值乘以2n-1，把小数点后小数部分的第m位的值乘以2-m，然后把这些结果值相加即可。
例如：101101.101B=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=25+23+22+20+2-1+2-2=45.625(3)不同进制转换二进制数不便于书写和记忆，人们经常采用十六进制数或八进制数来表示它们，因为它们之间的转换非常方便。
数制及数制转换
数制及数制转换数制是一种用来表示和处理数值的体系，而数制转换则是将一个数从一个数制表示转换为另一个数制表示的过程。
在计算机科学和数学中，常见的数制包括十进制、二进制、八进制和十六进制等。
以下是这些概念的简要解释：数制：1.十进制（Decimal）：基数为10，使用0-9的数字表示。
十进制是我们日常生活中常用的数制，人类常用的手指数法也是十进制的。
2.二进制（Binary）：基数为2，使用0和1的数字表示。
计算机内部以二进制形式存储和处理数据，因为电子开关只有两个状态（打开或关闭）。
3.八进制（Octal）：基数为8，使用0-7的数字表示。
在计算机领域，八进制逐渐被二进制和十六进制所取代，但仍然有时用于表示一些标志和权限。
4.十六进制（Hexadecimal）：基数为16，使用0-9以及A-F表示10-15。
十六进制常用于表示计算机领域中的地址、颜色值等。
数制转换：1.二进制到十进制：将二进制数中的每一位与对应的权值相乘，然后相加即可。
2.十进制到二进制：使用除2取余法，将十进制数除以2，记录余数，然后将商再除以2，一直重复这个过程直到商为0。
最后，将所有的余数从下往上排列即可。
3.八进制和十六进制转换：八进制和十六进制的转换与二进制类似，只需将每一组（八进制为3位，十六进制为4位）与对应的权值相乘，然后相加即可。
4.二进制到十六进制：先将二进制数补足为4的倍数，然后将每4位二进制数转为一个十六进制数。
5.十六进制到二进制：将每一位十六进制数转为4位的二进制数即可。
数制转换在计算机领域中经常使用，尤其是在处理数据和编程时。
理解这些概念和转换方法对理解计算机底层原理和进行程序设计非常有帮助。
计算机中的常用数制
计算机中常用数制类型
二进制数制
二进制是计算机内部采用的最基本的数制，它只有两个数码0和1，可以表示任何数字、字母和符号。二进制具有简单、可 靠、易于实现逻辑运算等优点，是计算机硬件设计和软件编程的基础。
八进制数制
八进制是一种基数为8的数制，它由0~7八个数码组成，每三位二进制数可以对应一位八进制数。八进制在表示数据 时比二进制更简洁，方便阅读和调试。
减法运算
从被减数的每一位中减去减 数对应位上的数字，若不够 减，则向前一位借位。
乘法运算
将两个数的每一位相乘后求 和，注意进位。
除法运算
从被除数的最高位开始除起， 除到被除数的哪一位就把商 写在哪一位的上面，每次除 得的余数必须比除数小。
十进制与其他数制的转换
十进制转二进制
十进制转八进制
十进制转十六进制
十六进制数制
十六进制是一种基数为16的数制，它由0~9和A~F（或a~f）十六个数码组成，每四位二进制数可以对应 一位十六进制数。十六进制在表示数据时比二进制和八进制更紧凑，常用于内存地址和机器码的表示。
数制间的转换方法
二进制与十进制之间的 转换
二进制与八进制之间的 转换
二进制与十六进制之间 的转换
04
其他数制转八进制
先将其他数制转换为二进制数， 再将二进制数按照每3位一组转换
为对应的八进制数。
06
数制间的转换技巧与实例
二进制、十六进制和十进制间的快速转换方法
二进制转十进制
按权展开求和，即$(b_n b_{n-1} ldots b_1 b_0)_2 = sum_{i=0}^{n} b_i times 2^i$。
检查转换方法是否正确
确保采用的转换方法符合数制转换规则。
计算机中的数制
计算机中的数制“数制“是指进位计数制，它是一种科学的计数方法，它以一种科学的计数方法，它以累计和进位的方式进行计数，实现了以很少的符号表示大范围数字的目的。
计算机中常用的数制有二进制、十进制和十六进制。
1.十进制十进制数用0,1,2，…，9十个数码表示，并按“逢十进一“”借一当十“的规则计数。
十进制的基数是10，不同位置具有不同的位权。
例如：680.45=6x102+8x101+0x100+4x10-1+5x10-2十进制是人们最习惯使用的数制，在计算机中一般把十进制作为输入/输出的数据形式。
为了把不同进制的数区分开，将十进制数表示为（N）10。
2.二进制二进制数用0,1两个数码表示，二进制的基数是2，不同位置具有不同的位权。
例如：（1011.101）2=1x23+0x22+1x21+1x20+1x2-1+0x2-2+1x2-3=(11.625)10二进制数的位权展开式可以得到其表征的十进制数大小。
二进制数常用（N）2来表示，也可以记做（N）B。
二进制数的运算很简单，遵循“逢二进一“、”借一当二“的规则。
1+1=0（进1） 1+0=1 0+1=1 0+0=01-1=0 1-0=1 0-1=1（借1） 0-0=01x1=1 1x0=0 0x1=0 0x0=03.十六进制十六进制数用0,1,2，…，9，A,B,C,D,E,F十六个数码表示，A 表示10，B表示11，……，F表示15。
基数是16，不同位置具有不同的位权。
例如：（3AB.11）16=3X162+AX161+BX160+1X16-1+1X16-2=(939.0664)10十六进制数的位权展开式可以得到其表征的十进制数大小。
十六进制数常用（N）16或（N）H来表示。
十六进制数的运算，遵循“逢十六进一“、”借一当十六“的规则。
下表所示为3种数制的对照关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算机的数制
⑴ 十进制数（Decimal） 特点：数值用0～9表示，逢十进一。 十进制通式为： 整数部分，n为整数部分位数
s10=
a n×10 n-1 +. . . +a1×100
+
a -1 ×10 -1+ . . . +a -m ×10 -m
小数部分，m为小数部分位数 其中：“10”为十进制数的基数
• 先澄清一个概念，浮点数并不一定等于小 数，定点数也并不一定就是整数。 • 所谓浮点数就是小数点在逻辑上是不固定 的，而定点数只能表示小数点固定的数值， 具用浮点数或定点数表示某哪一种数要看 用户赋予了这个数的意义是什么。
定点小数：
符号位
0 1
0 0
0 0
00ຫໍສະໝຸດ 隐含小数位定 点 数
1
定点整数： 1
符号位
0
0 0
0 0
1
隐含小数位
• 定点数表示简单直观，但运算值表示的范 围较小，运算时容易产生溢出。 • 为增大数值的表示范围，防止溢出，采用 浮点数表示法。类似于科学计数法。
如：0.27E-2 → + 0.27 * 10-2
如：0.27E-2 → + 0.27 * 10-2
31 30 24 23 22 0
数值数据的原码表示
表示方法规定：
最高位作为符号位,其余各位代表 数值本身的绝对值(以二进制表示).
若符号位为0，则 表示正数 若符号位为1，则表示负数
数值数据的原码表示
例1 假设用一个字节表示一个整数，求+7和-7的原码 解： （＋7 ）原＝ 00000111
例2
（－7 ）原＝ 10000111 真值 原码 1011 -1011 0.1011 00001011 10001011 0.1011000
例1 假设只用一个字节来表示一个整数，求+7和-7的反码 解： （＋7 ）反＝ （－7 ）反＝
00000111 11111000
数值数据的反码表示
例2. 假设只用一个字节来表示一个整数，求＋0和 －0的反码表示
解：
（＋0 （－0
）反＝ 00000000 ）反＝ 11111111
0的反码不唯一
故可知：
00000010
00000001 00000000 11111111
-2
-3 -4 -5
10000010
10000011 10000100 10000101
11111101
11111100 11111011 11111010
11111110
11111101 11111100 11111011
为什么用补码
二、八与十六进制之间的转换
整数从右向左三位并一位 小数从左向右三位并一位
二进制
一位拆三位
八进制
整数从右向左四位并一位
小数从左向右四位并一位
二进制
一位拆四位
十六进制
示例： 100 110 110 111 .010 100
(4
6
6
7
. 2 4 )8
1001 1011 0111.0101 ( 9 B 7 . 5 )16
机器数的真值：
按一般习惯书写形式，即，正负号加绝对值表示 的数。
机器数与真值
例如：真值为＋1101的一种机器数形式为？
01101 真值为－1101的一种机器数形式为？ 11101
显然，机器数形式的二进制位数受机器字长限 制，因而表示的范围和精度也将受到相对限制
• 数值数据的表示：原码、反码、补码 • 数值数据在内存中数据一般采用补码表示。
数值数据的补码表示 “补码”的原理
表示方法规定:
1、正数的补码、反码、原码相同. 2、对于负数的补码，则将其最高位置为 1，其 余各位为对原码的相应数据位取反，然后再对整 个数加1.
数值数据的补码表示
例1 假设只用一个字节来表示一个整数，求+7 和-7的补码
解： （＋7 ）补＝00000111 （－7 ）补＝ 11111000
计算机的数制
十进制（D) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二进制(B) 0 01 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 八进制(O) 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 十六进制(H) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
总结
[X]原、[X]反 、[X]补用“0”表示正号， 用“1”表示负号 如果X为正数，则[X]原=[X]反 =[X]补。 如果X为0，则 [X] 补 有唯一 编码， [X]原、[X]反 有两种编码。 对补码再求一次补，会得到该数的原码
定点数与浮点数
• 在计算机中没有专门表示小数点的位，小 数点的位置是约定默认的。 • 定点数：小数点位置固定的数。 • 浮点数：小数点位置可以变动的数。
为什么用补码
如果用反码做减法： （1）反= 00000001 （-1）原= 11111110 (00000001)反 + (11111110)反 = (11111111)反 = (-0 ) 有问题。 如果用补码做减法： (1)补=00000001 (-1)补=11111111 (00000001)补+(11111111)补 = (00000000)补=(0) 正确。
为什么用补码
计算机中采用补码的设计目的是： ⑴ 使符号位能与有效值部分一起参加运算， 从而简化运算规则。补码机器数中的符号 位，并不是强加上去的，是数据本身的自 然组成部分，可以正常地参与运算。 ⑵ 使减法运算转换为加法运算，进一步简化 计算机中运算器的线路设计。 所有这些转换都是在计算机的最底层进行的， 而在我们使用的汇编、c等其他高级语言中 使用的都是原码。
八进制数的通式为：
s8 =
an×8 n-1 + . . . + a1×8 0 + a-1×8-1+a-m×8-m
例如： 7+1=10 而不是等于8
计算机的数制
（4）十六进制(Hexadecimal)
特点：每位可取数字0～9和英文字母A（10）、 B(11）、C(12）、D(13）、E(14）、F(15)的任意 一个，逢十六进一。 十六进制数的通式为： S16=an×16 n-1 + . . . + a1×160 + a-1×16-1+. . . + a-m×16-m 例如： 9+1=A 而不是等于10 F+1=10
+1
11111001
数值数据的补码表示 例2. 假设只用一个字节来表示一个整数， 求＋0和－0的补码表示 （＋0 ）补＝00000000 X为负数时 （－0 ）补＝11111111 [x]补= [x]反+1
进位自然舍去
＋ 1 1 00000000
故 : （＋0 ）补＝00000000= （－0 ）补
结果为：1001011
十进制小数
非十进制小数
进位法：用十进制小数乘基数，当积为0或达到
所要求的精度时，将整数部分由上而下排列。
示例：
╳
╳
╳
0.625 2 1.250 2 0.50 2 1.0
结果为：0.101
整数=1
整数=0
整数=1 小数值=0
例： 计算（25.36）10=（？）2=（？）8
非十进制数
计算机的数制
（2）二进制数(Binary)
特点 ：0 或 1， 逢二进一。
二进制数的通式为：
s2 =
例如：
an ×2 n-1 +. . . +a1×20 + a-1×2-1 +a-m×2-m
1+1=10 11+1=100 而不是等于12
计算机的数制
（3）八进制(Octal)
特点：数字为0～7，逢八进一。
-0.1011
1.1011000
数值数据的原码表示
例3
假设用一个字节来表示一个整数，求＋0和－0的原 码表示 解： （＋0 ）原＝ 00000000 （－0 ）原＝ 10000000 故可知： 0的原码不唯一
数值数据的反码表示
表示方法规定： 1.一个数如果值为正,则它的反码与原码相同 2.一个数如果值为负,则将其符号位置为 1,其余各位为 对原码的相应数据位取反.
…
阶符 阶码
阶码部分
…
数符 尾数
尾数部分
浮 点 数
阶码用定点整数，尾数用定点小数表示
转换公式：(F)10 =an ×X n-1
十进制数 +. . . +a1×X0 a-1×X-1 +a-m×X-m
位权法：把各非十进制数按权展开求和
+
示例：
(1011.1) 2 = 1×23+0×22 + 1×21 + 1 ×20 +1 × 2-1
= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 = (11.5)10
注意：零的补码表示是唯一的
十进制数
4 3
原码表示
00000100 00000011
反码表示
00000100 00000011
补码表示
00000100 00000011
2
1 0 -0 -1
00000010
00000001 00000000 10000000 10000001
00000010
00000001 00000000 11111111 11111110
为什么用补码
例3 假设只用一个字节来表示一个整数，求+7-6的值 解 : （＋7 ）补＝00000111 （－6 ）补＝11111010