18.4.2反比例函数的图象和性质教案(1)

反比例函数的图象和性质
一、教学目标
1. 利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质；利用反比例函数的图象解决有关问题．
2.经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力；体会用数形结合思想解数学问题．
3.提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。

二、重难点
重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。

难点：探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用。

三、教学过程
（一）复习引入新课: 1．什么是反比例函数?
本节课，我们就来讨论一般的反比例函数x
k
y =（k 是常数，k ≠0）的图象，
探究它有什么性质． （二）探究发现：
活动1.画出函数x
y 6
=的图象．
分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变
量x ≠0．
解 1．列表：这个函数中自变量x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出x
与y 的对应值：
2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.连线：用光滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用光滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
上述图象，通常称为双曲线(hyperbola )．
提问 1这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？
活动2：画出反比例函数x
y 6
-=的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握
画函数图象的步骤）．
学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．
1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数x
y 6
=的图象有什么不同？
2.反比例函数x
k
y =(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？
3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x 的增加，函数y 将怎样变化？有什么规律？
反比例函数x
k
y =有下列性质：
(1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增加而减少；
(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增加而增加．
注 1．双曲线的图象向x 轴、y 轴无限接近，但永远无法到达，即它的两个分支与x 轴和y 轴没有交点；
2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 3．有两条对称轴y =x 、y =-x ． （三）实践应用
例1 若反比例函数2
2)1(m x
m y -+=的图象在第二、四象限，求m 的值．
分析 由反比例函数的定义可知：122-=-m ,又由于图象在二、四象限，所以m ＋1＜0，由这两个条件可解出m 的值．
解 由题意，得⎩⎨⎧<+-=-0
1,
122m m 解得3-=m ．
例2 已知反比例函数x
k
y =
(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，求一次函数y ＝kx －k 的图象经过的象限．
分析 由于反比例函数x
k
y =
(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，因此k ＜0，而一次函数y ＝kx －k 中，k ＜0，可知，图象过二、四象限，又－k ＞0，所以直线与y 轴的交点在x 轴的上方．
解 因为反比例函数x
k
y =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以k ＜0，
所以一次函数y ＝kx －k 的图象经过一、二、四象限． 例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A (－5,m )在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
解 (1)设：反比例函数的解析式为：x
k
y =(k ≠0)．
而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．
所以1
2k
=-，k ＝－2．
即反比例函数的解析式为：x
y 2
-=．
(2)点A (－5,m )在反比例函数x y 2-
=图象上，所以5
2
52=--
=m ，
点A 的坐标为)5
2
,5(-．
点A 关于x 轴的对称点)52
,5(--不在这个图象上；
点A 关于y 轴的对称点)52
,5(不在这个图象上；
点A 关于原点的对称点)5
2
,5(-在这个图象上；
例4 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．
(1)写出用高表示长的函数关系式； (2)写出自变量x 的取值范围；
(3)画出函数的图象．
解 (1)因为100＝5xy ,所以x
y 20
= ．
(2)x ＞0． (3)图象如下：
说明 由于自变量x ＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．
例5．如图，过反比例函数
x
y 1
=（x ＞0）的图象上任意两点A 、
B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为
C 、
D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定
分析：从反比例函数x
k
y =（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作
垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k xy S ==，由此可得S 1＝S 2 ＝2
1
，故
选B
练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数x
k
y =（k ＞0）的图象上的一
点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
四、交流反思
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质． 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola )． 2.反比例函数有如下性质：
(1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增加而减少；
(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上
升，也就是在每个象限内y 随x 的增加而增加． （3）k 的几何意义
四、课堂练习 ：1P52页练习1、
2若反比例函数13
2
)93(--=n
x n y 的图象在所在象限内，y 随x 的增大而
增大，求n 的值．
五、小结：这节课，你学会了什么？ 六、作业 ：见题篇
七板书设计：
教学后记：。