4.2 理想流体的运动微分方程
4.2 理想流体的运动微分方程
理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。
1. Enler 运动微分方程
H G
图 4-3 理想流体的作用力
取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为
),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x
向分别为z y x x p p d d )d 21(??-
和z y x
x p p d d )2
d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下：
z y x a z y x
x p p x x p p z y x X d d d d d )]2
d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+
列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下
???
?
?
?
???==??-==??-
==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z
z
y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为
t
u
a x p X d d 1i i i i ==??-
ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式
t
p d d 1
u
a G =
=?-
ρ
(4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。
式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。
4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程
Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。
一 运动微分方程在流线上的积分形式
在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为
t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1）
对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有
)d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??-
++ρz t
u
y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t
u
t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??=
z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）
引入力势函数),,,(t z y x U ，则有
t t
U
U z Z y Y x X d d d d d ??-
=++ （4.3-3） 注意到
t t
p
z z p y y p x x p p d d d d d ??+??+??+??=
（4.3-4） 另外由标量速度关系式 2z 2
y
2x 2u u u u ++=可求 z z y y x x 2z 2
y 2x 2
d d d )2
(d )2(d u u u u u u u u u u ++=++= （4.3-4） 将以上三式代入式（4.3-2），则有
)2
(d d 1d 1d d 2
u t t p p t t U U =??+-??-ρρ
或者
t t f t t
p
t U u p U d )(d )1(
)2(d d 1
d 2=??-??=--ρρ （4.3-5） 积分上式则有
)(2
d 2
t F u p U =--?ρ （4.3-6）
式中 ?=t t f t F d )()(
如果密度ρ不是压力的函数，则有
)(2
2
t F u p U =--ρ （4.3-7）
对于定常流=)(t F const ，则有
c u p
U =--2
2
ρ (4.3-8)
如果质量力只有重力，即g Z o Y X -===,，则
?+-=-=1d c gz z g U
将上式代入式(4.3-8)，则有
02
2
c u p gz -=---ρ (4.3-9)
或者
02
2c g
u p
z =++γ (4.3-10) 式(4.3-10)即是Bernoulli 方程的常见形式。对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成
g
u p z g u p z 222
2
22211
1++=++γγ (4.3-11)
对于静止流体，o u =则有
0c p
z =+
γ
(4.3-12)
γ
γ
2
21
1p z p z +
=+
(4.3-13)
上两式即是流体静力学的基本方程。
二 其他形式的Bernoulli 方程 1实际流体微小流面的Bernoulli 方程
图 4-4 实际流体微流束的Bernoulli 方程
Bernoulli 方程是在无粘性流体质点沿流线运动或微流束运动条件下
导出的。实际流体有粘性，流体内部存在摩擦力。为克服这种阻力，流
体在运动中要消耗能量，使单位重量的液体沿流过的路程的能量不断减少。参看图4-4，假定流体从断面1-1流向断面2-2，设断面（1-1）—（2-2）之间的单位重量的流体能量损失―水头损失(Water head loss )为f h ，则有
f 2
222211
122h g
u p z g u p z +++=++γγ (4.3-16)
其中f h 为流体从断面(1-1)流向断面(2-2)水头损失，由于流体在流动过程中总能量是不断减少的，如果0f 式(4.3-16)两边同乘重度γ，则有 f 222221112 2 p u z p u z p ?++ +=+ +ρ γρ γ (4.3-17) 其中f f h p γ=?为)22()11(---之间的压力损失。 2 实际总流的Bernoulli 方程 2 图 4-5 总流的Bernoulli 方程 总流由无数微束构成，而每一微束都包含一条或多线流线，称之微 流管，这样总流就是含有若干条微流管的流管。因而用一条真实的管道代替假想的抽象的流管，就得出实际总流的Bernoulli 方程。 参看图4-5，在总流中取微流束，根据已有结论则有 f 2 222211 122h g u p z g u p z +++=++γγ 如果单位时间通过微流束断面(1-1)和(2-2)的流体重量为Q r d （N/s ）。 以Q r d 乘上式两侧各项，然后对总流断面1A 和2A 作积分，则得出总流的能量（功率）关系式如下 ??+++=++2 1d )2(d )2(2 222211 1A f A Q h u p z Q u p z γγγγ (4.3-18) 现讨论上式中的各积分项： 1) ?+ 1 d )(1A Q p z γγ 为单位时间内通过过流断面的A 的势能和（位置能 和压力能之和），该积分不易求出。但是可以取过流断面为一维缓变流：即0,0x z y ≠==u u u ，并且流向基本与x 轴相符和（图4-6）。缓变流的流线接近于直线，流线的曲率和彼此的夹角很小，过流断面近于平面（图 4-6）。这种流动的直线和向心加速度都很小，故惯性力可以不计。因而缓变流压力分布规律符合重力场流体静力学基本规律，即 0c p z =+ γ 故有 Q p z Q p z Q p z A A )(d )(d )(2 1 2 21 1γ γγγ γγ + =+ =+ ?? (4.3-19) 2) ?Q g u d 22 1γ为单位时间内流过过流断面的动能。由于过流断面各点速度u 不同A u g A u g Q u g A A 332)(2d 2d 2γ γ γ ≠ =? ? ，又很难简单求出，因此采用 平均速度u 代替点速度u ，可用系数α加以修正，即取 A u A u A u g A u g A A 3 3 33)(d )(2d 2??= = γ γα 则有 A u g A u g A 33 )(2d 2γ αγ =? (4.3-20) 3) ?A Q h d f γ为因阻力损失的能量。因不了解f h 和u 的关系难以积分， 为简化，假定f h 为常量，即 Q h Q h A f f d γγ=? (4.3-21) 将式(4.3-19)~(4.3-21)代入式(4.3-18)整理，则有 f 2 222 22 111 12)(2)(h g u p z g u p z ++ + =+ + αγ αγ (4.3-22) 在紊流中，一般10.1~05.1=α，因而在工程上可取1≈α。 3 Bernoulli 方程的物理意义 参看式(4.3-10)，其中z 称位置水头，表示流线上的点或微小流束的断面相对基准面的位置高度，对于单位重量的流体)1(N G =，z 表示流体的位置能。 γ p —称压力水头，是压力的液柱高度表示，它表示单位重量液体的压力能。因1=?=V G γ，故γ 1 = V ，液体的压力能为γ p pV = 。 g u 22 —称速度水头，为单位重量的液体的动能。液体的动能 2 2 1mu T =，则有)1(2221222==== G g u g u G g mgu T 。 Bernoulli 方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以 互相转换，但总和不变。Bernoulli 方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或表现形式。 式(4.3-22)为不可压缩粘性流体在重力场中作定常流时的总流Bernoulli 方程，是工程流体力学中很重要的方程。在使用时必须注意： （1）对于水平管道，通常取轴线为重力零势位，即021==z z ；对于倾斜放置的管道，则取某过流断面的形心为重力零势位，这时有 h z z ==21,0或0,21==z h z 。对于不变管径u u u ==21；对于渐变管径， 可利用连续方程2211u A u A =求出1u 与2u 的关系；21,p p 为两形心处的压力，它们的相互关系可根据静压基本方程导出。 (2) 对于无粘性流体，式(4.3-22)则变形为 g u p z g u p z 2)(2)(2 222 22 111 1αγ αγ + + =+ + (4.3-23) 其中121==αα时，与理想流体微小流束的Bernouli 方程是十分相近的，唯一的差别是u 和u 的差别。 （3）在两过流断面有能量输入或输出的情况下式(4.3-22)可改写为 f 2 222 22 111 12)(2)(h g u p z E g u p z ++ + =±+ + αγ αγ (4.3-24) 其中E 为以高度形式表示的能量或功率，输入能量（泵和风机）时取“＋”号，输出能量（水轮机）取“－”号。 (4) 21,p p 可为绝对压力，也可为相对压力，两者必须一致，在工程上取相对压力比较方便。 第2章 流体运动的基本方程 流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。 2.1 连续方程 2.1.1 微分形式的连续方程 质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。 在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则 ? = V dV M ρ 根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立 0== ? V dV dt d dt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则 0dV )]v (div t [dV )v div Dt D ( dV dt d V V V ?? ? =+??=+= ρρρρ ρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有 0v div Dt D =+ ρρ （2-2a ） 或 0)v (div t =+?? ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式 0x u Dt D i i =??+ρ ρ （2-2b ） 或 0x )u (t i i =??+ ??ρρ （2-3b ） 式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。 在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为 0z )u (y )u (x )u (t z y x =??+ ??+ ??+ ??ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。 由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为 0=Dt D ρ （2-5） 即密度应随质点运动保持不变。 0=??t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以 在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。 图2-1 河口的海水入侵[1] 图2-2 水库中的浑水异重流[1] 对不可压缩均质流体，则不但0=Dt D ρ，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此， 连续性方程简化为 4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下 ??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1） 对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2） 习 题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为 题3-1图 题3-2图 θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论 （1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ，C y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 （2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 主要的流体力学事件有： 1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。 1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。 1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。 1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。 1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。 1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。 19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。 1904年普朗特提出了边界层理论。 20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。流体力学内涵不断地得到了充实与提高。 理想势流伯努利方程 （3-14） 或（3-15） 物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。 （应用条件：“”所示） 符号说明 物理意义几何意义 单位重流体的位能（比位能）位置水头 单位重流体的压能（比压能）压强水头 单位重流体的动能（比动能）流速水头 单位重流体总势能（比势能）测压管水头 总比能总水头 二、沿流线的积分 1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有 2.恒定流中流线与迹线重合： 沿流线（或元流）的能量方程： （3-16） 注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同（有旋流）。（应用条件：“”所示，可以是有旋流） 流速势函数（势函数）观看录像>> ?存在条件：不可压缩无旋流，即或 必要条件存在全微分d 直角坐标 流体的平衡微分方程及其积分 一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程 如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为d x ，d y ，d z ，设中心点的压强为p (x,y,z )=p ，对其进行受力分析： 根据平衡条件，在x 方向有0F x ＝∑，即： 0zX y z y x p 21z y ）21＝＋）＋－（（d dxd d d dx p d d dx x p p ρ????- 01X ＝－x p ??ρ 式中：X ——单位质量力在x 轴的投影 流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程）： ?????????=??-=??-=??- 010101z p Z y p Y x p X ρρρ 物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。 压强沿轴向的变化率（z p y p x p ??????，，）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX ，ρY ， ρZ ）。 二、平衡微分方程的积分 将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以dx 、dy 、dz ，整理： Zdz)Ydy (Xdx dz z p dy y p x ++=??+??+??ρdx p 因为p = p (x,y,z ) ∴ Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ ρ为常量； Xdx ＋Ydy ＋Zdz 应为某函数W ＝F （x ，y ，z ）的全微分： dz z W dy y W dx x W dz dy dx d ??+??+??=++=)Z Y (X W dW dp ＝ρ 平衡流体中压强p 的全微分方程 积分得：p=ρW ＋c 假定平衡液体自由面上某点（x 0，y 0，z 0）处的压强p 0及W 0为已知，则： c ＝p 0-ρW 0 ∴ p=p 0+ρ（W-W 0） 欧拉平衡微分方程的积分 三、帕斯卡定律 处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点M 处的压强变化值△p 0，将等值地传递到此平衡流体的其它各点上去。 说明：只适用于不可压缩的平衡流体； 盛装液体的容器是密封的、开口的均可。 四、等压面 平衡流体中压强相等的各点所组成的面。 等压面：dp =ρ（Xdx ＋Ydy ＋Zdz ）＝0 ρ为常量，则：Xdx ＋Ydy ＋Zdz ＝0 即：质量力在等压面内移动微元长度所作的功为零。 等压面的特征：平衡流体的等压面垂直于质量力的方向 只有重力作用下的等压面应满足的条件： 1.静止； 2.连通； 3.连通的介质为同一均质流体； 理想流体的平面无旋运动 6-1 给定平面流速度场u x = x 2y + y 2，u y = x 2 - y 2x ，问： （1） 是否存在不可压缩流函数和速度势函数； （2） 如存在，给出它们的具体形式； （3） 写出微团变形速率各分量和旋转角速度各分量。 6-2 已知不可压缩流体平面流在y 方向的速度分量为u y = y 2 -2x + 2y ，求速度在x 方向的分量。 6-3 对平面不可压缩流体的运动，试证明： （1） 如运动为无旋运动，则必满足?2u x = 0，?2u y = 0； （2） 满足?2u x = 0，?2u y = 0的流动不一定是无旋流。 6-4 已知平面流动的速度分布为2222,y x cx u y x cy u y x +=+=其中c 为常数。求流函数并 画出若干条的流线。 6-5 已知平面流动流函数 )(283)22arctan 22(arctan 222y x x y x y Q ++-+++-= πψ 判断是否是无旋流动。 6-6 已知速度势? ，求相应的流函数ψ ： （1） ? = xy ； （2） ? = x 3 - 3xy 2 ； （3） 22y x x +=?。 6-7 证明? = 1/2(x 2 - y 2) + 2x - 3y 所表示的流场和ψ = xy + 3x + 2y 所表示的流场完全相同。 6-8 强度为60 m 2/s 的源流和汇流位于x 轴，各距原点为 a=3m 。计算坐标原点的流速，计算通过（0，4）点的流线的流 函数值，并求该点流速。 6-9 在速度为υ = 0.5 m/s 的水平直线流中，在x 轴上方2 单位处放一强度为Q = 5m 2/s 的源流。求此流动的流函数，并绘出此半物体的形状。 6-10 如图所示，等强度两源流位于x 轴，距原点为a 。求 流函数，并确定滞止点位置。 变质量物体的运动微分方程研讨 (doc 6页) 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 变质量物体的运动微分方程及火箭运动 专业：物理学 学号: 0840******** 姓名: 秦瑞锋 变质量物体的运动微分方程及火箭运动 秦瑞锋 (物理与电气工程系09级物理学专业,0840********) 摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律. 关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理 一、变质量物体的基本运动微分方程 在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？ 我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量 )(m 2 t 和进入质点系的质量 )(1 t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t 在t=0时刻为m 0 ，则它随着时间的 变化规律为)()()(2 1 t t t m m m m +-= ，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的 可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。 设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。在瞬时t ，质点的质量为 m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。在瞬时t +d t ，微粒与质点合并。于是质点的质量变为(m +d m )，其对Oxyz 的速度成为v +d v 。对于质量分出的情况则d m ＜0，即 dt dm 为负。 m 和d m 所组成的质点系在瞬时t 的动量为m v +u d m ;在瞬时t +d t 的动量为 (m +d m )(v +d v )。在d t 时间内，动量的增加t F p d ??=ρ ρ为： p d ρ＝(m ＋d m ))(v d v ρρ+－(m v ρ＋u ρ d m )。 第一章流体力学基础——流体运动的微分方程 西安建筑科技大学 粉体工程研究所 质量传递——连续性方程动量传递——纳维－斯托克斯方程能量传递——能量方程状态方程 流体运 动微分方程组 所有流体运动传递过程的通解 质量守恒定律 动量定理能量守恒定律 1.3流体运动的微分方程 ?质量守恒定律——连续性方程?动量定理——纳维-斯托克斯方程?能量守恒定律——能量方程 ?定解条件 1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 ?质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，物质的总质量总是不变的。 ?质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体 单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述：流入控制体的质量速率 流出控制体的质量速率 控制体内的质量累计速率 = A B τ时刻A 点流体密度为，速度沿x ，y ，z 三坐标轴的分量为1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 连续性方程的推导边长为dx ，dy ，dz 的控制体微元 )ρ(x,y,z, τ)(x,y,z,u τ z y x ,u ,u u 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量） x 方向 dydz ρu x 通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率 dydz dx x )(ρρu x x ?? ???? ??+u dxdydz x ) (ρx ??-u A ：流入与流出微元控制体的质量速率之差x 方向dxdydz x )(ρx ??-u y 方向z 方向 dxdydz y )(ρ??-y u dxdydz z )(ρ??-z u dxdydz z )(ρy )(ρx )(ρ????????+??+??-z y x u u u B ：微元控制体内的质量累计速率 τ时刻 ρdxdydz ρ 密度 质量 τ＋d τ时刻dxdydz d ρρ?? ? ?? ??+τττ τ d ρ ρ??+dxdydz ρd ρdxdydz dxdydz d ρρτ τ ττ??=-?? ? ?? ??+ JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程 JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系 着重明确: 力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）. JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律 两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上. 2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设. JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理: 如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响. m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =… n a a a a r L r r r +++=21n a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i n F F F F r r L r r 21),,(t r r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数. JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力 1）在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度. 2）万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2 2 1 /r m Gm F =3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观 （1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的.第2章 流体运动的基本方程
4.2 理想流体的运动微分方程讲解
第3章--振动系统的运动微分方程题解
流体主要计算公式
流体的平衡微分方程及其积分
理想流体的平面无旋运动
变质量物体的运动微分方程研讨(doc 6页)
流体运动方程与能量方程
运动微分方程