电路(向量法)
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第五章向量法
T
i
O T
t
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHz * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz
电
路
理
论
分
析
（2）相位、初相位、相位差（变化进程）
①相位（ω t+） 确定正弦量瞬时值的电角度，与时间t有关。 ②初相位（ ） t=0时的相位；确定正弦量初始值的电角度。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i R
W RI T
2
W
T
0
Ri (t ) d t
2
电流有效值定义为： 均方根值
电
路
理
论
分
析
I
def
1 T
T
0
i (t )dt
2
同理，电压有效值定义为：
1 T 2 U u ( t ) d t 0 T
def
正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：
A B A e j a B e j B A j ( a b ) A e ( a b ) B B j
几何意义：
模相除 角相减
B
A 1 A/B
电
路
理
论
分
析
例1
解
5 47 10 25 ?
原 式 (3 .41 j3 .657 ) (9 .063 j4 .226 ) 12 .47 j0 .569 12 .48 2 .61
电
路
理
论
《电路向量法》课件
《电路向量法》PPT课件
欢迎阅读本《电路向量法》PPT课件！在本课件中，我们将探讨电路向量法的 概述、电路元件描述、基本电路分析方法、电路向量法分析流程以及与SPICE 软件的比较。
电路向量法概述
什么是电路向量法
电路向量法是一种电路分析 方法，通过使用向量和矩阵 来描述电路中的元件和信号。
电路向量法的优点
求解线性方程组
通过数值计算或符号计算等方法求解矩阵方程，得到电路中各元件的电压和电流。
解算过程示例
通过一个实际电路的示例，演示电路向量法的求解过程。
电路向量法与SPICE软件的比较
电路向量法和SPICE软件的优缺点
电路向量法提供更直观的分析结果，但SPICE软件能够模拟更复杂的电路行为。
两种方法的应用场景比较
电阻
电阻是电路中阻碍电 流流动的元件，常用 符号为R。
电容
电容是一种可以储存 电荷的元件，常用符 号为C。
基本电路分析方法
1
电压分割和电流分配
2
电压分割和电流分配法可用于计算电路中的电压和电源自值。3超级网路分析法
4
超级网路分析法是一种用于求解包含多 个电压和电流源的复杂电路的方法。
KVL和KCL定律
基尔霍夫定律(KVL)和基尔霍夫定律(KCL) 是分析电路中电压和电流分布的基本方 法。
超级节点分析法
超级节点分析法是一种分析复杂电路的 方法，可以简化电路分析过程。
电路向量法分析流程
基本思路
将电路中的元件和信号转化为向量和矩阵的形式，建立电路方程。
构建矩阵方程
根据电路拓扑结构和元件特性，构建表示电路方程的矩阵。
电路向量法适用于小规模电路的分析，而SPICE软件适合大规模电路的模拟和验证。
电路分析基础正弦量的相量向量法
基尔霍夫定律的相量形式 R、L、C元件VCR的相量形式
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
X
1.基尔霍夫定律的相量形式
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下（正弦电 源可以有多个，但频率完全相同）进入稳态时，各 处的电压、电流都为同频率的正弦量。 KCL的时域形式：
i
k 1
K
k
0
j t K k 1
ik
k 1
K
j t Re[ I e ] Re[ I e km km ] k 1
线性非时变电路在单一频率的正弦激励下正弦电源可以有多个但频率完全相同进入稳态时各处的电压电流都为同频率的正弦量
§7-2 正弦量的相量 相量法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
内容提要
变换方法的概念 正弦量的相量表示 相量的线性性质和微分性质 相量图
X
1.变换方法的概念
2.65 求解指数方程： x 5 两边取对数 2.65lg x lg 5
du d j t i (t ) C C {Re[ 2Ue ]} dt dt j t Re 2(j CU )e
I
U
1 j C
X
2.R、L、C元件VCR的相量形式
I I i j CU j CU u I CU CU u 90 i u 90
X
3.相量的线性性质和微分性质
若： f ( t ) F F
d f ( t ) 则 ：f ( t ) j F F 90 dt
'
推广到 n 阶导数：
n d f (t ) ( n) f (t ) dt n
(j ) F
n
X
例题2 已知 i1 (t ) 5 2 cos( t 53.1ห้องสมุดไป่ตู้)A ,
电路(向量法)
li4h002fj20j1036101510cos25453010cos50bcacab324030bcj40jx5au50v总电压与总电流同相位求irx4550画相量图计算解法25au50v总电压与总电流同相位求irx图示电路为阻容移相装置如要求电容电压滞后于电源电压3问rc应如何选择
第8章
相量法
u (t ) 2U cos(w t u ) U Uu
注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
返 回 上 页 下 页
例1 已知 i 141.4 cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
结论
任意一个正弦时间函数都有唯一与其 对应的复数函数。
F(t) 包含了三要素：I、i、w。
i(t ) 2 Icos(w t i ) F (t ) 2 Ie
返 回
j( w t i )
上 页
下 页
F(t) 还可以写成 复常数
ji
正弦量对应的相量
jwt
jwt F (t ) 2 Ie e 2 Ie 复常数包含了两个要素：I 、 i。
F | F | e
指数式
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb
j
F | F | e j | F |
极坐标式
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几种表示法的关系：
F a jb | F | (cos j sin ) | F | e | F |
u o
o
wt
i wt
j= /2：u 领先 i /2
u
i o 同样可比较 两个电压或 两个电流的 相位差。
第8章
相量法
u (t ) 2U cos(w t u ) U Uu
注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
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例1 已知 i 141.4 cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
结论
任意一个正弦时间函数都有唯一与其 对应的复数函数。
F(t) 包含了三要素：I、i、w。
i(t ) 2 Icos(w t i ) F (t ) 2 Ie
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j( w t i )
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F(t) 还可以写成 复常数
ji
正弦量对应的相量
jwt
jwt F (t ) 2 Ie e 2 Ie 复常数包含了两个要素：I 、 i。
F | F | e
指数式
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb
j
F | F | e j | F |
极坐标式
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几种表示法的关系：
F a jb | F | (cos j sin ) | F | e | F |
u o
o
wt
i wt
j= /2：u 领先 i /2
u
i o 同样可比较 两个电压或 两个电流的 相位差。
电路关于向量法的研究
内蒙古师范大学本科生学年论文题目：相量法在电路中的应用分析学号：20101106316姓名：王菲菲专业：电子信息科学与技术指导教师：张珏2011年5月15日物理与电子信息学院学年论文相量法在电路中的应用分析王菲菲（学号：20101106316）（物理与电子信息学院 10级电子信息科学与技术班,内蒙古呼和浩特 010022）指导老师：张珏摘要：在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。
相量分析法就是为了简化正弦稳态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。
相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路。
关键词：相量分析法；欧姆定律；复功率；复数；正弦中图分类号：TM131.4相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。
1 复数的概念1.1虚数单位参见图1给出的直角坐标系复数平面。
在这个复数平面上定义虚数单位为虚数单位j又叫做90°旋转因子。
向量法在电路中的应用分析图1在复平面上显示复数1.2复数的表达式一个复数Z有以下四种表达式：1.2.1 直角坐标式(代数式)式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图1所示。
1.2.2 三角函数式在图1中，复数Z与x轴的夹角为θ，因此可以写成式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即：θ叫作复数Z的辐角，从图1中可以看出复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。
1.2.3 指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即物理与电子信息学院学年论文1.2.4 极坐标式 (相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
电路关于向量法的研究
内蒙古师范大学本科生学年论文题目：相量法在电路中的应用分析学号：20101106316姓名：王菲菲专业：电子信息科学与技术指导教师：张珏2011年5月15日物理与电子信息学院学年论文相量法在电路中的应用分析王菲菲（学号：20101106316）（物理与电子信息学院 10级电子信息科学与技术班,内蒙古呼和浩特 010022）指导老师：张珏摘要：在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。
相量分析法就是为了简化正弦稳态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。
相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路。
关键词：相量分析法；欧姆定律；复功率；复数；正弦中图分类号：TM131.4相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。
1 复数的概念1.1虚数单位参见图1给出的直角坐标系复数平面。
在这个复数平面上定义虚数单位为虚数单位j又叫做90°旋转因子。
向量法在电路中的应用分析图1在复平面上显示复数1.2复数的表达式一个复数Z有以下四种表达式：1.2.1 直角坐标式(代数式)式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图1所示。
1.2.2 三角函数式在图1中，复数Z与x轴的夹角为θ，因此可以写成式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即：θ叫作复数Z的辐角，从图1中可以看出复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。
1.2.3 指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即物理与电子信息学院学年论文1.2.4 极坐标式 (相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
《电路向量法》课件
相量图与波形图的转换
1 2
将相量图转换为波形图
根据相量图的长度和角度，绘制各元件的电压和 电流波形图。
将波形图转换为相量图
根据电压和电流的波形图，确定各元件的相量图 。
3
分析转换结果
比较相量图和波形图的计算结果，验证电路分析 的正确性。
06
习题与解答
习题一：向量法基础知识
题目
什么是向量？向量有哪些基本性质？
向量的基本概念
详细描述
向量可以用几何表示法和代数表 示法来表示，几何表示法包括有 向线段和向量模，代数表示法则 使用坐标和分量表示。
总结词：向量的定义、向量的表 示方法、向量的模。
向量定义为具有大小和方向的量 ，通常用有向线段表示，箭头表 示方向，长度表示大小。
向量的模是指向量的长度或大小 ，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$ 。
标明向量长度和角度
根据电压和电流的实际值，标明向量图的长度和角度。
向量图的分析与计算
计算电压和电流
01
根据向量图的长度和角度，计算各元件的电压和电流。
分析功率
02
根据向量图，分析各元件的功率关系，判断是否符合能量守恒
定律。
判断电路状态
03
通过向量图的分析，判断电路的工作状态，如是否处于稳态或
暂态。
稳态工作状态。
相量法
将正弦波表示为复数形式，即 相量，用于简化分析和计算。
阻抗
正弦稳态下，电路中的元件对 电流的阻碍作用，用复数表示 。
功率
正弦稳态下，电路中元件吸收 或发出的功率，计算公式为 P
= I * V * cos(theta)。
功率计算与功率因数
功率因数
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
2 Vg 1( Rn Rc R1 R2 ) Vg 2 ( Ra Rc R1 )
Rn R2 Ra R1 ( 1)2 2 Vg 2 R1 Rc R1 Rc
Ra Rn Vg 1 N c Rn Rb Vg 2 ( 1)1 3 Vg 1 R1 R2 0
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
【例题 1】如下图，已知 Vg1 ,Vg2 ,R1 ,R2 ,R3 ,Rl ,Rn 用向量法求解所标电压，电流。
Rl + + Ia loop1 R1 V1 IL1 Vg 1 Ic In Rn R3 V3 - loop3 + I loop2 b Vg 2 R2 V2 IL2 Rl 解析：本题关键是求出三个独立环路的电流 Ia、Ib 和 Ic，求出这三个电流，其它量都可以迎 刃而解。 列出环路方程 Kirchhoff 电压定律（绕环路一周压降=0，电压升为”‐“，降为”+”） ： 环路 1： Vg 1 I a Rl ( I a I c )R1 ( I a Ib )Rn 0 环路 2： Vg 2 ( Ib I a )Rn ( Ib I c )R2 Ib Rl 0 环路 3： ( I c I a )R1 I c R3 ( I c Ib )R2 0 这是一个三元一次方程组，为便于观察，整理将变量对齐，得到
( R1 Rl Rn )I a Rn Ib R1I c Vg 1 I a Rn ( R1 Rl Rn )Ib R2 I c Vg 2 I R I R ( R R R )I 0 1 2 3 c a 1 b 2
解这个三元一次方程组可以用中学时的消元法，但比较麻烦。 下面用克莱姆法则求解，变量系数比较复杂，为了简化计算，记
Rn R2 Ra R1 ( 1)2 2 Vg 2 R1 Rc R1 Rc
Ra Rn Vg 1 N c Rn Rb Vg 2 ( 1)1 3 Vg 1 R1 R2 0
向量法电路分析 - 基尔霍夫定律应用举例
【例题 1】如下图，已知 Vg1 ,Vg2 ,R1 ,R2 ,R3 ,Rl ,Rn 用向量法求解所标电压，电流。
Rl + + Ia loop1 R1 V1 IL1 Vg 1 Ic In Rn R3 V3 - loop3 + I loop2 b Vg 2 R2 V2 IL2 Rl 解析：本题关键是求出三个独立环路的电流 Ia、Ib 和 Ic，求出这三个电流，其它量都可以迎 刃而解。 列出环路方程 Kirchhoff 电压定律（绕环路一周压降=0，电压升为”‐“，降为”+”） ： 环路 1： Vg 1 I a Rl ( I a I c )R1 ( I a Ib )Rn 0 环路 2： Vg 2 ( Ib I a )Rn ( Ib I c )R2 Ib Rl 0 环路 3： ( I c I a )R1 I c R3 ( I c Ib )R2 0 这是一个三元一次方程组，为便于观察，整理将变量对齐，得到
( R1 Rl Rn )I a Rn Ib R1I c Vg 1 I a Rn ( R1 Rl Rn )Ib R2 I c Vg 2 I R I R ( R R R )I 0 1 2 3 c a 1 b 2
解这个三元一次方程组可以用中学时的消元法，但比较麻烦。 下面用克莱姆法则求解，变量系数比较复杂，为了简化计算，记
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i2 (t ) 10 cos(100π t 300 ) j 300 (1050 ) 1350 w1 w2 (3) u1 (t ) 10 cos(100π t 300 ) 不能比较相位差 u2 (t ) 10 cos( 200π t 450 )
(4) i1 (t ) 3 cos(100π t 300 ) i2 (t ) 5 cos(100π t 300 )
i(t ) I m cos(w t i ) 2I cos(w t i )
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同理，可得正弦电压有 U 1 U m 效值与最大值的关系： 2
或 U m 2U
若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为 Um311V ， Um537V
等于初相位之差
j >0，u 超前 i j 角或 i 滞后 u
j 角 (u比i先到
wt
|i | |j |
达最大)；
j <0， u 滞后 i |j |角或 i 超前 u |j |角(i比u先到达最大值）。
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特殊相位关系
j ＝ 0， 同相
u i o
j = (180 ) ，反相
注意
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。 ② 交流测量仪表指示的电压、 m 电流读数一般为有效值。 ③ 区分电压、电流的瞬时值、 m 最大值、有效值的符号。
i, I , I
返 回
页
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十 分重要的地位。
优点
①正弦信号容易产生、传送和使用； ②正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数。 2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f (t ) Ak cos( kwt k )
u o
o
wt
i wt
j= /2：u 领先 i /2
u
i o 同样可比较 两个电压或 两个电流的 相位差。
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wt
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10 cos(100π t 3π 4) 3π 4 ( π 2) 5π 4 π i2 (t ) 10 cos(100π t π 2) j 5π 4 2π 3π 4 (2) i1 (t ) 10 sin( 100π t 150 ) 10 cos(100πt 1050 )
u2 2 U 2 cos(w t 2 )
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3.正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义 F (t ) 2 Ie j(wt i ) 2Icos(wt i ) j 2Isin( wt i )
对 F(t) 取实部
是一个正弦量有物理意义
Re[ F (t )] 2Icos(w t i ) i(t )
j
Im b |F| F
o a Re
| F | a 2 b 2 b 或 θ arctan a
a | F | cos b | F | sin
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2.复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式 若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 则
返 回
j( w t i )
上 页
下 页
F(t) 还可以写成 复常数
正弦量对应的相量
e jwt 2 Ie e jwt 2 I 复常数包含了两个要素：I 、 i。 F (t )
ji
i(t ) 2 I cos(w t i ) I Ii
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
1.正弦量
瞬时值表达式
正弦量
i
0 T
波形
正弦量为周期函数
i(t)=Imcos(w t+i)
f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：赫(兹)Hz
正弦电流电路
1 f T
t
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路(正弦 稳态电路)称为正弦电路或交流电路。返 回 上 页 下
u (t ) 2U cos(w t u ) U Uu
注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
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例1 已知 i 141.4 cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
u2 2 U 2 cos(w t 2 )
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u1 u2
角频率
w
w
u1+u2 u3
u
w
u1 u3 o
u2
有效值 U1 U2 初相位 1 2
U3
wt
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。
因此采用 变换的思想 正弦量 复数
u1 2 U1 cos(w t 1 )
I 10030 A,
o
U 220 60o V
周期电流、电压有效值定义
物理 意义
直流I
R
2
交流 i
T
R
2
W RI T
1 T
定义电流有效值：
定义电压有效值：
W 0 Ri (t )dt
1 T
I
def
T
0
i (t )dt
2
U
def
T
0
u (t ) d t
上 页 下 页
2
均方根值
返 回
正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+i )
返 回 上 页 下 页
w 2π f 2π T
单位：rad/s，弧度/秒
注意
i(t)=Imcos(w t+i)
i
i =0
同一个正弦量， 计时起点不同， 初相位不同。
i =－/2 wt
一般规定：| i | 。
o
i
i =－/2
i =/2
返 回 上 页 下 页
例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
π 2,
π,
e j π cos( π) j sin( π) 1
jF
F
Re
jF
e jπ 2 cos( π 2) j sin( π 2) j
0
F
返 回
注意 +j, –j, -1都可以看成旋转因子。
上 页 下 页
8.2
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
解 100 i
i(t ) 100 cos(10 t i )
3
50 t 0 50 100 cos i π i o 3 由于最大值发生在计时起点右侧
t t1
π i (t ) 100 cos(10 t ) 3 当 103 t1 π 3 有最大值
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5
例2
解
19.2427.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
I
1 T
2
T
0
I cos ( w t i ) dt
2 m 2
T 0
0 cos
T
( w t i ) dt
1 cos 2(w t i ) 1 1 dt t T 2 2 0 2
T
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
I m 2I
n
结论
k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的 理论价值和实际意义。
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2.正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+i)
(1) 幅值(振幅、最大值)Im
i
O
T Im t 2 wt
i
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
(3) 初相位i 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
u,U , U
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8.3 相量法的基础
1.问题的提出
RLC串联电路 电路方程是微分方程： + – R
u
iL
L
uC
+ – C
d 2 uC duC LC RC uC u (t ) dt dt
两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：
u1 2 U1 cos(w t 1 )
第8章
相量法
本章重点
8.1 8.2 8.3 8.4 复数 正弦量 相量法的基础
电路定律的相量形式
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重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
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8.1
1.复数的表示形式
复数
Im b 代数式 |F| F
F a jb
(4) i1 (t ) 3 cos(100π t 300 ) i2 (t ) 5 cos(100π t 300 )
i(t ) I m cos(w t i ) 2I cos(w t i )
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同理，可得正弦电压有 U 1 U m 效值与最大值的关系： 2
或 U m 2U
若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为 Um311V ， Um537V
等于初相位之差
j >0，u 超前 i j 角或 i 滞后 u
j 角 (u比i先到
wt
|i | |j |
达最大)；
j <0， u 滞后 i |j |角或 i 超前 u |j |角(i比u先到达最大值）。
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特殊相位关系
j ＝ 0， 同相
u i o
j = (180 ) ，反相
注意
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。 ② 交流测量仪表指示的电压、 m 电流读数一般为有效值。 ③ 区分电压、电流的瞬时值、 m 最大值、有效值的符号。
i, I , I
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研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十 分重要的地位。
优点
①正弦信号容易产生、传送和使用； ②正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数。 2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f (t ) Ak cos( kwt k )
u o
o
wt
i wt
j= /2：u 领先 i /2
u
i o 同样可比较 两个电压或 两个电流的 相位差。
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wt
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10 cos(100π t 3π 4) 3π 4 ( π 2) 5π 4 π i2 (t ) 10 cos(100π t π 2) j 5π 4 2π 3π 4 (2) i1 (t ) 10 sin( 100π t 150 ) 10 cos(100πt 1050 )
u2 2 U 2 cos(w t 2 )
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3.正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义 F (t ) 2 Ie j(wt i ) 2Icos(wt i ) j 2Isin( wt i )
对 F(t) 取实部
是一个正弦量有物理意义
Re[ F (t )] 2Icos(w t i ) i(t )
j
Im b |F| F
o a Re
| F | a 2 b 2 b 或 θ arctan a
a | F | cos b | F | sin
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2.复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式 若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 则
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j( w t i )
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F(t) 还可以写成 复常数
正弦量对应的相量
e jwt 2 Ie e jwt 2 I 复常数包含了两个要素：I 、 i。 F (t )
ji
i(t ) 2 I cos(w t i ) I Ii
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
1.正弦量
瞬时值表达式
正弦量
i
0 T
波形
正弦量为周期函数
i(t)=Imcos(w t+i)
f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：赫(兹)Hz
正弦电流电路
1 f T
t
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路(正弦 稳态电路)称为正弦电路或交流电路。返 回 上 页 下
u (t ) 2U cos(w t u ) U Uu
注意
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
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例1 已知 i 141.4 cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
u2 2 U 2 cos(w t 2 )
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u1 u2
角频率
w
w
u1+u2 u3
u
w
u1 u3 o
u2
有效值 U1 U2 初相位 1 2
U3
wt
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。
因此采用 变换的思想 正弦量 复数
u1 2 U1 cos(w t 1 )
I 10030 A,
o
U 220 60o V
周期电流、电压有效值定义
物理 意义
直流I
R
2
交流 i
T
R
2
W RI T
1 T
定义电流有效值：
定义电压有效值：
W 0 Ri (t )dt
1 T
I
def
T
0
i (t )dt
2
U
def
T
0
u (t ) d t
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2
均方根值
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正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+i )
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w 2π f 2π T
单位：rad/s，弧度/秒
注意
i(t)=Imcos(w t+i)
i
i =0
同一个正弦量， 计时起点不同， 初相位不同。
i =－/2 wt
一般规定：| i | 。
o
i
i =－/2
i =/2
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例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
π 2,
π,
e j π cos( π) j sin( π) 1
jF
F
Re
jF
e jπ 2 cos( π 2) j sin( π 2) j
0
F
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注意 +j, –j, -1都可以看成旋转因子。
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8.2
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
解 100 i
i(t ) 100 cos(10 t i )
3
50 t 0 50 100 cos i π i o 3 由于最大值发生在计时起点右侧
t t1
π i (t ) 100 cos(10 t ) 3 当 103 t1 π 3 有最大值
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5
例2
解
19.2427.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
I
1 T
2
T
0
I cos ( w t i ) dt
2 m 2
T 0
0 cos
T
( w t i ) dt
1 cos 2(w t i ) 1 1 dt t T 2 2 0 2
T
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
I m 2I
n
结论
k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的 理论价值和实际意义。
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2.正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+i)
(1) 幅值(振幅、最大值)Im
i
O
T Im t 2 wt
i
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
(3) 初相位i 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
u,U , U
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8.3 相量法的基础
1.问题的提出
RLC串联电路 电路方程是微分方程： + – R
u
iL
L
uC
+ – C
d 2 uC duC LC RC uC u (t ) dt dt
两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：
u1 2 U1 cos(w t 1 )
第8章
相量法
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8.1
1.复数的表示形式
复数
Im b 代数式 |F| F
F a jb