电路理论课件__向量法

2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t+ )
1 I T


T
0
2 Im sin2 ( ω t Ψ )dt

T
0
sin ( ω t Ψ )dt
2
T
0
1 cos 2(ω t Ψ ) 1 dt T 2 2
Im 1 2 T I Im 0.707I m T 2 2 I m 2I

jω t
jω t
) Im ( 2 (U 1 U 2 )e jω t )


故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加减运算。
8. 4
正弦量的相量表示
例．u2 ( t ) 4 2sin( 314t 90o ) V u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) 5 2sin( 314t 53.1o ) V 30 o V , U 3V U 1 2 U U 553.1o V U 1 2
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
8. 2
周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量 其大小工程上采用有效值来量。 1. 有效值定义 电流有效值定义为：
1 T 2 I i ( t )dt 0 T
def
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。 有效值也称均方根值 物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收 的电能，等于一直流电流 I 流过 R , 在时间 T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
U 220 60o V
例2. 已 知I 5015 A, f 50Hz.


试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 5 2sin( 314t 15 ) A
8. 4
2. 相量运算
正弦量的相量表示
(1) 同频率正弦量相加减 u1 ( t ) U m1 sin( ω t Ψ 1) Im( 2 U 1 e jωt )
8. 4

正弦量的相量表示
称 I IΨ 为正弦量 i(t) 对应的相量。
i ( t ) 2 I sin( ω t Ψ ) I IΨ

同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U sin( ω t θ ) U Uθ

相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
udt
2U sin ( wt ψ)dt 2U wt ψ) ω cos( 2U sin ( ω wt ψ π 2 ) Im [ 2U e j(ω t ψπ / 2 ) ]
w
Im1
w
Im2
i1+i2 i3
w
Im3
1
2
3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和最大值(或有效值)就行了。于是想到复数， 复数向量也是一个大小、一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
Im A2 A1 O
Re
加减法可用图解法。
8. 3
(2) 乘除运算——极坐标 若 则
复数复习
A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j( θ 1θ 2 ) | A1 | e θ 1 θ 2 jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A2 |
Re


I2

I1 I 2
8. 4
正弦量的相量表示
uU 1 U udt jω
2 . 正弦量的微分，积分运算 iI di jω I dt
证明：
di d Im[ 2 I e jω t ] dt dt d ( 2I e jω t )] Im[d t ) e jω t ] Im[ 2 (jω I
j
j <0， i 领先(超前) uj 角，或u 落后(滞后) i j 角(i 比 u 先到达最大值)。
8. 1
特例：
正弦量的基本概念
u, i
u i
j =0， 同相：
O
wt
u, i
j = (180 ) ，反相：
O
o
u iw t
8. 1
u, i u
正弦量的基本概念
i O
wt
j = /2, 正交
U

I i(t ) 2Isin( ω t ) I
I


Uθ u(t ) 2Usin( ωt θ ) U
不同频率的相量不能画在一张向量图上。

8. 4
正弦量的相量表示
例1. 已知 i 141.4 sin( 314t 30o )A u 311.1sin(3 14t 60o )V 试用相量表示i, u . 解： I 10030o A
第8章 向量法
基本概念 8.1 正弦量的基本概念 8.2 周期性电流、电压的有效值 8.3 复数复习 8.4 正弦量的向量表示 8.5.6 电阻、电感和电容元件的 正弦电压电流几向量关系 8.7 基尔霍夫定律的向量形式和电路的向量模型
8.8 电阻、电感和电容串联电路
8.9电阻、电感和电容并联电路
基本概念
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
i 2Isin( ωt Ψ) A(t ) 2Ie
A(t)还可以写成
A( t ) 2 Ie e
jψ
j(ωt Ψ)
jω t
2 I e jωt

复常数
A(t)包含了三要素：Im、 、w ，复常数包含了I m , 。

8. 3
复数复习
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。 ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4
两个正弦量
正弦量的相量表示
i1 i2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。 例1. 5 47 + 1025 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47-j0.567 = 12.48 -2.61
(17 j9) (4 j6) 例2. 220 35 20 j5 19.24 27.9 7.211 56.3 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.728 70.16 180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.5 36 (3) 旋转因子：
单位： w ：rad•s-1 ，弧度•秒-1 f ：Hz，赫(兹) T ： s， 秒
8. 1
正弦量的基本概念
(3) 初相位y ：反映了正弦量的计时起点。 (w t+y )表示正弦量随时间变化的进程，称之为相位角。 它的大小决定该时刻正弦量的值。当 t=0 时，相位角 (w t+y )=y ， 故称y 为初相位角，简称初相位。同一 个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
8. 3
1. 复数A表示形式： A=a+jb Im b O a A
复数复习
(j 1 为虚数单位 ) Im A b
O a Re Re 一个复数 A 可以在复平面上表示为从原点到 A 的向量 ， 此时 a 可看作与实轴同方向的向量， b 可看作与虚轴同方 向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A 的向量，其模为|A|，幅角为 。所以复数A又可表示为
8. 1
正弦量的三要素：
正弦量的基本概念
(1) 幅值 ( 振幅、 最大值 )Im ：反映正弦量变化幅度 的大小。
(2) 角频率w ： 反映正弦量变化快慢。 C=d(w t+ )/dt为 相角随时间变化的速度。
相关量：频率f 和周期T 。 频率f ：每秒重复变化的次数。 周期T ：重复变化一次所需的时间。 f =1/T
8. 2
i(t)
R I
周期性电流、电压的有效值
W (t ) i 2 (t ) Rdt
0 T
W2=I 2RT
I RT i 2 ( t ) Rdt
2 0
T
R
1 I T

T
0
i 2 ( t )dt
同样，可定义电压有效值：
1 T 2 U u ( t )dt 0 T
def
8. 2
周期性电流、电压的有效值
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
I2

I1 I 2


y2
y1

I1

i1 2 I 1sin( ω t ψ1 ) I 1 I 1ψ1 i2 2 I 2sin( ω t ψ2 ) I 2 I 2ψ2
u2 ( t ) U m2 sin( ω t Ψ 2 ) Im( 2 U 2 e jωt )
u1 ( t ) u2 ( t ) Im ( 2 U 1 e


jω t
) Im ( 2 U 2 e jω t ) 2U2 e


Im ( 2 U 1 e U U1 U 2