用向量法表示电路

| F1 | | F2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657 ) (9.063 j4.226 ) 12.47 j0.569 12.48 2.61
例2.
首尾相接
+j
U
+j
U
U2
U2
U1
U1
60
41.9
41.9
60 30
+1
30
+1
2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2I cos(w t i ) I Ii
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
dt dt
Re 2I jw e jw t
反之，从相量直接写出 相对应的正弦量时，必 须给出正弦量的
角频率w。不必经过上述变换步 骤。
例1 已知
解
i 141.4 cos(314t 30o )A
•
I

10030o
A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
•
U 220 60o V
•
例2 已知I 5015A, f 50Hz。
称这3个量为正弦量的三要素。正弦量随时间变化的图形称
为正弦波。
一、周期、频率和角频率
1、周期T ：正弦量变化一个循环所需的时间。单位：s，秒
2、频率f ：正弦量每秒重复变化的次数。单位：Hz，赫(兹)
3、角频率(angular frequency)w: 正弦量的相位
随时间变化的角速度，即： w d (wt i )
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1 F2 e j2

F1
F e j(12 ) 2
乘法：模相乘，角相加。
F1 F2 1 2
F1 F2

| F1 |θ1 | F2 |θ2

| |
F1 F2
| |
e jθ1 e jθ 2
| F1 | e j(θ1θ2 ) | F2 |
300 (150 0 ) 120 0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符
号，且在主值范围比较。
§8－3 相量法的基础
一. 用相量表示正弦量
无物理意义
1、相量式 设函数 A(t) 2Ie j(wt)
是一个正弦量
有物理意义
2Icos(wt ) j 2Isin(wt Ψ )
对A(t)取实部： Re[ A(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i
2Icos(w t Ψ ) A(t)
j(w tΨ )
2Ie
A(t)还可以写成
A(t) 2Ie j ejwt 2Iejwt
A(t)包含了三要素：I、 、w ， 复常数 复常数包含了I , 。
2.复数运算
a | F | cos
或

b | F | sin
+j
图解法
(1)加减运算 ——采用代数形式
F2
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2
0
则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
F1 +1
(2) 乘除运算 ——采用极坐标形式
cos

j sin
j
I
2
2
2
,
j
e2

cos(
)
j sin(
)j
0
+1
2
2
2 I
j I
, e j cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1
都可以看成旋转因子。
复数乘除的图解法：
第8章 相量法
重点： 1. 正弦量的表示，三要素； 2. 正弦量的相量表示； 3. 电路定理的相量形式。
§8-1 复 数
1. 复数及其表示形式
F=a+jb
复数F的表示形式
+j
b
F
(j 1 为虚数单位 )
+j
b
F
|F|
0
a +1
F a jb

0
a +1
F | F | e j
182 .5 j132 .5 225 .536 +j
F• ej
(3) 旋转因子：

复数 ej =cos +jsin =1∠
F
0
+1
F• ej 相当于F逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
几种不同值时的旋转因子
+j
j I
,
j
e2
dt
w 2 f 2 T 单位： rad/s，弧度 /秒
i
T
i
T
O
t
i
i Im cos(ωt ψi)
Im
O
2 twt
Im sin (ωt ψi)
二、幅值和有效值
1、瞬时值:正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字
母表示，如 i、u，e 。
2、幅值（最大值）：瞬时值中的最大的值称为幅值或最大 值，用带下标m的大写字母表示，如Im、Um、Em。 图中，i max Im,i min Im,i max i min 2Im 称为正弦量的峰峰值。
U2 460o V
U U1 U2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2 (t) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
也可借助相量图计算
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
注意： 上式适用于周期变化的量，不能用于非周期量。
同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ i )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos2
(
w
t
Ψi
220 35 (17 j9) (4 j6) ? 20 j5
解
原式
180 .2

j126 .2

19.2427.9 7.21156.3 20 .62 14 .04
180 .2 j126 .2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
三、初相位
设：i Im cosw t i 2I cosw t i
1、相位（相位角）： 随时间变化的
2u
角度（ w t i ）称为正弦量的相位，
或称相位角。
1i
2、初相位： 正弦量在t=0时刻的相 位，称为正弦量的初相位（角），

O
ωt
简称初相，即
w t i t0 i (rad或度）

可见，
的大小与计时起点的确定有关。
i
3、相位差： 两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差，即
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i) 则 相位差 ： = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i
注意： 研究不同频率正弦量的相位差无意义。
jwt
)

Re(
2
•
(U
1

•
U
2
)e
jwt
)
可得其相量关系为： U U1 U2
U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3 I1 I2 I3
例 u1(t) 6 2cos(314t 30) V
U1 630o V
u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
) dt
T cos2 ( w t Ψi ) dt T 1 cos2(w t Ψi ) dt 1 t T 1 T
0
0
2
20 2

I
1 T
I
2 m

T 2

Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψi ) 2I cos(w t Ψi )
3 4 ( 2) 5 4 2 5 4 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2 (t) 10sin(100 t 150 )
i2 (t) 10 cos(100t 105 0 )
300 (105 0 ) 135 0
j +j
F1
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
+ 2
i
§8-2 正弦量
电路中按正弦规律 变化的电压和电流，统称为正弦量。正 弦量的表示方法：①三角函数式；②波形图；③相量法。
在图示电流i的参考方向下， i
i(t)=Imcos(w t + i )
+ u_
Im,w, i 这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，
称