上海市华东师大二附中高一(上)10月月考数学试卷含答案
上海市华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（4分）设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a组成的集合是．2．（4分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|≥1}，则图中阴影部分所表示集合是．3．（4分）用集合的描述法表示：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合．4．（4分）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是．5．（4分）不等式组的解集为．6．（4分）关于x的不等式的解集为．7．（4分）若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m对一切x∈R恒成立，则实数m 的取值范围为．8．（4分）已知点H是正三角形ABC内部一点，△HAB，△HBC，△HCA的面积值构成一个集合M，若M的子集有且只有4个，则点H需满足的条件为．9．（4分）已知集合A={x|﹣2k+6＜x＜k2﹣3}，B={x|﹣k＜x＜k}，若A⊊B，则实数k的取值范围为．10．（4分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，﹣4≤f（﹣1）≤﹣1，2≤f（1）≤5，4≤f（2）≤9，则f（3）的取值范围为．11．（4分）使不等式x2+（a﹣6）x+9＞0（|a|≤1）恒成立的x的取值范围是．12．（4分）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是．13．（4分）集合M={6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），每一个M i中所有元素乘积为m i（i=1，2，…，1023），则m1+m2+m3+…+m1023=．14．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=．二.选择题15．（5分）某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立16．（5分）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x ∈A”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．4个18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三.解答题19．（12分）你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分．20．（14分）解关于x的不等式：．21．（14分）已知△ABC的三边为a，b，c，求证：二次方程与x2+2ax+b2=0与x2+2cx ﹣b2=0有一个公共根的充要条件是∠A=90°．22．（16分）对于x∈R，f（x）表示x﹣1与|x2﹣4x+3|中较大的一个值；（1）求f（0）、f（1）、f（2）、f（3）；（2）作出函数y=f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k（x﹣1）在[0，2]内有两个解，求实数k的取值范围．23．（18分）已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n=1000时①若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．上海市华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（4分）设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a组成的集合是．【分析】由题意：A∩B=B，可得B⊆A，那么有B可能是空集，B是A的真子集．【解答】解：∵A={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}．当B=∅时，即ax﹣1=0无解，得：a=0．当B≠∅时，即ax﹣1=0有解，解得x=由题意：A∩B=B，可得：或解得：a═或那么实数a组成的集合为．故答案为：．【点评】本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系，解题的关键是正确判断集合的含义．属于基础题2．（4分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|≥1}，则图中阴影部分所表示集合是{x|1＜x≤2}．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：题图中阴影部分可表示为（∁U M）∩N，集合M={x|x＞2或x＜﹣2}，集合N={x|1＜x≤3}，由集合的运算，知（∁U M）∩N={x|1＜x≤2}，故答案为：{x|1＜x≤2}．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．3．（4分）用集合的描述法表示：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合{（x，y）|x≠3且y≠4}．【分析】除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点是指平面上所有点中去掉（3，4）外的所有点的集合．【解答】解：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点是指平面上所有点中去掉（3，4）外的所有点的集合，∴除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合为：{（x，y）|x≠3且y≠4}．故答案为：{（x，y）|x≠3且y≠4}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的表示方法的合理运用．4．（4分）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是a（4a+b）＜0且b2﹣4ac≥0且a（4a+2b+c）＞0．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是，或，【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是，或，化为：a（4a+b）＜0且b2﹣4ac≥0且a（4a+2b+c）＞0，故答案为：a（4a+b）＜0且b2﹣4ac≥0且a（4a+2b+c）＞0．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（4分）不等式组的解集为{﹣1}∪[1，6]．【分析】解一元二次不等式，再求解集的公共部分即可．【解答】解：不等式组化为，解得，即x=﹣1或1≤x≤6，∴原不等式组的解集为{﹣1}∪[1，6]．故答案为：{﹣1}∪[1，6]．【点评】本题考查了一元二次不等式组成的不等式组的问题，是基础题．6．（4分）关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．【分析】将分式不等式转化为二次不等式，然后求解高次不等式即可求得最终结果．【解答】解：原不等式等价于：，结合高次不等式奇穿偶不穿的性质求解不等式组可得原不等式的结论为：（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．【点评】本题考查分式不等式的解法及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．7．（4分）若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m对一切x∈R恒成立，则实数m 的取值范围为（﹣∞，18]．【分析】分段去绝对值，求出|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|的最小值即可．【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|=，可得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥18，若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，18]．故答案为：（﹣∞，18]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（4分）已知点H是正三角形ABC内部一点，△HAB，△HBC，△HCA的面积值构成一个集合M，若M的子集有且只有4个，则点H需满足的条件为H在△ABC的三条高上且H不为△ABC重心．【分析】若M的子集有且只有4个，则M的元素有且只有2个，进而得到答案．【解答】解：若M的子集有且只有4个，则M的元素有且只有2个，∵点H是正三角形ABC内部一点，△HAB，△HBC，△HCA的面积值构成一个集合M，故△HAB，△HBC，△HCA的面积有且只有两个相等，故：H在△ABC的三条高上且H不为△ABC重心故答案为：H在△ABC的三条高上且H不为△ABC重心（注等边三角形三线合一，四心合一，其它合理的答法也给分）【点评】本题考查的知识点是子集的个数与元素个数的关系，根据已知得到M的元素有且只有2个，是解答的关键．9．（4分）已知集合A={x|﹣2k+6＜x＜k2﹣3}，B={x|﹣k＜x＜k}，若A⊊B，则实数k的取值范围为（﹣1+，]．【分析】当A=∅时，得﹣1﹣≤k≤﹣1+，当A≠∅时，k＜﹣1﹣，或k＞﹣1+，由A⊊B，得﹣k≤﹣2k+6＜x＜k2﹣3≤k，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|﹣2k+6＜x＜k2﹣3}，B={x|﹣k＜x＜k}，A⊊B，∴当A=∅时，k2﹣3≤﹣2k+6，解得﹣1﹣≤k≤﹣1+，当A≠∅时，k＜﹣1﹣，或k＞﹣1+，∵A⊊B，∴﹣k≤﹣2k+6＜x＜k2﹣3≤k，∴﹣k≤﹣2k+6且k2﹣3≤k，且两个等号不能同时取到，即k≤6且k2﹣k﹣3≤0，且k＜﹣1﹣或，k＞﹣1+，解得﹣1+＜k≤．综上实数k的取值范围为（﹣1+，]．故答案为：（﹣1+，]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类与整合思想、子集定义的合理运用．10．（4分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，﹣4≤f（﹣1）≤﹣1，2≤f（1）≤5，4≤f（2）≤9，则f（3）的取值范围为．【分析】利用待定系数法求解即可．【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+c，则f（3）=9a+3b+c．∵﹣4≤f（﹣1）≤﹣1，2≤f（1）≤5，4≤f（2）≤9，∴﹣4≤a﹣b+c≤﹣12≤a+c+b≤54≤4a+2b+c≤9令9a+3b+c=am﹣bm+cm+an+cn+bn+4at+2bt+ct，（m，n，t≠0）可得：解得：，n=﹣2，m=那么：≤9a+3b+c≤﹣4+24即≤9a+3b+c≤故答案为：．【点评】本题考查了待定系数法求解不等式范围问题．考查了计算能力．属于中档题，11．（4分）使不等式x2+（a﹣6）x+9＞0（|a|≤1）恒成立的x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．【分析】根据题意，设f（a）=x2+（a﹣6）x+9，其中﹣1≤a≤1；不等式恒成立转化为，求出x的取值范围即可．【解答】解：设f（a）=x2+（a﹣6）x+9，其中﹣1≤a≤1；则不等式x2+（a﹣6）x+9＞0恒成立，∴，即，解得：x＜或x＞；∴不等式x2+（a﹣6）x+9＞0（|a|≤1）恒成立的x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．故答案为：．【点评】本题考查了函数的恒成立问题，关键在于合理转化，是中档题．12．（4分）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是．【分析】由关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵不等式等价于（﹣a+4）x2﹣4x+1＜0，当a≥4时，显然不满足要求，故4﹣a＞0且△=4a＞0，故0＜a＜4，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集．所以，解得a的范围为，故答案：．【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用．考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力．其中根据已知条件，判断4﹣a＞0且△=4a＞0，是解答本题的关键．13．（4分）集合M={6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），每一个M i中所有元素乘积为m i（i=1，2，…，1023），则m1+m2+m3+…+m1023=﹣1．【分析】这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i=0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i=﹣1；根据②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，可得答案．【解答】解：∵M的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i=0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i=﹣1；其中②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，故m1+m2+m3+…+m1023=512×0+255×0﹣1=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，分类讨论思想，难度较大．14．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=3．【分析】根据新定义建立关系讨论即可．【解答】解：∵A={1，2}，有两个元素；B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，由A*B=1，当B有一个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）=0有一个解，∴可得a=0．当B有3个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）=0有3个解，可得：x1=0，x2=﹣a（a≠0），那么x2+ax+2=0有一个解，∴△=0，可得a=±．综上可知实数a的取得为0，，2，够成集合S个数为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了集合中元素的判断，新定义的理解，属于基础题．二.选择题15．（5分）某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．【解答】解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．故选：C．【点评】当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．16．（5分）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x ∈A”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题即判断“x∈A”⇒“x∈C”和“x∈C”⇒“x∈A”是否成立，由A∪B=C，且B不是A的子集易判．【解答】解：因为A∪B=C，所以“x∈A”⇒“x∈C”；反之，若“x∈C”，即“x∈A∪B”因为B不是A的子集，故不能得到x∈A，所以“x∈C”是“x∈A”的必要但不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断和集合之间的关系，属基本题型的考查．17．（5分）在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．4个【分析】分别写出原命题与它的逆命题、否命题和逆否命题，再判断真假性．【解答】解：原命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”，它是真命题；逆命题是“若A∩B≠A，则A∪B≠B”，它是真命题；否命题是“若A∪B=B，则A∩B=A”，它是真命题；逆否命题是“若A∩B=A，则A∪B=B”，它是真命题．所以，以上假命题的个数为0．【点评】本题考查了四种命题的真假性问题，是基础题．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选：C．【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三.解答题19．（12分）你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分．【分析】（1）b克盐水中有a克盐（b＞a＞0），若再添m克盐（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添盐前后的浓度进行比较即得．（2）利用作差法比较大小即可，【解答】解（1）：∵b克盐水中有a克盐，盐水的浓度为：；b克盐水中有a克盐（b＞a＞0），若再添m克盐（m＞0），则盐水的浓度为，又盐水变咸了，说明浓度变大了，∴＜，a＞0，b＞0，b＞a，m＞0，（2）综合法证明：因为﹣==，因为b＞a，所以a﹣b＜0，所以＜0，因此＜，问题得证．【点评】本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，考查运算理解能力，建模能力、化归与转化思想．20．（14分）解关于x的不等式：．【分析】分别画出函数y=，y=﹣x+2a的图象．由x2﹣2ax+1=0，当△=4a2﹣4a≥0时，解得a≥1，或a≤0．解得x=．对a分类讨论，结合图象即可得出不等式的解集．【解答】解：分别画出函数y=，y=﹣x+2a的图象．由x2﹣2ax+1=0，当△=4a2﹣4a≥0时，解得a≥1，或a≤0．解得x=．①当a≥1时，x∈∪时，满足＞2a﹣x．②当﹣1≤a＜1时，x∈（0，+∞）时，满足＞2a﹣x．③当a＜﹣1时，x∈∪（0，+∞）时，满足＞2a﹣x．【点评】本题考查了通过画出函数的图象解不等式的方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知△ABC的三边为a，b，c，求证：二次方程与x2+2ax+b2=0与x2+2cx ﹣b2=0有一个公共根的充要条件是∠A=90°．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx﹣b2=0有公共根的条件，然后证明充分性即可．【解答】证明：必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx﹣b2=0的公共根为m，则，两式相加得m=﹣（a+c）．（m=0舍去），将m=﹣（a+c）代入m2+2am+b2=0，得[﹣（a+c）]2+2a•[﹣（a+c）]+b2=0，整理得a2=b2+c2．所以A=90°．充分性：当A=90°时，a2=b2+c2．于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2﹣c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a﹣c）]=0，该方程有两根x1=﹣（a+c），x2=﹣（a﹣c）．同样，x2+2cx﹣b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c﹣a）]=0，该方程亦有两根x3=﹣（c+a），x4=﹣（c﹣a）．显然x1=x3，两方程有公共根．故方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx﹣b2=0有公共根的充要条件是A=90°．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（16分）对于x∈R，f（x）表示x﹣1与|x2﹣4x+3|中较大的一个值；（1）求f（0）、f（1）、f（2）、f（3）；（2）作出函数y=f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k（x﹣1）在[0，2]内有两个解，求实数k的取值范围．【分析】（1）结合题意计算函数值即可；（2）结合函数的定义绘制函数图象即可；（3）利用（2）中的函数图象数形结合即可求得最终结果．【解答】解：（1）当x=0时，x﹣1=﹣1，|x2﹣4x+3|=3，故f（0）=3，当x=1时，x﹣1=0，|x2﹣4x+3|=0，故f（1）=0，当x=2时，x﹣1=1，|x2﹣4x+3|=1，故f（2）=1，当x=3时，x﹣1=2，|x2﹣4x+3|=0，故f（3）=2．（2）分段函数解析式为：．函数图象如实线部分所示：（3）f（x）=k（x﹣1）表示过点（1，0），斜率为k的直线，满足题意时，该直线在区间[0，2]上与函数f（x）的图象有2个交点，结合（2）中的图象可得：实数k的取值范围是[﹣3，﹣2）∪[1，2）．【点评】本题考查函数图象的绘制及其应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．23．（18分）已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n=1000时①若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．【分析】（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}，根据性质P的定义可知其不具有性质P；C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}，令m=1＜10，利用性质P的定义即可验证|c1﹣c2|≠1；（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，①根据T={2001﹣x|x∈S}，任取t=2001﹣x0∈T，其中x0∈S，可得1≤2001﹣x0≤2000，利用性质P的定义加以验证即可说明集合T={2001﹣x|x∈S}具有性质P；②设集合S有k个元素．由第①问知，任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001﹣x中必有一个不超过1000，从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P的定义进行分析即可求得k+t≤2000，即，解此不等式得k≤1333．【解答】解：（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m成立．（2分）集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性质P．（3分）因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1﹣1，c2=3k2﹣1，k1，k2∈N*都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1．（4分）（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}①若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．（5分）首先因为T={2001﹣x|x∈S}，任取t=2001﹣x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，从而1≤2001﹣x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m．对于上述正整数m，从集合T={2001﹣x|x∈S}中任取一对元素t1=2001﹣x1，t2=2001﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m，所以集合T={2001﹣x|x∈S}具有性质P．（8分）②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001﹣x中必有一个不超过1000，所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t个元素b1，b2，…，b t不超过1000．由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，所以一定有b1+m，b2+m，…，b t+m∉S．又b i+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，b t+m∈A，即集合A中至少有t个元素不在子集S中，因此k+t≤2000，所以，得k≤1333，当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠667，即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素．因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）【点评】此题是中档题．考查集合之间的包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析．。
上海市华东师范大学松江实验高级中学学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)
故答案为：
6.若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据关于 的不等式 的解集为 ，可得 ， ，代入 可解得结果.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 且 和 是一元二次方程 的两个实根，
所以 ，得 ，
（2）下月的月总利润
，
，
，
即 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
答：当 时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．
【点睛】本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．
20.（1）证明： ，对所有实数 均成立，并求等号成立时 的取值范围.
9.集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
化简集合 ，由 列式可得结果.
【详解】 ， ，
由 得 ，得 .
故答案为：
10.设有两个命题；①方程 没有实数根；②实数 为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
（2）点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”，
证明：∵点 是点 的“上位点”，∴
∵ ， ， ， 均大于0，∴ ，∴
∴ ，
即 ，所以点 是点 的“上位点”，
同理可得 ，即 ，
所以点 是点 的“下位点”，
所以点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”.
（3）根据题意得 对 时恒成立，
根据（2）的结论可知，当 ， 时，满足条件，
平方可得 ，
2021年师大二附中高三数学第一学期10月考包含答案
师大二附中2021届高三第一学期10月考数学试卷一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
（共10小题；共40分）1. 设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B2. 若35log log 33b ⋅=，则b =（ ） A. 6 B. 5C. 53D. 35【答案】D3. 已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->【答案】C4. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是（ ） A. 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. {3|02x x -<<或502x ⎫<<⎬⎭D. {3|2x x <-或502x ⎫≤<⎬⎭【答案】D 5. 已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A.15B.C.D.【答案】B6. 若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 取值范围为（ ）A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 7. 函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞ B. (,0)(0,1]-∞ C. (0,1] D. (,0)[1,)-∞⋃+∞【答案】D8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数m ，n ，都有m n m n a a a +=，若n S a <恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A.14B.34C. 43D. 4【答案】A9. 函数32()f x ax x cx d =-++的图象如图所示，则有（ ）A. 0,0,0a c d ><>B. 0,0,0a c d <<>C. 0,0,0a c d <>>D. 0,0,0a c d >><【答案】C10. 已知函数()|lg |,,()()f x x a b f a f b =>=，且33a b m +>恒成立，那么m 的最大值等于（ ） A. 8 B. 3 C.3 D. 2【答案】D二、填空题（共5小题；共25分）11. 若集合{21}A x x =-<<，{}B x x a =≥，且{2}A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】21a -<≤12. 设函数(),12,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩最小值为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞13. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若31a =，714S =，则5a =____________. 【答案】314. 已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______.【答案】2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭15. 已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______.【答案】2(0,)e.三、解答题（共6小题；共85分）16. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）13n na =；（2）(1)2nn n b +=-. 17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小； （2）如果6cos 2B b ==，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2323+18. 函数cos2()2sin sin cos xf x x x x=++.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （3）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程. 【答案】（1）,4x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；（2）2；（3）最小正周期2T π=；对称轴方程为,4x k k Z ππ=+∈. 19. 已知函数()2()22xf x x x a e =-++，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.20. 已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax .（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ； （2）对任意(]0,1x ∈都有()()()0+->f x eh x g x ，求整数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.21. 已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列()*n N ∈，且110ab =>.（1）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （2）若2244,a b a b ==.①判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；②若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）. 【答案】（1）答案见解析；（2）是{}n a 中的第172项，理由见解析；（3）{1m m =或}*2,m n n N=∈.为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
上海市高一上学期10月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。
2025届上师大附中高三数学上学期10月考试卷一附答案解析
2025届上师大附中高三10月月考数学试卷一一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()f x =的定义域为__．【答案】(0,1]．【解析】【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域【详解】函数的意义，有0110x x≠⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x <≤，即函数()f x =定义域为(0,1]．故答案为：(0,1]2. 已知0a >=________.【答案】34a 【解析】【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34a .3. 已知幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，求(3)f -=_________．【答案】19【解析】【分析】设幂函数为(),R f x x αα=∈，根据题意求得2α=-，得到2()f x x -=，代入即可求解.【详解】设幂函数为(),R f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得139α=，解得2α=-，即2()f x x -=，所以21(3)(3)9f --=-=.故答案为：19.4. 若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____.【答案】79-【解析】【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值．【详解】因为1sin 3α=，所以()2227cos(2)cos 212sin12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-．故答案为： 79-5. 已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(3,)+∞【解析】【分析】先求出集合M ，N ，再由M N ⊆可求出实数a 的取值范围【详解】解：由题意得{}{|3sin ,}33M y y x x y y ===-≤∈≤R ，{}{|||}N x x a x a x a =<=-<<，因为M N ⊆，所以3a >，故答案为：(3,)+∞6. 设a ，b ∈R ．已知关于x 的不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫-⎪⎝⎭，则不等式250ax x b ++<的解集为__________．【答案】12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】先由不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭求出实数a ，b 的值，再求不等式250ax x b ++<的解集.【详解】∵不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴方程250ax x b -+=的两根分别为123x =-，214x =，且0a <∴由韦达定理可知，1212215342134x x a b x x a ⎧+=-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩解得122a b =-⎧⎨=⎩，∴将a ，b 代入不等式250ax x b ++<得212520x x -++<，即212520x x -->()()32410x x ⇔-+>∴不等式250ax x b ++<的解集为12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7. 已知锐角α的顶点为原点，始边为x 轴的正半轴，将α的终边绕原点逆时针旋转π6后交单位圆于点1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为________．【解析】【分析】先求得ππcos ,sin 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角恒等变换的知识求得sin α【详解】由于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，所以222181,39y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，由于α是锐角，所以289y y =⇒=13P ⎛- ⎝，所以π1πcos ,sin 636αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=⨯=.8. 已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=__________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意，求得()3f x x x =-，得到()231f x x ='-，即可求解.【详解】由函数()()()()321(1)()f x x x a x b x a b x a b ab x ab =+++=+++++++，可得()32(1)()f x x a b x a b ab x ab -=-+++-+++因为函数()f x 为R 上的奇函数，可得()()f x f x -=-，即3232(1)()(1)()x a b x a b ab x ab x a b x a b ab x ab -+++-+++=--++-++-，所以100a b ab ++=⎧⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或10=-⎧⎨=⎩a b ，所以()3f x x x =-，可得()231f x x ='-，所以()01f '=-.故答案为：1-.9. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30o 和45 ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15 ，则鹳雀楼的高度约为___________m .【答案】74【解析】【分析】根据题意在Rt △ABC 中求出AC ，在△MCA 中利用正弦定理求出MC ，然后在Rt △MNC 中可求得结果.【详解】在Rt △ABC 中，274AC AB ==，在△MCA 中，105MCA ︒∠=，45MAC ︒∠=，则18030AMC MCA MAC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得sin sin MC AC MAC AMC=∠∠，即74sin 45sin 30MC ︒︒=，解得MC =，在Rt △MNC中，74m MN ==.故答案：7410. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}|0x f x α∈=，(){}|0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()1e 2x f x x -=+-与()21g x x ax =-+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】由题知函数()f x 有唯一零点1，进而得210x ax -+=在(0,2)上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.【详解】因为1()e 2-=+-x f x x ，所以()f x 在R 上为增函数，又0(1)e 120f =+-=，所以()f x 有唯一零点为1，令()g x 的零点为0x ，依题意知0||11x -<，即002x <<，即函数()g x 在(0,2)上有零点，令()0g x =，则210x ax -+=(0,2)上有解，即1x a x +=在(0,2)上有解，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，所以2a ≥，故答案为：[2,)+∞.为为在11. 若函数()y f x =的图像上存在不同的两点M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)，满足1212x x y y +≥()y f x =具有性质P ，给出下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③1(),(0,)f x x x x=+∈+∞；④()||1f x x =+．其中其有性质p 的函数为________（填上所有正确序号）．【答案】①②【解析】【分析】利用数量积性质得出过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，结合函数图象可得．【详解】1212||||cos ,,|||OM ON x x y y OM ON OM ON OM ON ⋅=+=〈〉==所以1212cos ,1x x y y OM ON +≥⇔〈〉≥ ，即cos ,1OM ON 〈〉=± ．即O ，M ，N 三点共线，即过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，由图可知，①②符合．故答案为：①②12. 已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【解析】【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由ln 10b m +--=，则(),P a b 在直线:ln 10l x y m +--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m --=，所以点(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，，2e,eméùÎêúëû，设t⎤=⎦，设()2ln1tg tt+=，则()()212lntg t tt-⎤'=≤∈⎦，所以()g t在⎤⎦上单调递减，所以()()min3eeg t g==，3e≥即2229ea b+≥，所以22a b+的最小值为29e，故答案为：29e二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）13. 已知a b∈R，且0ab≠，则“22a b>”是“11a b<”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合指数函数单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】22a b a b>⇔>Q，当0a b>>时，11a b<不成立，当11a b<<时，a b>不成立.所以a b>是11a b<的既不充分也不必要条件，即22a b>是11a b<的既不充分也不必要条件.故选：D.14. 设函数()sinf x x=，若对于任意5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m上总存在唯一确定的β，使得()()0f fαβ+=，则m的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】的【分析】由等量关系找α与β的关系，由α的范围求出sin β的范围，从而得出m 的值.【详解】∵()()0f f αβ+=，∴sin sin 0αβ+=，即()sin sin sin βαα=-=-，∵5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，即2π5π,36α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()1sin sin 2βα⎡=-∈⎢⎣，又∵[]0,m β∈，∴π3m =故选：B15. 已知在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB = ，且对于边AB 上任意一点P ，都有00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，则ABC V 是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE ，根据向量的线性运算计算向量00,P B P C 并计算00P B P C ⋅ ，同理计算PB PC ⋅ ，根据不等关系可得出对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，从而确定0P D AB ⊥，从而得到结果.【详解】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE （如图所示），则()()0000P B P C P D DB P D DC ⋅=+⋅+ ()()22000P D DB P D DB P D DB =+⋅-=- ，同理22PB PC PD DB ⋅=- ，因为00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，所以22220PD DB P D DB -≥- ，即220PD P D ≥ ，所以对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，因此0P D AB ⊥，又023P B AB = ，D 为BC 中点，E 为DC 中点，所以023P B BD AB BE ==，所以0//P D AE ，即90BAE ∠=︒，所以90BAC ∠>︒，即ABC V 为钝角三角形.故选：A ．16. 设函数,()2,2x x P f x x x M x∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){(),},(){(),}A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈∣∣，有下列命题：①对任意满足P M ⋃=R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃=R ；②对任意满足P M ⋃≠R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃≠R ，则对于两个命题真假判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义对两个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①可举反例，(,0],(0,)P M =-∞=+∞此时()()()()(),0,2,,A P A M A P A M ∞∞⎤⎡=-=+⋃≠⎦⎣R ，故①是假命题；对于②，可举反例(,4],(4)P M =-∞=++∞，此时()(,4],()(4,),()()R A P A M A P A M =-∞=+∞= ，故②是假命题；故选：B【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.三、解答题（共5题，满分78分）17. 已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ．（1）当a b∥时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．【答案】（1）247- （2）1322⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算tan x 的值，二倍角公式即可计算tan 2x ；（2）计算()f x ，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.【小问1详解】因为a b∥，所以3sin cos 4x x -=，因为cos 0x ≠，所以3tan 4x =-，所以22tan 24tan 21tan 7x x x ==--．【小问2详解】213π3()2()2sin cos 2cos sin 2cos 222242f x a b b x x x x x x ⎛⎫=+⋅=++=++=++ ⎪⎝⎭ ，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 24x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()f x的值域为1322⎛⎤ ⎥⎝⎦．18. 已知函数()22x x a f x =+其中a 为实常数.（1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）因为()22x x a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22x x f x =+,因为()5f x =,即6252x x+=,通过换元法,即可求得答案;（2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案.【详解】（1） ()22x xa f x =+,∴()07f =,即17a +=解得:6a =可得:6()22x xf x =+ ()5f x =∴6252x x+=令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+=解得:12t =或23t =即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R ,①当()f x 为奇函数时,根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222x x x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -=可得2222x x x x a a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：①()2150x f x =+；②()ln 2f x x =-；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？【答案】（1）答案见解析（2）()2150x f x =+不符合公司要求，()ln 2f x x =-符合公司要求，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，用数学语言依次写出函数()f x 的要求即可；（2）判断两个函数模型的单调性，并判断()9f x ≤，()5x f x ≤是否成立得解.【小问1详解】设奖励函数模型为()y f x =，则公司对奖励函数模型基本要求是：当[]10,1000x ∈时，()f x 是严格增函数，()9f x ≤恒成立，()5x f x ≤恒成立.【小问2详解】①对于函数模型()2150x f x =+，易知当[]10,1000x ∈时，()f x 为增函数，且()()max 26100093f x f ==<，所以()9f x ≤恒成立，但是()101005f ->，不满足()5x f x ≤恒成立，所以()2150x f x =+不符合公司要求；②对于函数模型()ln 2f x x =-，的当[]10,1000x ∈时，()10f x x'=>，所以()f x 为增函数，且()max f x f =()100023ln109=-+<，所以()9f x ≤恒成立，令()()ln 255x x g x f x x =-=--，则()1105g x x '=-<，所以()()10ln1040g x g =-<≤，所以()5x f x ≤恒成立，所以()ln 2f x x =-符合公司要求.20. 已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .（1）判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；（2）若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，求n 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析 （2）5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，结合条件即得；（2）由00sin sin 4x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得038x k ππ=+，()()050,N 48x k n k πππ+=+∈∈，可得58n π>，即得；（3）设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()1150200333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，可得111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即证；当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫> ⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合条件可知，存在0x ，()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即证.【小问1详解】函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.若220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，因为[]11,14-∈-，且[]1111,1424-+=∈-，所以函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】解法1：由题意，存在()00,x n ∈，使得00sin sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0024x x k ππ+=+（舍）或0024x k x πππ+=+-()k ∈Z ，则得038x k ππ=+.因为0308x k ππ=+>，所以k ∈N .又因为()030,8x k n ππ=+∈且()()050,48x k n k πππ+=+∈∈N ，所以58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解法2：当02n π<≤时，函数()sin f x x =，()0,x n ∈是增函数，所以不符合题意；当2n π>时，因为直线2x π=是函数()sin f x x =的一条对称轴，而函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以224n ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问3详解】设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则有()()1003g f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112333g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22133g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，11333k k k g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，()55233g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}()1,2,3,,6k ∈⋅⋅⋅.以上各式相加得()()()115020333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()11500333k g g g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（ⅰ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，不妨设103i g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即110333i i i g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，所以函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.（ⅱ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫>⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中i j ≠，{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、.由于函数()y g x =的图像是连续不断的曲线，所以当i j <时，至少存在一个实数011,33i j x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（当i j >时，至少存在一个实数011,33j i x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），其中{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、，使得()00g x =，即()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即存在0x ，使得()0013f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间[]0,2上也具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.综上，函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()e (,1),()(,)k x f x x k k g x cx m c m =∈≥=+∈N R ，其中e 是自然对数的底数．（1）当1k =时，若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 和m 的值；（2）当1k =，e m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围：（3）当2,1k m ==-时，关于x 的不等式2()e ()f x ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立（其中,a b ∈R ），当c 取得最大值时，求a 的最小值．【答案】（1）2e,e c m ==-（2）[2e,)+∞（3）1【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在1x =处的切线方程，通过对比系数求得,c m .（2）由()()f x g x =分离c ，利用构造函数法，结合导数来求得c 的取值范围.（3）由恒成立的不等式得到e 1e xc x x-≤-恒成立，利用构造函数法，结合导数来求得c 的最大值，进而求得a 的最小值，并利用构造函数法，结合导数来判断a 的最小值符合题意.【小问1详解】当1k =时，()e x f x x =，所以()(1)e x f x x '=+，由(1)e,(1)2e f f '==，得曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e 2e(1)y x -=-，即2e e y x =-，由题意，2e,e c m ==-．【小问2详解】当1k =，e m =-时，()e ,()e x f x x g x cx ==-，由题意，方程e e x x cx =-在(0,)+∞上有解，即e e x c x =+在(0,)+∞上有解，令e ()e (0)x h x x x =+>，则2e e ()x h x x'=-，由()0h x '=得1x =，()h x '在()0,∞+上严格递增，所以：当(0,1)x ∈时，()0h x '<，所以()h x 严格递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 严格递增，所以min ()(1)2e h x h ==，又x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 的值域为[2e,)+∞，所以c 的取值范围为[2e,)+∞．【小问3详解】当2,1k m ==-时，2()e ,()1x f x x g x cx ==-，由题意，对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，即：22e e 1x x ax bx cx -≥+≥-（*）恒成立，那么，2e 1x x cx ≥-恒成立，所以e 1e xc x x-≤-恒成立，令e 1()e (1)x x x x x ϕ-=-≥，则2e 1()(1)e 0x x x x ϕ-'=++>在[1,)+∞上恒成立，所以()ϕx 在[1,)+∞上严格递增，所以min ()(1)1x ϕϕ==，从而1c ≤，即c 的最大值为1，1c =时，取1x =代入（*）式，得00a b ≥+≥，所以=-b a ，所以21ax ax x -≥-在[1,)+∞上恒成立，得1a ≥，即a 的最小值为1，当1a =时，记()222()()e e e (1)x F x f x x x x x x x =---=--+≥，则()2()2e 21x F x x x x '=+-+，设()()()()222e 21,42e 2x x x x x u u x x x x '+-+=++-=，因为()u x '在[1,)+∞上严格递增，所以()()17e 20u x u ''≥=->，所以()F x '在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)3e 10F x F ''≥=->，所以()F x 在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)0F x F ≥=，从而对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，综上，a 的最小值为1．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，。
2024-2025学年上海华东师范大学二附中高一上学期数学月考试卷及答案(2024.10)(含答案)
1华二附中2024学年第一学期高一年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．设全集，集合，则________．2．已知，，则的取值范围为________．3．设，“”是“”的一个________条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）4．已知集合，集合，则________．5．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为______（填数字）．6．已知集合，，若，则的取值范围是________．7．“若且，则”的否命题，逆命题，逆否命题中正确的命题个数是________．8．集合，，则________．9．已知关于的不等式的解集为，① ②不等式的解集是③④不等式的解集为上命题正确的序号是________．10．已知关于的不等式的解集非空，并且解集中的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围为________．11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围为________．{}1,2,3,4,5U ={}2,4A =A =23a <<21b -<<-2a b +a R ∈1a >11a<2301x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭{}2,1,0,1,2B =--A B = A {}{}0,21,0,1,2A ⊆⊂-A {}2|230A x x x =--≤{}|22B x m x m =-≤≤+A B =∅ m 1a >2b >3a b +>{}|,A y y x x R ==∈{}|B x y x R ==∈A B = x 20ax bx c ++>()(),23,-∞-+∞ 0a >0bx c +>{}|6x x <-0a b c ++>20cx bx a -+<11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 2290x x a -+<x 2430x x -+<2680x x -+<a x 2k x x >-k212．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为________．二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）．13．若集合，，则满足的实数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）．A ． B ．C ．D ．15．已知，则“成立”是“成立”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）求下列关于的分式不等式的解集：（1）；（2）．(),c d [),c d (],c d [],c d d c -d c >a b >123x a x b+≥--x {}21,9,A a ={}9,3B a =A B B = a 201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭x A ∈x a ≥a 0a <2a ≥1a ≤-1a ≥-x R ∈()()230x x --≤231x x -+-=x 2664ax x ax ++--≥a (],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ x ()()22231054x x x x x x +-+≤-+2312xx ≥+318．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设集合，．（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）设，是实数，集合，集合，集合．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围；（3）若且，求的取值范围．{}|32A x x =-<{}|331B x x m =<<+2m =A B x A ∈x B ∈m a b {}2|340A x x x =--≤(){}2|210B x x a x =-+<[]21,5C b b =-+B A ⊆a A C ⊆b 6a =C B ⊆b420．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，为常数，函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；（3）当时，对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实数根．a b ()2f x x bx a =-+1a b =-x ()0f x ≥21a b =-()0f x =()2,1-b 1a b =-1x 2x R ∈12x x <()()12f x f x ≠x ()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦()12,x x521．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．（1）若，，求和；（2）若满足且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．(){}1234|,,,,,1,2,3,4i A x x x x x N i =αα=∈=A ()1234,,,x x x x α=()()12233441,,,T x x x x x x x x α=----2n ≥()()()1n n T T T -α=α()()1T T α=α()2,0,2,1α=()2,0,2,2β=()4T α()4T β()1234,,,x x x x α={}()0,11,2,3,4i x i ∈=()()21,1,1,1T α=αn ()()12341243,,,x x x x A x x x x α=∈≥≥≥()()0,0,0,0n T α=n6参考答案一、填空题1.;2.;3.充分不必要;4.;5.;6.;7.;8.; 9.①②④; 10.； 11. 12.11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】因为关于的不等式恰好有4个整数解,所以关于的不等式恰好有4个整数解,且,则有解得.又方程的根为,即或,所以不等式的解集为.因为,所以,所以不等式的4个整数解只能是2,3,4,5,所以,结合,解得,即实数的取值范围为.12．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为________．【答案】【解析】原不等式可转化为①对于,其判别式,故其必有两不相等的实{}1,3,5()2,1-{}0,13{}|35m m m <->或1{}|01x x ≤≤817,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭32,53⎛⎤⎥⎝⎦2x 2k x x >-k 32,53⎛⎤⎥⎝⎦x 20k x x >-…x ()221440k x x -+->0k >()22210,16161160,k k k -<∆=+-⎪=⎧⎪⎨⎩>01k <<()221440k x x -+-=2221k x k ±=-21x k =+21x k =-()221440k x x -+->2211x k k<<+-01k <<2121k<<+()221440k x x -+->2561k <-…01k <<3253k <…k 3253,⎛⎤ ⎥⎝⎦(),c d [),c d (],c d [],c d d c -d c >a b >123x a x b+≥--x 2111x a x b +≥--()()()220,x a b x ab a b x a x b -+++++≤--()220x a b x ab a b -+++++=2()20Δa b =-+>7数根,设为,由求根公式得,下证,构造函数,其两个零点为,且,而所以由于,且由二次函数的性质可知,故不等式①的解集为其长度之和为二、选择题13.B14. C15.C16.B15．已知，则“成立”是“成立”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】充分性:若,则,必要性:若,又由绝对值的性质:若,则所以"成立"是"成立"的充要条件,故选:.16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．【答案】B12,x x 1x =2x =12b x a x <<<()()22f x x a b x ab a b =-+++++12,x x 12x x <()()22f a a a b a ab a b b =-++-+++=-0a <,12,x a x <<b a <()()22f b b a b b ab a b a b =-++-+++=-0>12b x a x <<<((12b,x a,x ⋃⎤⎤⎦⎦()()121222x b x a x x a b a b a b -+-=+-+=++-+=x R ∈()()230x x --≤231x x -+-=()()230x x --…23x ……23231,x x x x ∴-+-=-+-=231x x -+-=()()()()2312323x x x x x x ---=∴-+-=--- 0ab …a b a b +=-()()230,x x ∴--…()()230x x --…231x x -+-=C x 2664ax x ax ++--≥a (],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞8【解析】原不等式等价于①或②,由①得,或,设②式,即的解集为C ，则由题意有，，解得，故选：B 三．解答题17.（1） （2）18.（1）（2）19.（1）（2） （3）20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，为常数，函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；（3）当时，对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实数根．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】（1），当时，；当时，；当时,;（2）,2646x ax ax ----…2646x ax ax ---++…2x …2x -…2280x ax --…()22,C -⊂22(2)482480202a a a⎧-+----<∴⎨<⎩……11a -……(]{}[],3014-∞-⋃⋃，[]1,2{}|35x x <<4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-1,62⎛⎫⎪⎝⎭a b ()2f x x bx a =-+1a b =-x ()0f x ≥21a b =-()0f x =()2,1-b 1a b =-1x 2x R ∈12x x <()()12f x f x ≠x ()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦()12,xx 344,⎛-- ⎝()()211f x x bx b x b =-+-=-+()1x -2b =x R ∈2b >(][)11x ,b ,∈-∞⋃-+∞2b <(][)11x ,b ,∈-∞-⋃+∞()221f x x bx b =-+-9①因为,所以; ②因为,所以;③当时,,解得符合题意;④当时，解得符合题意；综上所述,实数的取值范围为;(3)证明:设,则,又函数在区间上为连续不断的一条曲线,由零点的判定定理可得在区间）内有一个实根.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．（1）若，，求和；（2）若满足且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数使得对任意都有()()21202010b f f ⎧-<<⎪⎪⎪∆≥⎨⎪->⎪>⎪⎩04b <-…()()210f f -<304b -<<34b =-235042x x +-=125,24x x ==-0b =210x -=121,1x x =-=b 344,⎛-- ⎝()()()()12123g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦()()()()()()11121212233g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()()()22121211233g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=--⎣⎦⎣⎦()()()()2121229g x g x f x f x ⎡⎤∴=--⎣⎦()()()()1212,0,f x f x g x g x ≠∴< ()g x ()12x ,x ()0g x =(12,x x (){}1234|,,,,,1,2,3,4i A x x x x x N i =αα=∈=A ()1234,,,x x x x α=()()12233441,,,T x x x x x x x x α=----2n ≥()()()1n n T T T -α=α()()1T T α=α()2,0,2,1α=()2,0,2,2β=()4T α()4T β()1234,,,x x x x α={}()0,11,2,3,4i x i ∈=()()21,1,1,1T α=αn ()()12341243,,,x x x x A x x x x α=∈≥≥≥10？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）、.（3）【解析】（1）由题意（2）由且同理,或1时,或1时，或1时，所以（1）等价于,则,,当,则为满足；当,则为满足,当,则为满足,当,则为满足,综上,的所有可能结果、.（3）存在正整数使且,理由如下:由,,则所以若所以若则()()0,0,0,0n T α=n ()()()()342222,0000T ,,,T ,,,β=β=()()1001,0110,,,,,,()()1100,0011,,,,,,{}*|6n n N n ∈且…()()2211,T ,,,α=()()()()230101,1111,T ,,,T ,,,α=α=()()40000,T ,,,α=()()()()22200,0202,T ,,,T ,,,β=β=()()()()342222,0000T ,,,T ,,,β=β=()()21111T ,,,α={}()011234,i x ,i ,,,∈=1223|1,x x x x ---=20x =1223131,x x x x x x ---=-=30x =2334241,x x x x x x ---=-=40x =3441131,x x x x x x ---=-=132411x x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩13x x ≠24x x ≠120,0x x ==α()0011,,,120,1x x ==α()0110,,,121,0x x ==α()1001,,,121,1x x ==α()1100,,,α()()1001,0110,,,,,,()()1100,0011,,,,,,n ()()0000n T ,,,α={}*|6n N n ∈…(123x ,x ,x α=)()41243x A x x x x ∈………()()12234314T x x ,x x ,x x ,x x α=----()()213224134242,2T x x x ,x x x x x ,x x α=+--+--1321342,2a x x x b x x x =+-=+-()()324242424,T x x a ,x x b x x b ,x x a α=--------2424,c x x a x x b =-----()()()()4500,,T c,,c,T c,c,c,c α=α=()()60000T ,,,α=11当时,恒成立,综上,所有取值为使成立.7n …()()0000n T ,,,α=n {}*|6n n N n ∈且…()()0000n T ,,,α=。
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角2．函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0A ω>>，若()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，()()0()2ππ-==-f f f ，则ω的值为（ ）A ．12B ．2C ．12或23D ．23或2 3．已知21tan tan 544παββ+=-=（），（），则tan 4πα+（）的值为（） A ．16B ．322C ．2213D ．13184．如图，函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．62B ．52C 1633D 8335．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2) (4)D ．(2)(3)6．在ABC 中，已知30A ∠=︒，3AB =，2BC =，则ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定7．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知22(2,2cos )222a sinαα=-，(cos ,)2b m α=，若对任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是 A ．713(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ B ．57(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ C ．5(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ D ．7(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ 9． 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．10．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A ．18B ．24C ．60D ．90二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
A B ，则实数 m 的取值范围是
．
9．已知关于 x 的不等式 x2 3kx k 2 k 0 的解集中含有 2，则实数 k 的取值范围
是
．
10．集合 M
x
xa x2 1
1有且仅有
2
个子集，则 a
的取值集合为
11．给出下列命题：①若
ab
0
，
a
b
，则
1 a
1 b
；②若
a
b
，
c
d
，则
a
试卷第 3页，共 3页
20．已知关于 x 的一元二次方程 kx2 23k 1 x 9k 1 0 ．
(1)若上述方程的两根都是正数，求实数 k 的取值范围； (2)若上述方程的两根恰有一个是正数，且 k 为整数，如果有直接写出实数 k 的取值，如 果不存在，说明理由．
21．已知集合 A x | x m 2 n 2,m,n Z
.
二、双空题
2．已知 x2 ax b 0 的解集是 2,3 ，则 a
，b
三、填空题
3．设
x
R
，则“
x2
5x
0
”是“
x x
3 2
0
”
充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）
的条件．（填写“充分不必要”，“必要不
4．若 A x a 1 x 2a 1 ， B x 2 x 5 ， A B ，则 a 的取值范围是
(1)若 m 5 ， p, q 有且只有一个为真命题，求实数 x 的取值范围；
(2)若 p 是 q的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.
19．设不等式 1 2x 1的解集为 M.
(1)求集合 M；
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)10月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题1．集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}可用列举法表示为．2．设集合，则集合A的子集的个数是．3．设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是．4．命题：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是．5．关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件是．6．设x，y∈R，则“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的条件．7．已知A＝{|a+1|，3，5}，B＝{2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，若A∩B＝{2，3}，则A∪B＝．8．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，则实数k的取值范围是．9．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是．10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，则称k是A的一个“孤立元”，已知S＝{1，2，3，4}，所有由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是．11．已知m∈R，集合A＝{x|m≤x≤3m﹣1}，若A∩Z恰有一个元素，则m的取值范围是．12．已知f（x）＝x|x|，若对任意x∈[a﹣2，a+2]，f（x+a）＜2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是．二、选择题13．若M、P都是全集U的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A．M∪P B．∁U（M∩P）C．∁U（M∪P）D．∁U M∪∁U P 14．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥0 15．有下列三个命题：①“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的必要非充分条件；②xy＜0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件；③已知m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分非必要条件；其中的真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2+a，若集合A＝{x∈N|f（x）＜0}中恰有一个元素，则实数a（）A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值C．既无最大值，也无最小值D．既有最大值，也有最小值三、解答题17．已知集合U＝{x|x＜9，x∈N*}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，求∁U A和∁U （A∩B）．18．若抛物线y＝x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围．19．已知a，b∈R，关于x的函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）＝x，x∈R}，B＝{x|f （f（x））＝x，x∈R}．（1）若A＝{a}，求a、b的值；（2）若a∈N，b＝0且A＝B，求集合A．20．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}可用列举法表示为{﹣1，0，1，2}．【分析】利用集合的表示方法求解．【解答】解：集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题．2．设集合，则集合A的子集的个数是8．【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．而集合的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．可得正确答案．【解答】解：由于∈N，则5﹣x必为6的正约数，∴5﹣x＝1，2，3，6，∴x＝4，3，2，﹣1；又x∈N，∴x＝4，3，2．故集合集合A＝{2，3，4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个．3．设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是{3，﹣3，0}．【分析】根据A∩B＝B，根据集合的性质，列方程即可求得x的值、【解答】解：A∩B＝B，则B⊆A，根据集合的性质，当9＝x2，解得：x＝3或﹣3，当x＝x2时，解得x＝1或0，根据集合的互异性可知，x≠1，故x＝0，3或﹣3．故答案为：{3，﹣3，0}．【点评】本题考查集合的运算，考查集合的性质，属于基础题．4．命题：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．【分析】逆否命题就是条件否定了当结论，结论否定了当条件，根据原命题，写出即可．【解答】解：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．故答案为：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．【点评】本题考查了四种命题中逆否命题的写法，属于基础题．5．关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件是k＜0．【分析】根据根的判别式和根与系数的关系求出m的范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根，∴，∴解得k＜0，∴“k＜0”方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件．故答案为：k＜0．【点评】此题考查了方程根与系数的关系，充分条件和必要条件的定义，属于基础题．6．设x，y∈R，则“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分不必要条件．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x|+|y|＜1能够推出|x|＜1且|y|＜1，故“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分条件，由|x|＜1且|y|＜1推不出|x|+|y|＜1，如|x|＝且|y|＝，则|x|+|y|＞1，故“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．7．已知A＝{|a+1|，3，5}，B＝{2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，若A∩B＝{2，3}，则A∪B＝{﹣5，2，3，5}．【分析】由题意推出|a+1|＝2，求出a的值，验证A∩B＝{2，3}，求出A，B，然后求出A∪B．【解答】解：由A∩B＝{2，3}可得，2∈A，∴|a+1|＝2，a＝1或a＝﹣3，当a＝1时，此时B中有相同元素，不符合题意，应舍去当a＝﹣3时，此时B＝{﹣5，3，2}，A＝{2，3，5}，A∩B＝{3，2}符合题意，所以a＝﹣3，A∪B＝{﹣5，2，3，5}．故答案为：{﹣5，2，3，5}．【点评】本题是中档题，考查集合的基本运算，集合中参数的取值问题的处理方法，考查计算能力．8．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，则实数k的取值范围是{k|k ≤1}．【分析】由集合的包含关系，A中所有元素都在B中，得到关于k的不等式，解出即可．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，∴2k﹣1≤k⇒k≤1；故答案为：{k|k≤1}．【点评】本题考查集合的关系问题，根据已知构造不等式是解答的关键．9．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【分析】由不等式ax2+bx+c＜0的解集求出a、b和c的关系，判断a＜0；代入不等式为cx2+bx+a＞0化简并求解集即可．【解答】解：不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），所以1和﹣3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0；即，解得b＝2a，c＝﹣3a；所以不等式为cx2+bx+a＞0可化为﹣3x2+2x+1＜0，即3x2﹣2x﹣1＞0，即（3x+1）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣或x＞1，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，则称k是A的一个“孤立元”，已知S＝{1，2，3，4}，所有由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是3．【分析】根据“孤立元”的定义知，由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是，拿S中两个元素构成的集合个数减去S中相邻的元素构成的集合的个数．【解答】解：S中相邻元素构成的集合为：{1，2}，{2，3}，{3，4}，共3个；S中两个元素构成的集合个数为：，∴由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是6﹣3＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了“孤立元”的定义，列举法的定义，组合数公式，考查了计算能力，属于基础题．11．已知m∈R，集合A＝{x|m≤x≤3m﹣1}，若A∩Z恰有一个元素，则m的取值范围是．【分析】先根据闭区间[m，3m﹣1]应满足①不空，②区间长度不超过2，求出，得到该区间包含的整数为1，2，3，再对这3个整数分类讨论即可求出m的取值范围．【解答】解：依题意，闭区间[m，3m﹣1]上恰有一个整数，则该区间应满足①不空，②区间长度不超过2，即，解得∴当有，∴该区间包含的整数为1，2，3，（1）当仅有1∈[m，3m﹣1]时，m≤1≤3m﹣1＜2，∴；（2）当仅有2∈[m，3m﹣1]时，m≤2≤3m﹣1＜3，∴，又∵m＝1时，区间[m，3m﹣1]＝[1，2]有两个整数，∴（3）当仅有3∈[m，3m﹣1]时，m≤3≤3m﹣1＜4，∴，与矛盾，故舍去，综上所述，m的取值范围是，故答案为：．【点评】本题主要考查了集合的元素个数问题，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平，是中档题．12．已知f（x）＝x|x|，若对任意x∈[a﹣2，a+2]，f（x+a）＜2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是a＜﹣．【分析】首先结合二次函数的单调性判断f（x）的单调性，可得原不等式等价为x+a＜x 在x∈[a﹣2，a+2]恒成立，由参数分离和一次函数的单调性，解不等式可得所求范围．【解答】解：f（x）＝x|x|＝，可得f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递增，且f（0）＝0，则f（x）在R上递增，由f（x+a）＜2f（x）可得f（x+a）＜f（）f（x）＝f（x），则x+a＜x在x∈[a﹣2，a+2]恒成立，即有a＜（﹣1）x在x∈[a﹣2，a+2]的最小值，可得a＜（﹣1）（a﹣2），解得a＜﹣，故答案为：a＜﹣．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，运用函数的单调性和参数分离，转化为求函数的最值是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、选择题13．若M、P都是全集U的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A．M∪P B．∁U（M∩P）C．∁U（M∪P）D．∁U M∪∁U P【分析】根据图象和集合之间的关系即可得到结论．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为既不属于集合A又不属于集合B的元素构成，所以用集合表示为∁U（M∪P）．故选：C．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．14．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥0【分析】A、令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；B、当c＝0时，显然不成立；C、当c＝0时，显然不成立；D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．【解答】解：A、当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3时，a+c＝﹣4，b﹣c＝1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c＝0时，ac＝bc，本选项不一定成立；C、c＝0时，＝0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．15．有下列三个命题：①“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的必要非充分条件；②xy＜0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件；③已知m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分非必要条件；其中的真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①由x+y≠4，与x≠1且y≠3，相互推不出，即可判断出真假．②根据xy≤0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件，即可判断出真假．③若m，n∈Z，m2+n2＜5，可得（m，n）为：（1，0），（2，0），（1，1），（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣1，1），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），共9组，即可判断出真假．【解答】解：①“x+y≠4”，推不出“x≠1且y≠3”，反之不成立，例如x＝5，y＝﹣1，则x+y＝4，因此“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的既不充分也不必要条件，因此①是假命题．②xy≤0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件，因此②是假命题；③若m，n∈Z，m2+n2＜5，则（m，n）为：（1，0），（2，0），（1，1），（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣1，1），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），共9组，都满足m+n≤2，反之不成立，例如：m＝3，n＝﹣1，∴m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分不必要条件，因此③是真命题．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2+a，若集合A＝{x∈N|f（x）＜0}中恰有一个元素，则实数a（）A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值C．既无最大值，也无最小值D．既有最大值，也有最小值【分析】由△＞0求出a＞2或a＜﹣2，再对a分两种情况讨论，利用零点存在定理即可求解．【解答】解：由题意可知，方程x2﹣（a+2）x+2+a＝0有两个不同的实根，∴△＝（a+2）2﹣4（2+a）＞0，解得a＞2或a＜﹣2，①当a＜﹣2时，∵f（0）＝2+a＜0，f（1）＝1＞0，∴必有f（﹣1）≥0，即1+a+2+2+a≥0，∴，又∵a＜﹣2，∴，②当a＞2时，a﹣2＞0，∴f（1）＝1＞0，f（2）＝2﹣a＜0，∴必有f（3）≥0，即9﹣3（a+2）+2+a≥0，∴a，又∵a＞2，∴，综上所述，实数a的取值范围为：[﹣，﹣2）∪（2，]，所以实数a的最大值为，最小值为﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了方程的零点，考查了一元二次不等式和零点存在定理，是中档题．三、解答题17．已知集合U＝{x|x＜9，x∈N*}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，求∁U A和∁U （A∩B）．【分析】化简集合U，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：集合U＝{x|x＜9，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，所以∁U A＝{4，5，6，8}；又A∩B＝{1，3}，所以∁U（A∩B）＝{2，4，5，6，7，8}．【点评】本题考查了集合的定义和运算问题，是基础题．18．若抛物线y＝x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围．【分析】设方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0的两根为x1，x2，根据题意可得，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：设方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0的两根为x1，x2，由题意可知，即，解得a＜﹣1或1＜a＜，∴实数a的取值范围为：．【点评】本题主要考查了二次函数根的分布问题，注意△的范围和韦达定理的应用，是基础题．19．已知a，b∈R，关于x的函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）＝x，x∈R}，B＝{x|f （f（x））＝x，x∈R}．（1）若A＝{a}，求a、b的值；（2）若a∈N，b＝0且A＝B，求集合A．【分析】（1）等价于x2+（a﹣1）x+b＝0有两个相等的实根a，利用△＝0和a2+（a﹣1）a+b＝0 即可求出a，b的值；（2）先化简两个集合的方程，由题意两方程同解，再对a分情况讨论求解．【解答】解：（1）由题意方程x2+ax+b＝x有两个相等的实根a，所以方程x2+（a﹣1）x+b＝0有两个相等的实根a，所以△＝（a﹣1）2﹣4b＝0且a2+（a﹣1）a+b＝0，解得a＝，b＝；（2）当b＝0时，f（x）＝x2+ax，关于集合A的方程f（x）＝x可化为x[x﹣（1﹣a）]＝0 （*），关于集合B的方程f（f（x））＝x可化为x4+2ax3+（a2+a）x2+（a2﹣1）x＝0，因式分解为x[x﹣（1﹣a）][x2+（a+1）x+（a+1）]＝0 （**），由条件A＝B可知，方程（*）和（**）同解，①当a＝0时，两方程为x（x﹣1）＝0和x（x﹣1）（x2+x+1）＝0，所以x＝0或1，所以A＝{0，1}；②当a＝1时，两方程为x2＝0和x2（x2+2x+2）＝0，所以x＝0，所以A＝{0}；③当a＝2时，两方程为x（x+1）＝0和x（x+1）（x2+3x+3）＝0，所以x＝0或﹣1，所以A＝{0，﹣1}；④当a＝3时，两方程为x（x+2）＝0和x（x+2）3＝0，所以x＝0或﹣2，所以A＝{0，﹣2}；⑤当a≥4时，方程（**）中x2+（a+1）x+a+1＝0，△＝（a+1）（a﹣3）＞0，有两个不同的解，此时方程（*）和（**）不同解，所以舍去；所以a＝0，A＝{0，1}；a＝1，A＝{0}；a＝2，A＝{0，﹣1}；a＝3，A＝{0，﹣2}．【点评】本题主要考查了集合相等的定义，考查解方程，意在学生对这些知识的理解掌握水平，是中档题．20．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．【分析】（1）分别求出s＝t＝1、s＝1，t＝3、s＝3，t＝1、s＝1，t＝5、s＝5，t＝1、s ＝3，t＝5、s＝5，t＝3、s＝t＝3、s＝t＝5时，s2+3t2的值，由此能求出集合A．（2）由U＝Z，x∈A，求出x＝s2+3t2，从而推导出7x＝7（s2+3t2）＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2，由此能证明7x∈A．（3）求出xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，推导出，设，得11b2+2bt+12﹣t2＝0，利用判别式法，能求出x+y+mq+np的最小值．【解答】解：（1）解：∵U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．U＝{1，3，5}，∴当s＝t＝1时，s2+3t2＝1+3＝4，当s＝1，t＝3时，s2+3t2＝1+27＝28，当s＝3，t＝1时，s2+3t2＝9+3＝12，当s＝1，t＝5时，s2+3t2＝1+75＝76，当s＝5，t＝1时，s2+3t2＝25+3＝28，当s＝3，t＝5时，s2+3t2＝9+75＝84，当s＝5，t＝3时，s2+3t2＝25+27＝52，当s＝t＝3时，s2+3t2＝9+27＝36，当s＝t＝5时，s2+3t2＝25+75＝100，∴A＝{4，12，28，36，52，76，84，100}，8个．（2）证明：∵U＝Z，x∈A，∴x＝s2+3t2，∴7x＝7（s2+3t2）＝7s2+21t2＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2∈A．∴7x∈A．（3）解：xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+（mp﹣3nq）2＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，∴，，设，整理得11b2+2bt+12﹣t2＝0，判别式法，△＝4b2﹣44（12﹣t2）≥0，得，即．∴x+y+mq+np的最小值为．【点评】本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)
（1）若集合 满足 ， ，求实数 的值；
（2）已知集合 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的集合： ， .其中 是有序数对，集合 和 中的元素个数分别为 和 .若对于任意的 ，总有 ，则称集合 具有性质 .
①请检验集合 与 是否具有性质 ，并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合 和集合 ；
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合 ，再根据 列不等式组即可求解；
（2）求出方程 的两根分别为 ，讨论 ， ， 时集合 ，结合 ，即可求解.
【详解】（1） ，
，
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
所以实数 的取值范围为： ；
（2）由 可得： ，
当 时， ，此时 ，而 ，
若 ，则 ，
当 时， ，不等式 解集为 ，此时满足 ，
故选：D.
4. “对任意 ，都有 ”的否定形式为（）
A.对任意 ，都有
B.不存在 ，都有
C.存在 ，使得
D.存在 ，使得
【答案】D
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题，据此得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
则“对任意 ，都有 ”的否定形式为：存在 ，使得 .
故选：D.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.
【解析】
【分析】设 ，利用待定系数法求出 的值，再由不等式的性质计算 和 的范围，即可得 的范围，再两边同时除以 即可求解.
【详解】由 可得： ，
令 ，整理可得： ，
所以 ，解得： ，
所以 ，
将 两边同时乘以 ，可得 ，①
将 两边同时乘以 ，可得 ，②
两式相加可得：
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。