排队论简介

fT(t)

t
t
t
T：元件寿命。元件已使用t 小时的条件下，一共能用 t t 的概率＝从开始算起至少能用 t 的概率。即元件对于已使用 t 小时没有记忆。（无记忆性）
指数分布性质2
无后效性
P(T t t / T t ) P(T t )
P(T t t / T t ) P(T t t and T t ) P(T t ) P(T t t ) e (t t ) et et ( t ) t et P(T t ) P(T t ) e e
一、随机变量与概率分布
1 2 2 连续型随机变量 a ( x) e x , e x 0 密度函数 密度函数 a( x) 2 ( 0) 概率密度函数 x R, 0 ( x R , 0) , 0 概率分布函数 2 2 E ( X ) , D ( X ) E ( X ) 1 / , D( X ) 1 / 数学期望和方差 2 X ~ N ( , )
例如
这些随机变量都有如下特点： 一放射性源放射出的 粒子数； 都取正整数，且与时间间隔长度关； 取值概率只与时间间隔的长度有关， 某电话交换台收到的电话呼叫数； 而与从哪个时刻开始算起没有关系； 到某机场降落的飞机数 ; 在互不相交的时间间隔内，彼此没有 影响。

一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二项分布与泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
泊松定理：
pn ，则有 设 是一个正整数， n

lim C p (1 pn )
n k n k n
n k
泊松分布产生的一般条件
在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.
下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
平稳性:
在任意时间区间内[t, t+t) ，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度t，而与区间起点t无关.

随机变量X为时间(长度），如产品的尺寸、 随机变量X为时间间隔，如顾客到达的 重量、测量误差等。 时间间隔、电话呼叫的时间、产品的寿命等。 随机变量 ( x )2
常见连续型随机变量的概率分布
均匀分布 指数分布？ 正态分布？ k阶爱尔朗分布？

指数分布
随机变量 T
均值 方差
E (T )
EN (t ) t , DN (t ) t
N (t ) 服从参数为 t的Piosson分布
(t ) n t P{N (t ) n} e n!
n 1,2,...
Poisson过程与负指数分布 t) 定理2：设 N (为时间 内到达系统的顾客数 0 ,t 则 {N (t为参数为 ), t 0} 的Poisson 过程的
e


k
k!
, k 0,1,2,,
由此可知 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{X k}

k
k!
e

,
k 0,1,2,...
Poisson分布可以作为大量试验中稀有事件 出现的频数的概率分布数学模型。 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
1

2
密度函数
1 Var(T )
αe αt fT (t ) 0
分布函数
for t 0 for t 0
fT(t)

P(T t) 1 eFra bibliotekαtE (T ) 1

t
指数分布性质1
fT(t) 是一个严格下降函数
P (0 T t ) P (t T t t )
无后效性:
在不相交的时间区间内，事件的发生是相互独立的，前 一区间内发生的事件数不影响到后面区间事件的发生数的 概率.
普通性:
在足够短的时间内，事件出现两次或两次以上的概率 可忽略不计.
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 λ t 的 泊松分布 . λ 称为泊松流的强度.
取值概率只与时间间隔的长度有关，而与从那个时刻开 始算起没有关系；不管多长时间(t)已经过去， 逗留时 间的概率分布与下一个事件的相同.
Poisson过程与Poisson分布
t) 定理1：设 N (为时间 内到达系统的顾客数 0 ,t 则 {N (t为 ), tPoisson 0} 过程的充要条件是
充要条件是相继到达的时间间隔T服从相互 独立的参数为 的负指数分布。
e t , t 0 aT (t ) 0 , t 0
X n：第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔；
Xn
数学期望和方差 常见离散型随机变量的概率分布

二点分布? 二项式分布? Poisson分布?

泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) e


k
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为 λ的 泊松分布,记作X~P(λ ).
一、概率论回顾
P( X 1) p, P( k X 0) 1 p 1.1、随机变量与概率分布 k k nke P ( X k ) P( X k ) Cn p q 随机变量 k! , (k 0,1,, n) k 0,1, ; 0 离散型随机变量 E ( X ) , D( X ) 概率分布和概率分布图