高二数学直线与方程精选50题
直线与方程精选50题
1、求过点
()5,3，倾斜角等于直线13+=x y 的倾斜角的一半的直线方程.★
2、已知直线l 的倾斜角为α，5
3sin =
α，且这条直线经过点()5,3P ，求直线l 的一般式方程.★
3、已知矩形OACB 的顶点的坐标分别为()()()5,00,80,0B A O 、、，求该矩形的对角线所在直线方程.
4、已知直线0632=+-y x ，这条直线的点方向式可以是________________★
5、求过点P 且平行于直线0l 的一般式方程：
（1）()04:,1,20=+x l P ★
（2）()07
143:,2,10=++y x l P
6、求过点P 且垂直于直线1l 的直线的一般式方程：
（1）()03:,1,21=-y l P
（2）4
231:),1,2(1+=---y x l P ★
7、求满足下列条件的直线方程
（1）直线l 经过()()7,3,0,2B A 两点★
（2）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 平行★
（3）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 垂直★
8、已知直线()0816:1=--+y t x l 与直线()()01664:2=-+++y t x t l
（1）当t 为何值时，21l l 与相交？
（2）当t 为何值时，21l l 与平行？
（3）当t 为何值时，21l l 与重合？
（4）当t 为何值时，21l l 与垂直？★
9、已知直线08:1=++n y mx l 与直线012:2=-+my x l .当直线1l 与直线2l 分别满足下列条件时，求实数m 、n 的值
（1）直线1l 与直线2l 平行；
（2）直线1l 与直线2l 垂直，且直线1l 在y 轴上的截距为1-..★
10、根据下列条件，写出满足条件的直线的一般式方程.★
（1）经过直线012=+-y x 与直线0122=-+y x 的交点，且与直线05=-y x 垂直.
（2）经过直线01=+-y x 与直线022=+-y x 的交点，且与直线1243=+y x 平行.
11、已知直线2:1++=k kx y l 与直线42:2+-=x y l 的交点在第一象限，求实数k 的范围.★
12、已知集合(){}R y x y x y x A ∈=--=、,01|,,集合
(){}R y x y ax y x B ∈=+-=、,02|,,且φ=⋂B A ，求实数a 的值.
13、是否存在实数a ，使直线()()0121:1=--+-y a x a l 与直线()03326:2=--+y a x l 平行？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.★
14、求过点()3,2P 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程★
15、若坐标原点O 在直线l 的射影H 的坐标为()2,4-，求直线l 的方程★
16、已知平面内三点()()()2,14,33,1---C B A 、、，点P 满足BC BP 2
3=，则直线AP 的方程是
17、已知()()4,1,1,3--B A ，则线段AB 的垂直平分线方程是★
18、已知三点()()()a C B a A 2,4,1,5,2,-共线，则实数a 的值是___________________
19、不论m 取何实数，直线()()()01131=--+--m y m x m 恒过什么象限？
20、分别写出下列直线的一个方向向量d 和一个法向量n ★
（1）0543=-+y x
（2）15
2=+y x （3）()54
13+-=-x y （4）1=x
（5）01=+y
21、已知0,0<<bc ac ，则直线0:=++a cy bx l 不通过_______________象限
22、直线l 的倾斜角的正弦值为
5
4，则其斜率为______________★ 23、过()()a B a a A 2,3,1,1+-的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围★
24、直线l 的斜率k 满足13<≤-k ，求其倾斜角的取值范围★
25、直线l 的倾斜角是()()2,6,1,2--B A 两点连线的倾斜角的两倍，求直线l 的倾斜角的大小
26、直线l 过点()2,1且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的方程★
27、求直线()R y x ∈=-+αα010cos 的倾斜角的取值范围
28、直线()()039372:222=+-++-a y a x a a l 的倾斜角大小是4
π，求实数=a __________★
29、方程x k y =与方程()0>+=k k x y 的曲线有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是____________________
30、过点()()3,0,0,4B A 的直线的倾斜角大小是________________★
31、将直线033=++y x 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转︒30后，所得的直线方程是★
32、将直线0943=+-y x 绕其与x 轴的交点逆时针旋转︒90后得到直线l ，求直线l 的方程★
33、ABC ∆的一个顶点()4,3B ，AB 边上的高CH 所在直线方程是01632=-+y x ，BC 边上的中线AM 所在的直线方程是0132=+-y x ，求边AC 所在直线方程.
34、已知直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率k 和倾斜角α★
35、过点()4,5-P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5个面积单位，求直线l 的方程★
36、直线()()01213:=----y a x a l （其中a 为实数）★
（1）求证：不论a 取何值，直线l 恒过定点；
（2）已知直线l 不通过第二象限，求实数a 的取值范围
37、已知()()2211,,,y x B y x A 为直线()0≠+=k b kx y 上的两点
（1）求证：2121x x k AB -+=；
（2）根据（1）的形式特征，用21,,y y k 表示AB
38、已知ABC ∆中，顶点()7,2-A ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0113=++y x ，AB 边上中线CM 所在的直线方程072=++y x ，求ABC ∆三边所在直线方程
39、从点()2,5A 发出的光线经过x 轴反射后，反射光线经过点()3,1-B ，求发射光线所在直线与x 轴的夹角大小★
40、求经过0332:01:21=++=++y x l y x l 和的交点且与直线0523=-+y x 的夹角为4
π的直线方程★
'
41、已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点是()2,4，直角边AC 所在的直线方程是02=-y x ，求斜边AB 和直角边BC 所在直线的方程
42、光线沿直线052=+-y x 的方向入射到直线0723=+-y x 后反射出去，求反射光线所在的直线方程
43、已知()()8,4,3,2-B A 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程★
44、已知平行直线21l l 与的距离为5，且直线1l 经过原点，直线2l 经过点()3,1，求直线1l 和直线2l 的方程★
45、已知直线l 过点()1,0P ，且被平行直线0243:0843:21=++=-+y x l y x l 与所截得的线段的长为22，求直线l 的方程
46、求与直线032012=+-=+-y x y x 和距离相等的点的轨迹。
(完整版)直线与方程练习题及答案详解
直线与方程练习题及答案详解一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
高二数学直线方程试题
高二数学直线方程试题1.与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 ( )A．2条B．3条C．4条D．6条【答案】C【解析】与两坐标轴截距相等的直线有两种：,利用点到直线的距离公式，可求得,即有四条直线，故C.【考点】（1）圆的切线的性质；（2）点到直线的距离.2.已知直线经过点.（1）若直线的方向向量为，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求此时直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由直线的方向向量可得直线的斜率，根据点斜式可得直线方程。
（2）注意讨论截距是否为0，当截距均为0时，直线过原点，设直线方程为，将点代入即可求得，当截距不为0时可设直线为，同样将点代入即可求得。
（1）由的方向向量为，得斜率为，所以直线的方程为：（6分）（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.【考点】1直线的方向向量；2直线方程的点斜式和截距式。
3.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.【考点】直线和圆的方程的应用．4.直线和坐标轴所围成的三角形的面积是A．2B．5C．7D．10【答案】B【解析】直线和坐标轴的交点分别为和，三角形的面积，故B正确.【考点】直线的方程及应用.5.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．试题解析：(1)直线,则,直线AC的方程为, 2分由所以点C的坐标．. 4分(2),所以直线BC的方程为, 5分,即．. 7分, 8分点B到直线AC:的距离为. 9分则．. 10分【考点】点到直线的距离、直线方程.6.圆:+=1,圆与圆关于直线对称,则圆的标准方程为 .【答案】+=1【解析】设（-1,1）关于直线的对称点为，则，解得（2，-2），所以圆的标准方程为+=1.【考点】1、求点关于直线的对称点；2、圆的标准方程.7.已知直线经过两点（2，1），（6，3）（1）求直线的方程（2）圆C的圆心在直线上，并且与轴相切于点（2，0）, 求圆C的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）由直线的两点式方程可直接得出，或者先由两点求其斜率，再用直线的点斜式方程；（2）求圆的方程，只需确定其圆心和半径，由题意可知，圆心横坐标是2，代入直线方程求其纵坐标，从而圆心确定，因为圆C与轴相切，所以半径就是圆心的纵坐标的绝对值，从而圆的方程确定.试题解析：（1）由题可知：直线l经过点(2, 1), (6, 3)，由两点式可得直线l的方程为：整理得： 5分（2）依题意：设圆C的方程为：其圆心为,∵圆心C在上，∴2－2·＝0，∴k＝－1,∴圆C的方程为即 12分【考点】1、直线的方程；2、圆的方程.8.过点（1，0）且与直线平行的直线方程是【答案】x-2y-1=0【解析】因为，过点（1，0）且与直线平行，所以，设直线方程为，将点（1，0）代入得，d=-1，故所求直线方程为x-2y-1=0。
高中数学直线与方程精选题目（附答案）
高中数学直线与方程精选题目（附答案）高中数学直线与方程精选题目（附答案）1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)，∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1. 设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3mC ．3D ．3m解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.5．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )解析：选B 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距同正负． 6．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( ) A ．无最小值且无最大值 B ．无最小值但有最大值 C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值解析：选D 线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝41－x 3(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x 1－x 3＝－43x －322＋3，显然当x ＝32∈[0,3]时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy 取最小值0.7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A 由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0. 8．若动点A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，故其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2.9．直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：选B 因为直线y ＝2x －3的斜率为2，所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0)，故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3)，选 B.10．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知?k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得 x ＝2，y ＝0或x ＝4，y ＝6.12．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.13．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：114．若x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，则k ＝________. 解析：∵直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，解方程组 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得x ＝－1，y ＝－2，∴直线x ＋ky ＝0过点(－1，－2)，解得k ＝－12.答案：－1215．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<1.<="" p="">答案：(－2,1)16．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝017．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设A ′(a ，b )，则b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．18．(本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为 D.由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5. 由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0，所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)，所以点P 的坐标为(7,0)．19．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 恒过一个定点．(2)当－3<="" 的取值范围．="" 解：(1)证明：由y="" 轴上方，求实数k="" ＋1，得y="" ＋2)．="" ＋2k="" －1＝k="" ＝kx="">(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图)．若当－3<="">f (－3)≥0，f (3)≥0.即－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是－15，1. 20．(本小题满分12分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3.(2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ；②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2，由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.21．(本小题满分12分)直线过点P43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P 43，2，∴43a ＋2b ＝1，联立，得a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b＝1，解得?a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.22．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为 y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线.。
直线与方程练习题高二
直线与方程练习题高二直线与方程是高二数学中的重要内容，掌握直线与方程的相关知识对于解决各种问题具有重要作用。
下面是一些直线与方程的练习题，帮助你巩固相关知识点。
题目一：已知直线L1过点A(-1, 3)和点B(5, -1)，直线L2垂直于直线L1且过点B，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - 3)/(5 - (-1)) = -1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/-1 = 1直线L2通过点B(5, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = 1*5 + bb = -6所以直线L2的方程为：y = x - 6题目二：已知直线L1过点C(2, 3)和点D(4, 7)，直线L2平行于直线L1且通过点D，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (7 - 3)/(4 - 2) = 2直线L2为平行于直线L1，故斜率也为2，直线L2通过点D(4, 7)，带入直线方程y = mx + b中，可得：7 = 2*4 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = 2x - 1题目三：已知直线L1经过点E(2, -1)和点F(6, 5)，直线L2与直线L1垂直且过点E，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (5 - (-1))/(6 - 2) = 1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/1 = -1直线L2通过点E(2, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = -2 + bb = 1所以直线L2的方程为：y = -x + 1题目四：已知直线L1经过点G(3, 2)和点H(7, 6)，直线L2与直线L1平行且通过点H，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (6 - 2)/(7 - 3) = 1直线L2为平行于直线L1，故斜率也为1，直线L2通过点H(7, 6)，带入直线方程y = mx + b中，可得：6 =7 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = x - 1通过以上练习题，可以看出掌握直线与方程的相关知识对于解题非常关键。
高中数学《直线与直线方程》练习题
高中数学《直线与直线方程》练习题A 组——基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－CB >0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D. 答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4] B ．[3π4，π) C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)． 答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ. 因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．4x ＋3y ＋6＝0 C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C. 答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4 B ．π2<α<π C.π4≤α<π2D ．π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0B ．2 C.2 D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B.答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________． 解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2. 答案：1或－214．(2018·武汉市模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，m ＝0. 答案：015．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，求b 的取值范围． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．B 组——能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B ．π6 C.π4D ．3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D. 答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A. 答案：A4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1－22，12) C ．(1－22，13]D ．[13，12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a >0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－b a ，0)，结合图形(图略)知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a >0，∴b 21－2b >0，解得b <12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b＝1－22，故选B. 答案：B5．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －4＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A. 答案：A7．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：D8．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( )A.103 B ．－103 C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1＝1013，故选C. 答案：C9．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．16解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数， ∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋22n m ·2m n ＝9.当且仅当2n m ＝2mn 时取等号．故选B. 答案：B10．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)11．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝012．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5.答案：513．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图象的一条对称轴，求直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角． 解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.高中语文《椭圆》练习题 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B.答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B ．x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B ．55 C.14D ．5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12. 答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12 B ．22 C ．1D ． 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2，∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以2k >2，解得0<k <1. 答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3. 答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ， 代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ， ∴a 2－c 2＝36ac .∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0.直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →. (1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47， 可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22)D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点， F 1，F 2是该椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a 2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， 解得e >2－1，又e <1，∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值． 解析：(1)因为e ＝32＝c a ， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．。
高中直线与方程练习题及答案详解
高中直线与方程练习题及答案详解1.高中直线与方程练题及答案详解一、选择题1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A．a+b=√2/2B．a-b=√2/2C．a+b=0D．a-b=02.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y-1=0B．2x+y-5=0C．x+2y-5=0D．x-2y+7=03.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）A．-8B．2C．10D．无法确定4.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°,1B．135°,-1C．90°，不存在D．180°，不存在6.若方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．m≠1B．m≠-1/2C．m≠1/2D．m≠0二、填空题1.点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是√2/2.2.已知直线.3.若原点在直线l上的射影为(2,-1)，则l的方程为2x-y=0.4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，则x+y的最小值是4.5.直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为y=-3x。
三、解答题1.已知直线Ax+By+C=0。
1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；当C=0时，方程变为Ax+By=0，解得y=-A/B*x，即过原点且斜率为-A/B的直线。
2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；当A≠0且B≠0时，直线与x轴和y轴都相交。
3）系数满足什么条件时只与x轴相交；当B=0且A≠0时，直线只与x轴相交。
4）系数满足什么条件时是x轴；当A=0且B≠0且C=0时，直线是x轴。
高二直线方程练习题
高二直线方程练习题1. 梯度法直线的梯度是指直线在坐标系中上升或下降的程度，即直线的斜率。
求直线的梯度需要知道直线上两个点的坐标，并使用斜率公式来计算。
下面以两个点A(x1, y1)，B(x2, y2)为例，来求直线AB的梯度：斜率公式：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 截距法直线的截距是指直线与坐标轴的交点在坐标轴上的坐标值。
通过截距可以直接求出直线的方程。
下面以直线与x轴和y轴的截距分别为a和b的情况为例，来求直线的方程：与x轴的交点为(x, 0)，而与y轴的交点为(0, y)。
直线与x轴的截距为a，即x = a，对应的点为(a, 0)。
直线与y轴的截距为b，即y = b，对应的点为(0, b)。
直线的方程为：y = mx + c，其中m为斜率，c为常数，代入直线与x轴交点的坐标可以得到c的值。
3. 向量法直线还可以用向量来表示，通过向量法可以更直观地求出直线的方程。
定义两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)。
直线上的任意一点P(x, y)，则向量PA为A到P的向量，向量PB为B到P的向量。
如果向量PA与向量PB共线（即方向相同或相反），则直线上的点P满足以下向量方程：PB = k * PA，其中k为一个实数。
将向量的坐标形式代入上述向量方程，得到直线的方程。
4. 解析法解析法是利用数学中的线性方程求解的方法，具体包括点斜式、两点式、一般式等。
（1）点斜式直线通过一点A(x1, y1)，且斜率为m，则直线的方程为：y - y1 =m(x - x1)（2）两点式直线通过两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的方程为：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)（3）一般式直线的一般式方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
通过梯度法、截距法、向量法或解析法，我们可以根据问题的具体要求和给定的条件求解直线的方程。
高中数学-直线与方程_练习测试题
高中数学-直线与方程测试练习题1. 直线y=−2x+1在y轴上的截距是（）A.0B.1C.−1D.122. 直线2x+y+1=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A.k=2，b=1B.k=−2，b=−1C.k=−2，b=1D.k=2，b=−13. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1:x−2y+1=0和l2:3x−y−2=0，此四边形两条对角线的交点是(2, 3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是（）A.2x−y+7=0和x−3y−4=0 B.x−2y+7=0和3x−y−4=0C.x−2y+7=0和x−3y−4=0D.2x−y+7=0和3x−y−4=04. 若ab<0，则直线xa +yb=1的倾斜角为（）A.arctg(ba ) B.π−arctg(ba) C.−arctg(ba) D.π+arctg(ba)5. 直线：，，所得到的不同直线条数是（）A.22B.23C.24D.256. 设a<0，两直线x−a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0垂直，则ab的最大值为（）A.−2B.−1C.1D.27. 已知点A(2, 0)，B(−1, 1)到直线l的距离分别为1和2，则满足条件的直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条8. 设椭圆x24+y23=1的长轴端点为M、N，不同于M、N的点P在此椭圆上，那么PM、PN的斜率之积为( )A.−34B.−43C.34D.439. 过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有（）条．A.1B.2C.3D.410. 已知两点A(−2, 0)，B(0, 4)，则线段AB的垂直平分线方程是（）A.2x+y=0B.2x−y+4=0C.x+2y−3=0D.x−2y+5=011. 过点A(3, 2)、B(−1, 4)直线l的斜率k是________．12. 已知三角形的三个顶点是O(0,0)，A(4,3)，B(2,−1)，则此三角形AB边上的中线所在直线的方程为________.13. 经过原点且经过直线I1:3x+4y−2=0，I2:2x+y+2=0交点的直线方程是________．14. 已知直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(1, +∞)时，S(λ)的最小值是________．15. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg(sin B)=lg(sin A)+lg(sin C)，则两条直线l1:x sin A+y sin B=a与l2:x sin B+y sin C=c的位置关系是________．16. 已知直线l1:ax+2y+6=0，直线l2:x+(a−1)y+a2−1=0．当a________时，l1与l2相交；当a________时，l1⊥l2；当a________时，l1与l2重合；当a________时，l1 // l2．17. 已知圆O:x2+y2＝1和点A(−2, 0)，若定点B(b, 0)(b≠−2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：(Ⅰ)b＝________−1；2(Ⅱ)λ＝________1．218. 设点，若直线与线段有一个公共点，则的最小值为________．19. 直线x−y−4=0上有一点P，它与A( 4, −1 )，B( 3, 4 )两点的距离之差最大，则P 点坐标为________．20. 两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是________．21. 已知两直线l1：ax−by+4=0，l2：(a−1)x+y+b=0. 求分别满足下列条件的a，b的值.(1)直线l1过点(−3, −1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等.22. 已知直线l的倾斜角为30∘，（结果化成一般式）(1)若直线l过点P(3, −4)，求直线l的方程．(2)若直线l在x轴上截距为−2，求直线l的方程．(3)若直线l在y轴上截距为3，求直线l的方程．23. 过点M(2, 4)作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．24. 已知直线l经过点P(1, 2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若A(1，−1)，B(3，1)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交25. 已知O为坐标原点，直线l的斜率为−34于B，三角形AOB面积等于6．（1）求直线l的方程．（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．参考答案与试题解析高中数学-直线与方程测试练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】确定直线位置的几何要素【解析】根据截距的定义，令x=0即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=1，即直线y=−2x+1在y轴上的截距是1，故选：B2.【答案】B【考点】直线的斜截式方程【解析】要求直线与x轴的截距就要令x=0求出y的值，要求直线与y轴的截距就要令y=0求出x的值即可．【解答】解：由直线方程2x+y+1=0，即y=−2x−1，故斜率为k=−2，截距为b=−1.故选B.3.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】直接利用两直线平行的条件，斜率相等，得出答案．【解答】解：l1的对边与l1平行应为x−2y+c=0形式排除A、D；l2对边也与l2平行，应为3x−y+c1=0形式排除C，故选B．4.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】根据题意，求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小．解：直线xa +yb=1转化成y=−bax+ab直线斜率为−ba ，即直线倾斜角的正切值等于−ba，又倾斜角大于或等于0小于π，故倾斜角为−arctg(ba)，故选C．5.【答案】B【考点】直线的倾斜角直线的两点式方程直线的截距式方程【解析】ry】根据排列知识求解，关键要减去重复的直线．【解答】当m,n相等时，有1种情况；当mn不相等时，有A12=6×5=30种情况，但1 2=24=36,21=42=63,23=46,13=26．重复了8条直线，因此共有1+30−8=23条直线故选B．6.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】由直线x−a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0互相垂直，结合两直线垂直，两斜率积为−1，我们易得到a，b的关系，结合基本不等式即可求出ab的范围．【解答】解：∵直线x−a2y+1=0与直线(a2+1)x+by+3=0互相垂直∴1a2×(−a2+1b)=−1∴b=a2+1a2∵a<0ab=a⋅a2+1a2=a+1a=−[−a+(−1a)]≤−2∴ab的最大值是−2．故选：A．7.【答案】D点到直线的距离公式确定直线位置的几何要素【解析】由已知得直线l与圆A：(x−2)2+y2=1相切，且直线l与圆B：(x+1)2+(y−1)2= 4相切，即直线l是圆A与圆B的公切线，由圆心距离d=|AB|=√(2+1)2+(0−1)2=√10>1+2=3，得两圆相离，从而求出满足条件的直线l有4条．【解答】解：点A(2, 0)到直线l的距离为1，则直线l是以A为圆心，1为半径的圆的切线，即直线l与圆A：(x−2)2+y2=1相切，点B(−1, 1)到直线l的距离为2，则直线l是以B为圆心，2为半径的圆的切线，即直线l与圆B：(x+1)2+(y−1)2=4相切，∴直线l是圆A与圆B的公切线，圆心距离d=|AB|=√(2+1)2+(0−1)2=√10>1+2=3，∴两圆相离，∴满足条件的直线l有4条．故选：D．8.【答案】A【考点】直线的斜率【解析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为(2cos w, √3sin w)，进而表示出PM、PN 的斜率，二者相乘整理可求得答案．【解答】解：依题意可知M(2, 0)，N(−2, 0)，P是椭圆上任意一点，设坐标为P(2cos w, √3sin w)，PM、PN的斜率分别是K1=√3sin w2(cos w−1)，K2=√3b sin w 2(cos w+1)于是K1×K2=√3sin w2(cos w−1)⋅√3b sin w2(cos w+1)=34×sin2wcos2w−1=−3 4故选A．9.【答案】 C【考点】直线的截距式方程 【解析】设直线的斜率为k ，则有直线的方程为y −3=k(x +2)，由直线过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12求出k 的值有3个，从而得出结论． 【解答】解：过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ，则有直线的方程为y −3=k(x +2)，即kx −y +2k +3=0，它与坐标轴的交点分别为M(0, 2k +3)、N(−2−3k , 0)． 再由12=12OM ⋅ON =12|2k +3|×|−2−3k|，可得|4k +9k+12|=24，4k +9k+12=24，或4k +9k +12=−24． 解得k =32，或 k =−9−6√22或 k =−9+6√22， 故满足条件的直线有3条， 故选C ． 10. 【答案】 C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 中点坐标公式两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】求出AB 的中点坐标，直线AB 的斜率，然后求出AB 垂线的斜率，利用点斜式方程求出线段AB 的垂直平分线方程． 【解答】解：两点A(−2, 0)，B(0, 4)，它的中点坐标为：(−1, 2)， 直线AB 的斜率为：4−00+2=2，AB 垂线的斜率为：−12， 线段AB 的垂直平分线方程是：y −2=−12(x +1)，即：x +2y −3=0． 故选C .二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11. 【答案】 −12【考点】斜率的计算公式根据题意，由直线l 过点A 、B 的坐标，代入直线斜率的公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 过点A(3, 2)、B(−1, 4)， 则其斜率k =4−2−1−3=−12；故答案为：−12． 12.【答案】 x −3y =0 【考点】 中点坐标公式 直线的两点式方程【解析】因为AB 边上的中线所在直线经过点O 与AB 的中点，所以先求出AB 的中点坐标，写出直线方程，化成一般式即可． 【解答】解：∵ A (4,3)，B (2,−1)， ∴ AB 的中点坐标为C(4+22,3−12)，即C(3,1). 又O(0,0)，∴ 直线OC 方程为y =13x ，即x −3y =0，∴ 此三角形AB 边上的中线所在直线的方程为x −3y =0. 故答案为：x −3y =0. 13.【答案】 y =−x 【考点】两条直线的交点坐标 【解析】联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得交点(−2, 2)，再利用点斜式即可得出．【解答】解：联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得{x =−2y =2．∴ 交点(−2, 2)．∴ 要求的直线斜率k =2−2=−1． ∴ 要求的直线方程为y =−x ．14. 【答案】 8直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】求出直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点A、B的坐标，计算△AOB的面积，求出最小值即可．【解答】直线2x+y+2+λ(2−y)＝0中，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝−λ−1，所以直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点为A(−λ−1, 0)，B(0，），其中λ∈(1, +∞)，所以△AOB的面积为S(λ)＝×|−λ−1|×||＝＝λ−1+ +4≥2×+4＝8，当且仅当λ−1＝，即λ＝3时取等号．所以S(λ)的最小值是8．15.【答案】平行或重合【考点】直线的一般式方程【解析】由对数的运算性质可知sin2B=sin A⋅sin C，再利用比例关系sin Asin B =sin Bsin C≠ac即可判断两直线的位置关系．【解答】解：依题意，sin2B=sin A⋅sin C，∴sin Asin B =sin Bsin C，即两直线方程中x的系数之比与y的系数之比相等，∴两条直线l1:x sin A+y sin B=a与l2:x sin B+y sin C=c平行或重合．故答案为：平行或重合．16.【答案】a≠−1且a≠2,=23,a=2,a=−1【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系【解析】由a(a−1)−2×1=0可解得a=−1或a=2，验证可得两直线平行，重合，相交的条件，由a ×1+2(a −1)=0可解得垂直的条件． 【解答】解：由a(a −1)−2×1=0可解得a =−1或a =2，当a =−1时，l 1:−x +2y +6=0，l 2:x +2y =0，显然l 1 // l 2． 当a =2时，l 1:x +y +3=0，l 2:x +y +3=0，显然l 1与l 2重合， ∴ 当a ≠−1且a ≠2时，l 1与l 2相交，由a ×1+2(a −1)=0可解得a =23，此时l 1⊥l 2； 故答案为：a ≠−1且a ≠2；=23；a =2；a =−1 17. 【答案】 ,【考点】 三点共线 【解析】(Ⅰ)利用|MB|＝λ|MA|，可得(x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得b ；(Ⅱ)取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得λ． 【解答】解法一：设点M(cos θ, sin θ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cos θ−b)2+sin 2θ＝λ2[(cos θ+2)2+sin 2θ]，即−2b cos θ+b 2+1＝4λ2cos θ+5λ2对任意θ都成立，所以{−2b =4λ2b 2+1=5λ2．又由|MB|＝λ|MA|得λ>0，且b ≠−2，解得{b =−12λ=12．解法二：(Ⅰ)设M(x, y)，则 ∵ |MB|＝λ|MA|，∴ (x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入可得(1−b)2＝λ2(1+2)2，(−1−b)2＝λ2(−1+2)2，∴ b =−12，λ=12．（2）由(Ⅰ)知λ=12．18. 【答案】15【考点】待定系数法求直线方程 点到直线的距离公式 【解析】 tb +P试题分析：一…直线ax+b=1与线段AB有一个公共点，2)…点A(1,0),B(2,1)在直线ax+by=1的两侧，(a−1)(2a+b−1)≤0即a−1≤0,2a+b−1≥0或a−1≥0,2a+b−1≤0画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y−1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，d=|−1|√4+1那么a2+b2的最小值为：d2=15【解答】此题暂无解答19.【答案】(3, −1)【考点】两点间的距离公式与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】判断A，B与直线的位置关系，求出A关于直线的对称点A1的坐标，求出直线A1B的方程，与直线x−y−4=0联立，求出P的坐标．【解答】解：易知A(4, −1)、B(3, 4)在直线l:x−y−4=0的两侧．作A关于直线l的对称点A1(3, 0)，当A1、B、P共线时距离之差最大，A1B的方程为：x=3…①直线x−y−4=0…②解①②得P点的坐标是(3, −1)故答案为：(3, −1)．20.【答案】126【考点】两条平行直线间的距离【解析】先把两条直线方程中对应未知数的系数化为相同的，再代入两平行直线间的距离公式进行运算．【解答】解：∵两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离是√a2+b2，5x+ 12y+3=0即10x+24y+6=0，∴两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是√102+242=√576=126．故答案为126．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）21.【答案】解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①又点(−3, −1)在l1上，∴−3a+b+4=0，②由①②得a=2，b=2.(2)∵l1 // l2，∴ab =1−a，∴b=a1−a，故l1和l2的方程可分别表示为：(a−1)x+y+4(a−1)a =0，(a−1)x+y+a1−a=0.又原点到l1与l2的距离相等，∴4|a−1a |=|a1−a|，解得a=2或a=23，∴a=2，b=−2或a=23，b=2.【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）利用直线l1过点(−3, −1)，直线l1与l2垂直，斜率之积为−1，得到两个关系式，求出a，b的值．（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．【解答】解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①又点(−3, −1)在l1上，∴−3a+b+4=0，②由①②得a=2，b=2.(2)∵l1 // l2，∴ab =1−a，∴b=a1−a，故l1和l2的方程可分别表示为：(a−1)x+y+4(a−1)a =0，(a−1)x+y+a1−a=0.又原点到l1与l2的距离相等，∴4|a−1a |=|a1−a|，解得a=2或a=23，∴a=2，b=−2或a=23，b=2.22.【答案】解：直线l的倾斜角为30∘，则直线的斜率为：√33．(1)过点P(3, −4)，由点斜式方程得：y+4=√33(x−3)，∴y=√33x−√3−4，即√3x−3y−3√3−12=0. (2)在x轴截距为−2，即直线l过点(−2, 0)，由点斜式方程得y−0=√33(x+2)，则y=√33x+2√33，即√3x−3y+2√3=0.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y=√33x+3．即√3x−3y+9=0．【考点】各直线方程式之间的转化直线的斜截式方程直线的点斜式方程直线的斜率【解析】(1)先求出直线的斜率，分别根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．(2)根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．(3)根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．【解答】解：直线l的倾斜角为30∘，则直线的斜率为：√33．(1)过点P(3, −4)，由点斜式方程得：y+4=√33(x−3)，∴y=√33x−√3−4，即√3x−3y−3√3−12=0.(2)在x轴截距为−2，即直线l过点(−2, 0)，由点斜式方程得y−0=√33(x+2)，则y=√33x+2√33，即√3x−3y+2√3=0. (3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y=√33x+3．即√3x−3y+9=0．23.【答案】解：由题意，设A(a, 0)、B(0, b)．则直线AB 方程为xa+yb =1(a >0, b >0)∵ MA ⊥MB ，∴4−02−a×4−b 2−0=−1，化简得a =10−2b ．∵ a >0，∴ 0<b <5．直线AB 的一般式方程为bx +ay −ab =0 ∴ 点M(2, 4)到直线AB 的距离为d 1=√a 2+b 2．又∵ O 点到直线AB 的距离为d 2=√a 2+b 2，∵ 四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，∴ d 1=d 2，∴ 2b +4a −ab =±ab ． 又∵ a =10−2b ．解得{a =2b =4或{a =5b =52， ∴ 所求直线为2x +y −4=0或x +2y −5=0．【考点】直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 点到直线的距离公式【解析】设A(a, 0)、B(0, b)．得到直线AB ，由题知MA ⊥MB 即直线MA 与直线MB 的斜率乘积为−1，得到a 与b 的关系式；又因为四边形OAMB 的面积被直线AB 平分得到M 到直线AB 与O 到直线AB 的距离相等得到a 与b 的关系式，两者联立求出a 和b 即可得到直线AB 的方程． 【解答】解：由题意，设A(a, 0)、B(0, b)．则直线AB 方程为xa +yb =1(a >0, b >0) ∵ MA ⊥MB ，∴ 4−02−a ×4−b2−0=−1，化简得a =10−2b ．∵ a >0，∴ 0<b <5．直线AB 的一般式方程为bx +ay −ab =0 ∴ 点M(2, 4)到直线AB 的距离为d 1=√a 2+b 2．又∵ O 点到直线AB 的距离为d 2=√a 2+b 2，∵ 四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，∴ d 1=d 2，∴ 2b +4a −ab =±ab ． 又∵ a =10−2b ．解得{a =2b =4或{a =5b =52，∴ 所求直线为2x +y −4=0或x +2y −5=0． 24.【答案】解：(1)当直线l 不过原点， 设直线l 的方程为：xa +yb =1， 把点P 代入可得：1a +2b =1，联立{1a +2b =1,a =b,解得{a =3,b =3,∴ 直线l 的方程为x +y =3.当直线l 过原点，则设直线l 的方程为：y =kx ， 代入P 点坐标得：k =2, 此时直线l 的方程为y =2x .综上所述，直线l 的方程为x +y =3或y =2x . (2)若A ，B 两点在直线l 同侧， 则AB//l ， AB 的斜率k =−1−11−3=−2−2=1，即l 的斜率为1，则l 的方程为y −2=x −1， 即y =x +1，若A ，B 两点在直线的两侧，即l 过A ，B 的中点C(2,0), 则l 的方程为y =−2x +4，综上所述，l 的方程为y =−2x +4或y =x +1. 【考点】待定系数法求直线方程 直线的截距式方程 直线的点斜式方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当直线l 不过原点， 设直线l 的方程为：xa+yb =1，把点P 代入可得：1a +2b =1， 联立{1a +2b =1,a =b,解得{a =3,b =3,∴ 直线l 的方程为x +y =3.当直线l 过原点，则设直线l 的方程为：y =kx ， 代入P 点坐标得：k =2, 此时直线l 的方程为y =2x .综上所述，直线l 的方程为x +y =3或y =2x . (2)若A ，B 两点在直线l 同侧， 则AB//l ， AB 的斜率k =−1−11−3=−2−2=1，即l 的斜率为1，则l 的方程为y −2=x −1，即y=x+1，若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C(2,0), 则l的方程为y=−2x+4，综上所述，l的方程为y=−2x+4或y=x+1.25.【答案】如图，设直线在y轴上的截距为m(m>0)，则直线方程为y=−34x+m，取y＝0，得x=43m．由S△AOB=12×43m2=6，解得m＝3．∴直线l的方程为y=−34x+3；由（1）可得，A(4, 0)，B(0, 3)．由重心坐标公式可得G(43, 1)；联立直线{x=2y=32，得M(2, 32)；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝−tan∠BAO2=−sin∠BAO1+cos∠BAO=−351+45=−13．∴∠BAO的角平分线方程为y=−13(x−4)，联立{y=−13(x−4)y=x，解得N(1, 1)．∵k MG=32−12−43=34，k MN=32−12−1=12，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．【考点】直线的一般式方程与直线的性质直线的斜率【解析】（1）设直线在y轴上的截距为m(m>0)，取y＝0求出直线在x轴上的截距，代入三角形面积公式求得m，则直线方程可求；（2）利用重心坐标公式求重心，利用两边垂直平分线的交点求外心，由两内角平分线的交点求内心，再由斜率的关系判断不共线．【解答】如图，设直线在y轴上的截距为m(m>0)，则直线方程为y=−34x+m，取y＝0，得x=43m．由S△AOB=12×43m2=6，解得m＝3．∴直线l的方程为y=−34x+3；由（1）可得，A(4, 0)，B(0, 3)．由重心坐标公式可得G(43, 1)；联立直线{x=2y=32，得M(2, 32)；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝−tan∠BAO2=−sin∠BAO1+cos∠BAO=−351+45=−13．∴∠BAO的角平分线方程为y=−13(x−4)，联立{y=−13(x−4)y=x，解得N(1, 1)．∵k MG=32−12−43=34，k MN=32−12−1=12，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．。
高二数学直线方程试题
高二数学直线方程试题1.已知点M（2，－3），N（－3，－2），直线与线段ＭＮ相交，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵直线ax+y-a+1与线段MN相交，∴M，N在ax+y-a+1=0的两侧，或在ax+y-a+1=0上∵M（2，-3），N（-3，-2），∴（2a+3-a+1）（-3a+2-a+1）≤0∴（a+4）（-4a+3）≤0∴（a+4）（4a-3）0．【考点】直线与线段的位置关系2.与直线关于x轴对称的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】设点Ｐ(x,y)是直线关于x轴对称的直线上的任一点，由于到点Ｐ(x,y)关于x轴的对称点的坐标为，则一定在直线上，所以有，这就是所求直线的方程，故选A.【考点】直线关于直线对称.3.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．4.（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，到抛物线的准线的距离为5，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．(1)求抛物线的方程；(2)过作，垂足为，求点的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的标准方程，先写出抛物线的准线方程，进而由抛物线的定义得到，进而可确定，从而可写出抛物线的方程；（2）由（1）先确定，，随之确定，进而写出直线的方程，进而由得到，进而写出直线的方程，最后联立直线、的方程即可求得交点的坐标.试题解析：（1）抛物线的准线为，于量，所以∴抛物线方程为（2）由（1）可得点的坐标是，由题意得又∵，∴，由可得则的方程为，的方程为解方程组，所以.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线的方程；3.两直线的交点问题.5.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.【考点】直线和圆的方程的应用．6.若则坐标原点到经过两点的直线的距离为_________________.【答案】1【解析】根据成立，可得点都在直线上，因此，原点到经过这两点的直线的距离.【考点】1.直线的方程；2.点到直线的距离.7.直线和坐标轴所围成的三角形的面积是A．2B．5C．7D．10【答案】B【解析】直线和坐标轴的交点分别为和，三角形的面积，故B正确.【考点】直线的方程及应用.8.已知的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为.（1）求的项点B、C的坐标;（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m、0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P求：圆M的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由题意可知在直线上，又在轴，即，联立可求，又因为AC边上的高BH所在直线方程为，可得点在轴，设为，由是边的中点，根据中点坐标公式，把的坐标用表示出来，进而把的坐标代入直线中，求；（2）弦的垂直平分线过圆心，故先求弦的垂直平分线，再求弦垂直平分线，联立求交点，即得圆心坐标，其中坐标都是用表示，再根据过圆心和切点的直线必与斜率为1的直线垂直，∴,列式求，从而圆心确定，再根据两点之间距离公式求半径，圆的方程确定.试题解析：（1）AC边上的高BH所在直线方程为y=0,所以AC: x=0又CD: ，所以C(0, -) 2分设B(b, 0)，则AB的中点D()，代入方程解得b="2," 所以B(2, 0) 4分（2）由A(0, 1), B(2, 0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为BP也是圆M的弦，所以圆心在直线上. 设圆心M因为圆心M在直线上，所以①又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以.即，整理得：②由①②可得：，所以，半径所以所求圆的方程为 12分【考点】1、直线的方程；2、圆的方程；3、两条直线的位置关系.9.过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是()A．x－2y＋7＝0B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0D．2x＋y－5＝0【答案】B【解析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=-2，所求直线的方程为y-3=-2（x+1）即2x+y-1=0，故选B【考点】本题考查了直线的方程及位置关系点评：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是10.过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_________________．【答案】或【解析】当所求直线过原点时，截距均为0，此时直线为，当直线不过原点时可设直线为直线为【考点】直线方程点评：本题中直线方程截距式只能表示在两坐标轴上截距都不为零的直线，当截距相等时可同时为0，因此需分情况讨论11.直线过点且与圆相切,若切点在第四象限,则直线的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，即。
高二数学直线与方程精选50题
直线与方程精选50题1、求过点()5,3，倾斜角等于直线13+=x y 的倾斜角的一半的直线方程.★2、已知直线l 的倾斜角为α，53sin =α，且这条直线经过点()5,3P ，求直线l 的一般式方程.★3、已知矩形OACB 的顶点的坐标分别为()()()5,00,80,0B A O 、、，求该矩形的对角线所在直线方程.4、已知直线0632=+-y x ，这条直线的点方向式可以是________________★5、求过点P 且平行于直线0l 的一般式方程：（1）()04:,1,20=+x l P ★（2）()07143:,2,10=++y x l P6、求过点P 且垂直于直线1l 的直线的一般式方程：（1）()03:,1,21=-y l P（2）4231:),1,2(1+=---y x l P ★7、求满足下列条件的直线方程（1）直线l 经过()()7,3,0,2B A 两点★（2）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 平行★（3）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 垂直★8、已知直线()0816:1=--+y t x l 与直线()()01664:2=-+++y t x t l（1）当t 为何值时，21l l 与相交？（2）当t 为何值时，21l l 与平行？（3）当t 为何值时，21l l 与重合？（4）当t 为何值时，21l l 与垂直？★9、已知直线08:1=++n y mx l 与直线012:2=-+my x l .当直线1l 与直线2l 分别满足下列条件时，求实数m 、n 的值（1）直线1l 与直线2l 平行；（2）直线1l 与直线2l 垂直，且直线1l 在y 轴上的截距为1-..★10、根据下列条件，写出满足条件的直线的一般式方程.★（1）经过直线012=+-y x 与直线0122=-+y x 的交点，且与直线05=-y x 垂直.（2）经过直线01=+-y x 与直线022=+-y x 的交点，且与直线1243=+y x 平行.11、已知直线2:1++=k kx y l 与直线42:2+-=x y l 的交点在第一象限，求实数k 的范围.★12、已知集合(){}R y x y x y x A ∈=--=、,01|,,集合(){}R y x y ax y x B ∈=+-=、,02|,,且φ=⋂B A ，求实数a 的值.13、是否存在实数a ，使直线()()0121:1=--+-y a x a l 与直线()03326:2=--+y a x l 平行？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.★14、求过点()3,2P 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程★15、若坐标原点O 在直线l 的射影H 的坐标为()2,4-，求直线l 的方程★16、已知平面内三点()()()2,14,33,1---C B A 、、，点P 满足BC BP 23=，则直线AP 的方程是17、已知()()4,1,1,3--B A ，则线段AB 的垂直平分线方程是★18、已知三点()()()a C B a A 2,4,1,5,2,-共线，则实数a 的值是___________________19、不论m 取何实数，直线()()()01131=--+--m y m x m 恒过什么象限？20、分别写出下列直线的一个方向向量d 和一个法向量n ★（1）0543=-+y x（2）152=+y x （3）()5413+-=-x y （4）1=x（5）01=+y21、已知0,0<<bc ac ，则直线0:=++a cy bx l 不通过_______________象限22、直线l 的倾斜角的正弦值为54，则其斜率为______________★ 23、过()()a B a a A 2,3,1,1+-的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围★24、直线l 的斜率k 满足13<≤-k ，求其倾斜角的取值范围★25、直线l 的倾斜角是()()2,6,1,2--B A 两点连线的倾斜角的两倍，求直线l 的倾斜角的大小26、直线l 过点()2,1且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的方程★27、求直线()R y x ∈=-+αα010cos 的倾斜角的取值范围28、直线()()039372:222=+-++-a y a x a a l 的倾斜角大小是4π，求实数=a __________★29、方程x k y =与方程()0>+=k k x y 的曲线有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是____________________30、过点()()3,0,0,4B A 的直线的倾斜角大小是________________★31、将直线033=++y x 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转︒30后，所得的直线方程是★32、将直线0943=+-y x 绕其与x 轴的交点逆时针旋转︒90后得到直线l ，求直线l 的方程★33、ABC ∆的一个顶点()4,3B ，AB 边上的高CH 所在直线方程是01632=-+y x ，BC 边上的中线AM 所在的直线方程是0132=+-y x ，求边AC 所在直线方程.34、已知直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率k 和倾斜角α★35、过点()4,5-P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5个面积单位，求直线l 的方程★36、直线()()01213:=----y a x a l （其中a 为实数）★（1）求证：不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）已知直线l 不通过第二象限，求实数a 的取值范围37、已知()()2211,,,y x B y x A 为直线()0≠+=k b kx y 上的两点（1）求证：2121x x k AB -+=；（2）根据（1）的形式特征，用21,,y y k 表示AB38、已知ABC ∆中，顶点()7,2-A ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0113=++y x ，AB 边上中线CM 所在的直线方程072=++y x ，求ABC ∆三边所在直线方程39、从点()2,5A 发出的光线经过x 轴反射后，反射光线经过点()3,1-B ，求发射光线所在直线与x 轴的夹角大小★40、求经过0332:01:21=++=++y x l y x l 和的交点且与直线0523=-+y x 的夹角为4π的直线方程★'41、已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点是()2,4，直角边AC 所在的直线方程是02=-y x ，求斜边AB 和直角边BC 所在直线的方程42、光线沿直线052=+-y x 的方向入射到直线0723=+-y x 后反射出去，求反射光线所在的直线方程43、已知()()8,4,3,2-B A 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程★44、已知平行直线21l l 与的距离为5，且直线1l 经过原点，直线2l 经过点()3,1，求直线1l 和直线2l 的方程★45、已知直线l 过点()1,0P ，且被平行直线0243:0843:21=++=-+y x l y x l 与所截得的线段的长为22，求直线l 的方程46、求与直线032012=+-=+-y x y x 和距离相等的点的轨迹47、已知点()4,3P 到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线是___________________★48、过点()2,1P 的所有直线中，与原点距离最大的直线方程是______________49、直线l 经过直线002477=-=-+y x y x 与直线的交点，且原点到直线l 的距离为512，则直线l 的方程为★50、经过直线032=-+y x 和直线0624=--y x 的交点，且与y 轴平行的直线方程为★。