第二章 误差分布与精度指标

f (x1 , x2 L xn ) = 1 (2π ) DXX
n 2 1 2
1 −1 exp− ( X −µ X )T DXX ( X −µ X ) 2
其中
µ X = [µ1 µ2 Lµn ]T = [E( x1 ) E(x2 )LE( xn )]T
n1
σ2 σ x 1x 2 x1 σ σ2 x2 = x 2x 1 D,nX ..... ..... n σ σ x nx 1 x 2x 1
P (− 2σ < ∆ < 2σ ) = 0 . 954 P (− 3σ < ∆ < 3σ ) = 0 . 997
大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有 大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0.3%，是 ， 小概率事件， 在一次观测中， 可认为是不可能事件。 小概率事件， 在一次观测中， 可认为是不可能事件。因 可规定三倍中误差为极限误差。 此，可规定三倍中误差为极限误差。即 ∆限=3σ 对观测要求较严时， 也可规定两倍中误差为极限误差， 对观测要求较严时， 也可规定两倍中误差为极限误差， 即 ∆限=2σ
(x
n
− E (x n ))
为书写方便，可简记为 为书写方便，可简记为:
式中
2 σ 1 = σ 21 Dx ..... σ n1
σ σ σ
12 2 2
.....
n2
... 2n ... ..... 2 ... σ n ...
相对真误差＝ 真误差 1 ＝ 观测值 N
相对中误差＝
相对极限误差＝
中误差 1 ＝ 观测值 N
1 极限误差 ＝ 观测值 N
15 /24
与相对误差相区别,真误差、 与相对误差相区别 真误差、中误差和极限误差统称 真误差 为绝对误差。 为绝对误差。 主页
2 观测向量的精密度指标 维随机向量的(协 方差阵 （1）n维随机向量的 协)方差阵 ） 维随机向量的
这表明, 若观测值中不含有系统误差和粗差, 这表明 若观测值中不含有系统误差和粗差 则观测量的期望.3 衡量精度的指标
1 观测量的精度指标 （1）观测条件与 精密度 ）
精密度是指一组偶然误差分布 精密度是指一组偶然误差分布 的密集与离散的程度， 的密集与离散的程度，是观测值与 其期望值接近的程度， 其期望值接近的程度，表征观测结 果偶然误差大小的程度。 果偶然误差大小的程度。 一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。 一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观 测条件较 误差分布较密集，则其精密度较高 精密度较高。 测条件较好，误差分布较密集，则其精密度较高。 观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测， 观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测，但各 自的真误差彼此并不一定相等。 自的真误差彼此并不一定相等。
了解偶然误差的分布规 律、三个特性和两个重要概 念。 明确精度、 明确精度、准确度与精 确度的概念，熟记衡量精度 确度的概念，熟记衡量精度 的指标， 的指标，掌握精度计算的方 法。
第2章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性 衡量精度的指标 精度、 精度、准确度与精确度 测量不确定度
]
n.
σˆ =
[∆∆ ]
n
例〔2－3－1〕为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精 － － 〕 现对某一精确测定的水平角(β=65°28′34.0″)作 25 次 度, 现对某一精确测定的水平角 ° 作 观测, 根据观测结果算得各次观测误差为(单位 单位:秒 观测 根据观测结果算得各次观测误差为 单位 秒): +1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, ， -0.9， -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8 试根据∆i计算测角精度 ˆ 试根据 计算测角精度 σ 2和 σ ˆ 解: ［∆∆］=22.61 ］
为负值的∆ 为负值的 误差区间 个数µ 个数 0.0"----0.5" 0.5 ----1.0 1.0 ----1.5 1.5 ----2.0 2.0 ----2.5 2.5 ----3.0 3.0 ----3.5 3.5 以上 和 123 104 75 55 27 20 10 0 414 相对个数µ/n 相对个数 0.151 0.127 0.092 0.067 0.033 0.025 0.012 0 0.507 个数µ 个数 121 90 78 51 39 15 9 0 403 相对个数 µ/n 0.148 0.110 0.096 0.062 0.048 0.018 0.011 0 0.493 为正值的∆ 为正值的
（2）常用精密度指标 ） 方差与中误差： 方差与中误差：
~ 为服从正态分布的偶然误差， 设 ∆ = L − L 为服从正态分布的偶然误差，由方差与 期望的关系式知 D(∆ ) = E {(∆ − E (∆ ))2 } D(L ) = E {(L − E (L ))2 }
顾及 则有
~ 2 E (∆ ) = 0 , E (L ) = L , (L − E (L )) = ∆ 2
∆ i = 1800 − (Li1 + Li 2 + Li 3 ),
(i = 1,2L,817)
设以d∆表示误差区间并令其等于 设以 表示误差区间并令其等于0.5″，误差分别按正 表示误差区间并令其等于 ， 误差和负误差重新排列， 统计误差出现在各区间的个数µ 误差和负误差重新排列， 统计误差出现在各区间的个数 计算出误差出现在某区间内的频率µi/n，其结果列于表2，计算出误差出现在某区间内的频率 ，其结果列于表 1中。 中 表2-1
D(L ) = D(∆ ) = E ∆2
( )
由数学期望的定义，又可将方差和中误差分别表示为 由数学期望的定义， [∆∆ ] ; [∆∆ ] σ 2 = lim σ = lim
n→∞
n
n→∞
2 2
n
上两式中
∆∆
σˆ 2 = [∆∆
= ∆ + ∆ + ... + ∆
2 1
2 n
方差和中误差的估值公式为
D =σ
∆
E(∆)=0
2
故∆的密度函数为 的密度函数为
f (∆) = 1 2π σ
e
−∆ 2
2 2
σ
返回
2.2 偶然误差的分布特性
分布特性： 分布特性：
1) 在一定的观测条件下 误差的绝 在一定的观测条件下, 对值不会超过一定的限值。（界限性） 。（界限性 对值不会超过一定的限值。（界限性） 2) 绝对值较小的误差比绝对值较大 的误差出现的概率要大。（ 。（小误差占优 的误差出现的概率要大。（小误差占优 性）。 3) 绝对值相等的正负误差出现的概率 相等。（对称性） 。（对称性 相等。（对称性）
平均误差与或然误差： 平均误差与或然误差：
平均误差： 平均误差：:
θ = lim
或然误差: 或然误差
n→ ∞
[∆ ] =
n
2
π
σ = 0 . 798 σ
或然误差ρ是指在一定的观测条件下 或然误差 是指在一定的观测条件下, 大于与小于某 是指在一定的观测条件下 数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半 ρ=0.6745σ
该组误差的分布规律为: 该组误差的分布规律为 绝对值较小的误差比绝对值 较大的误差多； 较大的误差多； 绝对值相等的正误差个数与负误差个数相 误差的绝对值有一定限制，最大误差不超过3.5″。 近, 误差的绝对值有一定限制，最大误差不超过 。 2). 直方图法 根据表2-1的数据， 根据表 的数据， 以误 的数据 的数值为横坐标， 差∆的数值为横坐标，以 的数值为横坐标 µ/n/d∆为纵坐标可绘制出直方 为纵坐标可绘制出直方 如图2-1所示 所示。 图，如图 所示。 每一误差区间上的长方形 面积表示误差在该区间出现的 相对个数， 相对个数，所有长方形面积之 和等于1。 和等于 。
两个重要概念： 两个重要概念：
1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条 由偶然误差的界限性， 件来确定误差限值； 件来确定误差限值； 2) 由偶然误差的对称性和抵消性知，∆的理 由偶然误差的对称性和抵消性知， 的理 论平均值应为零，即有: 论平均值应为零，即有
~ E (∆ ) = L − E (L ) = 0 ~ E (L ) = L
3).密度函数法 密度函数法
当误差个数n无限增多，并无限缩小误差区间时， 当误差个数 无限增多，并无限缩小误差区间时，图2-1 无限增多 中各个小长方条顶边的折线就变成一条光滑的曲线，如图2-2 中各个小长方条顶边的折线就变成一条光滑的曲线，如图 所示。 所示。 已知偶然误差∆是服 已知偶然误差 是服 从正态分布的随机变量,它 从正态分布的随机变量 它 的数学期望和方差分别为
D
n ,n
x = E
{( X
− E (X
))( X
− E (X
))T }
x 1 − E (x 1 ) x 2 − E (x 2 ) ( − E (x 1 )), (x 2 − E (x 2 )),..., = E x1 .......... x − E (x ) n n 2 σ x 1 x 2 ... σ x 1 x n σ x1 2 σ σ x 2 ... σ x 2 x n x 2 x1 = ..... ... ..... ..... 2 ... σ xn σ x n x 1 σ x n x 2
设x1，x2，…，xn为随机变量，由它们组成的 维列 ， 为随机变量，由它们组成的n维列 向量为 ]T = [ ...