高三理科数学春季讲义 第3讲 导数解答题针对性突破 教师版

⑴ 已知函数()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为 ；⑵ 设11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-⑶ 设函数()()()()f x x a x b x c =---，其中a 、b 、c 是两两不等的常数， 则()()()a b cf a f b f c ++=''' ； 若()()1f a f b ''==，则()f c '= ． ⑷ 已知函数()32f x ax bx cx =++（0a >），()()020f x f ''==，且02x <-，则()()11f f +-的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定 【解析】 ⑴ 12-．⑵ D ．⑶ 0，12-．⑷ A ．考点1：单调性例1⑴（2010年山东理）讨论函数()1ln 1a f x x ax x -=-+-（12a ≤）的单调性． ⑵（2011年朝阳二模）设函数()()2ln f x x x a =+-，a ∈R 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围．⑶（2011年昌平二模）已知函数()ln 23f x a x ax =-+（0a ≠）．函数()y f x =的图象在2x =经典精讲小题热身第3讲 导数解答题针对性突破处的切线的斜率为32，若函数()()3213g x x x f x m '=++⎡⎤⎣⎦在区间()1,3上不是单调函数，求m 的取值范围．【解析】 ⑴ ∵()1ln 1af x x ax x-=-+-，()221ax x a f x x -+-'=-（0x >）． 设()21h x ax x a =-+-，则()1012h a =-≥．1°当0a =时，()21x f x x-'=，∴当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当x ∈()1,+∞时，()f x 单调递增．2°当102a <≤时，()h x 的对称轴112x a =≥，11124h a a a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1′当12a =时，102h a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()0h x ≥，()f x 在()0,+∞上单调递减；2′当102a <<时，102h a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()0h x =在()0,+∞上的两根为1和11a -． 于是()f x 在()0,1和11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．3°当0a <时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减． ⑵ 实数a 的取值范围是9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．⑶ 1023m -<<-．备选1⑴ 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．⑵ 已知函数()()22e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且a ≥0．若函数()f x 在区间)2上单调递减，求实数a 的取值范围． ⑶（2011年顺义二模）设函数()2axf x x b=+（0a >）．若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，求b 的取值范围．【解析】 ⑴ 2a ≤；⑵ 实数a 的取值范围是[]0,1．⑶ b 的取值范围是[)1,+∞．备选2已知()32f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点，若点B 的坐标为()2,0，且()f x 在[]1,0-和[]4,5上有相同的单调性，在[]0,2和[]4,5上有相反的单调性． ⑴ 求c 的值；⑵ 在函数()f x 的图象上是否存在一点()00,M x y ，使得()f x 在点M 处的切线的斜率为3b ?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】 ⑴ 0c =．⑵ ∵()f x 交x 轴于点(20)B ，，∴840a b d ++=，即4(2)d b a =-+．令()0f x '=，则2320ax bx +=，10x =，223b x a=-． ∵()f x 在[02]，和[45]，上有相反的单调性，∴2243b a -≤≤，∴63ba--≤≤，a b ，异号．假设存在点00()M x y ，，使得()f x 在点M 处的切线的斜率为3b ，则0()3f x b '=，即2003230ax bx b +-=．∵22(2)43(3)43649b b a b b ab ab a ⎛⎫∆=-⨯⨯-=+=+ ⎪⎝⎭，又63ba--≤≤，∴0∆<．∴不存在点00()M x y ，，使得()f x 在点M 处的切线的斜率为3b ．考点2：极值点例2⑴（2011年朝阳二模）求函数()()2ln f x x x a =+-，a ∈R 的极值点．⑵（2011年西城二模）已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0x >）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值．【解析】 ⑴当a ()f x 没有极值点；当a是函数()f x是函数()f x 的极小值点．⑵ 5a =．备选3（2012年广东）设1a <，集合{}|0A x x =∈>R ，(){}2|23160B x x a x a =∈-++>R ，D A B =．⑴ 求集合D （用区间表示）；⑵ 求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【解析】 ⑴ 综上，当0a ≤时，,D ⎫⎪=+∞⎪⎝⎭； 当103a <≤时，0,,D ⎛⎫ ⎪=+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当113a <<时，()0,D A ==+∞． ⑵综上，当a ≤0时，()f x 无极值点；经典精讲当103a <≤时，()f x 有极大值点a ，无极小值点；当113a <<时，()f x 有极大值点a ，极小值点1．考点3：最值例3（2013年广东）设函数2()(1)e ()x f x x kx k =--∈R ．当112k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求函数()f x 在[0]k ，上的最大值M ． 【解析】函数()f x 在[0]k ，上的最大值3()(1)e k M f k k k ==--．备选4⑴（2012年朝阳高三期末）已知函数()()1ln 11xf x ax x-=+++（x ≥0）的最小值为1，求实数a 的取值范围；⑵（2012年四中高三统练）已知函数()()1ln 11xf x ax x-=+++（0x ≥）的最小值为ln2，求实数a 的取值范围． 【解析】 ⑴实数a 的取值范围是[)2,+∞． ⑵综上，a 的取值范围为{}1．备选5（2013北京西城二模理）已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．⑴ 若2a =，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵ 求()f x 在区间[]23，上的最大值和最小值．【解析】 ⑴523y x =--．⑵ 综上所述，当2a ≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是723a -，最大值是73a -； 当1423a <≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是53a -，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[]23，上的最小值是53a -，最大值是723a -； 经典精讲当8a ≥时，()f x 在区间[]23，上的最小值是73a -，最大值是723a -．考点4：零点例4（2013北京东城二模理）已知函数()ln af x x=+（0a >）．()f x 的单调递减区间为()0a ，，单调递增区间为()a +∞，⑵实数a 的最小值为12． ⑶∴当0b >时，方程()()32122x bx a f x x ++=-无实根； 当0b =时，方程()()32122x bx a f x x ++=-有一个实根； 当0b <时，方程()()32122x bx a f x x++=-有两个实根．备选6已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12．⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 是否存在正整数m ，使得方程()370f x x+=在区间(),1m m +内有且只有两个不相等的实根？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴ ()f x 的解析式是()2210f x x x =-．⑵ 3m =是满足题意的解．经典精讲考点5：恒成立与存在性问题例5⑴（2011年朝阳一模）已知函数()2ln 2f x a x x=+-（0a >）．若对于任意()0,x ∈+∞都有()()21f x a >-成立，试求a 的取值范围．⑵已知()ln f x x x ax =-，()22g x x =--．对一切()0x ∈+∞，，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． ⑶已知函数()e ln f x x x =-，在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内存在0x ，使不等式()f x x m <+成立，求m 的取值范围．【解析】 ⑴20ea <<．⑵3a ≤． ⑶m 的取值范围是()()1ln e 1+-+∞，．备选7（2011年石景山一模）已知函数()21ln 2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a ∈R ．若在区间()1,+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．【解析】a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．例6（师大附2012年高二下期中）已知函数()211ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．⑴ 若12是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； ⑵ 求证：当02a <≤时，()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数；⑶ 若对任意的()1,2a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()201f x m a >-成立，求实数m 的取值范围．【解析】⑴因此a 的值为2．⑵ 设()()2222h x ax a x =+-，则()()211022a a h --+⎛⎫= ⎪⎝⎭≥， 而()h x 开口向上且对称轴为22114424a a x a a -=-=-≤，经典精讲因此()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上满足()102h x h ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥≥，即()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增函数．⑶因此m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点6：函数不等式的证明例7（2012年山东）已知函数()ln e xx kf x +=（k 为常数）的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行．⑴ 求k 的值；⑵ 求()f x 的单调区间；⑶ 设()()()2g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，()21e g x -<+．【解析】 ⑴1k =． ⑵()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．⑶ 欲证不等式即()221ln 11e e xxx x x -⎛⎫+-- ⎪⎝⎭<+ ……①． 法1①()2e 1ln 1e 1xx x x x -⇔--<+⋅+设()1ln u x x x x =--，()e 1xv x x =+，则()ln 2u x x '=--，()()2e 1x x v x x '=+ ∴()()22max e 1e u x u --==+，而()()01v x v >=因此原不等式得证．法2（利用常用放缩：当0x >时，ln 1x x -≤，当且仅当1x =时取得等号．e 1x x +≥，当且仅当0x =时取得等号．） ()21ln 11ln 11ln e x x x x x x x x x x x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭<--=-- ⎪⎝⎭，设()1ln u x x x x =--，则()ln 2u x x '=--，∴()()22max e 1e u x u --==+因此原命题成立．经典精讲备选8（2012年辽宁）设()()ln 11f x x x ax b =+++++（,a b ∈R，,a b 为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在()0,0点相切． ⑴ 求,a b 的值． ⑵ 证明：当02x <<时，()96xf x x <+． 【解析】 ⑴0a =，1b =-．⑵ ()()ln 111f x x x =+++-（1x >-），于是需要证明的不等式为当02x <<时，()54ln 11106x x x ++++<+． 设左边为()g x ，容易观察得()010g =，考虑()g x 的单调性． ()()21541216g x x x x '=+-+++()()()()()222161081216x x x x x +++-+=++为了方便处理1x +，使用放缩．当02x <<时，()11221x x '+=<+，∴1112x x +<+设()g x '的分子部分为()h x ，则()()()31610812h x x x <+-+设()()()31610812u x x x =+-+，则()()()236108202u x x u ''=+-<<∴()()00u x u <=，从而()0g x '<，因此()()010g x g <=，原命题得证．练习1⑴（2010年辽宁理）讨论函数()()21ln 1f x a x ax =+++的单调性． ⑵（2011年辽宁）讨论函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-的单调性．【解析】 ⑴0x >．当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上单调递增．当1a -≤时，()0f x '<，故()f x 在()0,+∞上单调递减． 当10a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a a ⎛+- ⎝；()f x 的单调递减区间为12a a ⎫+-+∞⎪⎪⎭． ⑵()f x 的定义域为()0+∞，，．1°若a ≤0，则()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，上单调递增． 2°若0a >，则由()0f x '=得1x a =，且当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>；当1x a >时，()0f x '<，实战演练所以()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．练习2已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴ 求a ；⑵ 求函数()f x 的单调区间；⑶ 若直线y b =与函数()y f x =的图象有三个交点，求b 的取值范围．【解析】 ⑴16a = ⑵()f x 的递增区间为()1,1-和()3,+∞，递减区间为()1,3．⑶ b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--．练习3（2011年浙江）设函数()()2ln f x x a x =-，a ∈R ．求实数a 的取值范围，使得对任意的(]0,3e x ∈，恒有()24e f x ≤成立．【解析】 综上，实数a 的取值范围是3e ,3e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．练习4（2012年湖南）已知函数()e ax f x x =-，其中0a ≠． ⑴ 若对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；⑵ 在函数()f x 的图象上取定两点()()11,A x f x 、()()22,B x f x （12x x <），记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '>成立?若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴a 的取值集合为{}1．⑵因此0x 的取值范围为()212211e e ln ,ax ax x a a x x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．。